初中數(shù)學(xué)創(chuàng)新性開(kāi)放性（1）

1、創(chuàng)新型、開(kāi)放型問(wèn)題 曾慶坤曾慶坤例例1.比較下面的兩列算式結(jié)果的大?。罕容^下面的兩列算式結(jié)果的大小：(在橫線上填在橫線上填“”、“ (2) (3) (4) = 結(jié)論：對(duì)于任意兩個(gè)實(shí)數(shù)結(jié)論：對(duì)于任意兩個(gè)實(shí)數(shù)a和和b，一定有一定有 a2+b22ab證明：證明：(a-b)20， 即即a2-2ab+b20， a2+b22ab例例2.如圖：已知如圖：已知ABC為為 O的內(nèi)接三角形，的內(nèi)接三角形， O1過(guò)過(guò)C點(diǎn)與點(diǎn)與AC交點(diǎn)交點(diǎn)E，與，與 O交于點(diǎn)交于點(diǎn)D，連結(jié)，連結(jié)AD并并延長(zhǎng)與延長(zhǎng)與 O1交于點(diǎn)交于點(diǎn)F與與BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G，連結(jié)，連結(jié)EF,要使要使EFCG，ABC應(yīng)滿足什么條件？請(qǐng)補(bǔ)

2、充應(yīng)滿足什么條件？請(qǐng)補(bǔ)充上你認(rèn)為缺少的條件后，上你認(rèn)為缺少的條件后，證明證明EFGC(要求補(bǔ)充的要求補(bǔ)充的條件要明確，但不能條件要明確，但不能 多余多余)分析：要使分析：要使EFGC，需知，需知FEC=ACB，但，但從圖中可知從圖中可知FEC=FDC，F(xiàn)DC=B，所，所以以FEC=B，故當(dāng)，故當(dāng)B=ACB時(shí)，可得證時(shí)，可得證EFGC要使要使EFGC，ABC應(yīng)應(yīng)滿足滿足AB=AC或或ABC=ACB證明：連結(jié)證明：連結(jié)DC，則，則FDC=FEC，F(xiàn)DC=B，F(xiàn)EC=B，B=ACB，F(xiàn)EC=ACB，EFGC例例3.如圖：已知如圖：已知 O1與與 O2相交于相交于A.B兩點(diǎn)，經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，經(jīng)過(guò)A點(diǎn)的直線分

3、別交點(diǎn)的直線分別交 O1. O2于于C.D兩點(diǎn)兩點(diǎn)(D.C不與不與B重重合合).連結(jié)連結(jié)BD，過(guò)，過(guò)C點(diǎn)作點(diǎn)作BD的平行線交的平行線交 O1于點(diǎn)于點(diǎn)E，連，連結(jié)結(jié)BE(1)求證：求證：BE是是 O2的切線的切線(2)如圖如圖2，若兩圓圓心在公，若兩圓圓心在公共弦共弦AB的同側(cè)，其他條件不的同側(cè)，其他條件不變，判斷變，判斷BE與與 O2的位置關(guān)的位置關(guān)系系(不要求證明不要求證明)(3)若點(diǎn)若點(diǎn)C為劣弧為劣弧AB的中點(diǎn)，其他條件不變，連結(jié)的中點(diǎn)，其他條件不變，連結(jié)AB.AE，AB與與CE交于點(diǎn)交于點(diǎn)F，如圖，如圖3 寫(xiě)出圖中所有的寫(xiě)出圖中所有的相似三角形相似三角形(不另外連線，不要求證明不另外連線

4、，不要求證明)要證要證BE是是 O2的切線，需知的切線，需知EBO2=90，不妨過(guò)，不妨過(guò)B點(diǎn)作點(diǎn)作 O2的直徑的直徑BF交交 O2于于F點(diǎn)，點(diǎn)，則則BAF=90，即，即F+ABF=90，F(xiàn)=ADB，EBO2=EBA+ABF，要，要知知EBO2=90，需知，需知ABE=ADB，但，但ABE=ACE，由，由ECBD，得得ACE=ADB，故，故ABE=ADB得證，從而知得證，從而知EBO2=90，因此，因此BE是是 O2的切線的切線證明：作直徑證明：作直徑BF交交 O2于于F ，連，連結(jié)結(jié)AB、AF，則，則BAF=90，即即F+ABF=90。F=ADB，ABF+ADB=90。ECBD，ACE=AD

5、B，又又ACE=ABE，ABE=ADB，故，故ABF+ABE=90，即，即EBO2=90，EBBO2，EB是是 O2的切線的切線(2)分析：猜想分析：猜想EB與與 O2的關(guān)的關(guān)系是相切的系是相切的仍作仍作 O2的直徑的直徑BF，則，則FAB=90，同時(shí)，同時(shí)FAD+FBD=180，BAC+FBD=90?，F(xiàn)只?，F(xiàn)只需要得知需要得知FBE=90即可。由即可。由CEBD可知，可知，CEB+DBE=180，又，又，CEB=BAC，BAC+EBD=180，EBD-FBD=90，即，即FBE=90，故，故EB與與 O2是是相切的相切的證明：作證明：作 O2的直徑的直徑BF交交 O2于于F，則，則FAB=9

6、0且且FAD+FBD=180，BAD+FBD=90。但。但BAD=CEB，故，故CEB+FBD=90。CEDB，CEB+EBD=180，EBD-FBD=90，即即FBE=90，EB是是 O2的切線的切線 證明證明ECDB，ACE=ADB，又，又ACE=ABE，ACE=ADB=ABE。C是劣弧是劣弧AB的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，BAC=BEC=AEC，AFCABDEACEFB(3)若點(diǎn)若點(diǎn)C為劣弧為劣弧AB的中點(diǎn)，其他條件不變，的中點(diǎn)，其他條件不變，連結(jié)連結(jié)AB.AE，AB與與CE交于點(diǎn)交于點(diǎn)F，如圖，如圖3 寫(xiě)出寫(xiě)出圖中所有的相似三角形圖中所有的相似三角形(不另外連線，不要求不另外連線，不要求證明）證明

7、）例例4.如圖直徑為如圖直徑為13的的 O1經(jīng)過(guò)原經(jīng)過(guò)原點(diǎn)點(diǎn)O，并且與，并且與x軸、軸、y軸分別交于軸分別交于A、B兩點(diǎn)，線段兩點(diǎn)，線段OA、OB(OAOB)的長(zhǎng)分別的長(zhǎng)分別 是方程是方程x2+kx+60=0的兩的兩個(gè)根個(gè)根(1)求線段求線段OA、OB的長(zhǎng)的長(zhǎng)(2)已知點(diǎn)已知點(diǎn)C在劣弧在劣弧OA上，連結(jié)上，連結(jié)BC交交OA于于D，當(dāng)，當(dāng)OC2=CDCB時(shí)，求時(shí)，求C點(diǎn)的坐標(biāo)點(diǎn)的坐標(biāo)(3)在在 O1上是否存在點(diǎn)上是否存在點(diǎn)P， 使使SPOD=SABD？若存在，求出點(diǎn)？若存在，求出點(diǎn)P 的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由(1)解：解：OA、OB是方是方程程x2+kx+60=0

8、的兩個(gè)根，的兩個(gè)根，OA+OB=-k，OAOB=60OBOA，AB是是 O1的直徑的直徑OA2+OB2=132，又，又OA2+OB2=(OA+OB)2-2OAOB，132=(-k)2-260 解解 之得：之得：k=17 OA+OB0，k9，所以假設(shè)錯(cuò)誤，故這所以假設(shè)錯(cuò)誤，故這樣的點(diǎn)樣的點(diǎn)P是不存在的是不存在的 分析：假設(shè)這樣的點(diǎn)分析：假設(shè)這樣的點(diǎn)P是存在的，是存在的，不妨設(shè)不妨設(shè)P(m，n)，則，則P到到x軸的距軸的距離可表示為離可表示為|n|，從已知中得知，從已知中得知P到到x軸的最大距離為軸的最大距離為9，所以，所以|n|9。又。又SPOD=1/2OD|n|SABD=1/2ADOB,OD|n|=ADOB=(OA-OD)OB,即即OD|n|=(12-OD)5若能求出若能求出OD的長(zhǎng)，就可得知的長(zhǎng)，就可得知|n|。從而知。從而知P點(diǎn)點(diǎn)是否在是否在 O1上由上由(2)知知OCDBCO，則，則從中可求出從中可求出OD的長(zhǎng)的長(zhǎng)BCOCOBOD 在在 O1上不存在這樣的上不存在這樣的P點(diǎn)，點(diǎn)，使使SPOD=SABD。理由：假設(shè)在理由：假設(shè)在 O1上存在點(diǎn)上存在點(diǎn)P，使，使SPOD=SABD，不妨，不妨設(shè)設(shè)P(m，n)，則，則P到到x軸的距軸的距離離|n|9。由。由OC