相似三角形存在性問題

1、因動點產(chǎn)生的相似三角形問題例12015年上海市寶山區(qū)嘉定區(qū)中考模擬第24題如圖1,在平面直角坐標系中，雙曲線(k豐0)與直線y=x+2都經(jīng)過點A(2,m).(1) 求k與m的值；(2) 此雙曲線又經(jīng)過點B(n,2)，過點B的直線BC與直線y=x+2平行交y軸于點C,聯(lián)結(jié)ABAC求厶ABC的面積；(3) 在(2)的條件下，設(shè)直線y=x+2與y軸交于點D,在射線CB上有一點E,如果以點ACE所組成的三角形與ACD相似，且相似比不為1，求點E的坐標.圖1動感體驗請打開幾何畫板文件名“15寶山嘉定24”，拖動點E在射線CB上運動，可以體驗到，ACEMACD相似，存在兩種情況.思路點撥1直線AD/BC與

2、坐標軸的夾角為45°.2求ABC的面積，一般用割補法.3.討論ACE與ACD相似，先尋找一組等角，再根據(jù)對應(yīng)邊成比例分兩種情況列方程.滿分解答(1) 將點A(2,m代入y=X+2，得m=4.所以點A的坐標為(2,4).k將點A(2,4)代入y，得k=&X8(2) 將點B(n,2)，代入y，得n=4.X所以點B的坐標為(4,2).設(shè)直線BC為y=x+b,代入點B(4,2)，得b=2.所以點C的坐標為(0,2).由A(2,4)、B(4,2)、C(0,2)，可知A、B兩點間的水平距離和豎直距離都是2,BC兩點間的水平距離和豎直距離都是4.所以AB=2.2,BC=4、2，/ABC=9

3、0°.圖2所以abc=baBC=224-2=8.22(3) 由A(2,4)、Q0,2)、C(0,2)，得AD=2、2,AC=2.10.由于/DAOZAC=45°,/ACEFZAC=45°,所以/DAC=ZACE所以ACE與ACD相似，分兩種情況：如圖3，當CEAD時，CE=AD=2、2.CAAC此時ACDACAE相似比為1.如圖4，當CEAC時,CE2、101-解得CE=10、2此時CE兩點間的水CAAD2102、2平距離和豎直距離都是10,所以E(10,8).圖3圖4考點伸展第(2)題我們在計算ABC勺面積時，恰好ABC是直角三角形.一般情況下，在坐標平面內(nèi)計算

4、圖形的面積，用割補法.如圖5,作厶ABC的外接矩形HCNMMNTy軸.由S矩形HCNMF24,ahc=6,AMB=2,Sabcn=8，得Saabc=&圖5例22014年武漢市中考第24題如圖1,RtABC中，/ACB=90°,AC=6cm,BC=8cm,動點P從點B出發(fā)，在BA邊上以每秒5cm的速度向點A勻速運動，同時動點Q從點C出發(fā)，在CB邊上以每秒4cm的速度向點B勻速運動，運動時間為t秒(0vtv2),連接PQ(1) 若厶BPQAABC相似，求t的值；(2) 如圖2，連接AQCP若AQLCR求t的值；(3) 試證明：PQ的中點在厶ABC的一條中位線上.圖1圖2動感體驗請

5、打開幾何畫板文件名“14武漢24”，拖動點P運動，可以體驗到，若BPC可以兩次成為直角三角形，與ABC相似當AQLCP時，ACQoACDPPQ的中點H在ABC的中位線EF上.思路點撥1. ABPQAABC有公共角，按照夾角相等，對應(yīng)邊成比例，分兩種情況列方程.2作PDLBC于D,動點P、Q的速度，暗含了BD=CQ3.PQ的中點H在哪條中位線上畫兩個不同時刻P、QH的位置，一目了然.滿分解答(1)RtABC中,AC=6,BC=8，所以AB=10.BPQAABC相似，存在兩種情況： 如果BLBA，那么旦1°.解得t=i.BQBC84t8 如果聖匹，那么旦8.解得t32.BQBA84t10

6、41圖3圖4(2)作PDLBC,垂足為D.在RtBPD中,BP=5t,cosB=，所以BD=BPosB=4t,PD=3t.5當AQLCP時，ACQACDP所以ACCD，即684t.解得t-.QCPD4t3t8圖5圖6（3）如圖4，過PQ的中點H作BC的垂線，垂足為F,交AB于E.由于H是PQ的中點，HF/PD所以F是QD的中點.又因為BD=CQ=4t，所以BF=CF因此F是BC的中點，E是AB的中點.所以PQ的中點H在厶ABC勺中位線EF上.例32012年蘇州市中考第29題如圖1,已知拋物線y丄x2（b1）xb（b是實數(shù)且b>2）與x軸的正半軸分別交444于點AB（點A位于點B是左側(cè)），

7、與y軸的正半軸交于點C（1）點B的坐標為，點C的坐標為（用含b的代數(shù)式表示）；（2）請你探索在第一象限內(nèi)是否存在點P,使得四邊形PCOB勺面積等于2b,且厶PBC是以點P為直角頂點的等腰直角三角形如果存在，求出點P的坐標；如果不存在，請說明理由；（3）請你進一步探索在第一象限內(nèi)是否存在點Q使得QCOAQOAAQAB中的任意兩個三角形均相似（全等可看作相似的特殊情況）如果存在，求出點Q的坐標；如果不存在，請說明理由.動感體驗請打開幾何畫板文件名“12蘇州29”，拖動點B在x軸的正半軸上運動，可以體驗到，點P到兩坐標軸的距離相等，存在四邊形PCOE的面積等于2b的時刻雙擊按鈕“第（3）題”，拖動點

8、B,可以體驗到，存在/OQ=ZB的時刻，也存在/OQA=ZB的時刻.思路點撥1. 第（2）題中，等腰直角三角形PBC音示了點P到兩坐標軸的距離相等.2. 聯(lián)結(jié)0P把四邊形PC0B1新分割為兩個等高的三角形，底邊可以用含b的式子表示.3. 第（3）題要探究三個三角形兩兩相似，第一直覺這三個三角形是直角三角形，點Q最大的可能在經(jīng)過點A與x軸垂直的直線上.滿分解答（1）B的坐標為（b,0），點C的坐標為（0,-）.4（2）如圖2，過點P作PDLx軸，PELy軸，垂足分別為DE,那么PDBAPEC因此PD=PE.設(shè)點P的坐標為（x,x）.如圖3,聯(lián)結(jié)OP所以S四邊形pcob=SapcctFSpbo=5

9、-8Xb1-2Xb一4解得x所以點p的坐標為（！§!§）.55'5圖2圖3(3)由y丄x2丄(b1)xb-(x1)(Xb)，得A(1,0)，OAf1.4444如圖4，以oaoc為鄰邊構(gòu)造矩形OAQC那么oqqaqoa當BAQA，即QA2BAoa時，BQApqoaQAOA所以（P）2b1解得b84.3所以符合題意的點Q為（1,2.3）.如圖5，以O(shè)C為直徑的圓與直線x=1交于點Q那么/OQF90°。因此OCQAQOA當BAQA時，bq/VQOA此時/OQF90°.QAOA所以CQB三點共線因此B0QA，即bQA解得QA4此時Q1,4）COoab14

10、圖4圖5考點伸展第（3）題的思路是，A、C0三點是確定的，B是x軸正半軸上待定的點，而/Q0A與/Q0（是互余的，那么我們自然想到三個三角形都是直角三角形的情況.這樣，先根據(jù)厶QOAfAQ0（相目似把點Q的位置確定下來，再根據(jù)兩直角邊對應(yīng)成比例確定點B的位置.如圖中，圓與直線x=1的另一個交點會不會是符合題意的點Q呢如果符合題意的話，那么點B的位置距離點A很近，這與0B=40C矛盾.例52010年義烏市中考第24題如圖1,已知梯形OABC拋物線分別過點0(0,0)、A(2,0)、B(6,3).(1) 直接寫出拋物線的對稱軸、解析式及頂點M的坐標；(2) 將圖1中梯形OABC勺上下底邊所在的直線

11、OACB以相同的速度同時向上平移，分別交拋物線于點0、A、C、B,得到如圖2的梯形OABC設(shè)梯形OABC的面積為S,A、B1的坐標分別為(x,yj、(X2,y2).用含S的代數(shù)式表示X2-X1,并求出當S=36時點A的坐標；(3) 在圖1中，設(shè)點D的坐標為(1,3)，動點P從點B出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿著線段BC運動，動點Q從點D出發(fā)，以與點P相同的速度沿著線段DM運動.P、Q兩點同時出發(fā)，當點Q到達點M時，P、Q兩點同時停止運動設(shè)P、Q兩點的運動時間為t,是否存在某一時刻t,使得直線PQ直線ABx軸圍成的三角形與直線PQ直線AB拋物線的對稱軸圍成的三角形相似若存在，請求出t的值；若不

12、存在，請說明理由.動感體驗請打開幾何畫板文件名“10義烏24”，拖動點I上下運動，觀察圖形和圖象，可以體驗到，X2-X1隨S的增大而減小雙擊按鈕“第(3)題”，拖動點Q在DM上運動，可以體驗到，如果/GAB/GQE那么GAFWAGQEf似.思路點撥1第(2)題用含S的代數(shù)式表示X2-X1,我們反其道而行之，用X1,X2表示S.再注意平移過程中梯形的高保持不變，即y2-y1=3通過代數(shù)變形就可以了.2第(3)題最大的障礙在于畫示意圖，在沒有計算結(jié)果的情況下，無法畫出準確的位置關(guān)系，因此本題的策略是先假設(shè)，再說理計算，后驗證.3.第(3)題的示意圖，不變的關(guān)系是：直線AB與x軸的夾角不變，直線AB

13、與拋物線的對稱軸的夾角不變.變化的直線PQ的斜率，因此假設(shè)直線PQ與AB的交點G在x軸的下方，或者假設(shè)交點G在x軸的上方.滿分解答(1)拋物線的對稱軸為直線X1,解析式為y(2)梯形OABC的面積S2(x11x212-X81)1x，頂點為41M(1,-).8人x2S2.由于y2y13，所以3y2y12128X214X23(X1X2)6,由此得到3.整理，得1(X2X1)8(X2X1)113因此得到x24X172Sx2x114,x6,當S=36時，解得此時點A的坐標為（6,3）.x2x12.x28.(3)設(shè)直線AB與PQ交于點G,直線AB與拋物線的對稱軸交于點E,直線PQ與x軸交于點F，那么要探

14、求相似的GAFWGQE有一個公共角/G.在厶GEQh/GEQ是直線AB與拋物線對稱軸的夾角，為定值.在厶GAF中,ZGAF是直線AB與x軸的夾角，也為定值，而且/GE決/GAF因此只存在/GQEZGAF的可能，GQBAGAF這時ZGAI=ZGQ&ZPQD由于tanGAF3,tanPQD竺，所以3-解得t20.4QP5t45t7考點伸展第(3)題是否存在點G在x軸上方的情況如圖4，假如存在，說理過程相同，求得的t的值也是相同的.事實上，圖3和圖4都是假設(shè)存在的示意圖，實際的圖形更接近圖3.例62009年臨沂市中考第26題如圖1,拋物線經(jīng)過點A(4,0)、B(1,0)、C(0,2)三點.(

15、1) 求此拋物線的解析式；(2) P是拋物線上的一個動點，過P作PMILx軸，垂足為M是否存在點P,使得以AP、M為頂點的三角形與OAC相似若存在，請求出符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由；(3) 在直線AC上方的拋物線是有一點D,使得DCA勺面積最大，求出點D的坐標.圖1動感體驗請打開幾何畫板文件名“09臨沂26”，拖動點P在拋物線上運動，可以體驗到，PAM的形狀在變化，分別雙擊按鈕“P在B左側(cè)”、“P在x軸上方”和“P在A右側(cè)”，可以顯示厶PAMOAC相似的三個情景.雙擊按鈕“第(3)題”，拖動點D在x軸上方的拋物線上運動，觀察DCA的形狀和面積隨D變化的圖象，可以體驗到，E是AC

16、的中點時，DCA勺面積最大.思路點撥1.已知拋物線與x軸的兩個交點，用待定系數(shù)法求解析式時，設(shè)交點式比較簡便.2數(shù)形結(jié)合，用解析式表示圖象上點的坐標，用點的坐標表示線段的長.3按照兩條直角邊對應(yīng)成比例，分兩種情況列方程.4把DCA可以分割為共底的兩個三角形，高的和等于OA滿分解答(1)因為拋物線與x軸交于A4,0)、B(1,0)兩點，設(shè)拋物線的解析式為a(x1)(x4)，代入點C的坐標(0，2)，解得a1 i5(x1)(x4)X2x22 22-所以拋物線的解析式為2(2)設(shè)點P的坐標為(x,!(x1)(x4)2(x1)(x4),AM2AM如果PMAOCO2，那么-2(x41)(xx4)2解得x

17、5不合題意AM如果-AO1那么1(x1)(x4)1解得x2PMCO24x2此時點P的坐標為(2,1)如圖2，當點P在x軸上方時，1vxv4,PM如圖3，當點P在點A的右側(cè)時，x>4,PM1-(x1)(x4),AMx421；(x1)(x4)解方程22，得x5此時點P的坐標為(5,2)x41T(x1)(x4)1解方程2-，得xx42 如圖4，當點P在點B的左側(cè)時，1T(x1)(x4)解方程22，得x4x1-(x1)(x4)1解方程2，得x4x22不合題意.1xv1,PM(x1)(x4),AM23此時點P的坐標為(3,14)0此時點P與點O重合，不合題意.綜上所述，符合條件的點P的坐標為(2,1)或(3,14)或(5,2)圖2圖3圖4(3)如圖5，過點D作x軸的垂線交AC于E.直線AC的解析式為y-x2.215