利用洛必達(dá)法則來處理高考中的恒成立問題

1、利用洛必達(dá)法則來處理高考中的恒成立問題河南省偃師高中高洪海2010年和2011年高考中的全國新課標(biāo)卷中的第21題中的第步，由不等式恒成立來求參數(shù)的取值范圍問題，分析難度大，但用洛必達(dá)法則來處理卻可達(dá)到事半功倍的效果。一.洛必達(dá)法則法則1若函數(shù)f(x)和g(x)滿足下列條件：(2)在點a的去心鄰域內(nèi),f(x)與g(x)(3)limfx'-l,x皿gxlimf(x)=0及l(fā)img(x)=0；xaxa可導(dǎo)且g'(x)w0;那么lim0limUl。xagxxagx法則2(2)若函數(shù)f(x)和g(x)滿足下列條件:limf(x)=0及l(fā)imgfx)=0；xE：x三A>0,f(x)和

2、g(x)在(-°o,A)與(A,七c)上可導(dǎo)，且g'(x)w。；limf-)=l,gx那么limSlim匚吟。x:gxx:gx法則3若函數(shù)f(x)和g(x)滿足下列條件：(1)limf(x)=°°及l(fā)img(x)=°°；xax-a(2)在點a的去心鄰域內(nèi),f(x)與g(x)可導(dǎo)且g'(x)w0；(3)limf-)=l,xagx那么lf)=lim匚*。xagxxagx利用洛必達(dá)法則求未定式的極限是微分學(xué)中的重點之一，在解題中應(yīng)注意：將上面公式中的xa,x8換成x一+8,x-8,xta*,xta洛必達(dá)法則也成立。洛必達(dá)法則可處理0,

3、0二0&在著手求極限以前，首先要檢查是否滿足二C一二0,01,由O0I,0,°°型定式，否則濫用洛必達(dá)法則會出錯。當(dāng)不滿足三個前提條件時，就不能用洛必達(dá)法則，這時稱洛必達(dá)法則不適用，應(yīng)從另外途徑求極限。(5)若條件符合，洛必達(dá)法則可連續(xù)多次使用，直到求出極限為止。二.高考題處理1 .(2010年全國新課標(biāo)理)設(shè)函數(shù)f(x)=ex-1xax2。(1) 若a=0,求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2) 若當(dāng)x0時f(x)圭0,求a的取值范圍原解：(1)a=0時，f(x)=ex1x,f'(x)=ex1.當(dāng)xW(*,0)時，f'(x)<0；當(dāng)xW(0收)時，f&

4、#39;(x)>0.故f(x)在(*,0)單調(diào)減少，在(0,2)單調(diào)增加(II)f'(x)=ex-1-2ax由(I)知ex至1+x,當(dāng)且僅當(dāng)x=0時等號成立.故f'(x)之x-2ax=(1-2a)x,1從而當(dāng)12a之0,即a'一時，f'(x)>0(x>0),而f(0)=0,于是當(dāng)x父0時，f（x）>0.1.由e>1+x(x=0)可得e->1x(x=0).從而當(dāng)a>時,2f'(x)<ex-1+2a(e-1)=e-(ex-1)(ex-2a),故當(dāng)xe(0,ln2a)時,綜合得a的取值范圍為f'(x)&l

5、t;0,而f(0)=0,于是當(dāng)xw(0,ln2a)時，f(x)<0.1-,2原解在處理第（II）時較難想到，現(xiàn)利用洛必達(dá)法則處理如下：另解：（II）當(dāng)x=0時，f（x）=0,對任意實數(shù)a,均在f（x）占0；xe-x-1、，xxa_x_1令gx)=e2一x(x>0),則gx)=空-2exx,令h(x)=xe-2e+x+2(x>0),則XXXh(x)=xe-+1,h(x)=乂>0,知h'(x)在(0,依為增函數(shù)，h'(x)>h'(0)=0;知h(x)在(0,+產(chǎn)為增函數(shù)，h(x)>h(0)=0;.g'(x)A0,g(x)在(0,f

6、)上為增函數(shù)。xx-1由洛必達(dá)法則知，lime一2一x0x綜上，知a的取值范圍為（J|',2xelim2ylimx_0xxx_02.（2011年全國新課標(biāo)理）已知函數(shù)，曲線（I）求a、b的值；y=f（x）在點（1,f（1）處的切線方程為x+2y3=0。(n)如果當(dāng)x>0,且x#1時，f(x)+k,求k的取值范圍。x-1x：（原解：（I）f'（x）=x1.lnx)bxb2(x1)由于直線x+2y3=0的斜率為12,且過點（i,i）,故f(1)=1,b=1,亙-b2b2,lnx1(n)由(i)知f(x)=所以x1xf(x).(=-)x-1x11-x2(2lnx+3)。x(k-

7、1)(Y2-1)考慮函數(shù)h(x)=2lnx+(x>0),則h'(x)=2(k-1)(x1)2x(i)設(shè)k蕓0,由h'(x)=x22k(x1)-(x7)知，當(dāng)x"1時，h'(x)<0,h(x)遞減。而h(1)=0故當(dāng)xe(0,1)1.一時，h(x)>0,可得2h(x)>0;1-x，、-1當(dāng)xu(1,+0°)時，h(x)<0,可得h(x)>01-x2從而當(dāng)x>0,且x=1時，f(x)-(1nX+)>0,即f(x)X-1xInxk>+一.x-1x+2x+k1的圖像開口向2=4-4(k-1)>0,對

8、稱軸x=A1當(dāng)xW1-k(1,1TTk時，(k-1)(x2+1)+2x>0,故h'(x)>0,(ii)設(shè)0<k<1.由于(k1)攵+1+)x=2(k1)x21而h(1)=0,故當(dāng)x三(1,)1-k(iii)設(shè)k至1.此時x2+1>2x,=0,故當(dāng)xW11,+m)時，h(x)1.-時，h(x)>0,可得2h(x)<0,與題設(shè)矛盾。1-x而h(1)(k-1)(x2+1)+2x>0=h'(x)>0,廣、“1/>0,可得2"h(x)<0,與題設(shè)矛盾。1-x2綜合得,原解在處理第(k的取值范圍為(-00,0II)

9、時非常難想到，現(xiàn)利用洛必達(dá)法則處理如下:2xlnx另解：(II)由題設(shè)可得，當(dāng)x0,x#1時，k<十1恒成立。1 -x22 2人,、2xlnxx11nx-x1令g(x)=2-1(x0,x=1)，則gx;=221-x1-x22,.2,一一一一._1一.一1再令h(x)=(x+1)lnxx+1(x>0,x#1),貝Uh(x)=2xlnx+x,h(x)=2lnx+11,xx1.易知h"(x)=2lnx+1在(0*為增函數(shù)，且h"(1)=0；故當(dāng)xw(0,1)時，h“(x)<0,當(dāng)xxW(1,+笛)時，h”(x)A0；j.h'(x)在(0,1)上為減函數(shù)，

10、在(1,依止為增函數(shù)；故h'(x)>h'(1)=0二h(x)在(0,收U為增函數(shù)丫h1=0,當(dāng)xw(0,1)時，h(x)<0,當(dāng)xW(1,+8)時，h(x)>0，當(dāng)xw(0,1)時，g'(x)<0,當(dāng)xw(1,+8)時，g'(x)A0二g(x昨(0,1)上為減函數(shù)，在(1,收)上為增函數(shù)xlnx1+lnx11由洛必達(dá)法則知mg(x)=2lim中+1=2lim-T2r+1=2X<-2r1=0ak<0,即k的取值范圍為(-00,0規(guī)律總結(jié)：對恒成立問題中的求參數(shù)取值范圍，參數(shù)與變量分離較易理解，但有些題中的求分離出來的函數(shù)式的最值

11、有點麻煩，利用洛必達(dá)法則可以較好的處理它的最值，是一種值得借鑒的方法。從高考題看含參不等式恒成立問題的解題策略?？谝恢胁俣阎坏仁胶愠闪?，求參數(shù)的取值范圍問題是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，是函數(shù)、方程、不等式交匯處一個較為活躍的知識點。這類問題以含參不等式“恒成立”為載體，鑲嵌函數(shù)、方程、不等式等內(nèi)容，綜合性強，思想方法深刻，能力要求較高，因而成為近幾年高考試題中的熱點。為了對含參不等式恒成立問題的解題方法有較全面的認(rèn)識，本文以2010年高考試題的解法為例，對此類問題的解題策略作歸納和提煉，供大家參考。一分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值對于變量和參數(shù)可分離的不等式，可將參數(shù)分離出來，先求出含變量一

12、邊的式子的最值，再由此推出參數(shù)的取值范圍。例1(2010年全國卷1理)已知函數(shù)f(x)=(x+1)lnxx+1'一.2(I)右xf(x)<x+ax+1,求a的取值范圍(n)證明：(x-1)f(x)_0x,1.一1斛析：(I)*f(x)=+lnx-1=Inx+(x>0),xf(x)=xlnx+1,由xf(x)Wx+ax+1xx1得a之Inxx,令g(x)nx二,于是，問題化為求函數(shù)g(x)的取大值。1tg(x)=一-1,當(dāng)0cx<1x''時，g(x)>0；當(dāng)x>1時，g(x)<0。.當(dāng)x=1時，g(x)有最大值，g(x)max=g(1)

13、=-1，a之一1(n)略。評析：含參不等式分離參數(shù)后的形式因題、因分法而異，因此解決含參不等式恒成立問題需把握住下述結(jié)論：(1)f(x)<g(a)恒成立Uf(x)max<g(a);(2)f(x)Eg(a)恒成立uf(x)maX<g(a)；(3)f(x)>g(a)恒成立uf(x)min>g(a)°(4)f(x)之g(a)恒成立uf(x)min之g(a)。二分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的確界如果分離參數(shù)后相應(yīng)的函數(shù)不存在最值，為了能夠利用分離參數(shù)思想解決含參不等式恒成立問題，我們利用如下的函數(shù)確界的概念：函數(shù)y=f(x)(xwD)的上確界為minMf(x)三M,x

14、wD,記作M上；函數(shù)y=f(x)(xwD)的下確界為maxMf(x)之M,xwD,記作M下。于是，有如下結(jié)論：(1)若f(x)無最大值，而有上確界，這時要使f(x)<g(a)恒成立，只需M上<g(a)o(2)若f(x)無最小值，而有下確界M下，這時要使f(x)>g(a)恒成立，只需M下2g(a)。例2(2010年湖南卷理)已知函數(shù)f(x)=x2+bx+c,(b,cwR)對任意的xwR,恒有f(x)Wf(x)(I)證明：當(dāng)x至0時，f(x)M(x+c)2(n)若對滿足題設(shè)條件的任意b,c,不等式f(c)f(b)WM(c2b2)恒成立，求M的最小值。解析：(I)略。(n)由f&#

15、39;(x)Wf(x)即x2+(b2)x+cb20恒成立，得(b2)24(cb)W0匕2從而c_一1_24(1)當(dāng)cab時，M>f(c)-f(b)c2b.b，令t=一，則一1<t<1,cJb：M1=b,等號當(dāng)且僅當(dāng)=1,即b=±2時成立1因為函數(shù)g(t)=2-(-1<t<1)的最大值不存在，但易知其上確界為1t.OO3OO當(dāng)c=b=2時，f(c)f(b)=8或0,c2b2=0,從而f(c)-f(b)(c2b2)恒成立2一.一一3綜合(1)(2)倚M的取小值為一2例3(2010年全國卷n理)設(shè)函數(shù)f(x)=ex-1-x-ax2(i)若a=0,求f(x)的單

16、調(diào)區(qū)間。(n)若x*0時，f(x)>0,求a的取值范圍。解析：(n)由f(x)至0對所有的x至0成立，可得(1)當(dāng)x=0時，awR;_xxe_x_1.e_x_1(2)當(dāng)x>0時，a=2，設(shè)g(x)=2，問題轉(zhuǎn)化為求g(x)的最小值或下確界。xx'x2ex-2xexx22xA2xx2，2xxg(x)=4,令h(x)=xe-2xe+x+2x,因為h(x)=xe-2e+2x+2,xx>0,又h(x)的二階導(dǎo)數(shù)h"(x)=2xex+x2ex2ex+2,h(x)的三階導(dǎo)數(shù)h(x)=ex(x2+4x)a0,所以h(x)是增函數(shù)，故h(x)>h(0)=0,所以h(x

17、)增函數(shù)，故卜仁)八(0)=0,所以4*)是增函數(shù)，故h(x)>h(0)=0,從而g'(x)>0,于是g(x)在(0,收)上單調(diào)遞增，故g(x)無最小值，此時，由于g(0)無意義，但運用極限知識可得g(x)>lim+g(x)。由洛必達(dá)法則可得：期g(x)二期e+-x-1-2x故xA0時,、1一1一,、g(x)>-o因而a<-,綜合(1)(2)22知a取值范圍為_qo1L2評析：用分離參數(shù)法求解本題，最大的難點在于求分離參數(shù)后所得函數(shù)的下確界，應(yīng)用洛必達(dá)法則求螺+g(x)超出了中學(xué)所學(xué)知識范圍。顯然，這不是命題者的意圖。因此，我們應(yīng)該探求這類問題的另一種更為

18、一般地思考途徑。三從研究函數(shù)的性質(zhì)入手，轉(zhuǎn)化為討論函數(shù)的單調(diào)性和極值對于不能分離參數(shù)或分離參數(shù)后求最值或確界較困難的問題，如例3,我們可以把含參不等式整理成f(x,a)>0或f(x,a)20的形式，然后從研究函數(shù)的性質(zhì)入手，轉(zhuǎn)化為討論函數(shù)的單調(diào)性和極值。在解題過程中常常要用到如下結(jié)論：(1)如果f(x,a)有最小值g(a),則f(x,a)>0值成立yg(a)>0,f(x,a)之0恒成立ug(a)_0(2)如果f(x,a)有最大值g(a),則f(x,a)<0值成立ug(a)<0,f(x,a)<0恒成立仁g(a)<0。332例4(2010年天津文)已知函數(shù)

19、f(x)=axx+1(xWR)其中a>02(i)若a=1,求曲線y=f(x)在點(2f(2)處的切線方程，1 1(n)若在區(qū)間,一上，f(x)A0恒成立，求a的取值范圍22解析：(I)略。2 1(n).f(x)=3ax-3x,令f(x)=0,解得x=0或x=a111，1，(1)若0<aM2,則一之一，于是當(dāng)一<x<0時，f(x)>0;當(dāng)0<x<一時，f(x)<0。所以a222,一11當(dāng)x=0時，f(x)有極大值。于是xW,時，221f(-)0f(x)A0等價于2解得0<ac2.1f()0211(2)若a>2,則一<一,于是當(dāng)a2

20、1'1.<x<0時，£(*)0；當(dāng)0<*<一時，f(x)<0,2a1i<一時,21-f(x)A0。所以，當(dāng)x=0時，f(x)有最大值，當(dāng)x=時，f(x)有最小值。于1f(-)0f(x)A0等價于«21f(-)0'工5斛信<a<5或a<,因此，2:二a:二5綜合(1)(2)得例5:內(nèi)容同例解析：(I)略(n)f(x)0:a:53x=ex12ax,由方程f(x)=0不能求出極值點。顯然，用例但我們注意到f(0)=0,故問題轉(zhuǎn)化為f(x)>f(0)在x>0時恒成立，即函數(shù)數(shù)，于是可通過求導(dǎo)判斷f(x

21、)的單調(diào)性，再求出使f(x)之f(0)成立的條件。4的解法是行不通的，f(x)在10,收)為不減函由(I)有ex21+x,當(dāng)且僅當(dāng)x=0時成立，故f(x)=ex-1-2axx2ax=(12a)x,而當(dāng)一八r.1,1-2a之0,即aE時f(x)之0(x>0)2二f(x)是)上的不減函數(shù)，二f(x)之f(0)=0-5-當(dāng)a>一時，由ex1+xx#0可得e">1-x2,f'(x):二ex-12a(e-1)=e-(ex-1)(ex-2a)故當(dāng)xw(0,ln2a)時，f'(x)<0,而f(0)=0,于是當(dāng)xw(0,ln2a)時1f(x)<0綜合得a

22、<2評析：函數(shù)、不等式、導(dǎo)數(shù)既是研究的對象，又是解決問題的工具。本題抓住f(0)=0這一重要的解題信息，將問題轉(zhuǎn)化為f(x)>f(0)在x20時恒成立，通過研究函數(shù)f(x)在0,+oc)上是不減函數(shù)應(yīng)滿足的條件，進(jìn)而求出a的范圍。隱含條件f(0)=0對解題思路的獲得，起到了十分重要的導(dǎo)向作用。從以上高考題的解法可知：以函數(shù)的觀點作指導(dǎo)，用導(dǎo)數(shù)知識作工具，從研究函數(shù)的單調(diào)性、最值(極值)等問題入手，將含參不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)的性質(zhì)問題，是確定恒不等式中參數(shù)取值范圍問題的重要思考方法。對這類問題的處理，需要考生具備過硬的導(dǎo)數(shù)、不等式知識，并能靈活運用這些知識研究函數(shù)的性質(zhì)等問

23、題。在高三復(fù)習(xí)課教學(xué)中，有意識地給學(xué)生這方面的訓(xùn)練，對培養(yǎng)他們的數(shù)學(xué)綜合素質(zhì)是大有好處的。洛必達(dá)法則微分學(xué)中值定理拉格朗日中值定理如果函數(shù)J二/W在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，那末在(a,b)內(nèi)至少有一點一_的一使固即b-a成立。這個定理的特殊情形，即：二母的情形，稱為羅爾定理。羅爾定理若研X)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且G=吸),那末在(a,b)內(nèi)至少有點c,使租二°成立。下面我們在學(xué)習(xí)一條通過拉格朗日中值定理推廣得來的定理一一柯西中值定理柯西中彳1定理如果函數(shù)州),g(x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且W0,那末在(a,

24、b)內(nèi)至少有一點c,使Z-g(Gg'g)成立。在求函數(shù)的極限時，常會遇到兩個函數(shù)f(x)、F(x)都是無窮小或都是無窮大時，求它們比值的極限，此時極限lim上可能存在，也可能不存在.通常把這種極限叫做未定式，并分別簡稱為-型或交型。例F(x)0如，limsn、就是0型的未定式；而極限lim叱就是三型的未定式.我們?nèi)菀字?，對于未定式的極x0x0xJ二x限求法，是不能應(yīng)用"商的極限等于極限的商"這個法則來求解的，那么我們該如何求這類問題的極限呢？計算未定式的極限往往需要經(jīng)過適當(dāng)?shù)淖冃?，轉(zhuǎn)化成可利用極限運算法則或重要極限的形式進(jìn)行計算.這種變形沒有一般方法，需視具體問題

25、而定，屬于特定的方法.本節(jié)將用導(dǎo)數(shù)作為工具，給出計算未定式極限的一般方法，即洛必達(dá)法則.本節(jié)的幾個定理所給出的求極限的方法統(tǒng)稱為洛必達(dá)法則.0型未定式0定理1設(shè)函數(shù)f(x)、F(x)滿足下列條件：(1) limf(x)=0,limF(x)=0;xM0xx0(2) “*)與5(刈在x0的某一去心鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且F'(x)豐0;(3)limf®存在(或為無窮大),則limf里=limUxxK。F(x)這個定理說明：當(dāng)limX附F(x)x溝F(x)Ux存在時，limf3也存在且等于limf'(x);當(dāng)limf'(x)為無窮大x因F(x)x因F(x)x網(wǎng)f(x)時，li

26、m上儂也是無窮大.x0F(x)洛必達(dá)這種在一定條件下通過分子分母分別求導(dǎo)再求極限來確定未定式的極限值的方法稱為(LHospital)法則.例1計算極限四解該極限屬于“xe-1x0”型不定式，于是由洛必達(dá)法則，得0xe-1例2計算極限必xsinaxx.e.=lim=1x01解該極限屬于“0”型不定式，于是由洛必達(dá)法則，得0sinaxacosaxalim=lim=.x0sinbxx0bcosbxb注若f(x),g(x)仍滿足定理的條件，則可以繼續(xù)應(yīng)用洛必達(dá)法則，即f(x)f(x)f(x)一lim=lim=lim=111.xag(x)xag(x)xag(x)3例3計算極限lim3x-122x16.x2x3-2x2-4x8解由洛必達(dá)法則，得32x3-12x163x2-126xlim-2二lim-2二limx2x3-2x2-4x8x23x2-4x-4x26x-4ji-arctanx例4計算極限lim2.arctanxlim-二limx-J-11X.二x11x21xx2=1二、型未定式Q0定理2(1)設(shè)函數(shù)f(x)、F(x)滿足下列條件：limf(x)=0&#