循環(huán)比賽名次R

1、實驗課名稱：數(shù)學(xué)模型指導(dǎo)教師：朱學(xué)生姓名：年級專業(yè)：應(yīng)用統(tǒng)計學(xué)學(xué)號：2實驗名稱：循環(huán)比賽的名次實驗日期：年10月9日實驗成績：實驗?zāi)康?,熟悉圖論模型的建模方法。2,熟悉掌握用matlab處理圖論模型中的相關(guān)計算。一.問題重述若干支足球隊參加單循環(huán)比賽，各隊兩兩交鋒，假設(shè)每場比賽只計勝負，不計比分，且不允許平局。在循環(huán)賽結(jié)束后怎樣根據(jù)他們的比賽結(jié)果排列名次呢。我們的目標就是針對這種不規(guī)則的比賽數(shù)據(jù)提出一種算法，盡可能合理地反映各隊真實水平。二.問題分析實有六支球隊進行比賽，其中1隊戰(zhàn)勝2,3,4,5,6隊，而驗輸給了3隊；5隊戰(zhàn)勝3,6隊，而輸給1,2,4隊。內(nèi)現(xiàn)用圖的頂點表示球隊，而用連接兩

2、個頂點的，以箭頭標明容方向的邊表示兩支球隊的比賽結(jié)果。根據(jù)比賽結(jié)果排名次的一個辦法是在圖中順箭頭方向?qū)ふ乙粭l通過全部6個頂點的路徑，如3T*24-5*6一一這表示3隊勝1隊，1隊勝2隊，于是3隊為冠軍，1隊為亞軍等等。但是還可以找出其他路徑，如1463-2ff5,決定誰是冠軍。排名次的另一個辦法是計算得分，即每支球隊獲勝的場次。上例中1隊勝4場，2,3隊各勝3場，4,5隊各勝2場，6隊勝1場。由此雖可決定1隊為冠軍，但2,3隊之間與4,5隊之間無法決出高低。1 .比賽是確定型的，或者每個隊方差均為0,抽樣結(jié)果就是均值;2 .比賽的結(jié)果是可以精確反映相對實力的，沒有誤差；3 .比賽的場次是完全的

3、，任意兩個隊之間都有比賽成績。四.符號說明R第i支球隊勝第j支球隊的概率A鄰接矩陣aj表示第i支球隊與第j支球隊的能力S頂點的得分n表示n支球隊五.模型建立和解決設(shè)n支球隊或隊員比賽，第i支球隊與第j支球隊由比賽表現(xiàn)的能力為：aj=pijaji=1-pij(i=1,2,-nj=1,2,-n)其中pj表示第i支球隊勝第j支球隊的概率。且設(shè)aij=0,則第i支球隊勝其余n-1支球隊的能力表示為:Si=Zaij(i=1,2,3-n)ji則各球隊的排名根據(jù)Sij的大小進行。，存在從頂點到的有向邊（1）,否則D對于開始提出的6支球隊循環(huán)比賽的結(jié)果，不難看出這個競賽圖是雙向連通的。寫出其鄰接矩陣01i00

4、i0若記頂點的得分向量為s=（，其中是頂點i的得分,0101110011110100000110100101000則由（1）不難知道S=A1,1=(1,1,/,(3)由(2),(3)式容易算出s=(4,3,3,2,2,1記s=,稱為一級得分向量，進一步計算,=A（4）稱為2級得分向量，每支球隊（頂點）的2級得分是他戰(zhàn)勝的各個球隊的（1級）得分之和，與1級得分相比，2級得分更有理由作為排名次的依據(jù)。繼續(xù)這個程序，得到k級得分向量。=A=1,k=1,2,二（4,3,3,2,2,1,一一、=（15,10,16,7,12,9,=（38,28,32,21,25,16K越大，用作為排名次的依據(jù)越合理，如果

5、k時，收斂于某個極限得分向量，那么就可以用這個向量作為排名次的依據(jù)。再利用Perron-Frobenius定理，素陣A的最大特征根為正單根，對應(yīng)正特征向量s,且有一二s(6)進一步算出A的最大特征值根=2.232和特征向量s=(0.238,0,164,0,231,0,113,0,150,0.104,從而排出名次為六、模型優(yōu)缺點以及改進優(yōu)點：該方案簡單易行，原理清晰，依據(jù)可靠,論證有力，結(jié)論最優(yōu)。并將現(xiàn)實中的問題用簡單的線性規(guī)劃問題進行分析計算，結(jié)構(gòu)簡單，計算方便。缺點：該模型在處理此問題時有假設(shè)與理想化的思想，與實際問題的求解還有一定的距離。心得體會通過此次建模，令我們有了一次正式的親自動手的機會。有利于激發(fā)我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，豐富我們數(shù)學(xué)探索的情感體驗；有利于我們自覺檢驗，鞏固所學(xué)的數(shù)學(xué)知識，促進對所學(xué)知識的吸收。本次實驗讓我們收獲頗豐。，也使我們深刻認識到我們還存