矩陣論-第三講

1、第三講第三講線性變換及其矩陣表示不變子空間一、線性變換的定義和基本性質(zhì)一、線性變換的定義和基本性質(zhì)定義：一個(gè)集合到它自身的映射，稱為該集合的一個(gè)變換。定義：設(shè)V是數(shù)域F上的線性空間，T是V的一個(gè)變換，如果滿足條件：)()( , )2()()()( , ) 1 (kTkTFkVTTTV則稱T是V上的線性變換。線性變換與同構(gòu)映射的異同.)( )4(.)( , ) 3().()( ,- )2(. 0)( 1IVIFkkVTTVToVo，定義為：恒等變換（單位變換），定義為：數(shù)乘變換），定義為：負(fù)變換，定義為：，零變換）（幾個(gè)特殊的線性變換：. )4(0)(0 )()( ) 3().()( )2(.

2、0)0( 11111組量組變成線性相關(guān)向量線性變換將線性相關(guān)向性組合關(guān)系不變線性變換保持向量的線）（線性變換的基本性質(zhì)：imiimiiiimiimiiiTTTTTTkkkk二、線性變換的運(yùn)算二、線性變換的運(yùn)算).( ).()( , )( ).( ).()()( ).()( ).()()( , )( .)( 2121212121212121VLTTTTTTVVLTTVLkTTkkTVFkVLTVLTTTTTTVVLTTVVL（，線性變換的乘積：），（，數(shù)量乘法：（，線性變換的和：上所有線性變換的集合為線性空間定理:L(V)對(duì)于上述定義的加法和數(shù)量乘法構(gòu)成數(shù)域F上的線性空間.).( . )( )(

3、11VLTSTISTTSVLSVLTTT的逆變換，記為稱為是可逆的，則稱，使得如果存在，定義：設(shè)三、線性變換的矩陣三、線性變換的矩陣. 21212121下的矩陣，在基稱為線性變換矩陣），（），（，使得的一組基，存在矩陣是，的一個(gè)線性變換，是維線性空間，上的是數(shù)域設(shè)nnnnTAATTTAVVTnFV. 1212121212121換在不同基下的矩陣矩陣可看作同一線性變反之，相似基下的矩陣是相似的；定理：線性變換在不同，則的過渡矩陣為，到，從，和下的矩陣分別為，和，在基的兩組基，線性變換是，和，的一個(gè)線性變換，是維線性空間，上的是數(shù)域設(shè)基ACBCBATVVTnFVCnnnnnn四、線性變換的值域與核四、線性變換的值域與核0|ker )(|Im )(TVTTTVLTVTTVTTTVLT的核，集合稱為映射成零向量的向量的所有被，定義：設(shè)的值域，的全體象的集合稱為，定義：設(shè)).rank(Im dim 2Im 1 )(.dimker dimIm dim )(2121ATTTTLTTAVVLTVTTVLTnn）（）；，（）（在這組基下的矩陣，則是的一組基，是，定理：設(shè)則，定理：設(shè)的基和維數(shù)。和求在這組基下的矩陣線性變換維線性空間的一組基，是，設(shè)例KerIm 2111-10121 3 321五、不變子空間五、不變子空間?. )(數(shù)乘變換的不變子