53實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化ppt課件

1、4251 10011 0010 1010 1101 0001 0100 1011一、內(nèi)積的定義及性質(zhì)一、內(nèi)積的定義及性質(zhì)二、向量的長(zhǎng)度及性質(zhì)二、向量的長(zhǎng)度及性質(zhì)三、正交向量組的概念及求法三、正交向量組的概念及求法四、正交矩陣四、正交矩陣五、對(duì)稱矩陣的性質(zhì)五、對(duì)稱矩陣的性質(zhì)六、利用正交矩陣將對(duì)稱矩陣對(duì)角化的方法六、利用正交矩陣將對(duì)稱矩陣對(duì)角化的方法七、小結(jié)七、小結(jié)定義定義1 1維向量維向量設(shè)有設(shè)有n,2121 nnyyyyxxxx nnyxyxyxyx 2211,令令 . ,的的與與為為向向量量稱稱yxyx內(nèi)積內(nèi)積一、內(nèi)積的定義及性質(zhì)一、內(nèi)積的定義及性質(zhì)闡明闡明1 維向量的內(nèi)積是維向量的內(nèi)積是3

2、維向量數(shù)量積維向量數(shù)量積的推廣，但是沒有的推廣，但是沒有3維向量直觀的幾何意義維向量直觀的幾何意義 4 nn ., :, 2 yxyxyxT 為為內(nèi)積可用矩陣記號(hào)表示內(nèi)積可用矩陣記號(hào)表示向量向量都是列都是列如果如果內(nèi)積是向量的一種運(yùn)算內(nèi)積是向量的一種運(yùn)算內(nèi)積的運(yùn)算性質(zhì)內(nèi)積的運(yùn)算性質(zhì) :,為為實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)維維向向量量為為其其中中 nzyx ;,)1(xyyx ;,)2(yxyx ;,)3(zyzxzyx . 0,0, 0,)4( xxxxx時(shí)時(shí)有有且且當(dāng)當(dāng)定義定義2 2 非非負(fù)負(fù)性性. 1齊齊次次性性. 2三角不等式三角不等式. 3 ,22221nxxxxxx 令令 . 或或的的維維向向量量為為稱稱

3、xnx長(zhǎng)度長(zhǎng)度范數(shù)范數(shù)向量的長(zhǎng)度具有下述性質(zhì)：向量的長(zhǎng)度具有下述性質(zhì)：; 0,0; 0,0 xxxx時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng);xx .yxyx 二、向量的長(zhǎng)度及性質(zhì)二、向量的長(zhǎng)度及性質(zhì)單單位位向向量量：1, .xx 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí) 稱稱為為單位向量單位向量 正交的概念正交的概念 正交向量組的概念正交向量組的概念. ,0,yxyx與與稱向量稱向量時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) 正交正交., 0,與與任任何何向向量量都都正正交交則則若若由由定定義義知知 xx 若一非零向量組中的向量?jī)蓛烧?，則稱該向若一非零向量組中的向量?jī)蓛烧唬瑒t稱該向量組為正交向量組量組為正交向量組三、正交向量組的概念及求法三、正交向量組的概念及求法, 0021

4、111 T由由.01 從從而而有有. 02 r 同同理理可可得得.,21線線性性無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)故故r 使使設(shè)有設(shè)有r ,21證明證明02211 r 得得左左乘乘上上式式兩兩端端以以,1aT0111 T 正交向量組的性質(zhì)正交向量組的性質(zhì)線線性性無(wú)無(wú)關(guān)關(guān). ., , , ,則則非非零零向向量量, ,是是一一組組兩兩兩兩正正交交的的, , , ,維維向向量量若若定定理理rrn 2121 1nnRnR定定義義3 3 歐歐幾幾里里得得空空定定義義了了內(nèi)內(nèi)積積的的實(shí)實(shí)向向量量空空間間稱稱為為 維維( (E Eu uc cl li id de ea an n s sp pa ac ce e) )，在在間間中中，規(guī)

5、規(guī)( (范范1 1) )正正交交由由單單位位向向組組 量量構(gòu)構(gòu)成成的的正正交交組組叫叫做做( (或或標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)正正交交組組) )；4 4 規(guī)范正交基規(guī)范正交基12,0,(,)1,nnijijnRijij (2)(2)稱稱含含有有 個(gè)個(gè)向向量量的的規(guī)規(guī)范范正正交交組組(II)(II) 為為的的一一個(gè)個(gè)( (或或規(guī)規(guī)范范正正交交基基標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)正正交交) )，即即 (II) (II)基基滿滿足足. . L L.212100,212100,002121,0021214321 eeee例如例如 . 4 , 3 , 2 , 1, 1,. 4 , 3 , 2 , 1, 0,jijieejijieejiji且且且

6、且由由于于.,44321的的一一個(gè)個(gè)規(guī)規(guī)范范正正交交基基為為所所以以Reeee.1000,0100,0010,00014321 同理可知同理可知.4的一個(gè)規(guī)范正交基的一個(gè)規(guī)范正交基也為也為R（1正交化，取正交化，取 ，11ab ,1112122bbbabab 12,ra aaV若若為為向向量量空空間間 的的一一個(gè)個(gè)極極大大無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)組組L L5 5 求規(guī)范正交基的方法求規(guī)范正交基的方法1212121212 ,.rrrrrVVe eee ee 設(shè)設(shè)是是向向量量空空間間 的的一一個(gè)個(gè)極極大大無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)組組 要要求求 的的一一個(gè)個(gè)規(guī)規(guī)范范正正交交基基 就就是是要要找找一一組組兩兩兩兩正正交交的的單單位位

7、向向量量使使與與等等價(jià)價(jià) 這這樣樣一一個(gè)個(gè)問問題題 稱稱為為把把這這個(gè)個(gè)極極大大無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)組組規(guī)規(guī)范范正正交交化化L LL LL LL LL L111122221111, rrrrrrrrrbbbabbbbabbbbabab.,111等等價(jià)價(jià)與與且且兩兩兩兩正正交交那那么么rrraabbbb（2單位化，取單位化，取,222111rrrbbebbebbe .,21的的一一個(gè)個(gè)規(guī)規(guī)范范正正交交基基為為那那么么Veeer222321113133,bbbabbbbabab 例例1 用施密特正交化方法，將向量組用施密特正交化方法，將向量組)1, 1 , 5 , 3(),4 , 0 , 1, 1(),1 ,

8、 1 , 1 , 1(321 aaa正交規(guī)范化正交規(guī)范化.解解 先正交化，先正交化， 1 , 1 , 1 , 111 ab 1112122,bbbabab 1 , 1 , 1 , 111114114 , 0 , 1, 1 3 , 1, 2, 0 取取.,11 稱稱為為的的過過程程向向量量組組構(gòu)構(gòu)造造出出正正交交上上述述由由線線性性無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)向向量量組組rrbbaa施密特正交化過程施密特正交化過程222321113133,bbbabbbbabab 3 , 1, 2, 014141 , 1 , 1 , 1481, 1 , 5 , 3 0 , 2, 1 , 1 再單位化，再單位化， 143,141,1

9、42, 03 , 1, 2, 0141222bbe 0 ,62,61,610 , 2, 1 , 161333bbe得規(guī)范正交向量組如下得規(guī)范正交向量組如下 21,21,21,211 , 1 , 1 , 121111bbe.,111 321321兩兩正交兩兩正交使使求一組非零向量求一組非零向量已知已知aaaaaa 例例2解解.110,10121 它的基礎(chǔ)解系為它的基礎(chǔ)解系為. 0, 0,321132 xxxxaaaT 即即應(yīng)滿足方程應(yīng)滿足方程把基礎(chǔ)解系正交化，即合所求亦即取把基礎(chǔ)解系正交化，即合所求亦即取,12 a.,1112123 a于于是是得得其其中中, 2, , 1,1121 ,1012

10、a.12121101211103 a 為正交矩陣的充要條件是為正交矩陣的充要條件是 的列向量和的列向量和行向量都是標(biāo)準(zhǔn)規(guī)范正交基行向量都是標(biāo)準(zhǔn)規(guī)范正交基AA證明證明TAEA E 定義定義4 4 . , 1正正交交矩矩陣陣為為稱稱則則即即滿滿足足階階方方陣陣若若AAAEAAAnTT 定理定理2 2112111112112222212221212nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaa 四、正交矩陣四、正交矩陣 1212,TTnTnE 121111222212TTTnTTTnTTTnnnnE 1,;,1,2,0,Tijijiji jnij 當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)又又由由定定義義知知正正交交正

11、正交交TAA的的列列向向量量組組是是標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)正正交交基基, ,TA的的行行向向量量組組是是標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)正正交交基基. .A12,n 是是標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)正正交交基基，定理定理3 3對(duì)稱矩陣的特征值為實(shí)數(shù)對(duì)稱矩陣的特征值為實(shí)數(shù). .證明證明, 對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)的的特特征征向向量量為為復(fù)復(fù)向向量量的的特特征征值值為為對(duì)對(duì)稱稱矩矩陣陣設(shè)設(shè)復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)xA . 0, xxAx 即即, 的的表表示示用用 共共軛軛復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)xAxA 則則 .xxAx 五、對(duì)稱矩陣的性質(zhì)五、對(duì)稱矩陣的性質(zhì)闡明：以下所提到的對(duì)稱矩陣，除非特別說(shuō)闡明：以下所提到的對(duì)稱矩陣，除非特別說(shuō)明，均指實(shí)對(duì)稱矩陣明，均指實(shí)對(duì)稱矩陣, 的的表表示示xx共共軛軛復(fù)復(fù)向

12、向量量于是有于是有AxxTAxxT 及及 AxxT xxT ,xxT xAxTT xxAT xxT .xxT 兩式相減，得兩式相減，得 . 0 xxT , 0 x但因?yàn)榈驗(yàn)?, 0 , 即即.是實(shí)數(shù)是實(shí)數(shù)由此可得由此可得 , 0 121 niiniiiTxxxxx所所以以定理定理3 3的意義的意義 , ()0,0,.iiiAAE xAE 由由于于對(duì)對(duì)稱稱矩矩陣陣 的的特特征征值值為為實(shí)實(shí)數(shù)數(shù) 所所以以齊齊次次線線性性方方程程組組是是實(shí)實(shí)系系數(shù)數(shù)方方程程組組 由由知知必必有有實(shí)實(shí)的的基基礎(chǔ)礎(chǔ)解解系系 從從而而可可以以對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)的的特特向向量量取取征征實(shí)實(shí)向向量量12121212 ,.Apppp

13、定定理理4 4設(shè)設(shè)是是對(duì)對(duì)稱稱矩矩陣陣的的兩兩個(gè)個(gè)特特征征值值是是對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)的的特特征征向向量量 若若則則 與與 正正交交證明證明,21222111 AppApp,AAAT 對(duì)對(duì)稱稱 TTTAppp11111 ,11ApApTTT 于是于是 22121211ppAppppTTT ,212ppT . 0 2121 ppT ,21 .21正交正交與與即即pp. 021 ppT , , (), .AnArAER AEnrr 設(shè)設(shè)為為 階階是是 的的特特征征多多項(xiàng)項(xiàng)式式的的 重重根根 則則矩矩陣陣的的秩秩從從而而對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)特特征征值值恰恰有有個(gè)個(gè)線線性性無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)的的對(duì)對(duì)稱稱矩矩定定理理5 5特特征征向向量

14、量陣陣1 , .AnPPAPAn 設(shè)設(shè) 為為 階階對(duì)對(duì)稱稱矩矩陣陣 則則必必有有正正交交矩矩陣陣使使其其中中是是以以 的的個(gè)個(gè)特特征征值值為為對(duì)對(duì)角角元元素素的的定定6 6對(duì)對(duì)角角矩矩陣陣?yán)砝碜C明證明,21s 它們的重?cái)?shù)依次為它們的重?cái)?shù)依次為srrr,21).(21nrrrs 根據(jù)定理根據(jù)定理3對(duì)稱矩陣的特征值為實(shí)數(shù)和定對(duì)稱矩陣的特征值為實(shí)數(shù)和定理理5( 如上如上)可得：可得：設(shè)設(shè) 的互不相等的特征值為的互不相等的特征值為A,21知知由由nrrrs 由定理由定理4知對(duì)應(yīng)于不同特征值的特征向量正交，知對(duì)應(yīng)于不同特征值的特征向量正交， (1,2, ), ,.isriiri 對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)特特征征值值恰恰

15、有有個(gè)個(gè)線線性性無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)的的把把它它們們即即得得個(gè)個(gè)實(shí)實(shí)特特征征向向量量正正交交單單位位正正交交的的特特化化單單位位化化征征向向量量并并 PPAPP11.,11個(gè)特征值個(gè)特征值的的是是恰恰個(gè)個(gè)個(gè)個(gè)的對(duì)角元素含的對(duì)角元素含其中對(duì)角矩陣其中對(duì)角矩陣nArrss 這樣的特征向量共可得這樣的特征向量共可得 個(gè)個(gè).n故這故這 個(gè)單位特征向量?jī)蓛烧粋€(gè)單位特征向量?jī)蓛烧?n以它們?yōu)榱邢蛄繕?gòu)成正交矩陣以它們?yōu)榱邢蛄繕?gòu)成正交矩陣 ，那么，那么P根據(jù)上述結(jié)論，利用正交矩陣將對(duì)稱矩陣化根據(jù)上述結(jié)論，利用正交矩陣將對(duì)稱矩陣化為對(duì)角矩陣，其具體步驟為：為對(duì)角矩陣，其具體步驟為：六、利用正交矩陣將對(duì)稱矩陣六、利用正交

16、矩陣將對(duì)稱矩陣 對(duì)角化的方法對(duì)角化的方法將特征向量正交化將特征向量正交化;3.將特征向量單位化將特征向量單位化.4.2. ;, 0的的特特征征向向量量求求出出由由AxEAi 1.;的特征值的特征值求求A解解 20212022EA 214 0 . 2, 1, 4321 得得220212 ,020A 例例3 3 對(duì)下列實(shí)對(duì)稱矩陣，分別求出正交矩陣對(duì)下列實(shí)對(duì)稱矩陣，分別求出正交矩陣 ，使使 為對(duì)角陣為對(duì)角陣. .APP1 P第一步第一步 求求 的特征值的特征值A(chǔ) 的的特特征征向向量量求求出出由由第第二二步步AxEAi, 0 得得由由對(duì)對(duì), 04, 41 xEA 04202320223232121xx

17、xxxxx解之得基礎(chǔ)解系解之得基礎(chǔ)解系 .1221 得得由由對(duì)對(duì), 0, 12 xEA 0202202323121xxxxxx解之得基礎(chǔ)解系解之得基礎(chǔ)解系.2122 得得由由對(duì)對(duì), 02, 23 xEA 02202320243232121xxxxxxx解之得基礎(chǔ)解系解之得基礎(chǔ)解系.2213 第三步第三步 將特征向量正交化將特征向量正交化.,3, 321321故故它它們們必必兩兩兩兩正正交交的的特特征征向向量量個(gè)個(gè)不不同同特特征征值值的的是是屬屬于于由由于于 A第四步第四步 將特征向量單位化將特征向量單位化. 3 , 2 , 1, iiii 令令,3132321 得得,3231322 .3232313 ,22121212231,321 P作作.200010004 1 APP則則1 1將一組極大無(wú)關(guān)組規(guī)范正交化的方法：將一組極大無(wú)關(guān)組規(guī)范正交化的方法： 先用施密特正交化方法將極大無(wú)關(guān)組正交化，先用施密特正交化方法將極大無(wú)關(guān)組正交化，然后再將其單位化然后再將其單位化 ;11TAA ;2EAAT ;3單單位位向向量量的的列列向向量量是是兩兩兩兩正正交交的的A .4單單位位向向量量的的行行向向量量是是兩兩兩兩正正交交的的A七、小結(jié)七、小結(jié)2 2 為正交矩陣的充要條件是下列條件之一成立：為正交矩陣的充要條件是下列條件之一成立：A3.對(duì)稱矩陣的性質(zhì)：對(duì)稱矩陣的性質(zhì)： (1) (1)特