立體幾何中的向量方法

1、立體幾何中的向量方法1直線的方向向量與平面的法向量的確定(1) 直線的方向向量：I是空間一直線，A, B是直線I上任意兩點(diǎn)，則稱AB為直線I的方向向量，與AB平行的任意非零向量也是直線I的方向向量.(2) 平面的法向量可利用方程組求出：設(shè)a, b是平面a內(nèi)兩不共線向量，n為平面a的法n a= 0,向量，則求法向量的方程組為n - b= 0.2用向量證明空間中的平行關(guān)系(1) 設(shè)直線li和I2的方向向量分別為 V i和V 2,則Il 12(或Il與l2重合)? V 1±V 2? V1=入V 2(2) 設(shè)直線I的方向向量為V，與平面a共面的兩個(gè)不共線向量V 1和V 2,則I / a或I?

2、 a ?存在兩個(gè)實(shí)數(shù)x, y,使v = xv 1 + y v 2.設(shè)直線I的方向向量為 V ,平面a的法向量為U,則I / a或I? a ? V丄U? U v = 0.設(shè)平面a和B的法向量分別為 U1, u2,貝V a / B ? U1 / U? U1 =入u2.3用向量證明空間中的垂直關(guān)系(1)設(shè)直線I 1和I2的方向向量分別為 V 1和V 2,貝V丨1丄I2? V1丄V 2? V 1 V 2= 0.設(shè)直線I的方向向量為 V，平面a的法向量為U,則I丄a ? V / U? V=入U(xiǎn).設(shè)平面a和B的法向量分別為 U1和U2,則a丄B ?巴1丄Ug? U1 比=0.4.空間向量與空間角的關(guān)系(1

3、) 設(shè)異面直線11, 12的方向向量分別為 m1, m2,則I1與I2所成的角0滿足cos 0 = _|cosjm1_m 2Jmi, m2| =-2|m1| |m2|(2) 設(shè)直線I的方向向量和平面a的法向量分別為 m, n,則直線I與平面a所成角0滿足Im n Isin 0 = |cosm, n= |m| |n(3) 求二面角的大小(i )如圖，AB, CD是二面角a - I - 3的兩個(gè)面內(nèi)與棱I垂直的直線，則二面角的大小(ii )如圖，n1, n2分別是二面角a - I - 3的兩個(gè)半平面 a , 3的法向量，則二面角的大小0滿足|cos 0 |= |cosnn2|,二面角的平面角大小是

4、向量叫與n2的夾角(或其補(bǔ)角).5 點(diǎn)面距的求法|AB n|如圖，設(shè)ab為平面a的一條斜線段，n為平面a的法向量，則b到平面a的距離d=Anr1規(guī)律方法：i利用空間向量證明平行問題(1) 恰當(dāng)建立坐標(biāo)系，準(zhǔn)確表示各點(diǎn)與相關(guān)向量的坐標(biāo)，是運(yùn)用向量法證明平行和垂直的 關(guān)鍵。(2) 證明直線與平面平行，只需證明直線的方向向量與平面的法向量的數(shù)量積為零，或證直線的方向向量與平面內(nèi)的不共線的兩個(gè)向量共面，或證直線的方向向量與平面內(nèi)某直線的方向向量平行，然后說明直線在平面外即可，這樣就把幾何問題轉(zhuǎn)化為向量運(yùn)算。2利用空間向量證明垂直問題(1) 利用已知的線面垂直的關(guān)系構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，準(zhǔn)確寫出相關(guān)點(diǎn)的坐

5、標(biāo)，從而將幾何問題轉(zhuǎn)化為向量運(yùn)算，其中靈活建系是解題的關(guān)鍵。(2) 其一證明線線垂直，只需要證明兩條直線的方向向量垂直；其二證明線面垂直，只需證明直線的方向向量與平面內(nèi)不共線的兩個(gè)向量垂直即可.當(dāng)然也可證直線的方向向量與平面法向量平行.其三證明面面垂直： 證明兩平面的法向量互相垂直；利用面面垂直的判定定理，只要能證明一個(gè)平面內(nèi)的一條直線的方向向量為另一個(gè)平面的法向量即可.3利用空間向量解決探索性問題對于“是否存在”型問題的探索方式有兩種：(1) 根據(jù)題目的已知條件進(jìn)行綜合分析和觀察猜想，找出點(diǎn)或線的位置，然后再加以證明，得出結(jié)論；(2) 假設(shè)所求的點(diǎn)或線存在，并設(shè)定參數(shù)表達(dá)已知條件，根據(jù)題目進(jìn)

6、行求解，若能求出參數(shù)的值且符合已知限定的范圍，則存在這樣的點(diǎn)或線， 否則不存在.本題是設(shè)出點(diǎn)G的坐標(biāo)，借助向量運(yùn)算，判定關(guān)于 P點(diǎn)的方程是否有解.4求異面直線所成的角可從兩個(gè)不同角度求異面直線所成的角，一是幾何法：作一證一算；二是向量法： 把角的求解轉(zhuǎn)化為向量運(yùn)算，應(yīng)注意體會(huì)兩種方法的特點(diǎn)，“轉(zhuǎn)化”是求異面直線所成角的關(guān)鍵, 般地，異面直線 AC, BD的夾角3的余弦值為cos 3 = AC :D|.|AC|BD|5利用空間向量求直線與平面所成的角（1）分別求出斜線和它所在平面內(nèi)的射影直線的方向向量，轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)方向向量的夾角（或其補(bǔ)角）；（2）通過平面的法向量來求，即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角， 取其余角就是斜線和平面