拋物線及其性質(zhì)知識點大全新

1、精品文檔-可編輯拋物線及其性質(zhì)2.拋物線四種標(biāo)準(zhǔn)方程的幾何性質(zhì):圖形7參數(shù)p幾何意義參數(shù)p表示焦點到準(zhǔn)線的距離，p越大，開口越闊.開口方向右左上下標(biāo)準(zhǔn)方程2一，一、y2px(p0)y22px(p0)2一，一、X2py(p0)2一，一、X2py(p0)焦點位置X正X負(fù)丫正Y負(fù)焦點坐標(biāo)(*0)2(上0)2(0號2(0,衛(wèi))2準(zhǔn)線方程xE2px2py2py彩范圍x0,yRx0,yRy0,xRy0,xR對稱軸X軸X軸Y軸Y軸頂點坐標(biāo)(0,0)離心率e1通徑2p焦半徑A(x,y)AFx(2AFx2AFy，與AFy11焦點弦長AB|(xix2)p(Xix2)p(y1y2)p(y1V2)p焦點弦長AB的補充

2、A(Xi，yi)B(X2,y2)以AB為直徑的圓必與準(zhǔn)線l相切若AB的傾斜角為，1ABi烏-sin2若AB的傾斜角為，則AB2P2cos2p2XiX2y1y2p411AFBFAB2AFBFAF?BFAF?BFp3 .拋物線y22px(p0)的幾何性質(zhì)：(1)范圍：因為p>0,由方程可知x>0,所以拋物線在y軸的右側(cè)，當(dāng)x的值增大時，|y|也增大，說明拋物線向右上方和右下方無限延伸.放棄很簡單，但你堅持到底的樣子一定很酷！1精品文檔-可編輯(2)對稱性：對稱軸要看一次項，符號決定開口方向.(3)頂點(0,0),離心率：e1,焦點F(旦0),準(zhǔn)線x衛(wèi)，焦準(zhǔn)距p.22(4)焦點弦：拋物線

3、y22px(p0)的焦點弦AB,A(xy),B®,y?),則|AB|x1x2p.弦長|AB|=xi+x2+p,當(dāng)xi=x2時，通徑最短為2p。4 .焦點弦的相關(guān)性質(zhì)：焦點弦AB,A(xi，yi),BMr),焦點F(E,0)2(1)若AB是拋物線y22Pxp0)的焦點弦(過焦點的弦)，且A(x),yi),B(x2,yz),則：2p-2xx2一,yy2p。4(2)若AB是拋物線y22Pxp0)的焦點弦，且直線AB的傾斜角為a,則AB2Psin2(a*0)0(3)已知直線AB是過拋物線y22px(p0)焦點F11AFBFAB2,AFBFAF?BFAF?BFp(4)焦點弦中通徑最短長為2p。

4、通徑：過焦點垂直于焦點所在的軸的焦點弦叫做通徑.(5)兩個相切：以拋物線焦點弦為直徑的圓與準(zhǔn)線相切.過拋物線焦點弦的兩端點向準(zhǔn)線作垂線，以兩垂足為直徑端點的圓與焦點弦相切。5 .弦長公式：A(x1,y1),B(x2,y2)是拋物線上兩點，則6 .直線與拋物線的位置關(guān)系直線/:“依+5,拋物線?！叭?四，y二玄+8 L,消y得：1八乂她一加(1)當(dāng)k=0時，直線I與拋物線的對稱軸平行，有一個交點；(2)當(dāng)k才0時， >0,直線I與拋物線相交，兩個不同交點；放棄很簡單，但你堅持到底的樣子一定很酷!精品文檔-可編輯 =0,直線l與拋物線相切，一個切點; V0,直線l與拋物線相離，無公共點。(3

5、)若直線與拋物線只有一個公共點，則直線與拋物線必相切嗎？(不一定)7.關(guān)于直線與拋物線的位置關(guān)系問題常用處理方法直線l：ykxb拋物線=2尹，(p0)聯(lián)立方程法：設(shè)交點坐標(biāo)為A(xi,yi),B(x2,y2),則有0,以及x1x2,xx2,還可進(jìn)一步求出22y1y2kx1bkx2bk(x1x2)2b,y1y2(kx1b)(kx2b)kx1x2kb(x1x2)b在涉及弦長，中點，對稱，面積等問題時，常用此法，比如a.相交弦AB的弦長或abJiJ|yiy2.1±J(yiy2)24yiy2Ji卜2百b.中點M(x0,y°),x0J2,y0正當(dāng)22點差法：設(shè)交點坐標(biāo)為A(x1，y1

6、)，B(x2,y2),代入拋物線方程，得將兩式相減，可得a.在涉及斜率問題時，kAB-yiy2b.在涉及中點軌跡問題時，設(shè)線段AB的中點為M(x0,y0),%丫22P2Ppxix2yiy22y°v。放棄很簡單，但你堅持到底的樣子一定很酷!精品文檔-可編輯同理，對于拋物線x22py(p0),若直線l與拋物線相交于A、B兩點，點M(X0,y°)是弦AB的中點，則有kABXiX22x0X02p2pp(注重能用這個公式的條件：1)直線與拋物線有兩個不同的交點，2)直線的斜率存在，且不等于零)【經(jīng)典例題】(1)拋物線一一二次曲線的和諧線橢圓與雙曲線都有兩種定義方法，可拋物線只有一種：

7、到一個定點和一條定直線的距離相等的所有點的集合.其離心率e=1,這使它既與橢圓、雙曲線相依相伴，又鼎立在圓錐曲線之中.由于這個美好的1,既使它享盡和諧之美，又生出多少華麗的篇章.【例1】P為拋物線y22Px上任一點，F(xiàn)為焦點，則以PF為直徑的圓與y軸()A.相交確定B.相切C.相離D.位置由P【解析】如圖，拋物線的焦點為F衛(wèi),0，準(zhǔn)2l:x：.作PH,l于H,交y軸于Q那么PFPH:且QH|OF|:作MN,y軸于N則MN是梯形PQOF的，、八1中位線，MNOFPQ2放棄很簡單，但你堅持到底的樣子一定很酷!1一PH1PF.故以2精品文檔-可編輯PF為直徑的圓與y軸相切，選B.【評注】相似的問題對

8、于橢圓和雙曲線來說，其結(jié)論則分別是相離或相交的.（2）焦點弦?？汲Ｐ碌牧咙c弦有關(guān)拋物線的試題，許多都與它的焦點弦有關(guān).理解并掌握這個焦點弦的性質(zhì),對破解這些試題是大有幫助的.【例2】過拋物線yk2xP2Px.化簡得：k2x22Pxp0的焦點F作直線交拋物線于Ax,%,Bx2,y2兩點，求證:(1) ABX1X2P(2)1AF1BF【證明】（1）如圖設(shè)拋物線的準(zhǔn)線為1,作AA1A,BBi1于Bi,則AFAAiBFBB1X2會兩式相加即得:(2)當(dāng)AB±x軸時,AFBFP,1AF1BF2成立;p當(dāng)AB與x軸不垂直時，設(shè)焦點弦AB的方程為:.代入拋物線方程:k22x2匕k24二方程（1）之

9、二根為Xi,X2,k2X27X1X2XiX2PP2p.42X1X2X1X2P放棄很簡單，但你堅持到底的樣子一定很酷!精品文檔-可編輯故不論弦AB與x軸是否垂直，恒有''2成立.|AF|BF|p（3）切線拋物線與函數(shù)有緣有關(guān)拋物線的許多試題，又與它的切線有關(guān).理解并掌握拋物線的切線方程，是解題者不可或缺的基本功.【例3】證明：過拋物線y22Px上一點Mw）的切線方程是：wy=p（x+*）【證明】對方程y22Px兩邊取導(dǎo)數(shù)：2yy2p,y2.切線的斜率ykyx,p.由點斜式方程：yy0xxoy0ypxpx°y；1y（）y。；y；2px。,代入（1即得：yoy=p（x+x。

10、）（4）定點與定值一一拋物線埋在深處的寶藏拋物線中存在許多不不易發(fā)現(xiàn)，卻容易為人疏忽的定點和定值.掌握它們，在解題中常會有意想不到的收獲.例如：1.一動圓的圓心在拋物線y28x上，且動圓恒與直線x2。相切，則此動圓必過定點（）顯然.本題是例1的翻版，該圓必過拋物線的焦點，選B2 .拋物線y22Px的通徑長為2p；3 .設(shè)拋物線y22Px過焦點的弦兩端分別為Axi,yi,Bx2,y2，那么：yy2p2以下再舉一例【例4】設(shè)拋物線y22Px的焦點弦AB在其準(zhǔn)線上的射影是AB,證明：以AiBi為直徑的圓必過一定點【分析】假定這條焦點弦就是拋物線的通徑，那么AB=AB=2p,而ABi與AB的距離為p,

11、可知該圓必過拋物線的焦點.由此我們猜想：一切這樣的圓都過拋物線的放棄很簡單，但你堅持到底的樣子一定很酷!精品文檔-可編輯焦點.以下我們對AB的一般情形給于證明.【證明】如圖設(shè)焦點兩端分別為Ax,y-Bx2,y2,那么：VW2p2CAi|CBi|yiy2|p2.設(shè)拋物線的準(zhǔn)線交x軸于C,那么CF|p.，2AFBCFCACB1.故AFB190.這就說明：以ABi為直徑的圓必過該拋物線的焦點.通法特法妙法（1）解析法一一為對稱問題解困排難解析幾何是用代數(shù)的方法去研究幾何，所以它能解決純幾何方法不易解決的幾何問題（如對稱問題等）.【例5】（10.四川文科卷.10題）已知拋物線y=-x2+3上存在關(guān)于直

12、線x+y=0對稱的相異兩點A、B,則|AB|等于（）A.3B,4C.32D.42【分析】直線AB必與直線x+y=0垂直，且線段AB的中點必在直線x+y=0上，因得解法如下.【解析】:點A、B關(guān)于直線x+y=0對稱，設(shè)直線AB的方程為：yxm.,yxm2由y2x2xm301yx23設(shè)方程（1）之兩根為x1，x2,則x,x21.設(shè)陽的中點為Mx0,y0）,則x0V1111一.代入x+y=0：y0=.故有M-,2222從而myx1.直線AB的方程為：yx1.方程（1）成為：x2x20.解得:放棄很簡單，但你堅持到底的樣子一定很酷!精品文檔-可編輯x2,1,從而y1,2,故得：A(-2,-1),B(1

13、,2).（2）幾何法為解析法添彩揚威雖然解析法使幾何學(xué)得到長足的發(fā)展，但伴之而來的卻是難以避免的繁雜計算，這又使得許多考生對解析幾何習(xí)題望而生畏.針對這種現(xiàn)狀，人們研究出多種使計算量大幅度減少的優(yōu)秀方法，其中最有成效的就是幾何法.【例6】（11.全國1卷.11題）拋物線y24x的焦點為F,準(zhǔn)線為l,經(jīng)過F且斜率為陰的直線與拋物線在x軸上方的部分相交于點A,AK±l足為K,則AAKF的面積（A.4B. 33C. 4.3D.8【解析】如圖直線AF的斜率為73時/AFX=60°.AFK為正三角形.設(shè)準(zhǔn)線l交x軸于M,則FMp2,且/KFM=60°,kKF4,SAKF42

14、473.選C.【評注】（1）平面幾何知識：邊長為a的正三角形的面積用公式S4a2計算.再計算正三角形的（2）本題如果用解析法，需先列方程組求點A的坐標(biāo)，,邊長和面積.雖不是很難，但決沒有如上的幾何法簡單.（3）定義法一一追本求真的簡單一著許多解析幾何習(xí)題咋看起來很又t.但如果返樸歸真，用最原始的定義去做，反而特別簡單.【例7】（07.湖北卷.7題）雙曲線放棄很簡單，但你堅持到底的樣子一定很酷!精品文檔-可編輯22Ci：)41(a0,b0)的左準(zhǔn)線為l,左焦點和右焦點分別為E和F2;拋物ab線C2的線為l,焦點為F2；Ci與C2的一個交點為M,則區(qū)等于()MFiMF2A.1B.1C.1D,二22

15、【分析】這道題如果用解析法去做，計算會特別繁雜，而平面幾何知識又一時用不上，那么就從最原始的定義方面去尋找出路吧.如圖，我們先做必要的預(yù)備工作：設(shè)雙曲線的半焦距c,離心率為e,作MHl于H,令MFjr1,|MF2r2.丁點M在拋物線上,|MFi|MF1rMHMF22,故11乜e,|MH|MF2|r2這就是說：|MF1|的實質(zhì)是離心率e.IMF2I其次，3與離心率e有什么關(guān)系？注重到:|MF1|F1F22ce2ae口2,1/e1-e1.MF|r1rle這樣，最后的答案就自然浮出水面了：由于叵印皿丑e1e1.選|MF1|MF2|A.(4)三角法本身也是一種解析三角學(xué)蘊藏著豐富的解題資源.利用三角手

16、段，可以比較容易地將異名異角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為同名同角的三角函數(shù)，然后根據(jù)各種三角關(guān)系實施“九九歸一”一一達(dá)到解題目的.放棄很簡單，但你堅持到底的樣子一定很酷!精品文檔-可編輯因此，在解析幾何解題中，恰當(dāng)?shù)匾肴琴Y源，?？梢詳[脫困境，簡化計算.【例8】(09.重慶文科.21題)如圖，傾斜角為的直線經(jīng)過拋物線y28x的焦點F,且與拋物線交于兩點。M(I)求拋物線的焦點F的坐標(biāo)及準(zhǔn)線l的方程;(II)若a為銳角，作線段AB的垂直平分線m交x軸于點P,證明|FP|-|FP|cos2a為定值，并求此定值?！窘馕觥?I)焦點F(2,0),準(zhǔn)線l(II)直線AB:ytanx21.2設(shè)方程(2)之二根為y%

17、V2,則y1yiy28tan16設(shè)AB中點為Mxo,y。，則V。x。yi2coty2y。4/14cottan24cot22AB的垂直平分線方程4cotcotx24cot令y=0,貝Ux4cot26,有P4cot26,0故FPOPOF24cot2624cot2124cos于是|FP|-1FP|cos2a=4csc21cos24csc22sin28,故為定值.x上代入(1),整理得：y2tan8y16tan8(5)消去法一一合理減負(fù)的常用方法.避免解析幾何中的繁雜運算，是革新、創(chuàng)新的永恒課題.其中最值得推薦的優(yōu)秀方法之一便是設(shè)而不求，它類似兵法上所說的“不戰(zhàn)而屈人之兵”.10放棄很簡單，但你堅持到

18、底的樣子一定很酷!精品文檔-可編輯【例9】是否存在同時滿足下列兩條件的直線l:(1)l與拋物線y28x有兩個不同的交點A和B;(2)線段AB被直線li：x+5y-5=0垂直平分.若不存在，說明理由，若存在，求出直線l的方程.【解析】假定在拋物線y28x上存在這樣的兩點Ax1,y1,Bx2,y2則有：二線段AB被直線li：x+5y-5=0垂直平分，且凡，Kab5,即一8一55yiy28yiy25設(shè)線段AB的中點為Mx0,y0,則y0$y24.代入x+5y-5=0得x=i.于是：25AB中點為M1,4.故存在符合題設(shè)條件的直線，其方程為：5(6)探索法一一奔向數(shù)學(xué)方法的高深層次有一些解析幾何習(xí)題，初看起來好似“樹高蔭深，叫樵夫難以下手”.這時就得冷靜分析，探索規(guī)律，不斷地猜想一一證明一一再猜想一一再證明.終于發(fā)現(xiàn)“無限風(fēng)光在險峰”.【例10】(10.安徽卷.14題)如圖，拋物線y=-x2+1與x軸的正半軸交于點A,將線段CA的n等分