二項式定理-講義

1、二項式定理1 .二項式定理:(a b)n C：an C：an1b C：an rbr | C：bn(n N ),2 .基本概念:二項式展開式：右邊的多項式叫做(a b)n的二項展開式。二項式系數：展開式中各項的系數C： (r 0,1,2, ,n).項數：共(r 1)項，是關于a與b的齊次多項式通項：展開式中的第r 1項C：an rb叫做二項式展開式的通項。用Tr1 Cnranrbr 表示。3 .注意關鍵點：項數：展開式中總共有(n 1)項。順序：注意正確選擇a, b,其順序不能更改。(a b)n與(b a)n是不同指數：a的指數從n逐項減到0 ,是降哥排列。b的指數從0逐項減 到n,是升哥排列。

2、各項的次數和等于n.系數：注意正確區(qū)分二項式系數與項的系數，二項式系數依次是 c：,c：,c2, C, ,C：.項的系數是a與b的系數(包括二項式系數）4 .常用的結論：令a 1,b x, (1 x)n C： C：x C：x2Crxr | Cnxn” N )令a 1,b x, (1 x)n Cn0 C：x C2x2 I" C：xr | ( 1)nC；xn(n N )5 .性質：二項式系數的對稱性：與首末兩端“對距離”的兩個二項式系數相等，即 C0 Cn , CnkCn1二項式系數和：令a b1,則二項式系數的和為Cn C C2 I" C： “I C：2n變形式 C1 C2

3、III Cn III Cn 2n 1奇數項的二項式系數和=偶數項的二項式系數和:在二項式定理中， 令 a1,b1C0 C Cn C3 "I ( 1)nCn(1 1)n 0 ,從而得到：C0 C2 c4CnrcnCn HI2r 1Cn12n22n奇數項的系數和與偶數項的系數和:III anxn1axa0n n n 0 0 n 0 -1 n 12 n 2 2 Jn 0 n12(a x)Cna xCnax Cna xCnaxa0a1x a2xn 0 0 n c1 n 12 2 n 2n n 0n2(x a)Cna xCnax Cna xCnaxanx a2x x1d1Ja0a1a2a3U|

4、an(a1)n®令 x 1,則 a0 a1a2 a31M an (a 1)n 得，a。a2 a,"為上萬回支(奇數項的系數和)得，為a3 as" a0 (a ”(a 1)偶數項的系數和)二項式系數的最大項：如果二項式的哥指數n是偶數時，則中間一n項的二項式系數C2取得最大值。如果二項式的哥指數n是奇數時，則中間兩項n 1 n 1的二項式系數Cn, C同時取得最大值。系數的最大項：求(a bx)n展開式中最大的項，一般采用待定系數法。設展開式中各項系數分別為A1,A2, ,An1,設第r 1項系數最大，應有Ar 1 Ar ，從而解出r來。Ar 1 Ar 2題型一：二

5、項式定理的逆用;例：C： C2 6 Cn3 62 III C； 6n1 .解：(1 6)n C0 C： 6 Cn 62 C： 63 "I C： 6n與已知的有一些差距，C1C2 公 c32nn1 1 1 公 c22nn、Cn C n 6 C n 6Cn 66 (C n 6 Cn 6Cn 6 )1(C： C； 6 C： 62Cn 6n 1) 1(1 6)n 1 1(7n 1)666練：Cn 3C2 9C：川 3n 1C： .解：設 Sn Cn 3cl2 9C： 3n 0,則3SC13c232C333Cn3n。飛c232c3330n3n1(13)3SnCn3Cn 3Cn3Cn 3C nC

6、n 3Cn 3Cn3Cn 31(13)(1 3)n 14n 1Sn 33題型二：利用通項公式求xn的系數；例：在二項式(步 舟 的展開式中倒數第3項的系數為45 ,求含有x3 的項的系數解：由條件知Cn 2 45,即C： 45,n2 n 90 0,解得9（舍去）或n 10,由1 210r 2Tr 1 C；0(x 4)10 r(x3)r C；0xF3,，由題意2r 3,解得 r 6,43則含有x3的項是第7項T6 1 C1x3 210x3,系數為210。練：求(x21)9展開式中x9的系數 2xr . 2.9 r .1 . r r 18 2r .1 .r r r .1、r 183r用牛.Tr 1

7、 C9 ( x ) ()C9x( ) xC9 ( ) x ? V 18 3r 9 ,2x22則r 3故x9的系數為C3( 1)321o2 2題型三：利用通項公式求常數項;例：求二項式（x2）10的展開式中的常數項5_解：Tr 1 C1r0(x2)10 r(六)r C；0(；)rx 5，令 20 |r 0,得 r 8,所以T9c180(2)845256練：求二項式(2x工)6的展開式中的常數項2xr 6 r r，1、rr r 6 r 1 r 6 2r斛.Tr1C6(2x)( 1)(1)( 1)Ce2(-)x ，令 6 2r 0 ,彳寸 r 3 ,2x2所以 T4( i)3c620練：若(x2 1

8、)n的二項展開式中第5項為常數項，則n . x解：T5 C：(x2)n4J)4 C：x2n12,令 2n 12 0,得 n 6. x題型四：利用通項公式，再討論而確定有理數項；例：求二項式(五 次)9展開式中的有理項1127 r解：Tr 1 C；(x5)9r( x3)r ( 1)rc9rx =，令巴工 Z,( 0 r 9)得 6r 3或 r 9 ,所以當 r 3時，竺4, T4 ( 1)3C；x484x4 ,627 r3933當 r 9 時，3, T10( 1) C9x x。6題型五：奇數項的二項式系數和= 偶數項的二項式系數和;例：若(. x21)n展開式中偶數項系數和為解：設(.此1)n展

9、開式中各項系數依次設為a。® an,令x 1,則有a° & an 0,，令x 1,則有a0 a1 a2 a3( 1) an 2 , dD將-得：2(a a3 a5)2n, a1 a3 a§2n 1有題意得，2n125628, n 9。練：若* ,J)n的展開式中，所有的奇數項的系數和為1024,求它 的中間項。角昂.C *c0c2 c4c2rC1c3”， c2r12n12n11024川干cncn cncncncncn2)21024)解得n 11所以中間兩個項分別為n 6,n 7, T51 C5(/)6(X)5 462 x 4 ,61T6 1 462 x 1

10、3題型六：最大系數，最大項；例：已知(1 2x)n,若展開式中第5項，第6項與第7項的二項式系數 2成等差數列，求展開式中二項式系數最大項的系數是多少 解：；C4 C6 2C5, n2 21n 98 0,解出 n 7或 n 14,當 n 7 時，展開式中二項式系數最大的項是T4和T5 T4的系數C73(-)423 35, 22T5的系數C；(1)324 70,當n 14時，展開式中二項式系數最大的項是 丁8,T8 的系數C74(1)727 3432。2練：在(a b)2n的展開式中，二項式系數最大的項是多少解：二項式的哥指數是偶數2n,則中間一項的二項式系數最大，即T2n 1 Tn 1,也就是

11、第n 1項。2練：在（23）n的展開式中，只有第5項的二項式最大，則展開式中23 x的常數項是多少解：只有第5項的二項式最大，則n 1 5,即n 8,所以展開式中常2數項為第七項等于c：（1）2 72練：寫出在（a b）7的展開式中，系數最大的項系數最小的項解：因為二項式的哥指數7是奇數，所以中間兩項（第4,5項）的二項式系數相等，且同時取得最大值，從而有 T4C3a4b3的系數最小，T5 C4a3b4系數最大。練：若展開式前三項的二項式系數和等于 79,求（1 2x）n的展開式中 2系數最大的項解：由Cn（2C： C2 79,解出n 12,假設Tr1項最大,_ 122x)1 12(12124

12、x)Ar 1Ar 1ArAr 2C；24rC；24rC r 1 r 1：化簡得到9.4 r 10.4,又r 12,C11214r 1(練：在（1 2x）1°的展開式中系數最大的項是多少r 10,展開式中系數最大的項為"，有I, T&Tx10 16896x10解：假設Tr1項最大，TT Tr 1 C1r0 2rxrArArArAr 2&2&2_ r 1C10 2_ r 1C10 2解得2（112）（10,r），化簡得到6.3 k 7.3,又;0 r 10, T8 C17027x7 15360x7.r 7 ,展開式中系數最大的項為題型七：含有三項變兩項;

13、例：求當（x23x 2）5的展開式中X的一次項的系數解法:(x23x 2)5 (x2 2) 3x5, Tr 1C5(x2 2)5 r(3x)r,當且僅當1時，1的展開式中才有X的一次項，此時Tr 1 T2 C5(x2 2)43x,所以 x得一次項為 C5c 4 2 43x它的系數為C1C：243 240解法:/25/,、550 51 450 51 45 c5、(x 3x 2) (x 1) (x 2)(C5xC5xC5)(C5xCsx2C52 )故展開式中含x的項為C；xC；25 C：x24 240x,故展開式中x的系數為240.練：求式子（xH 2）3的常數項 x解：（x（洞木）6,設第r 1

14、項為常數項，則Tr 1C；( 1)r x6(二) ( 1)6C； x62，得 6 2r 0, r 3,岡T3 1 ( 1)3C6320.題型八：兩個二項式相乘；例：求(1 2x)3(1 x)4展開式中X2的系數.解：(1 2x)3的展開式的通項是cm(2x)m cm 2m xm,(1 x)4的展開式的通項是 c4 ( x)n c41n xn,其中 m 0,1,2,3, n 0,1,2,3, 4,令m n 2,則 m 0且 n 2,m 1 且 n 1,m 2且n 0,因此(1 2x)3(1 x)4o一n n ood d ddo o nn的 ggzpp/ 上 丫2的玄米。千 p0 Q0221 Q1

15、112 Q200陽展開工中 x 陽東奴寺丁C32C4( 1)C32C4( 1)C32 C4 ( 1)6練:求(1次)6(1 聲)10展開式中白常數項.mm解：(1改)6(11)10展開式的通項為C6mx三. xnC；x 7C6nC1n04m 3n12x 12m0-m3-m6其中m 0,1,2, ,6,n 0,1,2, ,10，當且僅當4m 3n,即 或 或n0,n4,n8,時得展開式中的常數項為C； C100 C3 C： C6 C180 4246.練:.91n 、. . 、一.、已知(1 x x )(x F)的展開式中沒有吊數項 ，n N且2 n 8,則n . x解：(x q)n展開式的通項為

16、cn xnr x3r cn xn 4r,通項分別與前面的三項相乘可得 xcn xn4r,cn xn4r1,cn xn4r2：展開式中不含常數項,2 n 8n 4r且n 4r 1 且n 4r 2,即 n 4,8且n 3,7且n 2,6, n 5.題型九：奇數項的系數和與偶數項的系數和;例:在(x 歷2006的二項展開式中，含對勺奇次曷的項之和為 S,當xJ2時,S 解：設(x 72)2006 =aoa1x1a2x2a3x3 111 a2006x2006(xV2)2006=aoaxa2x2a3x3| a2oo6x2006 得 2(ax a3x3a5x5 111 azoosx2005)(x 亞 20

17、06 (x V2)2006(xJ2)2006展開式的奇次曷項之和為S(x) 1(x J2)2006 (x J2) 2006 23 2006當 x 、2日t,S(',2) 1 ( . 2 、,2 ) 2006 ('.2. 2 ) 20062 2 300822題型十：賦值法;例：設二項式(3次 3n的展開式的各項系數的和為P,所有二項式系 x數的和為S,若p s 272，則n等于多少解:若(3 3x -)n xa0aix2 a2xanxn，有 Pa。aan ,練:解:練:解:練:S C0令 x 1 得 P 4n，又 p s 272，即 4n 2n 272得 2n 16或2n17(舍

18、去)，n 4.若 3 . x為多少(2n 17)(2 n 16) 0 解n的展開式中各項系數之和為64,則展開式的常數項n3& 房 的展開式中各項系數之和為2n 6,則展開式的常數項為C；(3«)3 (若(1 2x)2009 a0 a1x1 a2x人 1v x ，可信a02在令x 0可得a055右(x 2)a5x64所以3a3xIIITx)3540.2009 a2009x(xR),則 a2a222a2009-20092的值為a1a22221,因而aa20092 2009a22243adxa3xa?x0,a1a222a200922009a0a2009220091a1x1.a0,

19、則 a1a2 a3a4a5解：令 x0#a032,令 x1 彳#a0a1a2a3a4a51,aia2 a3題型十一：整除性;例：證明：32n28n9(n N*)能被64整除證：32n 2 8n 99n 18n 9 (8 1)n 1 8n 90 Q n 11 Q nn 1 Q2n Q1 n 1Cn 18 Cn 18Cn 1 8 Cn 18Cn 18 n 9Cn118nl c1 18nCnn；82 8(n 1) 1 8n 90 Cn 11 cnn 1.2Cn18 Cn 18Cn18由于各項均能被64整除32n 2 8n 9(n N*)能被64整除1.在（2x2I)5的二項展開式中，X的系數為 X2.(X2 2)(4 1)5的展開式的常數項是