一區(qū)域連通性的分類

1、YunnanUniversity1. 各種積分間的聯系各種積分間的聯系1一、區(qū)域連通性的分類一、區(qū)域連通性的分類 設設D為平面區(qū)域為平面區(qū)域, , 如果如果D內任一閉曲線所內任一閉曲線所圍成的部分都屬于圍成的部分都屬于D, , 則稱則稱D為平面單連通區(qū)為平面單連通區(qū)域域, , 否則稱為復連通區(qū)域否則稱為復連通區(qū)域. .復連通區(qū)域復連通區(qū)域單連通區(qū)域單連通區(qū)域DDYunnanUniversity1. 各種積分間的聯系各種積分間的聯系2二、格林公式二、格林公式定理定理YunnanUniversity1. 各種積分間的聯系各種積分間的聯系3連成連成與與由由21LLL組組成成與與由由21LLL邊界曲線

2、邊界曲線L L的正向的正向: 當觀察者沿邊界行走時當觀察者沿邊界行走時,區(qū)區(qū)域域D總在他的左邊總在他的左邊.2LD1L2L1LDYunnanUniversity1. 各種積分間的聯系各種積分間的聯系4),()(),(21bxaxyxyxD 證明證明(1)(1)若若區(qū)區(qū)域域D既既是是 X型型又又是是 Y型型,即即平平行行于于坐坐標標軸軸的的直直線線和和L至至多多交交于于兩兩點點.),()(),(21dycyxyyxD yxo abDcd)(1xy )(2xy ABCE)(2yx )(1yx YunnanUniversity1. 各種積分間的聯系各種積分間的聯系5dxxQdydxdyxQyydcD

3、 )()(21 dcdcdyyyQdyyyQ),(),(12 CAECBEdyyxQdyyxQ),(),( EACCBEdyyxQdyyxQ),(),( LdyyxQ),(同理可證同理可證 LDdxyxPdxdyyP),(yxod)(2yx DcCE)(1yx YunnanUniversity1. 各種積分間的聯系各種積分間的聯系6 若區(qū)域若區(qū)域D由按段光由按段光滑的閉曲線圍成滑的閉曲線圍成. .如圖如圖, ,證明證明(2)(2)L1L2L3LD1D2D3D兩式相加得兩式相加得 LDQdyPdxdxdyyPxQ)(將將D分成三個既是分成三個既是 X型又是型又是 Y型的區(qū)域型的區(qū)域1D, ,2D

4、, ,3D. . 321)()(DDDDdxdyyPxQdxdyyPxQYunnanUniversity1. 各種積分間的聯系各種積分間的聯系7GD3L2LFCE1LAB證明證明(3)(3)由由(2)知知 DdxdyyPxQ)( CEAFCBALAB2 CGAECLQdyPdx)(3YunnanUniversity1. 各種積分間的聯系各種積分間的聯系8xyoL1. 1. 簡化曲線積分簡化曲線積分三、簡單應用三、簡單應用ABDBOABOAL YunnanUniversity1. 各種積分間的聯系各種積分間的聯系92. 2. 簡化二重積分簡化二重積分xyoAB11DYunnanUniversit

5、y1. 各種積分間的聯系各種積分間的聯系10解解YunnanUniversity1. 各種積分間的聯系各種積分間的聯系11L1DrlxyoLDyxo220 xdyydxxy YunnanUniversity1. 各種積分間的聯系各種積分間的聯系12 lLyxydxxdyyxydxxdy2222xyor1DlL02222 lLyxydxxdyyxydxxdy.2 (注意格林公式的條件注意格林公式的條件) drrr22222sincos 20YunnanUniversity1. 各種積分間的聯系各種積分間的聯系13 LDydxxdydxdy23. 3. 計算平面面積計算平面面積YunnanUniv

6、ersity1. 各種積分間的聯系各種積分間的聯系14解解 LydxxdyA21 AMOONAydxxdyydxxdy2121)0 ,(aANMYunnanUniversity1. 各種積分間的聯系各種積分間的聯系15其中其中L是曲線是曲線| |x|+|+|y|=1|=1圍成的區(qū)域圍成的區(qū)域D的正向邊界。的正向邊界。11- -1- -1LDyxO格林公式的應用格林公式的應用 （格林公式）（格林公式） 從從 證明了證明了： 練習練習1 1 計算積分計算積分 Lxxyyxyyd)1cose(d)sine(解解 Dxycose(yxyxdd)1cose 222 A DyxyPxQdd LyyxQxy

7、xPd),(d),( Lxxyyxyyd)1cose(d)sine(YunnanUniversity1. 各種積分間的聯系各種積分間的聯系16練習練習2 2求星形線求星形線tytxL33sin,cos ：所界圖形的面積。所界圖形的面積。解解 DyxAdd Lyxd 2064dcoscos12ttt 2024dsincos3t tt8322143652214312 yxODL11- -1- -1 DyxyPxQddYunnanUniversity1. 各種積分間的聯系各種積分間的聯系17重要意義：重要意義： 1.1.它它建立了建立了二重積分二重積分與與曲線積分曲線積分的一種等式關系的一種等式關系

8、2.2.它它揭示了揭示了函數在區(qū)域函數在區(qū)域內部內部與與邊界邊界之間的內在聯系之間的內在聯系4.4.它的應用范圍可以它的應用范圍可以突破突破右手系的限制，使它的右手系的限制，使它的應用應用 3.3.從它出發(fā)，可以從它出發(fā)，可以導出導出數學物理中的數學物理中的許多重要公式許多重要公式更加廣泛更加廣泛，而這只需要改變邊界的正向定義即可。，而這只需要改變邊界的正向定義即可。二二 高斯公式高斯公式YunnanUniversity1. 各種積分間的聯系各種積分間的聯系18 設空間區(qū)域設空間區(qū)域G, , 如果如果G內任一閉曲面所圍成內任一閉曲面所圍成的區(qū)域全屬于的區(qū)域全屬于G, , 則稱則稱G是空間二維單

9、連通域是空間二維單連通域; ; 如果如果G內任一閉曲線總可以張一片完全屬于內任一閉曲線總可以張一片完全屬于G的曲面的曲面, , 則稱則稱G為空間一維單連通區(qū)域為空間一維單連通區(qū)域. .GGG一維單連通一維單連通二維單連通二維單連通一維單連通一維單連通二維不連通二維不連通一維不連通一維不連通二維單連通二維單連通YunnanUniversity1. 各種積分間的聯系各種積分間的聯系19dSRQPdvzRyQxP)coscoscos()( 或或高斯公式高斯公式YunnanUniversity1. 各種積分間的聯系各種積分間的聯系20證明證明xyzo),(1:1yxzz ),(2:2yxzz 3 1

10、2 3 xyDYunnanUniversity1. 各種積分間的聯系各種積分間的聯系21根據三重積分的計算法根據三重積分的計算法dxdydzzRdvzRxyDyxzyxz ),(),(21.),(,),(,12 xyDdxdyyxzyxRyxzyxR根據曲面積分的計算法根據曲面積分的計算法,),(,),(11 xyDdxdyyxzyxRdxdyzyxRYunnanUniversity1. 各種積分間的聯系各種積分間的聯系22,),( dydzzyxPdvxP同理同理,),( dzdxzyxQdvyQ-高斯公式高斯公式和并以上三式得：和并以上三式得： RdxdyQdzdxPdydzdvzRyQx

11、P)(YunnanUniversity1. 各種積分間的聯系各種積分間的聯系23GaussGauss公式的實質公式的實質 表達了空間閉區(qū)域上的三重積分與其邊界表達了空間閉區(qū)域上的三重積分與其邊界曲面上的曲面積分之間的關系曲面上的曲面積分之間的關系.)coscoscos()( dSRQPdvzRyQxP 由兩類曲面積分之間的關系知由兩類曲面積分之間的關系知YunnanUniversity1. 各種積分間的聯系各種積分間的聯系24xozy113解解, 0,)(yxRQxzyP 2. 2. 簡單應用簡單應用: :YunnanUniversity1. 各種積分間的聯系各種積分間的聯系25, 0, 0,

12、 zRyQzyxP dxdydzzy)(原式原式 dzrdrdzr)sin(.29 (利用柱面坐標得利用柱面坐標得)xozy113 301020)(sinrdzzrdrdYunnanUniversity1. 各種積分間的聯系各種積分間的聯系26使用使用Guass公式時應注意公式時應注意:YunnanUniversity1. 各種積分間的聯系各種積分間的聯系27xyDxyzoh 1 解解空間曲面在空間曲面在 面上的投影域為面上的投影域為xoyxyD)(:2221hyxhz 補補充充曲面曲面 不是封閉曲面不是封閉曲面, 為利用為利用高斯公式高斯公式取上側，取上側，1 構成封閉曲面，構成封閉曲面，1

13、 .1 圍圍成成空空間間區(qū)區(qū)域域,上上使使用用高高斯斯公公式式在在 YunnanUniversity1. 各種積分間的聯系各種積分間的聯系28 112222)coscoscos(dSzdSzyx xyDdxdyh2.4h 故所求積分為故所求積分為 dSzyx)coscoscos(222421h 4h .214h YunnanUniversity1. 各種積分間的聯系各種積分間的聯系29三、斯托克斯三、斯托克斯(stokes)(stokes)公式公式- 斯托克斯公式斯托克斯公式dxdyyPxQdzdxxRzPdydzzQyR)()()( RdzQdyPdx YunnanUniversity1.

14、各種積分間的聯系各種積分間的聯系30n 是有向曲面是有向曲面 的的正向邊界曲線正向邊界曲線 右手法則右手法則xyzo),(:yxfz xyD Cn證明證明如圖如圖YunnanUniversity1. 各種積分間的聯系各種積分間的聯系31思路思路曲面積分曲面積分二重積分二重積分曲線積分曲線積分12dsyPzPdxdyyPdzdxzP)coscos( 代代入入上上式式得得又又,coscos yfdsfzPyPdxdyyPdzdxzPy cos)( YunnanUniversity1. 各種積分間的聯系各種積分間的聯系32dxdyfzPyPdxdyyPdzdxzPy)( 即即,),(,dxdyyxf

15、yxPydxdyyPdzdxzPxyD yfzPyPyxfyxPy ),(,1YunnanUniversity1. 各種積分間的聯系各種積分間的聯系33 cDdxyxfyxPdxdyyxfyxPyxy),(,),(,dxyxfyxPdxdyyPdzdxzPc ),(,即即根椐格林公式根椐格林公式平面有向曲線平面有向曲線2,),(dxzyxPdxdyyPdzdxzP 空間有向曲線空間有向曲線YunnanUniversity1. 各種積分間的聯系各種積分間的聯系34,),(dyzyxQdydzzQdxdyxQ 同理可證同理可證,),(dzzyxRdzdxxRdydzyR 故有結論成立故有結論成立.

16、YunnanUniversity1. 各種積分間的聯系各種積分間的聯系35 RdzQdyPdxRQPzyxdxdydzdxdydz RdzQdyPdxdsRQPzyx coscoscos另一種形式另一種形式cos,cos,cos n其中其中便于記憶形式便于記憶形式YunnanUniversity1. 各種積分間的聯系各種積分間的聯系36StokesStokes公式的實質公式的實質: : 表達了有向曲面上的曲面積分與其邊界曲線表達了有向曲面上的曲面積分與其邊界曲線上的曲線積分之間的關系上的曲線積分之間的關系. .斯托克斯公式斯托克斯公式格林公式格林公式特殊情形特殊情形.1 , 0 , 0cos,cos,cos n此此時時，YunnanUniversity1. 各種積分間的聯系各種積分間的聯系371. 1. 簡單應用