案例分析與教師發(fā)展-教學(xué)-初中

1、案例分析與教師發(fā)展（教學(xué)案例）陜西師范大學(xué)數(shù)學(xué)系 羅增儒 郵編:710062電話13609297766E-mail：zrluosnnueducn 主題：建議通過案例分析來促進(jìn)教師的發(fā)展教師發(fā)展的途徑很多，每個教師的發(fā)展都會有自己的個性化軌跡，切入點也各有不同：有的在職業(yè)激情中學(xué)習(xí)，有的在教學(xué)實踐中研究，有的在案例分析中前進(jìn)，有的在反思提煉中突破，有的在互動交流中提升，有的在論文寫作中發(fā)展我根據(jù)自己的體會建議把案例分析作為促進(jìn)教師發(fā)展的一個突破口： 期望： 領(lǐng)會三個名詞：案例，案例教學(xué)，案例研究；參與一個行動：案例分析（校本教研的具體形式）；帶走一個信念：我要進(jìn)行、也

2、能進(jìn)行案例研究我將采用講故事（故事主要指數(shù)學(xué)案例、講故事也就是數(shù)學(xué)聊天, 方言亦叫擺龍門陣、侃大山、神吹、嘮嗑（東北）, 片閑傳（陜西），傾計（廣東）和交流討論的方式來進(jìn)行，即通過教育事件的描述，發(fā)掘內(nèi)隱于其背后的思想與意義（教育敘事）1 案例分析的初步認(rèn)識本來，可以先給出界定，然后舉例說明，但我不這樣做，我將用分析案例的方式來說明案例分析1-1 通過分析案例來說明案例分析先做一個數(shù)學(xué)練習(xí)（自行車問題），再議一個教學(xué)問題（三角形內(nèi)角和的教學(xué)），可以認(rèn)為是學(xué)習(xí)“案例分析”相關(guān)概念和做法的情境創(chuàng)設(shè)1-1-1 案例1：自行車問題（經(jīng)歷解題案例）第一、案例的呈現(xiàn)例1-1 一個自行車新輪胎，若安裝在前輪

3、則行駛5000后報廢，若安裝在后輪則行駛3000后報廢如果行駛一定路程后交換前、后輪胎，使一輛自行車的一對新輪胎同時報廢，那么這輛車將能行駛多少？ （請用代數(shù)或算術(shù)等多種方法求解求解后想想如何讓學(xué)生也學(xué)會解）解法1 解法2解法3困難在哪里？（1）不清楚解題困難在哪里，反正讀完題目之后就無從下手了可能“行駛多少”有人想到行程問題上去了，可又無法找到速度和時間（2）感覺好像什么都不知道，總磨損量不知道，什么時候交換不知道，拿什么做等量關(guān)系不清楚，屬于什么題型不清楚（3）理不清題目的條件是什么特別是“自行車的前輪后輪”把“甲乙兩個輪胎”與“自行車前后兩個位置”交叉在一起，理不清“自行車的前輪后輪”的

4、數(shù)學(xué)含義是什么（參見圖2）（4）理不清題目的結(jié)論是什么表面上，結(jié)論求“一對新輪胎行駛多少”寫得很清楚，但這與“交換”前、后輪胎有關(guān)，并且“交換”好像是實質(zhì)的，否則，怎能“使一輛自行車的一對新輪胎同時報廢”呢？（干擾因素）如果你不能求解，沒關(guān)系，請先做第2題例1-2 一件工程，平均分為前、后兩段，甲工程隊干前半段5000小時完成，乙工程隊干后半段3000小時完成，如果兩工程隊同時動工，甲工程隊干前段、乙工程隊干后段一定時間后，甲、乙兩工程隊交換（交換時間不計），使前、后兩段同時完工，問整個工程一共幾小時完成？（屬于什么題型？中途交換如何處理？）如果你能求解第2題請返回做第1題；如果你也不能求解第

5、2題，沒關(guān)系，請先做第3題：例1-3 一件工程，甲工程隊干一半需5000小時，乙工程隊干一半需3000小時，如果甲、乙兩工程隊一齊干，整個工程幾小時完成？（中途交換去掉了，屬于什么題型？）如果你能求解第3題，請返回做第2、1題；如果你不能求解第3題，請看第4題 例1-4 一件工程，甲工程隊干需10000小時，乙工程隊干需6000小時，如果甲、乙兩工程隊一齊干，整個工程幾小時完成？ 這是標(biāo)準(zhǔn)的工程問題了最終至少要用兩個以上的解法完成第1題希望完成之后能談?wù)劯邢?，想說什么就說什么第二、案例的分析案例分析1：關(guān)于解法讓我們從新開始，缺什么就“用字母表示數(shù)”設(shè)什么，有解法1 （方程解法）設(shè)每個新輪胎報

6、廢時的總磨損量為，則安裝在前輪的輪胎每行駛1的磨損量為，安裝在后輪的輪胎每行使1的磨損量為又設(shè)一對新輪胎交換位置前走了、交換位置后走了，分別以一個輪胎總磨損量為等量關(guān)系列方程，有（方程組） 兩式相加，得 則 （） （2009年初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽參考答案）作為“怎樣解題”任務(wù)是完成了，但作為“怎樣學(xué)會解題”這只不過是新的開始反思分析反思1：當(dāng)然，這個解法條理清晰，書寫完整，答案正確，也不乏趣味性的技巧特別是，這個解法對“用字母表示數(shù)”的運用很熟練，“缺什么設(shè)什么”、引進(jìn)過渡性的字母，既有助于寫出相關(guān)代數(shù)式、建立等量關(guān)系、列出方程，又“設(shè)而不求”（像化學(xué)反應(yīng)中的催化劑），表現(xiàn)出解題的藝術(shù)但也正是這些技巧

7、會給我們的教學(xué)講解和學(xué)生接受帶來困惑，把所求的未知數(shù)設(shè)為兩個未知數(shù)之和，學(xué)生不太好理解，這是“怎樣想到的”也不容易說清楚，這促使我們思考：能不能把題目處理得更好接受一些？首先，既然都只有輔助的作用，而、式的等量關(guān)系也被更實質(zhì)性的式代替了，那么，我們能不能一開始就抓住式這個更本質(zhì)的結(jié)構(gòu)呢？事實上，不管甲輪胎還是乙輪胎作前（后）輪，磨損率是一樣的，交換是非實質(zhì)的，就是說，若設(shè)一對新輪胎可走，則一對輪胎在前輪走了，在后輪也走了，有（可以不列方程組，列方程就行了） 解法2：（方程解法，去掉）設(shè)每個新輪胎報廢時的總磨損量為，則安裝在前輪的輪胎每行駛1的磨損量為，安裝在后輪的輪胎每行使1的磨損量為又設(shè)一對

8、新輪胎可走，則一對輪胎分別在前后輪各走了，有 則 （） 說明1：如果說原解法更關(guān)注前輪、后輪兩個“局部”的話，那么新解法則把前輪、后輪合起來作“整體處理”了；原解法將兩個“局部”列成兩條方程，新解法則已經(jīng)完成兩條方程相加、“整體”得出式反思2： 這個解法中只有輔助作用，能不能也去掉，怎么去？另外，由及中的運算式，我們看到了一種結(jié)構(gòu)工程問題（這正是上述教學(xué)設(shè)計的一個基本考慮），我們能不能一開始就抓住這個本質(zhì)結(jié)構(gòu)呢？有解法3：（算術(shù)解法，再去掉）設(shè)每個新輪胎報廢時的總磨損量為1，則一對新輪胎報廢時的總磨損量為2；又由已知得，安裝在前輪的輪胎每行駛1的磨損量為，安裝在后輪的輪胎每行駛1的磨損量為，進(jìn)

9、而，每1一對輪胎磨損量為；用總磨損量除以單位磨損量可得“一對新輪胎同時報廢最多可行駛”（）說明2： 這個題型小學(xué)說是“工程問題”，到中學(xué)可以說是“調(diào)和平均”（高中），“反比例函數(shù)模式”（初中，參見后面的提煉）反思3： 解法3是在、中?。ㄟ@是小學(xué)的慣例），只能取1嗎？回答是：取5000與3000的最小公倍數(shù)更方便有解法4：（技巧解法）假設(shè)自行車行駛了15000，則前輪用了3個，后輪用了5個，共報廢8個，所以，一對新輪胎同時報廢能行駛（） 說明3：這也是把前輪、后輪合起來作“整體處理”由這個解法可知，前、后輪的磨損有3：5的關(guān)系，從而可以改寫為解法5：假設(shè)自行車已走了3000，后輪磨完，則一對輪胎

10、只剩下前輪的2000；接下來按3：5的比例分配，前輪會磨掉2000的，后輪會磨掉它的），由知，一對輪胎可走3000+750=3750（）反思4：解法1由目標(biāo)牽引，進(jìn)行了、“兩式相加”，而由兩式相減呢，立即可得，就是說，若一對新輪胎同時報廢，則單個輪胎安裝在前輪行駛的路程等于其安裝在后輪行駛的路程這個實事有明顯的幾何意義：方程組、中的兩條不平行直線關(guān)于對角線對稱，其交點在對角線上（或說兩個互為反函數(shù)的圖像兩條直線，相交于對角線），有解法6：（創(chuàng)設(shè)解法情景）設(shè)一對新輪胎交換位置后同時報廢時自行車共行駛了，我們不妨設(shè)想自行車的車把和車座都可以旋轉(zhuǎn)，用人和車的掉頭代替前、后輪交換的裝卸當(dāng)自行車行駛到時

11、，磨掉了一半的磨損量（正好等于一個輪胎的磨損量），有（如圖1）：前輪的磨損量恰好是后輪的磨損剩余量，前輪的磨損剩余量恰好是后輪的磨損量，如果此時旋轉(zhuǎn)車把和車座掉頭返回出發(fā)地，就交換了前、后輪，再行駛回到出發(fā)地時一對新輪胎同時報廢于是一個新輪胎的總磨損量前進(jìn)的磨損量返程的磨損量，有 ， （這就是方程） 圖1得 不管題目還會有的多少解法，我們已經(jīng)有了三類解法：方程解法、算術(shù)解法、技巧解法這可以認(rèn)為是反思解法1的成果，并且是“只要去做、人人都能做到”案例分析2：關(guān)于教學(xué)設(shè)計的意圖這是一個“親身參與”的解題教學(xué)案例，體現(xiàn)解題教學(xué)是解題活動的教學(xué)，當(dāng)中有四個基本的考慮（1）解題化歸的教學(xué)設(shè)計：如果你不能

12、求解第1題，請先做第2題；如果你能求解第2題請返回做第1題，如果你也不能求解第2題，請先做第3題；如果你能求解第3題請返回做第2、第1題，如果你也不能求解第3題，請先做第4題，一路轉(zhuǎn)化為基本題型這就是化歸：把一個未解決或較難解決的問題轉(zhuǎn)化為已解決或較易解決的問題（2）揭示問題的深層結(jié)構(gòu)：自行車問題有工程問題的深層結(jié)構(gòu)可列表說明如下：例1-1自行車問題例1-2工程問題一對輪胎的磨損（感覺磨損有破壞性）一件工程（感覺工程有建設(shè)性）磨損量（從新輪胎到報廢）工程量（完成一件工程）輪胎有兩個 工程有兩段（甲乙輪胎對應(yīng)前后兩段工程）甲、乙輪胎磨損量相等前、后兩段工程量相等輪胎放在前面位置行駛5000報廢甲

13、工程隊干前段5000小時完成輪胎放在后面位置行駛3000報廢乙工程隊干后段3000小時完成如果行駛一定路程后，交換前、后輪胎，使一輛自行車的一對新輪胎同時報廢（交換前、后輪胎好像是實質(zhì)的，否則，怎能“使一輛自行車的一對新輪胎同時報廢”？）如果兩工程隊同時動工，甲工程隊干前段、乙工程隊干后段一定時間后，甲、乙兩工程隊交換，使前、后兩段同時完工（甲、乙兩工程隊交換不交換是非實質(zhì)的，使前、后兩段同時完工即可）這輛車將能行駛多少？整個工程幾小時完成？ 可見，“自行車問題”與“工程問題”有相同的結(jié)構(gòu)！這時，是從“工程問題”的角度重新理解題意，體會“條件是什么、結(jié)論是什么”的最好機(jī)會甲乙輪胎對應(yīng)前后兩段工

14、程、自行車前后位置對應(yīng)甲乙兩個工程隊（輪胎是工程、位置是工程隊、磨損是干工程，如圖2）于是，從工程的觀點看例1-1，可以認(rèn)為有兩個條件：其一是磨完一個新輪胎，自行車的前輪位置需走5000（完成工程前半段甲工程隊需5000小時），其二是磨完一個新輪胎，自行車的后輪位置需走3000（完成工程后半段乙工程隊需3000小時完成）；結(jié)論是：求自行車的前、后輪一起磨完兩個新輪胎需走多少（甲、乙兩工程隊一齊干，整個工程幾小時完成）圖2（3）溝通一題多解的內(nèi)在聯(lián)系從原解法出發(fā)，上面呈現(xiàn)了方程、算術(shù)、技巧三類解法，我們說三類解法不是各別孤立的由（或）式有（）這是方程解法的結(jié)果，約去（或說令）便是工程解法，而取，

15、就是技巧解法所以，三類解法是可以溝通的也惟有溝通不同解法的聯(lián)系，我們才能洞察問題的深層結(jié)構(gòu)，形成優(yōu)化的認(rèn)知結(jié)構(gòu)（4）呈現(xiàn)解題分析的兩個關(guān)鍵環(huán)節(jié)解題思路的探求和解題過程的反思解題思路的探求是把“題”作為認(rèn)識的對象，把“解”作為認(rèn)識的目標(biāo)，重點展示由已知條件到未知結(jié)論的溝通過程，說清怎樣獲得題目的答案（這是一個認(rèn)知過程，如找出解法1）解題過程的反思是繼續(xù)把解題活動(包括題目與初步解法)作為認(rèn)識的對象，不僅關(guān)注如何獲得解，而且寄希望于對“解”的進(jìn)一步分析而增強(qiáng)數(shù)學(xué)能力、優(yōu)化認(rèn)知結(jié)構(gòu)、提高思維素質(zhì)，學(xué)會“數(shù)學(xué)地思維”，重點在怎樣學(xué)會解題（這是一個再認(rèn)知過程，如找出解法2至解法6）第三、對案例分析的啟示

16、（1）這就是一個“親身參與”的解題教學(xué)案例 （2）我們通過這個故事來啟引大家認(rèn)識案例、關(guān)注案例研究，實際上是在進(jìn)行“案例教學(xué)”（3）講這個有趣的故事、分析提煉內(nèi)蘊于其背后的思想、意義與道理，就是案例研究（羅增儒一個自行車問題的教學(xué)分析中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（中旬），2013（1/2）：68-72） 1-1-2 案例2：在“三角形內(nèi)角和定理”的課堂上第1、案例的呈現(xiàn)師生理清了“三角形內(nèi)角和”的證明思路之后，學(xué)生腦子里有一個圖、但板書沒有畫出來，寫出證明如下：已知：中，為三個內(nèi)角求證：證明：在三角形外部作，則 ，（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）有 （兩直線平行，同位角相等）得 （等量代換）（平角的定義） 第2

17、、案例的研究反思1（1）對這個證明你有什么看法？缺圖，點來歷不明，寫為，其他（三角形明確為，先做）（2）對于“點來歷不明”，你會如何處理？（學(xué)員討論）修正1 如圖3，作的延長線（延長到，有線段之嫌），在外部作，則 ，（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）有 （兩直線平行，同位角相等）得 （等量代換）（平角的定義） 圖3反思2：（1）為什么畫成銳角三角形？證明中沒有用到“銳角三角形”條件，所以，圖3只是任意三角形的一個代表 可向?qū)W生說明，細(xì)分有7種情況（有二級分類）三角形形狀示意圖為銳角銳角三角形為銳角為銳角直角三角形為直角為銳角直角三角形為銳角為直角鈍角三角形為鈍角為銳角鈍角三角形為銳角為鈍角為直角直角三

18、角形為銳角為銳角為鈍角鈍角三角形為銳角為銳角（2）為什么在內(nèi)部？“外角大于不相鄰的內(nèi)對角”恰好是“三角形內(nèi)角和定理”的推論，有沒有邏輯循環(huán)？能不能避免？（修正3）叫學(xué)生作圖、作到哪里就那里，是變相不講道理附幾何原本中外角大于內(nèi)角的證明：取邊的中點，連結(jié)并延長到，使，聯(lián)結(jié)易知（），得，由于在內(nèi)，所以，同理， 說明“在內(nèi)”！ 圖4道理：得出后，在的一旁，則的延長線，必在的另一旁，是有道理的，修正2 如圖3，在外部作，則 ，（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）且在的一旁，作的延長線，必在的另一旁，有 （兩直線平行，同位角相等）得 （等量代換）（平角的定義） 反思3：對來歷不明的，只有“補”一個思路嗎？避免邏輯

19、循環(huán)有沒有別的辦法？修正3 如圖5，在外部作，則 ，（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）得 （等量代換）（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補） 圖5第3、對案例研究的啟示以上我們共同經(jīng)歷了一個“案例”，共同進(jìn)行了一次“案例研究”（1）學(xué)生給出一個證明，這個證明就是一個案例，數(shù)學(xué)教育界習(xí)慣稱數(shù)學(xué)案例為課例（2）我們一起談“這個證明你有什么看法？”“你會如何處理？”就是反思，就是“案例研究”（3）我們通過這個證明的反思，來啟引大家認(rèn)識案例，關(guān)注案例研究，體會案例教學(xué)的過程，感悟“我要進(jìn)行案例研究，我能進(jìn)行案例研究”的理念，實際上是在進(jìn)行“案例教學(xué)” 講這個有教育意義的故事、分析提煉內(nèi)蘊于其背后的思想、意義與道理，有一

20、個很時髦的詞，叫做“教育敘事”即通過教育事件的描述，發(fā)掘內(nèi)隱于其背后的思想與意義 至少有兩個收獲：收獲1：經(jīng)歷了案例教學(xué)的三步驟過程：教員提供課例，學(xué)員體會情景教員組織討論，學(xué)員分析材料 教員總結(jié)評述，學(xué)員掌握原理收獲2：感悟到教學(xué)處處有創(chuàng)新的空間面臨“來歷不明”我們的認(rèn)識不要封閉，要廣開思路，三個思路都是通的面對教材我們的認(rèn)識也不要封閉（羅增儒與“國培”學(xué)員一起做課例分析在“三角形內(nèi)角和定理”的課堂上中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（中旬），2013，3） 上面的兩個小故事，是不是有助于樹立一種觀念,明白一個道理,理解一個概念,學(xué)到一種方法？可以認(rèn)為是學(xué)習(xí)“案例分析”概念的情境創(chuàng)設(shè)1-2 案例研究的現(xiàn)實需要

21、我國正在進(jìn)行新世紀(jì)的課程改革，數(shù)學(xué)教學(xué)的生活化取向、活動化取向、個性化取向正在熱情地展開（體現(xiàn)人本主義、大眾數(shù)學(xué)、建構(gòu)主義），同時也面臨許多始料未及、而又缺乏現(xiàn)成解決方案的問題，向我們提出了從理論到實踐的挑戰(zhàn)、向我們提出了從教學(xué)到數(shù)學(xué)的挑戰(zhàn) 1-2-1 教學(xué)中遇到的一些案例 (討論：實行新課程存在些什么問題？比如“三維目標(biāo)”（知識與技能，過程與方法，情感、態(tài)度與價值觀）“四個方面”（義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)課程目標(biāo)分為總目標(biāo)和學(xué)段目標(biāo)，從知識技能、數(shù)學(xué)思考、問題解決、情感態(tài)度等四個方面加以闡述）“四基”（通過義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，學(xué)生能：獲得適應(yīng)社會生活和進(jìn)一步發(fā)展所必需的數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識、基本技能、

22、基本思想、基本活動經(jīng)驗），它們之間是什么關(guān)系？）（2011課標(biāo)）標(biāo)目容內(nèi)各門課程數(shù)學(xué)課程每學(xué)期數(shù)學(xué)課程每一章數(shù)學(xué)內(nèi)容每一節(jié)數(shù)學(xué)內(nèi)容課程或課堂目標(biāo)知識與技能知識技能數(shù)學(xué)思考過程與方法問題解決情感、態(tài)度與價值觀情感態(tài)度過程與方法是否對應(yīng)“數(shù)學(xué)思考與問題解決”？案例3：鐘面上的時針與分針是否組成角？下面是一位教師在上人教版七年級上冊“角的度量”第一課時的教學(xué)片斷教師首先出示了時鐘、棱錐、樹葉等幾幅圖片（見課本第131頁）教師：請同學(xué)們找出以上圖片所含的角學(xué)生：鐘面上的時針與分針，棱錐相交的兩條棱，樹葉上交錯的葉脈等都是角教師：這些角有什么共同的特征？你能否根據(jù)這些特征給角下一個定義？學(xué)生：有公共端點

23、的兩條射線組成的圖形叫做角教師：由線段組成的圖形是角嗎？學(xué)生：不是角教師：回答正確因為是線段而不是射線，所以由線段組成的圖形不是角學(xué)生：老師，如果根據(jù)角的定義，鐘面上的時針與分針，棱錐相交的兩條棱，樹葉上交錯的葉脈那也不是角了？教師無言以對 （官云春由一則教學(xué)悖論引發(fā)的思考中小學(xué)數(shù)學(xué)（教師版），2006，6）解釋：這里有現(xiàn)實原型與抽象模式的關(guān)系，現(xiàn)實原型要經(jīng)過抽象才能成為數(shù)學(xué)案例4：乘法交換律的教學(xué)有一個教學(xué)設(shè)計，用一個柄特別長的勺子喝水，勺子太長自己喝不到，學(xué)生經(jīng)過討論找到“交換喝水”的辦法：你拿勺子喂給我喝，我拿勺子喂給你喝，喝水問題圓滿解決這個“活動”固然有趣，辦法也很好，但與“乘法”沒

24、有關(guān)系，亦離開了“數(shù)量不變”的交換率本身交換律的本質(zhì)是變化中的不變性，學(xué)生在這里學(xué)到的不是數(shù)學(xué)或不是“乘法交換律”（地獄與天堂的寓言）如何防止“去數(shù)學(xué)化”，既是教學(xué)的挑戰(zhàn)，又是數(shù)學(xué)的挑戰(zhàn) （張奠宙教育數(shù)學(xué)是具有教育形態(tài)的數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2005，8）解釋：數(shù)學(xué)并不只是一種有趣的活動，僅僅使數(shù)學(xué)變得有趣起來并不能保證數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)一定能夠獲得成功（數(shù)學(xué)上的成功還需要艱苦的工作）有效的情景應(yīng)該起始于精細(xì)的數(shù)學(xué)認(rèn)知分析，使情境具有數(shù)學(xué)對象的必要因素和必要形式（這是一個創(chuàng)作與創(chuàng)造的過程），只注意情景的形式，缺失了數(shù)學(xué)及其本質(zhì)（去數(shù)學(xué)化），會好心辦壞事如果學(xué)生說柄長可以鋸短或靠前拿，你的課怎么上呢？如何防止

25、“去數(shù)學(xué)化”，既是教學(xué)的挑戰(zhàn)，又是數(shù)學(xué)的挑戰(zhàn) （說到乘法交換律還想提起，現(xiàn)實解釋與是可以有區(qū)別的，比如，一個人生病了，醫(yī)生開了30個藥片，每天吃3次，每次吃1片，連吃10天病就好了；反之，每天吃1次，每次吃10片，連吃3天可能就把人吃死了但去掉“吃好”與“吃死”不同現(xiàn)實的具體形式與生活內(nèi)容，可得出數(shù)學(xué)上的乘法交換律）案例5 “倒數(shù)”的負(fù)情境在講解“倒數(shù)”時，某教師作了這樣的設(shè)計，引導(dǎo)學(xué)生“杯子可以倒過來，數(shù)可以倒過來嗎?”“上海自來水來自海上，可以倒過來念還是上海自來水來自海上”結(jié)果學(xué)生出現(xiàn)了26的倒數(shù)是62（金小君創(chuàng)設(shè)有效情景，讓課堂煥發(fā)活力成才之路，2008，6）解釋 “倒數(shù)”對于分?jǐn)?shù)而言

26、確有顛倒分子分母的形式，但這不是概念的本質(zhì)特征（相乘等于1），句子倒過來念更與“倒數(shù)”概念毫不相干，于是，所引入的情境不具有“倒數(shù)”的必要因素與必要形式，對學(xué)生的學(xué)習(xí)產(chǎn)生了負(fù)面效應(yīng)如同數(shù)學(xué)上負(fù)數(shù)比零更小，教學(xué)中負(fù)情景不會比零情景更好案例6勾股定理的教學(xué)設(shè)計教師設(shè)計：測量你的兩塊直角三角尺的三邊長度，并將各邊的長度填入下表：根據(jù)已經(jīng)得到的數(shù)據(jù)，請猜想三邊的長度之間的關(guān)系解釋 （1）這個活動的設(shè)計值得商榷，一塊任意的三角板，它的三邊長很可能并非整數(shù)讓學(xué)生猜想三邊長分別為3、4、5或者5、12、13的直角三角形三邊的關(guān)系，就已經(jīng)不是容易的事，比如，學(xué)生可以由和，猜想，更何況要猜想三個非整數(shù)之間的平方

27、關(guān)系這樣處理，容易導(dǎo)致學(xué)生盲目的猜想和虛假的探究，在這“盲目”和“虛假”中知識夾生、變相填鴨和浪費時間（2）關(guān)于數(shù)學(xué)探究請注意靠測量和觀察只能得出猜想, 得到的猜想必須證明才是數(shù)學(xué)結(jié)論大家意見相同不能算數(shù)學(xué)結(jié)論，要演繹證明，確認(rèn)一般性（3）這種探究沒有勾股定理的本質(zhì)：直角四三角形的代數(shù)描述案例7 “用字母表示數(shù)”的導(dǎo)入情景（老師想通過蘭州拉面引入，上一次條數(shù)為，下一次條數(shù)為）師：同學(xué)們，早餐吃過了嗎? 生：吃過了師：你們都吃了什么早餐?生：面包，稀飯，餅干師(感覺不太好)：有吃過拉面嗎?生：沒有師：拉面怎么做的?生用手比畫師：做拉面，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律嗎?生：拉面越拉越長師：還有其他規(guī)律嗎?生茫

28、然，師無奈師：拉面拉長后條數(shù)怎樣變化?生：越來越多師(不得已)：任意多次后，拉面條數(shù)可以表示為，這就是今天學(xué)習(xí)的用字母表示數(shù)，引出課題（金小君創(chuàng)設(shè)有效情景，讓課堂煥發(fā)活力成才之路，2008，6）解釋：（1）這節(jié)課教師提供的情境太發(fā)散，徒然浪費了時間形式主義與繁瑣哲學(xué)的情景實際上是一種“負(fù)情景”，它既增加教學(xué)夾生的風(fēng)險，又進(jìn)行了生命的奢侈消費（2）小學(xué)學(xué)習(xí)的字母運用主要有三種情況：情況1：用字母表示單位或數(shù)量如用表示千克、用表示厘米、用表示高、用表示時間等，無論哪種情況，都是有關(guān)詞語的“縮寫”，還不是代數(shù)學(xué)上的符號表示情況2：用表示未知數(shù)這是小學(xué)用字母表示數(shù)的主要思維成果，所以，初中學(xué)生一遇到字

29、母時，都會習(xí)慣性地認(rèn)為是未知量情況3：用字母表示規(guī)律如運算律和圖形的周長、面積計算公式等，有加法的交換律和結(jié)合律、乘法的交換律和結(jié)合律、乘法對加法的分配律；計算三角形、長方形、平行四邊形、圓的周長、面積公式；計算長方體、正方體、圓柱體的體積和表面積公式、圓錐的體積公式等這些表示中，包括數(shù)與字母、字母與字母的運算（2）初中學(xué)習(xí)用字母表示數(shù)，關(guān)鍵在于提高、提高的關(guān)鍵在于抽象，在于抽象程度的提高，談幾點相關(guān)的看法 看法1：關(guān)鍵在抽象在數(shù)學(xué)發(fā)展史上，從丟番圖用縮寫的字母表示數(shù)到韋達(dá)用字母表示一般意義上的數(shù)，用了整整1200年，經(jīng)歷了三個歷史階段：文辭代數(shù)縮寫代數(shù)符號代數(shù)，要學(xué)生在短短的45分鐘內(nèi)，走過

30、人類認(rèn)識提升的漫長歷史，關(guān)鍵在抽象從具體事物到數(shù)字是第一次抽象（比如，從一個人、一棵樹、一張桌子抽象出自然數(shù)“1”，但誰也沒有見過“1”，生活中從來就沒有數(shù)學(xué)上抽象的“1”），從具體數(shù)字到字母（用字母代替數(shù)）是第二次抽象看法2：抽象的本質(zhì)用字母表示數(shù)的數(shù)學(xué)本質(zhì)，不僅是字母“代替”文字、“代替”數(shù)字的過程，而且更是具體數(shù)字符號化和形式化的抽象過程，更是靜態(tài)數(shù)字一般化、動態(tài)化的活化過程它是人類認(rèn)識從算術(shù)到代數(shù)的一次飛躍這時，字母既可以表示已知量又可以表示未知量，既可以表示常量又可以表示變量，還可以表示這個數(shù)量在不斷的運動變化中看法3：用字母表示數(shù)的學(xué)術(shù)意義符號的使用是數(shù)學(xué)表達(dá)和進(jìn)行數(shù)學(xué)思考的重要形

31、式用字母表示數(shù)的抽象性可以超越各類數(shù)量的實際情境或具體特點，給我們帶來字母表示任何數(shù)、任何量的方便，以后還可以用字母表示元素，表示集合，表示向量，表示矩陣等用字母表示數(shù)的一般性使代數(shù)變得更能適應(yīng)普遍的場合，大大擴(kuò)展了代數(shù)的應(yīng)用范圍，大大促進(jìn)了代數(shù)的發(fā)展（有一種觀點認(rèn)為：缺少數(shù)學(xué)符號是制約中國古代數(shù)學(xué)發(fā)展的一個原因）用字母表示數(shù)的形式化可以簡潔而準(zhǔn)確地表示事物的復(fù)雜關(guān)系，有利于數(shù)學(xué)的表達(dá)、研究、傳播和交流，使代數(shù)真正發(fā)展成為一門關(guān)于形式運算的學(xué)科（科學(xué)語言）用字母表示數(shù)是用字母來代替數(shù)字或式子，并形成符號結(jié)構(gòu)的一種思想它是發(fā)展符號意識，進(jìn)行量化刻劃的基礎(chǔ)，也是從常量研究過渡到變量研究的基礎(chǔ)從“用

32、字母表示數(shù)”到用字母表示未知元、表示待定系數(shù)、表示函數(shù)、表示字母變換等，是一整套的代數(shù)方法代數(shù)思維的突出特征從過程到對象(凝聚)，離不開用字母表示數(shù)的思想方法具體解題中引進(jìn)輔助元法、待定系數(shù)法、換元法等都體現(xiàn)了“用字母表示數(shù)”的作用這些小例子表明，現(xiàn)實向我們提出了從理論到實踐的挑戰(zhàn)、向我們提出了從教學(xué)到數(shù)學(xué)的挑戰(zhàn)我們認(rèn)為，這是教師專業(yè)化發(fā)展的一個歷史良機(jī)，建議同行們通過“行動研究”的方式來解決現(xiàn)實問題，通過反思性的實踐來促進(jìn)自身的水平提高1-2-2 問題涉及的關(guān)系（1）關(guān)注過程和關(guān)注結(jié)果的關(guān)系；（過程與結(jié)果，預(yù)設(shè)與生成）沒有過程的結(jié)果是事實的外在灌輸，沒有結(jié)果的過程是時間的低效消費過程與結(jié)果并

33、重精心預(yù)設(shè)是精彩生成的基礎(chǔ)，精彩生成是教學(xué)觀念、教學(xué)能力和精心預(yù)設(shè)的升華預(yù)設(shè)與生成并重（2）學(xué)生自主學(xué)習(xí)和教師講授的關(guān)系；（教師與學(xué)生，講授與探究）（形式主義：必須撤講臺擺桌子，必須先學(xué)后講，教師講不得超過10分鐘，）學(xué)生為主體、教師為主導(dǎo)（在課堂教學(xué)中，教師是主導(dǎo)性主體，其對象性活動指向?qū)W生；學(xué)生是發(fā)展性主體，其對象性活動指向自身發(fā)展，教學(xué)是在這種師生雙主體的關(guān)系下開展的主體性活動）歷史上是先有探究學(xué)習(xí)后有接受學(xué)習(xí)；講授法不是萬能的，沒有講授法是萬萬不能的；講授與探究結(jié)合（3）合情推理和演繹推理的關(guān)系；（歸納與演繹）數(shù)學(xué)上有兩種類方法，一類是發(fā)現(xiàn)的方法，一類是論證的方法直覺用于發(fā)現(xiàn)（有利于創(chuàng)

34、新但未必可靠），邏輯用于證明（可靠但不利于創(chuàng)新）應(yīng)既教猜想又教論證（4）生活情境和知識系統(tǒng)性的關(guān)系；（生活經(jīng)驗與知識體系）生活中只有數(shù)學(xué)的原型和數(shù)學(xué)的應(yīng)用，誰見過數(shù)學(xué)上的“1”、幾何上的“點”？缺乏直觀的概念是盲目的，缺乏概念的直觀是空虛的，數(shù)學(xué)教學(xué)既要有“引進(jìn)的情景化”，又要有“提煉的去情景化”（數(shù)學(xué)化）形式主義與繁瑣哲學(xué)的情景實際上是一種“負(fù)情景”，它既增加教學(xué)夾生的風(fēng)險，又進(jìn)行了生命的奢侈消費（5）改革與繼承的關(guān)系（傳統(tǒng)與創(chuàng)新）用一句話來概括中國數(shù)學(xué)教育的特色，那就是：“在良好的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)上謀求學(xué)生的數(shù)學(xué)發(fā)展”這里的“數(shù)學(xué)基礎(chǔ)”， 其內(nèi)涵就是三大數(shù)學(xué)能力：數(shù)學(xué)運算能力、空間想象能力、 邏輯

35、思維能力；這里的“數(shù)學(xué)發(fā)展”是指：提高用數(shù)學(xué)思想方法分析問題和解決問題的能力，促進(jìn)學(xué)生在德智體各方面的全面發(fā)展與此相應(yīng)的教學(xué)方式，則是貫徹辯證唯物主義精神，進(jìn)行“啟發(fā)式”教學(xué)，關(guān)注課堂教學(xué)中的數(shù)學(xué)本質(zhì)， 倡導(dǎo)數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)，運用“變式”進(jìn)行練習(xí)，加強(qiáng)解題規(guī)律的研究（參見張奠宙關(guān)于中國數(shù)學(xué)教育的特色與國際上相應(yīng)概念的對照人民教育，2010，2） 如何繼承而又促進(jìn)學(xué)生的發(fā)展？ 應(yīng)該把教學(xué)的主動權(quán)交給教師，有關(guān)部門可以提出指導(dǎo)性意見（如提出四種方式學(xué)習(xí)方式：除接受學(xué)習(xí)外，動手實踐、自主探索與合作交流同樣是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式），具體實施由教師決定以前，行政決定農(nóng)民怎樣種地，糧食不夠吃，后來，農(nóng)民決定

36、怎樣種地，糧食吃不完新課程面臨問題是對教師的學(xué)習(xí)愿望與學(xué)習(xí)潛能的喚醒與激發(fā),是對教師反思、變革、實踐能力的有效培植（不是教師不適應(yīng)、不合格才需要培訓(xùn)，而是教師要學(xué)習(xí)、要成長、要發(fā)展才需要培訓(xùn)）課程改革與教師專業(yè)發(fā)展之間存在著良性循環(huán)：一方面，課程改革為教師專業(yè)發(fā)展提供機(jī)會，并促進(jìn)教師的專業(yè)發(fā)展；另一方面，教師的專業(yè)發(fā)展是課程改革的重要支撐，課程改革也因教師活躍的身影和創(chuàng)造的激情而充滿活力課程改革使得中國成為最需要教育家的時候，也成為最可能產(chǎn)生教育家的時候2 案例研究的理論提煉2-1 案例研究的理論支持2-1-1 對教育研究方法的反思對教育研究方法的反思導(dǎo)致了幾個轉(zhuǎn)向，如：（1）支撐教師教育的理

37、念根基已由以往的關(guān)注“理論”轉(zhuǎn)向關(guān)注“實踐”、關(guān)注“課堂”；“聽了未必接受”傳播學(xué)的“認(rèn)知不協(xié)調(diào)”理論認(rèn)為，人們總是回避同自己原有認(rèn)知要素對立的不協(xié)調(diào)信息，而積極接觸與之協(xié)調(diào)的信息“接受了未必會用”哲學(xué)認(rèn)識論的“默會知識論”指出，專業(yè)人員所具有的知識很多是緘默（不能解釋）的、個性化的，而且鑲嵌于情境活動之中（需要“做中學(xué)”）才能學(xué)會實際上，大部分教師在參與講授為主的培訓(xùn)后，都很難把聽來的理論和技能運用到日常教學(xué)上，這已經(jīng)成為教師培訓(xùn)難以消解的困惑喬依斯與許瓦斯（Joyce & Showers,1982）的等組實驗發(fā)現(xiàn)，教師在課程培訓(xùn)的同時，如參與校內(nèi)同事間的互助指導(dǎo)，可有75% 的人能

38、在課堂上有效應(yīng)用所學(xué)的內(nèi)容；否則只有15%悟性較高的人能有同樣的表現(xiàn)（2）教育問題的研究從借鑒自然科學(xué)的精確描述轉(zhuǎn)向為對教育問題的理解和詮釋 越是追求精確，就越是脫離人類經(jīng)驗，于是，“案例教學(xué)”、“教育敘事”、“行動研究”等應(yīng)運而生（3）教師發(fā)展從理論培訓(xùn)到校本教研的興起，以校為本的教研，其核心要素是：實踐與反思，交流與合作，引領(lǐng)與創(chuàng)新2-1-2 教師知識組成的新認(rèn)識通常認(rèn)為，數(shù)學(xué)教師的知識組成包括教育學(xué)知識、數(shù)學(xué)系統(tǒng)知識、數(shù)學(xué)教學(xué)知識諸方面，而美國舒爾曼的研究表明：教師專業(yè)知識結(jié)構(gòu)由三類知識構(gòu)成，即（1）原理規(guī)則知識；（2）專業(yè)的案例知識（3）運用原理規(guī)則于特殊案例的策略知識這就從教師的知識

39、分類上將教育教學(xué)案例納入到教師的知識系統(tǒng)，并且后兩者都屬于內(nèi)隱知識這些知識以及創(chuàng)造性解決問題的能力，僅僅依靠現(xiàn)成書本的格式化知識的傳授是無法獲得的（冰山的水下部分）2-1-3 范良火博士論文的結(jié)論范良火在其博士論文中研究得出：教師教學(xué)知識的最重要來源是（1）自身的教學(xué)經(jīng)驗和反思； （2）和同事的日常交流至于職后培訓(xùn)、當(dāng)學(xué)生時的經(jīng)歷、職前培訓(xùn)、閱讀專業(yè)報刊等都是其次的、第三、第四位的，教師自主的實踐中學(xué)習(xí)、及教師群體內(nèi)部的自主交流是對教師的專業(yè)發(fā)展貢獻(xiàn)最大的兩個方面2-1-4 顧泠沅“行動教育”模式（青浦經(jīng)驗：1977年，以初中一、二年級的數(shù)學(xué)常見題，對全縣中學(xué)最高年級的4373名學(xué)生進(jìn)行統(tǒng)考，

40、總平均分?jǐn)?shù)為111分，零分學(xué)生的比例高達(dá)235%，約有三分之二的學(xué)生連小學(xué)的分?jǐn)?shù)運算都不熟練經(jīng)過近九年的改革，青浦縣的數(shù)學(xué)質(zhì)量從七十年代的全市最低水平開始逐年穩(wěn)步上升，1985年初中升學(xué)考試數(shù)學(xué)成績，全市各區(qū)縣平均為697分，青浦縣平均為791分）顧泠沅在上海的調(diào)查研究表明：（1）保持同事間的互助指導(dǎo)，還須注重縱向的理念引領(lǐng)；（防止蘿卜煮蘿卜還是蘿卜）（2）保持側(cè)重討論式的案例教學(xué)，還須包含行為跟進(jìn)的全過程反思（3）因此在通常的教師培訓(xùn)形式之外，構(gòu)建了以課例為載體、專業(yè)引領(lǐng)與行為跟進(jìn)相統(tǒng)整的“行動教育”模式，為教師在職教育提供了一種有價值的選擇基本模式如下圖所示 圖62-1-5 我的個人體會我

41、是在耀縣水泥廠當(dāng)了十年礦山職工之后調(diào)到子弟當(dāng)中學(xué)教師的（1978），既不懂?dāng)?shù)學(xué)又不懂教學(xué)，不懂就學(xué)，通過分析教學(xué)案例學(xué)教學(xué)，通過分析解題案例學(xué)解題記得我當(dāng)中學(xué)教師時（1978-1986）常常問自己：有專業(yè)學(xué)者的功底嗎？有教育理論家的修養(yǎng)嗎？有教學(xué)藝術(shù)家的氣質(zhì)嗎？有青年導(dǎo)師的榜樣形象嗎？如果我們沒有向這四個方向努力，我們怎能心安理得地面對充滿求知渴望的孩子，又怎能問心無愧地面對我們的崇高職業(yè)和激情人生？我的體會是“案例研究”促進(jìn)了我所有這四個方面的發(fā)展，所以，我今天選擇了這樣一個經(jīng)驗話題來與大家交流2-2 名詞解釋 “案例”一詞源于法學(xué)，就是一個案件，哈佛法學(xué)院將案例應(yīng)用于法律人才的培養(yǎng)，產(chǎn)生案

42、例教學(xué)；哈佛工商學(xué)院將其移植于工商管理人才的教學(xué)，取得顯著成效；之后，人們把“病例”用于醫(yī)生培養(yǎng)，把“戰(zhàn)例”用于軍官培養(yǎng)，把“課例”用于教師培養(yǎng)，都叫做案例教學(xué)伴隨案例教學(xué)而進(jìn)行的分析、反思、提煉又促進(jìn)了“案例研究”的發(fā)展這里有三個詞：案例、案例教學(xué)、案例研究案例是一個教學(xué)實例，案例教學(xué)是一種教學(xué)方法，案例研究是一類研究方法三者既有聯(lián)系又有區(qū)別2-2-1 案例（課例）（1）界定：數(shù)學(xué)教育上的案例是具有典型意義的教學(xué)過程的描述對于數(shù)學(xué)教學(xué)上的案例，我們更習(xí)慣叫做課例（或個案），在形式上，可以是體現(xiàn)教育理論與教學(xué)技能的課堂實錄，可以是學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)的生動故事，可以是教師教數(shù)學(xué)的有趣設(shè)計，還可以是教學(xué)實

43、踐中遇到的意外與困惑的事件為了教學(xué)研究的需要，課例的敘述可以對課堂信息的攝取有所側(cè)重，對課堂之外的情況（如教師、學(xué)生的背景）及心理活動有所描述（動機(jī)、態(tài)度、思想、意圖、需要等），這就使得用于教學(xué)分析的課例與記錄教學(xué)實驗的課例略有區(qū)別創(chuàng)作課例可以是一種“教育敘事”，用記敘文的體裁表示出來（2）作用：教學(xué)課例包含有充分多的信息（可以代表一類事物），蘊含一定程度的理論原理，反映了教學(xué)實踐的經(jīng)驗與方法，滲透著對特定教學(xué)問題的深刻反思，可以幫助數(shù)學(xué)教師樹立一種觀念，明白一個道理，理解一個概念，學(xué)到一種方法；案例是了解教學(xué)的窗口，是問題解決的源泉，是教學(xué)理論的故鄉(xiāng)，是教師發(fā)展的階梯（3）特征：典型性、研究

44、性、啟發(fā)性2-2-2 案例教學(xué)（1）界定：案例教學(xué)是一種通過典型教學(xué)過程（課例）的分析來學(xué)習(xí)教育理論與教學(xué)技能的教學(xué)方法它與傳統(tǒng)的講授法不同，強(qiáng)調(diào)教與學(xué)雙方直接參與，共同對案例或疑難問題進(jìn)行討論案例教學(xué)突出體現(xiàn)了 教學(xué)內(nèi)容， 學(xué)習(xí)方式， 教育觀念的轉(zhuǎn)變這是一種研究性學(xué)習(xí)（2）教師培訓(xùn)中的案例教學(xué)可分成3個步驟來實施：教員提供課例，學(xué)員體會情景較長的課例可以課前提供，較短的情節(jié)可以隨堂呈現(xiàn)提供的方式可以是書面材料、錄相或口頭敘述（參見后面的例子）教員組織討論，學(xué)員分析材料這是一個師生互動、生生合作的學(xué)習(xí)過程一般說來，每個課例都可以從多個角度進(jìn)行分析，每個學(xué)員又都有自己的興趣指向，如果引導(dǎo)啟發(fā)不當(dāng)

45、，有的學(xué)員會不知從什么地方開始談，有的學(xué)員會只談現(xiàn)象與技節(jié)因此，教師要充分了解課例的內(nèi)容，提前進(jìn)行精心的準(zhǔn)備，臨場還得有機(jī)敏靈活的動態(tài)調(diào)節(jié)為了使討論相對集中，可以隨課例的呈現(xiàn)提出幾道重點思考題 在案例教學(xué)中，教師更多地從講臺站到了學(xué)員的背后，聰明不是由教師告訴、而是由學(xué)員自己去獲得 教員總結(jié)評述，學(xué)員掌握原理這一步主要由教師進(jìn)行，教師的總結(jié)首先要有理論深度，使學(xué)員確實學(xué)到東西；其次要體現(xiàn)現(xiàn)場討論的情況 老師們在日常教學(xué)中，可以獨立地進(jìn)行經(jīng)常性的課例分析，也可以以教研組為單位開展交流需要說明的是：案例教學(xué)與舉例說明是不同的；課例分析與評優(yōu)課、或說課也是不同的然而，課例分析水平的提高，可以促進(jìn)所有

46、這幾方面水平的提高 2-2-3 案例研究（1）界定：在對典型教育事件進(jìn)行具體描述的基礎(chǔ)上，通過分析、歸納和解釋，概括出具有普遍性結(jié)論的研究方法，叫做案例研究在案例研究中，作為研究素材的一個或多個案例本身是研究的一部分，對案例的收集、整理和敘述本身體現(xiàn)著研究者的研究旨趣和研究立場，但是，案例素材本身并不是理論，需要研究者對案例素材進(jìn)行分析、解釋、判斷和評價，形成特定的理論從這個意義上說，案例研究是從具體經(jīng)驗事實走向一般理論的一種研究工具（相當(dāng)于生物學(xué)研究中的標(biāo)本）案例研究突破了理論脫離實踐的困境，建構(gòu)了與實際問題緊密相連的知識體系，便于教師結(jié)合自己的教學(xué)實際開展研究（2）分析的視角通過現(xiàn)場聽課、

47、錄像播放、文本閱讀等獲得案例是很方便的，但是，怎樣開展案例研究呢？我們建議抓住三個主要視角 數(shù)學(xué)的視角（主要看數(shù)學(xué)功底）內(nèi)容結(jié)構(gòu)：數(shù)學(xué)內(nèi)容充實、完整，邏輯線路明晰知識構(gòu)建：原有知識經(jīng)驗明確，有構(gòu)建新知識的合理過程數(shù)學(xué)概念：清晰、準(zhǔn)確，有發(fā)生過程 數(shù)學(xué)論證：科學(xué)、正確，有思維揭示 數(shù)學(xué)思想：有數(shù)學(xué)思想方法的滲透、提煉或闡明 教學(xué)的視角（主要看教學(xué)能力）教學(xué)目標(biāo)：體現(xiàn)三維目標(biāo)，定位準(zhǔn)確，教學(xué)性質(zhì)清楚教學(xué)要求：恰當(dāng)、適合學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)教學(xué)方法：創(chuàng)設(shè)發(fā)現(xiàn)情景，鼓勵探索質(zhì)疑，多向交流溝通，促成意義建構(gòu)教學(xué)過程：有序、完整，思路清晰，使用多媒體，激勵性評價教學(xué)效果：突出了重點、突破了難點，實現(xiàn)了教學(xué)目標(biāo)

48、觀念的視角已經(jīng)進(jìn)行了十幾年的數(shù)學(xué)新課改課堂，我們的眼光不要停留在十幾年前，觀察課堂、尋找特色，應(yīng)該與時俱進(jìn)，有新的認(rèn)識： 新課改所倡導(dǎo)的教學(xué)理念經(jīng)過十幾年的貫徹，必然會與數(shù)學(xué)學(xué)科特征有機(jī)結(jié)合，產(chǎn)生出既區(qū)別于其他學(xué)科、又區(qū)別于傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)新特色其實質(zhì)是創(chuàng)新新輸入的課改理念經(jīng)過十幾年的貫徹，必然會與數(shù)學(xué)教育的中國道路相互作用，促進(jìn)中國數(shù)學(xué)教育在新課程背景下的現(xiàn)代發(fā)展其實質(zhì)還是創(chuàng)新如今的數(shù)學(xué)教學(xué)大體上都是：以問題情景作為課堂教學(xué)的平臺，以“數(shù)學(xué)化”作為課堂教學(xué)的目標(biāo)，以學(xué)生通過自己努力得到結(jié)論（或發(fā)現(xiàn)）作為課堂教學(xué)內(nèi)容的重要構(gòu)成，以“師生互動”作為課堂學(xué)習(xí)的基本方式就是說，數(shù)學(xué)現(xiàn)實、數(shù)學(xué)化、再創(chuàng)造

49、、師生互動是四個關(guān)鍵詞最重要的是能從這些視角里看清基本事實，并用這些事實去分析相關(guān)的數(shù)學(xué)處理、解釋相關(guān)的教學(xué)行為當(dāng)然，課例分析的共識有的只能作為教師的營養(yǎng)，間接進(jìn)入課堂，而有的則可以直接進(jìn)入課堂，這兩方面都將促進(jìn)教學(xué)的發(fā)展課例分析不應(yīng)是“空對空”的“紙上談兵”，而應(yīng)該是“實對實”的“行動研究”（還可參見：全國中學(xué)青年數(shù)學(xué)教師優(yōu)秀課評價標(biāo)準(zhǔn)（修訂版），中國數(shù)學(xué)教育2012年第6期）3 案例分析的實踐3-1 案例8 “四邊形內(nèi)角和”的教學(xué)第1、案例的呈現(xiàn)2005年的一次教研會上，兄弟單位介紹了“四邊形內(nèi)角和”的教學(xué)，分兩步介紹如下：（1）教師在兩個水平相當(dāng)?shù)陌嗌纤M(jìn)行的學(xué)習(xí)活動是一樣的，都組織學(xué)生

50、去探究，找出的解題途徑也大體相同，如圖7所示 圖7教師總結(jié)講評后，在一個班（記為A班）增加了一個環(huán)節(jié)，組織學(xué)生討論在這“一題多解”的背后，有什么共同的地方“化歸為三角形的內(nèi)角和”；另一個班（記為B班）沒有這個環(huán)節(jié)（2）25天后，組織了一次測試，求圖8中各角之和（凹五邊形的內(nèi)角和），結(jié)果，A班有89 %的學(xué)生能夠完成，B班有25%的學(xué)生能夠完成在所完成的同學(xué)中，多數(shù)都是連結(jié)兩條輔助線，如圖9轉(zhuǎn)化為3個“三角形的內(nèi)角和”之和來解決圖8圖9 第2、案例的分析（大家討論） 聽完這個敘述之后，我們要問：（1）你最突出的感受是什么？說出你最想說的話來為了把思考引向深入，我們還要繼續(xù)問：（2） 課例說了些什

51、么事實？這些事實說明了什么道理？為什么會有89 %與25%的差距？教師的教學(xué)與研究能否結(jié)合起來？怎樣認(rèn)識圖9的正確解答？從這個課題中能提煉哪些數(shù)學(xué)思想方法？（討論發(fā)言，這個討論的一個目的是滲透“數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)”） 下面是我們的初步總結(jié)這是一個簡明而又富于啟發(fā)性的案例，描述了一個微型教學(xué)實驗，有實驗假設(shè)、有實驗過程、有變量控制、有效果測試，以“化歸思想提煉”為自變量，以“問題解決水平”為因變量，之間的因果關(guān)系存在明顯的正相關(guān)這是把教學(xué)與研究結(jié)合起來，把教學(xué)納入到學(xué)術(shù)研究的軌道我們在這里作出4點分析（1）進(jìn)行數(shù)學(xué)思想方法的提煉是可行和有效果的在A班的討論顯化了數(shù)學(xué)內(nèi)容和數(shù)學(xué)方法所隱含的本質(zhì)思想

52、化歸；在B班沒有這一提煉，學(xué)生的認(rèn)識停留在“一題多解”的操作層面和化歸思想的“滲透”階段結(jié)果，進(jìn)行思想方法顯化提煉的班89%通過測試，未進(jìn)行顯化提煉的班只有25%通過測試，差異十分顯著，因而“進(jìn)行數(shù)學(xué)思想方法的提煉是可行和有效果的”這應(yīng)該是我們從案例的敘述中所獲得的最明顯的印象，而做法本身并不復(fù)雜，教師幾乎時時、事事、處處都可以做，這對破除“數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)”的神秘性很有沖擊力和啟示性，用數(shù)據(jù)說話也很有份量當(dāng)然，啟示的內(nèi)涵并不是每一課題都討論“有什么共同的地方？”一題多解可以這樣問，不是一題多解呢？還是這樣問就呆板了、僵化了遇到一題一解其實可以通過分析解題的過程與步驟，找出每一步的內(nèi)容與作用、

53、組織為整體的內(nèi)容與作用等，提煉出數(shù)學(xué)實質(zhì)與邏輯結(jié)構(gòu)于是內(nèi)在的思想方法就有機(jī)會浮出水面了，不浮出水面也能作為“隱性知識”而“滲透”在學(xué)生的思想里關(guān)鍵在于行動，在于有提煉數(shù)學(xué)思想方法的自覺性比如，分析圖8中的眾多解法的共同本質(zhì)，可得本質(zhì)思想1：化歸所有這些解法都是通過輔助線將“四邊形的內(nèi)角和”化歸為“三角形的內(nèi)角和”，它是“把一個未解決或較難解決的問題轉(zhuǎn)化為已解決或較易解決的問題”的一個具體形式本質(zhì)思想2：數(shù)形結(jié)合定理本身是數(shù)形結(jié)合的，從運算角度看，都是幾何上的“隱性和”，通過角的分割、轉(zhuǎn)移與合并，產(chǎn)生求和式的拆項、交換與結(jié)合，轉(zhuǎn)化為代數(shù)上的“顯性和”，數(shù)形結(jié)合又是一個本質(zhì)思想伴隨上述思想還有：本質(zhì)思想3：不變量變化，但和不變，體現(xiàn)了變動中的不變量本質(zhì)思想4：分解與組合化歸中圖形的分割、轉(zhuǎn)移與合并，代數(shù)和中數(shù)式的拆項、交換與結(jié)合，都體現(xiàn)了分解與組合（2）進(jìn)行數(shù)學(xué)教育的研究是人人都能做到的 這個案例本身就是一個微型實驗，有實驗假設(shè)、有實驗過程、有變量控制、有效果測試，以“化歸思想提煉”為自變量，以“問