第十章膨脹波和激波

1、第十章膨脹波和激波折角與波后氣流的馬赫數(shù)的關系。稱為Prandtl-Mayer函數(shù)，或Prandtl-Mayer角。它表示對于來流馬赫數(shù)為1時，經過膨脹后氣流速度達到M時，所能偏轉的角度。這個式子已經制成表格，在知道M數(shù)或后，從這個表格中可以查到另一個值。（三）對于來流馬赫數(shù)為M1而最后速度為M2,氣流總偏轉角為：如果壁面轉折是朝上的，膨脹波將沿逆時針方向，此時普郎特-梅耶角取正數(shù)。否則為負數(shù)。（也可以理解為取絕對值。）當最終馬赫數(shù)為,達到普郎特-梅耶角的最大可能值但這只是一個理論值，因為早在達到這個速度前，氣流就會冷凝了。例1馬赫數(shù)1.4的空氣，繞一外鈍角偏轉了200。已知來流的初始靜壓和靜

2、溫分別是p1=101325N/m2,T1=288K,求膨脹后氣流的馬赫數(shù)、靜壓和靜溫。解由來流馬赫數(shù)M1,可以查表或者根據(jù)Prandtl-Mayer角求得v1=8.987，這個角度表示音速的來流經過膨脹后氣流馬赫數(shù)為M1后的偏轉角。這樣，從音速的來流膨脹到M2的總偏轉角為v2=8.987+20=28.987再查表或計算得到M2=2.096。因為氣流經過膨脹波是絕能等熵的，所以總溫總壓不變，借此可以計算出波后靜壓和靜在連續(xù)轉折或凸曲面處的膨脹波。不論多道轉折，還是曲面轉折，在已知來流馬赫數(shù)后，只要知道氣流膨脹之后的馬赫數(shù)或者總的折轉角，便可求得另一個。例2拉瓦爾噴管的出口處，Me=1.2，氣流出

3、口處的總壓為3個大氣壓，問： 出口處氣流是膨脹還是壓縮？ 膨脹或者壓縮的氣流偏轉角多大？絕熱指數(shù)取1.4。解根據(jù)拉瓦爾噴管的出口總壓和馬赫數(shù)，可求得出口氣流的靜壓為：p=1.237因為這個壓力比環(huán)境壓力高，所以氣流必須繼續(xù)膨脹減壓為了求得氣流膨脹后的轉角，必須求得氣流膨脹后的馬赫數(shù)M2。根據(jù)膨脹波是絕能等熵的過程，而膨脹后氣流壓力必須達到環(huán)境壓力，因此可以求出氣流膨脹后的馬赫數(shù)為：說明拉瓦爾噴管的作用是依靠氣流加速產生推力的，當出口處產生膨脹時，表明氣流在噴管內膨脹不足，因此這個工作狀態(tài)下，噴管是損失掉能量了。常說這是噴管被截短了。(七)氣流繞凹曲面等熵壓縮是膨脹波的逆過程，也可以用普郎特4每

4、耶膨脹波理論解決。參見課本例題2。需要特別指出，等熵壓縮也稱為微弱壓縮，而且等熵壓縮波最后會匯總在一起，形成強烈的壓縮，那里壓縮不再是等熵的。2、激波(shockwave)理論1. 激波的特征當超音速氣流流過大的障礙物時，氣流在障礙物前受到急劇的壓縮，壓力和密度突然顯著增加。所產生的壓力擾動波以比音速大得多的速度傳播，波面所至之處氣流參數(shù)發(fā)生突然的變化，這種強壓力擾動波稱為激波或沖波。氣流通過激波時，速度下降，而壓力、密度和溫度增加?？倻夭蛔兊倝航档汀Ｒ虼诉@是一個熵增過程，換言之是一個不可逆過程。激波是由許多微弱擾動波迭加而成的，有一定強度的壓縮波。2. 激波的分類(1) 正激波激波面與氣流

5、來流方向垂直，氣流經正激波后不改變來流方向。(2) 斜激波激波面與氣流來流方向不垂直，氣流經斜激波后要改變流動方向。(3) 曲激波(或稱弓形激波、脫體激波)由正激波(在中間部分)和斜激波系組成。3. 激波的厚度在無粘性不導熱的理想氣體中，激波成為無厚度的數(shù)學上的間斷面。在實際氣體中，由于粘性和熱傳導，激波是一個極薄的過渡區(qū)，厚度與氣體分子的平均自由行程(心10-5mm)同一數(shù)量級。各氣體參數(shù)是在這個極小厚度內連續(xù)變化，所以也可以把激波看作是一個不連續(xù)的間斷面。4. 波阻超音速氣流經過激波后，部分動能不可逆地轉變?yōu)闊崮芏鴵p失掉，因而產生一種超音速氣流所特有的阻力損失，稱為波阻。氣流通過正激波時波

6、阻最大。5、正激波參數(shù)計算基本方程取相對坐標系，把直管內的激波當作靜止的，這樣是超音速來流穿過激波。波前參數(shù)是pl、T1、p1、V1；波后參數(shù)為p2、T2、p2、V2。取包圍激波的一個控制體，可以使用積分形式方程建立波前波后氣流的基本方程。思考：為什么不能用微分方程？連續(xù)方程：動量定理：能量方程：狀態(tài)方程：借助于上面這個一維流的氣體動力學方程組，可以得到關于激波參數(shù)計算的四組公式。它們分別是：Prandtl激波關系式；波前波后氣流參數(shù)關系；Ranking-Hugioniut關系；總壓損失關系式（或稱熵增關系式）。正激波基本關系式之一普郎特激波公式這個關系表明，正激波后氣流總是亞音速的。

7、6;（Y=1>4）當M1->OO，那么正激波后最小的馬赫數(shù)M2=0.378【證明】用動量方程除以連續(xù)方程，得到由于能量方程可寫成正激波的激波關系之二波前波后氣流參數(shù)比與波前馬赫數(shù)的關系可見，波前波后參數(shù)之比只取決于波前M數(shù)從上面的關系式可以分析出： 如果波前馬赫數(shù)無限大，則壓強比也是無限大。這意味著，來流越強，激波也越強?？梢酝ㄟ^激波實現(xiàn)任意大壓強的壓縮° 因為波前馬赫數(shù)無限大時，密度之比有一個極限：（r+1）/（r-1）。所以通過激波不可能實現(xiàn)無限高密度的壓縮°還可以得到總壓比的關系式（請自己思考）。激波關系之三Rankine-Hugoniut關系這組

8、關系描述了波前波后氣流參數(shù)比之間的相互聯(lián)系。Rankine-Hugoniut關系式的重要性在于，它對于任何激波都是正確的。激波關系之四激波的熵增關系因為經過激波后，氣流總壓變化，而總溫不變。所以由于波后，氣流總壓下降，所以氣流的熵必然增加。6、斜激波斜激波與正激波的關系超音速氣流經過一個楔角為S的楔形時，氣流被迫轉向了S，如果超音速氣流足夠強，則在楔形的頂部產生一道斜激波，把斜激波與來流方向的夾角B稱為激波角，而B稱為氣流偏轉角（氣流角）。按動量方程，可以證明氣流沿切向的分速在波前波后是不變的（自己分析）。而法向速度穿過激波時是變化的。從氣體動力學基本的積分方程可知，氣流參數(shù)的變化可以如下考慮

9、：即在正激波的關系式中，如果遇到速度（包括馬赫數(shù)或速度系數(shù)），則用斜激波的法向分速代替之，就得到穿過斜激波后氣流參數(shù)的變化。因為波前波后氣流的法向速度分別為：斜激波的激波關系式：1、波前波后氣流速度這表明，斜激波后氣流的法向速度必定是亞音速的，因為波前氣流法向速度必定是超音速的。但是波后氣流的總速度可以是亞音速或者可以是超音速的，因為還取決于切向分速。至于為什么斜激波前氣流法向速度必定是超音速的，這可以從下面的壓強比關系可以看出2、斜激波前后氣流參數(shù)比與來流馬赫數(shù)的關系即V1n>C1，因此斜激波前法向速度必定是超音速的。氣流偏轉角與激波角的關系對于斜激波的計算，最重要的就是確定這

10、兩個角度。通常知道一個而需要求另一個。因為通過激波面的流量與沿波面的分速VT無關，故連續(xù)性方程可寫為：p1V1n=p2V2n這就是斜激波的激波角與氣流偏轉角、及波前馬赫數(shù)M1之間的關系?！菊f明】1、這個公式計算起來是困難的，但是可以通過查斜激波表或者斜激波圖得到。2、最重要的在于，這個表中一個M1和一個對應了兩個。這兩個解分別稱為強解和弱解，分別對應了大的和小的。到底取哪個解，必須根據(jù)具體問題而定。實驗指出，這兩道激波中較弱的一道最常發(fā)生，特別是尖頭體前面的附體激波。但是如果下游壓力極高，就有可能產生強激波解。如果不能肯定到底是哪道激波，那么可以先按弱激波計算，再看看這個計算的結果跟下游的參數(shù)是否符合。例2】空氣流過一個無摩擦的表面并偏轉S=15，已知M1=3,p1=101325N/m2,T1=300K。假定產生一道弱激波，試求：波后氣流的馬赫數(shù)、壓強、密度和速度?！窘狻扛鶕?jù)來流M數(shù)及氣流偏轉角，可以查得激波角為：B=32.2404利用激波角和來流馬赫數(shù)，可以得到波前波后氣流參數(shù)比，比如脫體激波對于一個給定的來流馬赫數(shù)M1,氣流的偏轉角&有一個極限值&max。超過了這個極限值后，激波不再附體而離開物體形成脫體激波。因為氣流角對應了激波角,所以對應有一個極限的激波角Bmax對給定的M1,按此式可求出最大的激波角，再按激