第二型曲線積分與曲面積分的計(jì)算方法

1、第二型曲線積分與曲面積分的計(jì)算方法摘要：本文主要利用化為參數(shù)的定積分法,格林公式,積分與路徑無(wú)關(guān)的方法解答第二型曲線積分的題目；以及利用曲面積分的聯(lián)系,分面投影法,合一投影法,高斯公式解答第二型曲面積分的題目.關(guān)鍵詞：曲面積分；曲線積分1引言第二型曲線積分與曲面積分是數(shù)學(xué)分析中的重要知識(shí)章節(jié),是整本教材的重點(diǎn)和難點(diǎn).掌握其根本的計(jì)算方法具有很大的難度,給不少學(xué)習(xí)者帶來(lái)了困難.本文通過(guò)針對(duì)近年來(lái)考研試題中常見(jiàn)的第二型曲線積分與曲面積分的計(jì)算題目進(jìn)行了認(rèn)真分析,并結(jié)合具體實(shí)例以及教材總結(jié)出其特點(diǎn),得出具體的計(jì)算方法.對(duì)廣闊學(xué)生學(xué)習(xí)第二型曲線積分與第二型曲面積分具有重要的指導(dǎo)意義.2第二型曲線積分例

2、1求I=J(exsiny-b(x+y)x+ex(cosy-ax)dy,其中a,b為正的常數(shù),L為從點(diǎn)A(2a,0)沿曲線y=J2axx2至U點(diǎn)o(0,0)的弧.方法一：利用格林公式法JLPdx+Qdy=JJ-dxdy,P(x,y),Q(x,y)以及它們的一階偏導(dǎo)數(shù)d'Ia兇)在D上連續(xù),L是域D的邊界曲線,L是按正向取定的.解：添加從點(diǎn)o(0,0)沿y=0到點(diǎn)A(2a,0)的有向直線段L1,I=LLiexsiny-bxydx、excosy-axdy-Liexsiny.bxy)dxexcosy.axdy記為I=I1T2,那么由格林公式得：I1=Hdxdy=口|excosya(excosy

3、b)dxdydd-=b-adxdy=ab-ad2其中D為L(zhǎng)iUl所圍成的半圓域,直接計(jì)算I2,由于在Li時(shí),y=0,所以dy=0因而：I2=J(_bxpx=-2a2b,從而+2a2b-a32222(I=11-12=ab-a?：'i12ab=22方法二：應(yīng)用積分與路徑無(wú)關(guān)化為參數(shù)的定積分法求解(D假設(shè)'P=K與路徑無(wú)關(guān)的條件,那么Ax1,y1PdxQdy二Bxo,yoxixo二y二xyiPx,yodxQxi,ydyyo(2)x=t,y=：tABPdxQdy=Pt,t'tQt,t'tdta是起點(diǎn)P是終點(diǎn)解：I=lexsiny-bxyiidxexcosy-axdy=f

4、Lexsinydx+excosydy-b(x+y)dx+axdy記為I=I1-12,對(duì)于I1,積分與路徑無(wú)關(guān),所以Jexsinydx+excosydy=exsiny$：)=0Ix=aasint對(duì)于I2,取L的參數(shù)方程S,t從0到冗,得y=asintb(x+y)dx+axdy-a2bsint-a2bsintcost-a2bsin21a3cos21a3costdt21213-2a2b-a2二a32223從而I=-2a2b-a322對(duì)于空間第二曲線一般的解題過(guò)程為：Pdx+Qdy+Rdz假設(shè)L閉合,P,Q,R對(duì)各元偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)dydzdzdxdxdyeex力zzPQRlPdxQdyRdz=L假設(shè)L非閉

5、,其參數(shù)方程為：.'MPxt,yt,ztx'tQxt,yt,zty'tRxt,yt,ztz'tdtx=xt其中：1y=yta,P分別為L(zhǎng)的起點(diǎn),終點(diǎn)參數(shù)值.產(chǎn)=中例2計(jì)算空間曲線積分1=巾y-zdx+zxdy+xydz,其中曲線L為圓柱面x2+y2=a2與平面-+-=1的交線a>0,h>0,從X軸正向看,ah曲線是逆時(shí)針?lè)较?方法一：化為參數(shù)的定積分計(jì)算,對(duì)于這種封閉的曲線要充分利用10,2上三角函數(shù)的正交性.=h1-cost解：令x=acost,y=asint,那么z=h11-a于是I=“asinth1costI：.asint|h1-cost-ac

6、ostacostacost-asinthsint'dt=-2二aah方法二：解：dydzT色dzdxy-zdxdycz.x-y-211dydzdzdxdxdyZ:h=-2i1,1,1,0,1dxdy=Daxyh-21dxdy-2二ahaDa3第二型曲面積分.2.例3計(jì)算曲面積分z十xdydzzdxdy,其中工為旋轉(zhuǎn)拋物面£z=1x2+y2介于平面z=0及z=1之間的局部的下側(cè).方法一：利用兩類曲面積分的聯(lián)系iiPdydzQdzdxRdxdycosPco-sQcosRdsi其中cos/cosp,cos¥是有向曲面工上點(diǎn)x,y,z處的法向量的方向余弦.解：n-：x,y,

7、-1,0.一,n=tcos：,cos：,cos:二；LX.T,下z1 x2y21x2y21x2y22 _.2x-11.“(z+xdydz-zdxdy=H(z+x)-=-z',-dsZZL,1+x2+y2V1+x2+y2z2xx2zx2z二zXxz=x一zds.1x2y21x2y2x2-x2y2=2d_1x2y2,1x2y2dxdy0dn2!o方法二：分面投影法如果工由z=zx,y怡合出,那么IlRx,y,zdxdy:-11R|x,y,zx,ydxdy、Dxy-如果z由x=x(y,z)給出,那么Px,y,zdydz=Ppy,z,y,zdydz3'、Dyz-如果工由y=yz,x給出

8、,那么iiQx,y.zdzdx：:11Q|x,yz,x,zdzdx4-Dzx一等式右端的符號(hào)這樣規(guī)定：如果積分曲面Z是由方程x=xz,yy=yx,z,z=zx,y所給出的曲面上前,右側(cè),應(yīng)取“+,否那么取“-解：zxdydz-zdxdy=zxdydz11zdxdyzzz222=zxdydz=zxdydz,11izxdydziiiz2,2z-y2dydziiiz2-_2z-y2dydzDyzDyz22-2ii2z-ydydz=4°dyy22z-ydz=4'Dyz萬(wàn)1oo12-2.zdxdy=-xydxdy=0cT0rdr=-4二'2Dxy22所以zxdydz-zdxdy

9、=8-Z方法三：合一投影法前面我們看到,按分面投影發(fā)計(jì)算曲面積分時(shí),對(duì)不同類型的積分項(xiàng)必須將曲面用不同的方程表示,然后轉(zhuǎn)化為不同坐標(biāo)面上的二重積分,這種方式形式上雖然簡(jiǎn)單但計(jì)算比擬繁瑣.事實(shí)上,如果上的方程z=zx,y,x,y"Dxy,Dxy是Z在xoy面上的投影區(qū)域,函數(shù)P,Q,R在工上連續(xù)時(shí),那么單位法向量為e=icos：,cos：,cosJ:二,=Zx2,=Zy2,12Zxy1ZxZy1.ZxZy1由于投影元素dydz=cosads,dzdx=cosdds,dxdy=cos尸ds,于是得到所以dydz=cos：ds=dzdx=cos:ds=cos：,cos：cosds:cosc

10、oscos:,cos:cosds=dxdy=-Zxdxdycoscosdxdy-Zydxdy11Px,y,zdydzQx,y,zdzdxRx,y,zdxdyZ=-.'P|x,y,zx,y)：Zxx,yQ|x,y,zx,y)：卜Zyx,yR|x,y,zx,yZdxdyDxy=.P-ZxQ-ZyRdxdyDxy等式右端的符號(hào)這樣確定：如果工是由方程所給出的曲面上側(cè),取“+,當(dāng)Z可用顯示方程y=y(z,x)或x=x(y,z)表示時(shí),只需注意到此時(shí)Z的法向-yx,i-y,-yx1,-xy,-xz,可得相應(yīng)公式.上述方法將上式中的三種類型積分轉(zhuǎn)化為同一坐標(biāo)面上的二重積分,故名為合一投影法解：z=

11、1x22又Z的下側(cè),+y2),Z在xoy面上的投影區(qū)域：DXy=(x,y)x2+y2<4),Zx=x,故由上式可得:21OO219iHzxdydz-zdxdyxyx-xx'、Dxy.-42!x2=x2y2dxdydIL2xyy2dxdyIdZ22rcos-方法四：高斯公式創(chuàng)Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=一,工cl改勾解：曲面不是封閉曲面,不能直接利用高斯公式,應(yīng)補(bǔ)面£仔=2的上側(cè),那么用圖斯公式z2xdydz-zdxdy=0dv=0二J所以z2xdydz-zdxdy-z2xdydz-zdxdy匚,二1又z2xdydz-zdxdy=011zdxdy-211dxdy=

12、-8二%i'iDxy2所以zxdydz-zdxdy=8Z4小結(jié)從以上對(duì)試題的分析,發(fā)現(xiàn)不同年份的命題,屢次考到相同的知識(shí)點(diǎn),并且吻合于通用教材教學(xué)中的難點(diǎn)重點(diǎn),雖然測(cè)試題目千變?nèi)f化,但教材的內(nèi)容相對(duì)穩(wěn)定,因此只有吃透教材,抓住重點(diǎn)難點(diǎn),克服盲點(diǎn)復(fù)習(xí),到達(dá)以靜制動(dòng).過(guò)本文的分析,希望對(duì)大家有一定的指導(dǎo)作用.指導(dǎo)教師：呂國(guó)亮參考文獻(xiàn)1 華東師大數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析下M,第三版.高等教育出版社,2001,224-231.2 劉玉璉,傅沛彳！等.數(shù)學(xué)分析講義下M,第四版.高等教育出版社,2003,375-388.3 林源渠,方企勤.數(shù)學(xué)分析解題指南M.北京大學(xué)出版社,2001,338-362.4 陳文燈.數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南M.世界圖書(shū)出版社,2000,276-287.