專題06 一次函數(shù)背景的最值-線段之差最值（解析版）中考數(shù)學(xué)通用函數(shù)專題滿分突破之一次函數(shù)篇

1、初中數(shù)學(xué)函數(shù)專題-一次函數(shù)第6節(jié) 一次函數(shù)背景的最值-線段之差最值 內(nèi)容導(dǎo)航方法點(diǎn)撥一、求線段之差的最值（1）在直線l同側(cè)有兩點(diǎn)A、B，在直線L上找一點(diǎn)P，使|PAPB|最大；（2）在直線l兩側(cè)有兩點(diǎn)A、B，在直線l上找一點(diǎn)P，使|PAPB|最大；（3）在直線l兩側(cè)有兩點(diǎn)A、B，在直線l上找一點(diǎn)P，使|PAPB|最?。?）如圖所示：（2）如圖所示：（3）如圖所示： 例題演練例11如圖所示，直線yx+3與x軸、y軸分別交于點(diǎn)M、N，以線段MN為直角邊在第一象限內(nèi)作等腰RtMNC，NMC90°（1）求點(diǎn)M、N的坐標(biāo)；（2）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；（3）若點(diǎn)P是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)P（x，0），是否

2、存在這樣的點(diǎn)P，使得|PNPC|的值最大？如果不存在，請說明理由；如果存在，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)【解答】解：（1）由直線，令y0，得x4，令x0，得y3，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為（4，0），點(diǎn)N的坐標(biāo)為（0，3）；（2）如圖所示，過點(diǎn)C作CDx軸，垂足為點(diǎn)D，MNC是等腰直角三角形，MNMC，NMC90°，NMO+CMD90°，MCD+CMD90°，NMOMCD，又MNMC，MONCDM90°，MONCDM（AAS），ONDM，CDOM，ODOM+MDOM+ON4+37，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（7，4）；（3）存在這樣的點(diǎn)P，延長CN交x軸于點(diǎn)P，此時(shí)|PNPC|的值最大設(shè)直線

3、CN的解析式為ykx+b，將C（7，4）、N（0，3）代入，得，解得：，所以直線CN的解析式為，令y0，得，解得：x21，P點(diǎn)坐標(biāo)為（21，0），即存在這樣的點(diǎn)P，使得|PNPC|的值最大，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（21，0）練1.1如圖，已知四邊形ABCO是矩形，點(diǎn)A，C分別在y軸，x軸上，AB4，BC3（1）求直線AC的解析式；（2）作直線AC關(guān)于x軸的對(duì)稱直線，交y軸于點(diǎn)D，求直線CD的解析式并結(jié)合（1）的結(jié)論猜想并直接寫出直線ykx+b關(guān)于x軸的對(duì)稱直線的解析式；（3）若點(diǎn)P是直線CD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，試探究點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過程中，|PAPB|是否存在最大值？若不存在，請說明理由；若存在，請求出|PAPB

4、|的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)【解答】解：（1）四邊形ABCO是矩形，ABOC4，OABC3，A（0，3），B（4，0），設(shè)直線AC的解析式為ykx+b，則有，解得，直線AC的解析式為yx+3（2）由題意，點(diǎn)A，D關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，D（0，3），設(shè)直線CD的解析式為ymx+n，則有，解得，直線CD的解析式為yx3由（1）可知，直線ykx+b關(guān)于x軸的對(duì)稱直線的解析式為ykxb（3）如圖，由題意|PAPB|AB，當(dāng)P，A，B共線時(shí)，|PAPB|的值最大，最大值為4，此時(shí)P（8，3）練1.2如圖，平面直角坐標(biāo)系中，直線ykx+b與x軸交于點(diǎn)A（10，0），與y軸交于點(diǎn)B，與直線yx交于點(diǎn)C（a，7）（1）

5、求點(diǎn)C的坐標(biāo)及直線AB的表達(dá)式；（2）如圖，在（1）的條件下，過點(diǎn)E作直線lx軸，交直線yx于點(diǎn)F，交直線ykx+b于點(diǎn)G，若點(diǎn)E的坐標(biāo)是（15，0）求CGF的面積；點(diǎn)M為y軸上OB的中點(diǎn)，直線l上是否存在點(diǎn)P，使PMPC的值最大？若存在，直接寫出這個(gè)最大值；若不存在，說明理由；【解答】解：（1）將點(diǎn)C（a，7）代入yx，可得a3，點(diǎn)C的坐標(biāo)（3，7），將點(diǎn)C（3，7）和點(diǎn)A（10，0）代入ykx+b，可得，解得，直線AB的解析式為yx+10；（2）點(diǎn)E的坐標(biāo)是（15，0），當(dāng)x15時(shí)，y35，y15+105，點(diǎn)F的坐標(biāo)為（15，35），點(diǎn)G的坐標(biāo)為（15，5），SCGF；存在，證明：由三角形

6、的三邊關(guān)系可知當(dāng)點(diǎn)P、M、C在一條直線上時(shí)，PMPC的值最大，令x0，則y10，點(diǎn)B的坐標(biāo)（0，10），點(diǎn)M為y軸上OB的中點(diǎn)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，5），設(shè)直線MC的解析式為yax+5，將C（3，7）代入得：73a+5，解得：a，直線MC的解析式為yx+5，當(dāng)x15時(shí)，y，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（15，15），PMPCCM；練1.3如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線AB：yx+2與直線AC：yx+8交于點(diǎn)A，直線AB分別交x軸、y軸于點(diǎn)B、E，直線AC分別交x軸、y軸于點(diǎn)C、D（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)；（2）在y軸左側(cè)作直線FGy軸，分別交直線AB、直線AC于點(diǎn)F、G，當(dāng)FGDE；時(shí)，過點(diǎn)G作直線GHy軸于點(diǎn)H，在

7、直線GH上找一點(diǎn)P，使|PFPO|的最大，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)及|PFPO|的最大值；【解答】解：（1）由，解得，A（4，6）（2）如圖1中，設(shè)F（m，m+2），則G（m，m+8）D（0，8），E（0，2），OE2，OD8，DE6，F(xiàn)GDE，m+2（m+8）×6，m10，F(xiàn)（10，12），G（10，3），H（0，3），作點(diǎn)O關(guān)于GH的對(duì)稱點(diǎn)O，作直線FO交直線GH于點(diǎn)P，此時(shí)|PFPO|的值最大，最大值為FO的長，F(xiàn)（10，12），O（0，6），F(xiàn)O2，直線FO的解析式為yx+6，y3時(shí)，3x+6，解得x5，P（5，3）點(diǎn)P的坐標(biāo)為（5，3），|PFPO|的最大值為2例21如圖1，直線yx

8、+3與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，作點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)C，連接BC，作ABO的平分線交x軸于點(diǎn)D（1）求線段CD的長；（2）如圖2，點(diǎn)E為直線AB位于y軸右側(cè)部分圖象上的一點(diǎn)，連接CE，當(dāng)SBCE時(shí)，點(diǎn)F為直線BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)|EFDF|的值最大時(shí)，求|EFDF|的最大值及此時(shí)點(diǎn)F的坐標(biāo)；【解答】解：（1）由已知可得A（3，0），B（0，3），C（3，0），在RtABO中，AO3，BO3，ABO60°，BD是ABO的平分線，DBO30°，在RtBDO中，DO，CD4（2）過E作EMBC，××AC×BO，SBCESBCE×BC&

9、#215;EM×6EM，EM，設(shè)E（m，m+3），ABOCBO60°，EBM60°，BE9，9，m，E（，），在DEF中，|EFDF|DE，|EFDF|EF時(shí)有最大值，BD平分ABO，DBO30°，OD，D（，0），DE；直線BC的解析式為yx+3，直線DE的解析式為y，兩直線交點(diǎn)為F（，）練2.1如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y3x+9與x軸交于點(diǎn)C，與直線AB：yx+b交于點(diǎn)A，且B（5，0），ADx軸于點(diǎn)D（1）若E是線段AB的中點(diǎn)，G是直線AB上方的一點(diǎn)，GEy軸，GFAB于點(diǎn)F，且GEF的周長是2+2一動(dòng)點(diǎn)從E點(diǎn)出發(fā)先，到達(dá)x軸上的某點(diǎn)M，再

10、到達(dá)直線AD上的某點(diǎn)N，最后運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)F當(dāng)該動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的總路徑最短時(shí)，在直線AB上有一點(diǎn)P，使|GPNP|最大，求|GPNP|的最大值；【解答】解：（1）將B（5，0）代入yx+b中，得05+b，b5所以直線AB解析式為yx+5聯(lián)立，解得點(diǎn)A坐標(biāo)為（1，6）ADx軸，點(diǎn)D坐標(biāo)為（1，0）BD5（1）6AD，ABD為等腰RtDABDBA45°，ABAD6延長GE交x軸于點(diǎn)H，E為AB中點(diǎn)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得，點(diǎn)E坐標(biāo)為（2，3）GHx軸，DBA45°，BEH45°GEF又GFAB，F(xiàn)GE45°，EFG為等腰Rt設(shè)EFGFa，則EG2a，周長為a+a+2a2+2

11、解得a點(diǎn)G坐標(biāo)為（2，5）在RtBEH中，BE3BFBE+EF3+4作FIx軸于點(diǎn)I，則FIADBFIBAD即，F(xiàn)I4把y4代入yx+5中，得x1點(diǎn)F坐標(biāo)為（1，4）點(diǎn)E關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)E'，作點(diǎn)F關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)F'，連接E'F'，交x軸于點(diǎn)M，交AD于點(diǎn)N，此時(shí)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)總路徑EM+MN+NFE'F'最小如答圖1則點(diǎn)E'坐標(biāo)為（2，3），點(diǎn)F'坐標(biāo)為（3，4）設(shè)過E'F'的直線解析式為ykx+b，解得yx令x1，則y；令y0，則x點(diǎn)N坐標(biāo)為（1，），點(diǎn)M坐標(biāo)為（，0）作點(diǎn)G關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)G'，則由中

12、點(diǎn)坐標(biāo)公式可得：xG'2×120，yG'2×453點(diǎn)G'坐標(biāo)為（0，3）連接NG'并延長交AB與點(diǎn)P，則此時(shí)NG最大由兩點(diǎn)距離公式，NG故的最大值為練2.2如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y3x+6與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，2），點(diǎn)D在x軸上，CDAB（1）點(diǎn)E在CD上，其橫坐標(biāo)為4，點(diǎn)F、G分別是x軸、y軸上的動(dòng)點(diǎn)，連接EF，將DEF沿EF翻折得DEF，點(diǎn)P是直線BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)|PAPC|最大時(shí)，求PG+GD的最小值；【解答】解：（1）對(duì)于y3x+6，令x0，則y6，令y3x+60，解得x2，故點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別

13、為（2，0）、（0，6），OCOA2，CDAB，RtAOBRtCOD（HL），ODOB6，故點(diǎn)D（6，0），連接AC交BD于點(diǎn)P，則點(diǎn)P為所求點(diǎn)，理由：|PAPC|PAPCAC為最大，由點(diǎn)A、C的坐標(biāo)得，直線AC的表達(dá)式為yx+2，同理可得，直線BD的表達(dá)式為yx+6，聯(lián)立并解得，故點(diǎn)P（2，4），過點(diǎn)P作y軸的對(duì)稱點(diǎn)P（2，4），過點(diǎn)E以DE為半徑作圓E，連接PE交圓E于點(diǎn)D，交y軸于點(diǎn)G，則點(diǎn)G為所求點(diǎn)，此時(shí)，PG+GD最小，理由：PG+GDPG+GDPEDEPD為最小，由點(diǎn)C、D的坐標(biāo)得，直線CD的表達(dá)式為yx+2，當(dāng)x4時(shí)，yx+2，故點(diǎn)E的坐標(biāo)為（4，），由點(diǎn)P、E的坐標(biāo)得：PE，同

14、理可得DE，則PG+GD的最小值PEDEPEDE；練2.1如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l2：yx+與x軸交于點(diǎn)B，與直線l1：yx+b交于點(diǎn)C，C點(diǎn)到x軸的距離CD為2，直線l1交x軸于點(diǎn)A（1）求直線l1的函數(shù)表達(dá)式；（2）如圖2，y軸上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)E、F（E點(diǎn)在F點(diǎn)上方）滿足線段EF的長為，連接CE、AF，當(dāng)線段CE+EF+AF有最小值時(shí)，求出此時(shí)點(diǎn)F的坐標(biāo)以及CE+EF+AF的最小值；練2.2如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l1：y與x軸，y軸分別交于點(diǎn)A，D，直線l2與直線yx平行，交x軸于點(diǎn)B（7，0），交l1于點(diǎn)C（1）直線l2的解析式為 yx+，點(diǎn)C的坐標(biāo)為 （1，3）；（2）若點(diǎn)P是線段BC上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)SPAB時(shí)，在x軸上有兩動(dòng)點(diǎn)M、N（M在N的左側(cè)），且MN2，連接DM，PN，當(dāng)四邊形DMNP周長最小時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；練2.3如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l的解析式為yx+4，與x軸交于點(diǎn)C直線l上有一點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)A是OC的中點(diǎn)（1）求直線AB