管內(nèi)粘滯流動(dòng)

1、第九章被流體包圍之物體的外部流動(dòng)如飛機(jī)，或汽車外面的空氣流動(dòng)，甚至是掉落的樹葉，水底下的潛艇，游來游去的魚兒，摩天大樓在風(fēng)中的受力狀況。我們要看此類物體在流體中移動(dòng)的阻力或是與流體運(yùn)動(dòng)方向垂直的升力。了解這些力的作用，可以有助於設(shè)計(jì)更有效，更容易控制的交通工具。分析方法也是有兩種，理論及實(shí)驗(yàn)。理論包括解析方法及數(shù)值方法。理論上所得到的方程式仍是十分複雜，不易有解析解。數(shù)值上則仰賴著計(jì)算流體力學(xué)的不斷進(jìn)步，一些複雜狀況下的流動(dòng)型態(tài)下的行為，慢慢都可以模擬出來。實(shí)驗(yàn)上則藉著風(fēng)洞測試，以及因次分析的比例（有的甚至是利用全尺寸） 方法來決定重要參數(shù)。9.1 一般外部流動(dòng)的特徵不管是流體在運(yùn)動(dòng)，或是物體

2、在運(yùn)動(dòng)，我們都將座標(biāo)放在物體上。流體靠近的速度便稱為上游速度 (upstream velocity)，U。通常我們假定它是固定不變的。雖然如此，並不代表物體四周圍的流動(dòng)就會(huì)是穩(wěn)定的，例如機(jī)翼產(chǎn)生的震動(dòng)，電線共鳴聲，物體後端的亂流等。流線型物體與鈍頭物體下的外部流動(dòng)行為也有很大的差異性。一般而言，流線型的阻力較小，移動(dòng)較容易。物體表面四周圍受到流體作用力，這些作用力的合力可以分成平行於上游速度，以及垂直於上游速度方向的兩個(gè)分量。前者即是拖曳力，後者就是升力。物體表面的作用力，就局部位置而言，分成垂直表面的壓力以及平行表面的切應(yīng)力。圖 9.3。原則上，只要知道表面力的分布，我們就可以積分求得拖曳力

3、以及升力。但是通常由於流動(dòng)的複雜性，這些分布並不容易求得，也只有在極簡單的情況下，才有已知的分布。所以，實(shí)際的做法是定義拖曳力係數(shù)以及升力係數(shù)，CDD21U 2 ACLL21U 2 AD 是拖曳力， L 是升力。 A 是物體的特徵面積?？梢允谴怪膘读鲃?dòng)方向的物體正面投影面積，也可以是平行於流動(dòng)方向的物體投影面積，定義各係數(shù)的時(shí)候要先講清楚。通過一物體的流動(dòng)特徵與物體本身的複雜性有絕對的關(guān)係，顯然一些簡單，具對稱性的物體（如球體或圓柱體） 外部流動(dòng)型態(tài)會(huì)比機(jī)翼或是一棵樹來得複雜。一旦物體形狀固定後 ，流動(dòng)則會(huì)與物體大小 ，流動(dòng)方向，流動(dòng)速度及流體性質(zhì)有關(guān)。因次分析告訴我們重要的參數(shù)為雷諾數(shù)（粘滯

4、性） ，馬赫數(shù)（壓縮性），福羅德數(shù)（自由液面）。本章中不討論流體壓縮性以及自由液面，拖曳力及升力便只與雷諾數(shù)有關(guān)。小的雷諾數(shù)代表粘滯性強(qiáng)，大的雷諾數(shù)則代表流體慣性力大。兩種情況在現(xiàn)實(shí)生活中都可以見到?？磧煞N物體的外部流動(dòng) ，平板（平行於上游速度） 以及圓柱體 。圖 9.5 以及圖 9.6。當(dāng)雷諾數(shù)為 0.1 時(shí)，流體內(nèi)的粘滯效應(yīng)較為明顯，平板存在的影響可以在平板前端，上下位置及後端都可以發(fā)現(xiàn)。也就是說，平板附近速度減少量大於上游速度1%的範(fàn)圍較大。當(dāng)雷諾數(shù)加大後，粘滯效應(yīng)的區(qū)域變小，除了平板後端。雷諾數(shù)更大時(shí)，粘滯性則只剩下貼近平板附近很薄的區(qū)域以及平板後端細(xì)長的尾流。無滑移條件表示在極靠近平

5、板附近有一層很薄的邊界層，厚度比平板長度小很多。裡面的速度由平板上的零速度，往外增加到該邊界層外圍與上游速度相等的值。而且邊界層越往下游，厚度會(huì)加大，在平板最前緣，厚度為零。邊界層內(nèi)的流動(dòng)可以是層流，也可能是紊流。邊界層外面的流線會(huì)因?yàn)檫吔鐚拥脑絹碓胶?，而?huì)往外偏移。而對於一個(gè)鈍物外部流動(dòng)，基本上也是雷諾數(shù)越大，粘滯性影響的範(fàn)圍就越小。對一個(gè)不夠流線型的物體，邊界層還會(huì)發(fā)生分離現(xiàn)象。在圓柱體的外部流動(dòng)裡，雷諾數(shù)小的時(shí)候，流動(dòng)幾乎是前後對稱的。雷諾數(shù)增大後，粘滯性效應(yīng)區(qū)變小，而且被流動(dòng)往下游方向帶，造成前後不再對稱。慣性增強(qiáng)後，流體不再沿著轉(zhuǎn)彎的表面前進(jìn)，直接往下游流動(dòng)，離開表面。在更大的雷諾數(shù)

6、下，前端有極薄的邊界層形成，經(jīng)過分離點(diǎn)後，進(jìn)入後端的尾流區(qū)。在邊界層以及尾流之外，流動(dòng)有如是無粘滯性的（記得勢流函數(shù)嗎？） 。9.2 邊界層特徵我們將通過一物體外部的流動(dòng) ，看成是邊界層內(nèi)的粘滯性流動(dòng)以及其他區(qū)域內(nèi)無粘滯性流動(dòng)的組合。當(dāng)雷諾數(shù)夠大，粘滯性只在極靠近物體表面的邊界層內(nèi)有其重要性。邊界層的存在可以滿足無滑移條件。邊界層外的垂直方向速度梯度通常便很小，大的速度梯度只存在於邊界層內(nèi)?？雌桨暹吔鐚拥慕Y(jié)構(gòu)及厚度變化。流體有粘滯性，不可壓縮，而平板是無限長。雷諾數(shù)夠大時(shí)，只有平板附近的流體感受到平板的存在而形成邊界層。其他的區(qū)域內(nèi)速度幾乎等於上游速度。有限長的平板中，該長度即可當(dāng)作特徵長度。

7、無限長的平板裡，沒有所謂的特徵長度，我們以平板前緣至座標(biāo)位置處的長x 來當(dāng)做特徵長度。所以只要平板夠長，雷諾數(shù)便會(huì)變得夠大。這也就是說，如圖9.5 的三張圖，其實(shí)是發(fā)生在同一個(gè)平板上，只是在不同的距離觀察而已， a 最近， c 最遠(yuǎn)。當(dāng)一團(tuán)流體粒子進(jìn)入邊界層的前緣時(shí)，粒子上下受到粘滯性產(chǎn)生的不等切應(yīng)力。漸往下游，邊界層內(nèi)的結(jié)構(gòu)開始過渡變成紊流行為。此時(shí)的雷諾數(shù)約在2 105到3 106 之間。實(shí)際上，邊界層沒有一個(gè)真正的界線，它的速度是由內(nèi)往外漸進(jìn)的等於上游速度。但是為了方便，我們定義邊界層厚度 ，等於是速度已達(dá)上游速度 99%的位置。這種定義比較主觀，為什麼不是 95%？為了有一個(gè)明確具體意

8、義的厚度定義，我們用邊界層位移厚度 (displacement thickness)， * 。若平板寬為 b，* bU(Uu)bdy0或是*1udy0 U因?yàn)檫吔鐚觾?nèi)的速度會(huì)由於粘滯性而降低，流量減少。這減少的流量等於是將平板位移了一個(gè)邊界層位移厚度的距離後，假設(shè)流體無粘滯性時(shí)所減少的流量。這就是邊界層位移厚度的物理意義。另外還有一個(gè)可以使用到計(jì)算物體上拖曳力的厚度定義是稱為邊界層動(dòng)量厚度 (momentum thickness)， 。由於邊界層內(nèi)的速度減少， U u，動(dòng)量通率便會(huì)比沒有邊界層的流動(dòng)中低。這減少的動(dòng)量通率是，u(Uu)dAbu(Uu)dy0定義動(dòng)量厚度為如下，bU 2bu(Uu

9、)dy0表示這厚度內(nèi)如有上游速度的流動(dòng)的話 ，這厚度內(nèi)的動(dòng)量通率等於邊界層減少的動(dòng)量通率。上式改寫，uu1dy0 UU邊界層的觀念是建立於邊界層是很薄的一個(gè)結(jié)構(gòu)。所以在平板上的任何一個(gè)位置， x，這三個(gè)厚度的定義都要甚小於 x。也就是說在平板的前緣，邊界層的假設(shè)就會(huì)不適用，約在雷諾數(shù)小於 1000 的範(fàn)圍。看一個(gè)穩(wěn)定，二維，不可壓縮，重力不計(jì)的流動(dòng)中，連續(xù)方程式為，uv0xyx 方向動(dòng)量方程式為，u uv u1 p2u2uxyxx2y2y 方向動(dòng)量方程式為，vv1 p2 v2vuvyx2y2xy邊界條件如離開物體夠遠(yuǎn)的地方，速度等於上游速度，而且流體要緊附在物體表面上。利用邊界層的觀念， Pr

10、andtl 簡化了上面的統(tǒng)制方程式。他的學(xué)生 Balsius 則解出了平板上邊界層方程式的解。因?yàn)檫吔鐚雍鼙。叫?(x 方向 )於平板的速度要比垂直 (y 方向 )於平板的速度大很多，而且任何一個(gè)參數(shù)在 x 方向的變化量一定比該參數(shù)在 y 方向的變化量小很多。於是，連續(xù)方程式表示 u / x 與 v / y 大致是具有相同的數(shù)量級(jí)。因?yàn)樵偌由?v 比 u 小很多， y 方向動(dòng)量方程式的左邊大小約等於零，也就是說 p / y 很小，壓力在 y 方向便是幾乎為常數(shù)。而對一個(gè)平板而言，壓力在 x 方向也是固定的， p / x 0 。同時(shí) x 方向動(dòng)量方程式裡的 y 二次導(dǎo)數(shù)要比 x 的二次導(dǎo)數(shù)大很

11、多。最後，平板邊界層方程式成為uvx0y及uu2uuvy2xy所以， y 方向動(dòng)量方程式已刪除，壓力沒有作用，只有慣性力及粘滯力的平衡。邊界條件是，平板上的速度為零，以及離開平板無窮遠(yuǎn)的地方，速度等於均勻的上游速度。u = v = 0 at y = 0，u = U for y 趨近於無窮大。這一套微分方程式仍然是非線性的偏微分方程式。 Blasius 做了變數(shù)的合併，與座標(biāo)轉(zhuǎn)換，進(jìn)而得到一個(gè)常微分方程式，求出他的數(shù)值解?；镜挠^念是他認(rèn)為邊界層內(nèi)的速度分布在不同 x 位置下，是在 y 方向做伸縮而已，所以應(yīng)該能將 x 與 y 合併，同時(shí)利用連續(xù)方程式也可以引進(jìn)流線函數(shù)。u g yUd 則是 x

12、 的函數(shù)?？催吔鐚觿?dòng)量方程式中的數(shù)量級(jí)，左邊是兩個(gè)相同數(shù)量級(jí)的項(xiàng)的相加，約為 U U / x ，右邊是 U / 2 ，因此，1 / 2xU定義相似變數(shù)，及流線函數(shù)，y1 / 2Uyx(xU )1/ 2 f ()於是，uUf ' ()yU1/ 2v( f ' f )x 4x邊界層方程式成為，2 f ' ' 'ff ' '0以及邊界條件，ff '0 at0f '1as上式無解析解，但是有數(shù)值解，即是所謂的Blasius solution。表 9.1?？梢?， u/U= 0.99 時(shí)，（邊界層厚度），5.0 ，x5U厚度跟 x 的

13、平方根成正比，或者，5x Rex根據(jù)定義，*1uxdy1 f '( ) d0UU 0也可求得，*1.721x Rex同理，0.664x Rex而且，w1 / 21 / 2uU Uf ' ' (0) 0.332 U Uy y 0xx因?yàn)檫吔鐚釉絹碓胶瘢瑺澅谇袘?yīng)力就越來越小。而且切應(yīng)力與U 的二分之三次方成正比，不是像在管內(nèi)層流的與U 成正比。由於邊界層產(chǎn)生的拖曳力是在物體表面上發(fā)生，速度分布細(xì)節(jié)不是那麼重要，所以我們可以以邊界層的某種積分型式來看它與牆壁的作用力 ，這就是動(dòng)量積分邊界層方程式。圖 9.11。考慮一均勻流動(dòng)通過平板上的邊界層，選擇控制體積如圖所示。壓力是一常

14、數(shù)。左端前緣的控制表面上有均勻流動(dòng)分布，右邊則含括了整個(gè)邊界層，上面表面則是由流線構(gòu)成 ?？刂企w積唯一受到的外力是平板上的切應(yīng)力形成的拖曳力， D，方向是向負(fù)的 x 方向。Dbwdx雷諾輸送定理用在動(dòng)量平衡上時(shí)，Du2 dAU 2dA21或者，DU 2bhbu2 dy0我們不知道 h 的大小，但是可以由連續(xù)方程式，Uhudy0寫出 h，再代入，DU 2b 1udybu2 dybu(Uu)dyU000記得動(dòng)量厚度的定義，u 1udyu1udy0UU0UU所以，D bU 2於是，w1 dDU 2 db dxdx同時(shí)我們知道，wuyy0所以，假如在 0 至 間，有一個(gè)假設(shè)已知的速度分布，上面兩式便可

15、以合併，求解 。有了 ，平板上的切應(yīng)力便可以完全求得。也能求得下面定義之局部摩擦係數(shù)，與 x 有關(guān)，wc f221 U以及摩擦拖曳力係數(shù)， L 為平板長， b 為寬，D fCDf2bL21 U結(jié)果看表 9.2平板上的層流邊界層會(huì)發(fā)生過渡至紊流邊界層的情形。通常以雷諾數(shù) 5 105 為判斷基準(zhǔn)。典型速度分布如圖 9.14。紊流邊界層裡也可以使用動(dòng)量積分邊界層方程式來求平板切應(yīng)力 ，只要選用適當(dāng)?shù)乃俣确植迹皇瞧桨迳锨袘?yīng)力與速度關(guān)係不再用牛頓層流式子，而是別的經(jīng)驗(yàn)式，如1 / 4w0.0225 U 2U跟管內(nèi)流動(dòng)相似，層流邊界層裡的拖曳力與表面粗糙度無關(guān)，紊流邊界層的拖曳力係數(shù)便與表面粗糙情形有關(guān)

16、。平板邊界層裡的壓力梯度為零 ，但是彎曲表面上的邊界層在流動(dòng)方向的壓力梯度就不是零。例如圓柱體上，表面壓力會(huì)自前端滯留點(diǎn)開始，逐漸下降到最低壓力的兩側(cè)，此時(shí)速度為兩倍上游速度。圖 9.16。過了兩側(cè)後，壓力會(huì)開始回升。但是因?yàn)榘l(fā)生分離現(xiàn)象，壓力回升效率不大而有限。圖 9.17。分離點(diǎn)的位置還會(huì)因?yàn)閷恿骰蚴俏闪鞫休^早或較晚之分。紊流邊界層動(dòng)量大，分離點(diǎn)比較偏後。9.3 拖曳力大部分物體的拖曳力計(jì)算都仰賴著許多的比例試驗(yàn)，結(jié)果以拖曳力係數(shù)表示之?？偼弦妨κ怯蓛刹糠纸M成，摩擦拖曳力以及壓力拖曳力。摩擦拖曳力是來自物體表面上的切應(yīng)力所造成。所以不僅與切應(yīng)力大小有關(guān)，也與物體表面的方向性有關(guān)。假如表面

17、與上游速度平行，切應(yīng)力便直接提供作為拖曳力，假如表面與上游速度垂直，切應(yīng)力便與拖曳力無關(guān)。一般的物體都會(huì)含有不同方向性的表面，而且大部分流體的粘滯度都不大，切應(yīng)力於總拖曳力的貢獻(xiàn)並不大。通常比較常見的流動(dòng)的雷諾數(shù)都很大，所以來自切應(yīng)力的拖曳力並不是很有重要性。寬為 b，長為 L 的平板上的摩擦拖曳力寫成，D f12 U 2 bLCDf最後的變數(shù)是摩擦拖曳力係數(shù) ，見圖 9.15(p565)以及表 9.3(p.566)。表面粗糙程度的影響在層流與紊流的範(fàn)圍中是不同的，情形與管內(nèi)流動(dòng)差不多。壓力拖曳力又稱為形狀拖曳力，是直接由物體上的壓力所造成的。它也是跟壓力大小以及物體表面方向有關(guān)。垂直的平板上的壓力提供了整個(gè)拖曳力。壓力拖曳力寫成，D p12U 2 ACDp最後的變數(shù)是壓力拖曳力係數(shù)。雷諾數(shù)大的時(shí)候，總拖曳力主要來自壓力拖曳力，壓力差直接與動(dòng)態(tài)壓力有關(guān)，所以我們