重慶中考復(fù)習(xí)重慶中考幾何題分類匯編

1、word . 重慶中考幾何題分類匯編含答案 類型 1 線段的倍分：要證線段倍與半，延長(zhǎng)縮短去實(shí)驗(yàn) 例 1 如圖 Z31，在 ABC 中，ABAC，CM 平分ACB 交 AB 于 M，在 AC 的延長(zhǎng)線上截取 CNBM，連接 MN 交 BC 于 P，在 CB 的延長(zhǎng)線截取 BQCP，連接 MQ. (1)求證：MQNP； (2)求證：CN2CP. 針對(duì)訓(xùn)練： 1如圖 Z32，在 ABCD 中，ACBC，點(diǎn) E、點(diǎn) F 分別在 AB、BC 上，且滿足 ACAECF，連接 CE、AF、EF. (1)假設(shè)ABC35，求EAF 的度數(shù)； (2)假設(shè) CEEF，求證：CE2EF. word . 2 ，在 A

2、BC 中，ABAC，BAC90，E 為邊 AC 任意一點(diǎn)，連接 BE. (1)如圖，假設(shè)ABE15，O 為 BE 中點(diǎn)，連接 AO，且 AO1，求 BC 的長(zhǎng)； (2)如圖，F(xiàn) 也為 AC 上一點(diǎn)，且滿足 AECF，過(guò) A作 ADBE 交 BE 于點(diǎn) H，交 BC于點(diǎn) D，連接 DF交 BE 于點(diǎn) G，連接 AG.假設(shè) AG平分CAD，求證：AH12AC. 3在 ACB 中，ABAC，BAC90，點(diǎn) D 是 AC 上一點(diǎn)，連接 BD，過(guò)點(diǎn) A作 AEBD 于 E，交BC 于 F. (1)如圖，假設(shè) AB4，CD1，求 AE 的長(zhǎng)； (2)如圖，點(diǎn) G是 AE 上一點(diǎn)，連接 CG，假設(shè) BEAE

3、AG，求證：CG 2AE. word . 4在等腰直角三角形 ABC 中，BAC90，ABAC，D 是斜邊 BC 的中點(diǎn)，連接 AD. (1)如圖，E 是 AC 的中點(diǎn)，連接 DE，將 CDE 沿 CD 翻折到 CDE，連接 AE，當(dāng) AD 6時(shí)，求AE的值 (2)如圖，在 AC 上取一點(diǎn) E，使得 CE13AC，連接 DE，將 CDE 沿 CD 翻折到 CDE，連接 AE交 BC 于點(diǎn) F，求證：DFCF. word . 類型 2 線段的和差：要證線段和與差，截長(zhǎng)補(bǔ)短去實(shí)驗(yàn) 例 2 如圖，在 ABC 中，BAC90，在 BC 上截取 BDBA，連接 AD，在 AD 左側(cè)作EAD45交 BD

4、于 E. (1)假設(shè) AC3，那么 CE_(直接寫答案)； (2)如圖，M、N 分別為 AB 和 AC 上的點(diǎn)，且 AMAN，連接 EM、DN，假設(shè)AMEAND180，求證：DEDNME； (3)如圖，過(guò) E 作 EFAE，交 AD 的延長(zhǎng)線于 F，在 EC 上選取一點(diǎn) H，使得 EHBE，連接 FH，在 AC上選取一點(diǎn) G，使得 AGAB，連接 BG、FG，求證：FHFG. 針對(duì)訓(xùn)練： 1如圖 Z37，在 ABCD 中，AEBC 于 E，AEAD，EGAB 于 G，延長(zhǎng) GE、DC 交于點(diǎn) F，連接 AF. (1)假設(shè) BE2EC，AB 13，求 AD 的長(zhǎng)； (2)求證：EGBGFC. w

5、ord . 2如圖，在正方形 ABCD 中，點(diǎn) P 為 AD 延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接 AC、CP，過(guò)點(diǎn) C作 CFCP 于點(diǎn) C，交 AB 于點(diǎn) F，過(guò)點(diǎn) B 作 BMCF 于點(diǎn) N，交 AC 于點(diǎn) M. (1)假設(shè) AP78AC，BC4，求 SACP； (2)假設(shè) CPBM2FN，求證：BCMC. 3如圖，在 ABC 中，ABBC，以 AB 為一邊向外作菱形 ABDE，連接 DC，EB 并延長(zhǎng) EB 交 AC于 F，且 CBAE 于 G. (1)假設(shè)EBG20，求AFE； (2)試問(wèn)線段 AE，AF，CF 之間的數(shù)量關(guān)系并證明 word . 類型 3 倍長(zhǎng)中線：三角形中有中線，延長(zhǎng)中線等中線 例

6、 3 如圖 Z310，在 RtABC 中，ABC90，D、E 分別為斜邊 AC 上兩點(diǎn)，且 ADAB，CECB，連接 BD、BE. (1)求EBD 的度數(shù)； (2)如圖 Z310，過(guò)點(diǎn) D 作 FDBD 于點(diǎn) D，交 BE 的延長(zhǎng)線于點(diǎn) F，在 AB 上選取一點(diǎn) H，使得 BHBC，連接 CH，在 AC 上選取一點(diǎn) G，使得 GDCD，連接 FH、FG，求證：FHFG. 針對(duì)訓(xùn)練： 1如圖，在 ABCD 中，G為 BC 的中點(diǎn)，點(diǎn) E 在 AD 邊上，且12. (1)求證：E 是 AD 中點(diǎn)； (2)假設(shè) F 為 CD 延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接 BF，且滿足32，求證：CDBFDF. word .

7、2如圖 Z312，在菱形 ABCD 中，點(diǎn) E、F 分別是 BC、CD 上的點(diǎn)，連接 AE，AF，DE、EF，DAEBAF. (1)求證：CECF； (2)假設(shè)ABC120，點(diǎn) G是線段 AF 的中點(diǎn)，連接 DG，EG.求證：DGGE. 3在 RtABC 中，ACB90，點(diǎn) D 與點(diǎn) B在 AC 同側(cè)，ADCBAC，且 DADC，過(guò)點(diǎn) B 作BEDA交 DC 于點(diǎn) E，M 為 AB 的中點(diǎn)，連接 MD，ME. (1)如圖，當(dāng)ADC90時(shí)，線段 MD 與 ME 的數(shù)量關(guān)系是_； (2)如圖，當(dāng)ADC60時(shí)，試探究線段 MD 與 ME 的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論； (3)如圖，當(dāng)ADC 時(shí)，求ME

8、MD的值 word . 4如圖，等邊三角形 ABC 中，CE 平分ACB，D 為 BC 邊上一點(diǎn)，且 DECD，連接 BE. (1)假設(shè) CE4，BC6 3，求線段 BE 的長(zhǎng)； (2)如圖，取 BE 中點(diǎn) P，連接 AP，PD，AD，求證：APPD 且 AP 3PD； (3)如圖，把圖 Z314中的 CDE 繞點(diǎn) C 順時(shí)針旋轉(zhuǎn)任意角度，然后連接 BE，點(diǎn) P 為 BE 中點(diǎn)，連接AP，PD，AD，問(wèn)第(2)問(wèn)中的結(jié)論還成立嗎假設(shè)成立，請(qǐng)證明；假設(shè)不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由 5在 ABC 中，以 AB 為斜邊，作直角三角形 ABD，使點(diǎn) D 落在 ABC 內(nèi)，ADB90. (1)如圖，假設(shè) ABAC

9、，BAD30，AD6 3，點(diǎn) P、M 分別為 BC、AB 邊的中點(diǎn)，連接 PM，求線段 PM 的長(zhǎng)； (2)如圖，假設(shè) ABAC，把 ABD 繞點(diǎn) A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度，得到 ACE，連接 ED 并延長(zhǎng)交 BC 于點(diǎn) P，求證：BPCP； (3)如圖，假設(shè) ADBD，過(guò)點(diǎn) D 的直線交 AC 于點(diǎn) E，交 BC 于點(diǎn) F，EFAC，且 AEEC，請(qǐng)直接寫出線段 BF、FC、AD 之間的關(guān)系(不需要證明) word . 類型 4 中位線：三角形中兩中點(diǎn)，連接那么成中位線 例 4 2022 河南如圖，在 RtABC 中，A90，ABAC，點(diǎn) D，E 分別在邊 AB，AC 上，ADAE，連接 DC，

10、點(diǎn) M，P，N 分別為 DE，DC，BC 的中點(diǎn) (1)觀察猜測(cè)：圖中，線段 PM 與 PN 的數(shù)量關(guān)系是_，位置關(guān)系是_； (2)探究證明：把 ADE 繞點(diǎn) A 按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到圖的位置，連接 MN，BD，CE，判斷 PMN 的形狀，并說(shuō)明理由； (3)拓展延伸：把 ADE 繞點(diǎn) A 在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，假設(shè) AD4，AB10，請(qǐng)直接寫出 PMN 面積的最大值 針對(duì)訓(xùn)練： 1如圖，在任意的三角形 ABC 中，分別以 AB 和 AC 為一邊作等腰三角形 ABE 和等腰三角形 ACD，ABAE，ACAD，且BAECAD180，連接 DE，延長(zhǎng) CA交 DE 于 F. (1)求證：CABAEDAD

11、E； (2)假設(shè)ACBBAECAD90，如圖，求證：BC2AF； (3)假設(shè)在 ABC 中，如圖所示，作等腰三角形 ABE 和等腰三角形 ACD，AB 與 DE 交于點(diǎn) F，F(xiàn) 為 DE的中點(diǎn)，請(qǐng)問(wèn)(2)中的結(jié)論還成立嗎假設(shè)成立，請(qǐng)給出證明，假設(shè)不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由 word . 2如圖，在 ABC 和 ADE 中，ABAC，ADAE，BACEAD180，ABC 不動(dòng)，ADE繞點(diǎn) A旋轉(zhuǎn)，連接 BE、CD，F(xiàn) 為 BE 的中點(diǎn)，連接 AF. (1)如圖，當(dāng)BAE90時(shí)，求證：CD2AF； (2)當(dāng)BAE90時(shí)，(1)的結(jié)論是否成立請(qǐng)結(jié)合圖說(shuō)明理由 3如圖，在等腰三角形 ABC 中，ABAC，在底

12、邊 BC 上取一點(diǎn) D，在邊 AC 上取一點(diǎn) E，使 AEAD，連接 DE，在ABD 的內(nèi)部作ABF2EDC，交 AD 于點(diǎn) F. (1)求證： ABF 是等腰三角形； (2)如圖，BF 的延長(zhǎng)交 AC 于點(diǎn) G.假設(shè)DACCBG，延長(zhǎng) AC 至點(diǎn) M，使 GMAB，連接 BM，點(diǎn) N 是 BG的中點(diǎn)，連接 AN，試判斷線段 AN、BM 之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論 word . 類型 5 角的和差倍分 圖中有角平分線，可向兩邊作垂線；也可將圖對(duì)折看，對(duì)稱以后關(guān)系現(xiàn) 角平分線平行線，等腰三角形來(lái)添角平分線加垂線，三線合一試試看 例 5如圖，把 EFP 放置在菱形 ABCD 中，使得頂點(diǎn) E，

13、F，P 分別在線段 AB，AD，AC 上，EPFP6，EF6 3，BAD60，且 AB6 3. (1)求EPF 的大??； (2)假設(shè) AP10，求 AEAF 的值 針對(duì)訓(xùn)練： 1 ：如圖，AD 平分BAC，BC180，B90，易知：DBDC. 探究：如圖，AD 平分BAC，ABDACD180，ABD90，求證：DBDC. word . 2在 ACB 中，ABAC，BAC90，點(diǎn) D 是 AC 上一點(diǎn)，連接 BD，過(guò)點(diǎn) A作 AEBD 于 E，交 BC 于 F. (1)如圖，假設(shè) AB4，CD1，求 AE 的長(zhǎng)； (2)如圖，點(diǎn) P 是 AC 上一點(diǎn)，連接 FP，假設(shè) APCD，求證：ADBCP

14、F. 3 ， 在 ABCD 中， BAD45， ABBD， E 為 BC 上一點(diǎn)， 連接 AE 交 BD 于 F， 過(guò)點(diǎn) D 作 DGAE于 G，延長(zhǎng) DG交 BC 于 H. (1)如圖，假設(shè)點(diǎn) E 與點(diǎn) C 重合，且 AF 5，求 AD 的長(zhǎng)； (2)如圖，連接 FH，求證：AFBHFB. word . 4如圖，將正方形紙片 ABCD 沿 EF 折疊(點(diǎn) E、F 分別在邊 AB、CD 上)，使點(diǎn) B 落在 AD 邊上的點(diǎn) M 處，點(diǎn) C 落在點(diǎn) N 處，MN 與 CD 交于點(diǎn) P，連接 EP.當(dāng)點(diǎn) M 在邊 AD 上移動(dòng)時(shí)，連接 BM、BP. (1)求證：BM 是AMP 的平分線； (2)P

15、DM 的周長(zhǎng)是否發(fā)生變化證明你的結(jié)論 word . 類型 6 旋轉(zhuǎn)型全等問(wèn)題：圖中假設(shè)有邊相等，可用旋轉(zhuǎn)做實(shí)驗(yàn) 例 6 ABC 中，BAC90，ABAC，點(diǎn) D 為直線 BC 上一動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn) D 不與 B，C 重合)，以 AD 為邊在 AD 右側(cè)作正方形 ADEF，連接 CF. (1)觀察猜測(cè)：如圖，當(dāng)點(diǎn) D 在線段 BC 上時(shí)，BC 與 CF 的位置關(guān)系為：_ BC，CD，CF 之間的數(shù)量關(guān)系為：_；(將結(jié)論直接寫在橫線上) (2)數(shù)學(xué)思考：如圖 Z325，當(dāng)點(diǎn) D 在線段 CB 的延長(zhǎng)線上時(shí)，結(jié)論，是否仍然成立假設(shè)成立，請(qǐng)給予證明；假設(shè)不成立，請(qǐng)你寫出正確結(jié)論再給予證明 (3)拓展延伸：如圖

16、 Z325，當(dāng)點(diǎn) D 在線段 BC 的延長(zhǎng)線上時(shí)，延長(zhǎng) BA交 CF 于點(diǎn) G，連接 GE.假設(shè) AB2 2，CD14BC，請(qǐng)求出 GE 的長(zhǎng) 針對(duì)訓(xùn)練： 1在四邊形 ABCD 中，BD180，對(duì)角線 AC 平分BAD. (1)如圖，假設(shè)DAB120，且B90，試探究邊 AD、AB 與對(duì)角線 AC 的數(shù)量關(guān)系并說(shuō)明理由 (2)如圖，假設(shè)將(1)中的條件“B90去掉，(1)中的結(jié)論是否成立請(qǐng)說(shuō)明理由 (3)如圖，假設(shè)DAB90 ，探究邊 AD、AB 與對(duì)角線 AC 的數(shù)量關(guān)系并說(shuō)明理由 word . 2如圖，在正方形 ABCD 中，點(diǎn) E 為邊 BC 上一點(diǎn)，將 ABE 沿 AE 翻折得 AHE

17、，延長(zhǎng) EH交邊CD 于 F，連接 AF. (1)求證：EAF45； (2)延長(zhǎng) AB，AD，如圖，射線 AE、AF 分別交正方形兩個(gè)外角的平分線于 M、N，連接 MN，假設(shè)以 BM、DN、MN 為三邊圍成三角形，試猜測(cè)三角形的形狀，并證明你的結(jié)論 3如圖，在正方形 ABCD 內(nèi)有一點(diǎn) P，PA 5，PB 2，PC1，求BPC 的度數(shù) 【分析問(wèn)題】根據(jù)條件比擬分散的特點(diǎn)，我們可以通過(guò)旋轉(zhuǎn)變換將分散的條件集中在一起，于是將 BPC 繞點(diǎn) B 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90，得到了 BPA(如圖 Z328)，然后連接 PP. (1)請(qǐng)你通過(guò)計(jì)算求出圖 Z328中BPC 的度數(shù)； (2)如圖，假設(shè)在正六邊形 AB

18、CDEF 內(nèi)有一點(diǎn) P，且 PA2 13，PB4，PC2.請(qǐng)求出BPC 的度數(shù) word . 重慶中考幾何題分類匯編答案 例 1. 證明：(1)ABAC，ABCACB.MBQABC180， ACBPCN180，MBQPCN.在 QBM 和 PCN 中， QBPC，MBQPCN，BMCN，QBMPCN(SAS)MQNP. (2)過(guò) M 作 MGAC 交 BC 于 G， MGAC，MGBACB，MGCPCN，由(1)知，ABCACB，ABCMGB，MBMG，MBCN， MGCN.在 MGP 和 NCP 中， MPGCPN，MGCPCN，MGNC，MGPNCP(AAS) PGCP，CGCPPG，即

19、CG2CP.CM 平分ACB， BCMMCA，MGAC，MCAGMC，BCMGMC， MGCG，MGCN，CNCG，CN2CP. 針對(duì)訓(xùn)練 1. 解：(1)ACBC，ACB90，又ACCF，AFC45，ABC35，EAF10； (2)證明：方法 1：取 CF 的中點(diǎn) M，連接 EM、AM， CEEF，EMCMFM12CF， 又ACAE，AM 為 EC 的中垂線，CAMACE90， 又ECFACE90，CAMFCE， 又CEFACM90，ACMCEF，ACCMCEEF， 又CFAC2CM，ACCMCEEF21，即 CE2EF； 方法 2：延長(zhǎng) FE 至 M，使 EFEM，連接 CM， CEEF，

20、CMF 為等腰三角形， 又ACAECF，且ACECFE(易證)， CMFCEA，F(xiàn)MCE2EF. 2. 解：(1)如圖，在 AB 上取一點(diǎn) M，使得 BMME，連接 ME. 在 RtABE 中，OBOE，BE2OA2， MBME，MBEMEB15， AMEMBEMEB30， 設(shè) AEx，那么 MEBM2x，AM 3x， AB2AE2BE2，(2x 3x)2x222， x6 22(負(fù)根舍棄)， ABAC(2 3)6 22， BC 2AB 31. word . (2)證明：如圖，作 CPAC，交 AD 的延長(zhǎng)線于 P，GMAC 于 M. BEAP，AHB90，ABHBAH90， BAHPAC90，

21、ABEPAC， 又ABAC，BAEACP90， ABECAP，AECPCF，AEBP， 在 DCF 和 DCP 中， CDCD，DCFDCP，CFCP， DCFDCP，DFCP，GFEGEF，GEGF， GMEF，F(xiàn)MME，AECF，AFCE，AMCM， 在 GAH和 GAM 中， GAHGAM，AHGAMG，AGAG，AGHAGM，AHAMCM12AC. 3. 解：(1)AB4，ACAB4. CD1，ADACCD3. 在 RtABD 中，BAC90， BDAB2AD25， SABD12AB AD12AE BD，AE. (2)證明：如圖，在線段 EB 上截取 EHAE，并連接 AH. AEBD

22、，EHAE，AH 2AE. BEAEAG，BHBEHEAG. BADBEA90， ABEBAECAGBAE90， ABECAG. BAAC，ABHCAG， CGAH 2AE. 4. 解：(1)BAC90，ABAC，D 是斜邊 BC 的中點(diǎn)， ADC90，ACD45. 在 RtADC 中，ACAD sin452 3. E 是 AC 的中點(diǎn)，CE12AC 3. 將 CDE 沿 CD 翻折到 CDE，CECE 3，ACE90. 由勾股定理，得 AECE2AC2 15. (2)證明：如圖，過(guò) B 作 AE的垂線交 AD 于點(diǎn) G，交 AC 于點(diǎn) H. ABHBAF90，CAFBAF90，ABHCAF.

23、 又ABAC，BAHACE90，ABHCAE. AHCECE，CE13AC，AHHECE. D 是 BC 中點(diǎn)，DEBH，G是 AD 中點(diǎn) 在 ABG和 CAF 中：ABAC，BADACD45，ABHCAF， ABGCAF.AGCF.AG12AD，CF12AD12CD.DFCF. 類型 2 線段的和差：要證線段和與差，截長(zhǎng)補(bǔ)短去實(shí)驗(yàn) word . 例 2：解： 13 2證明：延長(zhǎng) DN 到 K，使得 NKME，連接 AK，如圖， 因?yàn)?3180，12180，23. 在 AME 和 ANK中， AMAN，23，MENK，AMEANK(SAS)AEAK，45， 4EAC90，5EAC90，即EAK

24、90， EAD45，KADEAKEAD904545. EADKAD.在 EAD 和 KAD 中， EAKA，EADKAD，ADAD，EADKAD(SAS)， EDKD.DKDNKN，EDDNKN， 又 NKME，EDDNME. (3)證明：延長(zhǎng) AE 到 J，使得 EJAE，連接 JH，JF.如圖， 在 ABE 和 JHE 中， AEJE，AEBJEH，BEHE，ABEJHE(SAS)， JHAB，12，ABAG，JHAG， AEEJ，EFAJ，AFJF，JAFAJF45， 即2345，BAC90，1EAD490， 1490EAD，904545， 12，34， 在 JHF 和 AGF 中， J

25、HAG，34，JFAF，JHFAGF(SAS)，F(xiàn)HFG. 針對(duì)訓(xùn)練： 1. 解：(1)四邊形 ABCD 是平行四邊形，ADBC. BE2EC，設(shè) CEx，BE2x，BCADAE3x. 又EGAB，AEB90，AB2AE2BE2， 即 139x24x2，x1，AD3x3. (2)證明：如圖，過(guò) C 作 CHAB 于 H，那么四邊形 CHGF 為矩形 CFHG，CHB90，GFCH. AEBC，EGAB，AEBCHB90， BCHB90，BAEB90，BCHBAE. 又AEBC，AGECHB，GEBH，AGGF， GEBHBGGHBGCF. 2. 解：(1)四邊形 ABCD 是正方形，BC4，

26、ABADCDBC4，ADCABC90. 在 RtABC 中，ACAB2BC24 2， AP78AC72 2， word . SACP12AP CD7 2. (2)證明：方法一：如圖，在 NC 上截取 NKNF，連接 BK. 四邊形 ABCD 是正方形， ABBCDC，ABCBCDADC90. BCD90，CFCP，1DCF2DCF90， 12，在 FBC 和 PDC 中，F(xiàn)BC3，BCDC，12， FBCPDC(ASA)，CFCP， CP2FNBM，CFFKBM，即 CKBM， FBC90，BMCF，1NBC4NBC90， 14，在 ABM 和 BCK中，ABBC，41，BMCK， ABMBC

27、K(SAS)，76. BMCF，NKNF，BFBK，BFBK，BMCF，45， 4756，847，8MBC，BCMC. 解：方法二：如圖，延長(zhǎng) BM 交 AD 于點(diǎn) G，過(guò) A作 AEBG于 E 先證 AEBBNC(AAS)，AEBN， 又證 AEGBNF(AAS)，EGNF， 再證四邊形 BCPG為平行四邊形，BGCP， CPBM2FN，BGBM2EG，MG2EG，點(diǎn) E 為 MG中點(diǎn)， AEMG，EMEG，AMAG，34， 23，14，12， BCMC. 3. 解：(1)EBG20，CBAE， BEG70o，CBFEBG20， 四邊形 ABDE 是菱形，ABEBEG70， ABG50， A

28、BBC，F(xiàn)CB25， AFECBFFCB45； (2)AE，AF，CF 之間的數(shù)量關(guān)系是 AF2CF22AE2， 證明如下：連接 DF， 四邊形 ABDE 是菱形，ABDB，DBEABE，DBFABF， BFBF，DBFABF(SAS)， DFAF，BDFBAF，BCFBAF，BCFBDF， CBAE，AEDB，DBCB， CBABBD，DBC 是等腰直角三角形， DC 2BD 2AE， DPBCPF，CFPDBP90，DF2CF2DC2， 即有：AF2CF22AE2. 類型 3 倍長(zhǎng)中線：三角形中有中線，延長(zhǎng)中線等中線 例 3 解：(1)設(shè)BEC，BDA，那么 word . C1802，A1

29、802. 在 RtABC 中，ABC90， AC90，即 1802180290， 135，EBD45. (2)證明：法一：如圖，延長(zhǎng) BD 至點(diǎn) B，使得 DBDB，連接 FB、GB. 在 GDB和 CDB 中，GDCD，GDBCDB，BDBD， GDBCDB.GBBCBH，GBDCBD. FDBD，BDDB，F(xiàn)BFB. FBG45GBD， HBF9045CBD45CBD， FBGHBF. 在 FHB 和 FGB中，HBGB，HBFGBF，BFBF， FHBFGB，HFGF. 法二：如圖，延長(zhǎng) FD 至點(diǎn) F，使得 DFDF，連接CF、BF. 先證 DGFDCF， 再證 BHFBCF， HFG

30、F. 針對(duì)訓(xùn)練 1. 證明：(1)四邊形 ABCD 是平行四邊形， ABCD，ADBC，AC. 又12， ABECDG(ASA)，AECG. G 為 BC 中點(diǎn)，CG12BC， AECG12BC12AD， E 是 AD 中點(diǎn) (2)如圖，延長(zhǎng) BE，CD 交于點(diǎn) H. 四邊形 ABCD 是平行四邊形， AB 綊 CD，AADH，14， 又12，32， 1234，F(xiàn)HFB. 由(1)，E 是 AD 中點(diǎn)，AEDE， ABEDHE(AAS)， ABDH， CDABDHDFFHDFBF， 即 CDBFDF. 2. 證明：(1)在菱形 ABCD 中，ABBCCDAD，ADFABE， DAEBAF， w

31、ord . DAEEAFBAFEAF， 即DAFBAE. DAFBAE，BEDF. 又BCCD，CECF (2)如圖，延長(zhǎng) DG交 AB 于 H，連接 EH， 在菱形 ABCD 中，ABCD，DFAGAH. G為 AF 中點(diǎn)，AGGF. 又DGFAGH，DGFHGA.DGGH，AHDF. 又ABCD，BHCF. 又ABCD，ABC120，C60. 又CECF，CEF 為等邊三角形， CFEF，CFE60，EFBH，DFEABC120. 又BEDF，EFDHBE，HEED， 又HGDG，DGGE. 3. 解： 1MD=ME 2)MD 3ME. 理由如下：如圖，延長(zhǎng) EM 交 DA于點(diǎn) F. BE

32、DA，F(xiàn)AMEBM. 又AMBM，AMFBME， AMFBME，AFBE，MFME. DADC，ADC60，BEDADC60，ACD60. ACB90，ECB30， EBC30，CEBE，AFEC，DFDE，DMEF，DM 平分ADC，MDE30. 在 RtMDE 中，tanMDEMEMD33. MD 3ME. (3)如圖，延長(zhǎng) EM 交 DA于點(diǎn) F， BEDA，F(xiàn)AMEBM， 又AMBM，AMFBME， AMFBME，AFBE，MFME. 延長(zhǎng) BE 交 AC 于點(diǎn) N，BNCDAC. DADC，DCADAC， BNCDCA， ACB90，ECBEBC， CEBE，AFCE. DFDE，D

33、MEF，DM 平分ADC， ADC，MDE2. 在 RtMDE 中，MEMDtanMDEtan2. 4. 解：(1)如圖，作 EHBC 于點(diǎn) H. ABC 是等邊三角形，ACB60. CE 平分ACB，ECH12ACB30， EC4，ECH30，EH2，HC2 3. BC6 3，BH6 32 34 3. 在 RtBHE 中，BE2(4 3)22252， word . BE2 13. (2)如圖，延長(zhǎng) DP至 M，使 DPPM，連接 BM、AM. 在 PDE 和 PMB 中，PDPM，EPDBPM，PEPB， PDEPMB(SAS)BMDE，12. BMDE.MBDBDE180. CE 平分AC

34、B，DECD，BDE303060. MBD120. ABC 是等邊三角形，ABC60，360. BMDE，DECD，BMCD. 在 ABM 和 ACD 中，ABAC，3ACD，BMCD， ABMACD(SAS)ADAM，45. PDPM，APPD. 45，BAD560， 4BAD60，即MAD60. PAD12MAD30. 在 RtAPD 中，tan30PDAP，AP 3PD. (3)第(2)問(wèn)中的結(jié)論成立，理由如下：如圖，延長(zhǎng) DP 至 N， 使 DPPN，連接 BN、AN，取 BE、AC 交于點(diǎn) O.在 PDE 和 PNB 中， PDPN，EPDBPN，PEPB，PDEPNB(SAS)BN

35、DE，12. DECD，BNCD.AOBEOC， 13BAO24DECDCE. BAO60，DECDCE30，1324， 34.在 ABN 和 ACD 中， ABAC，34，BNCD，ABNACD(SAS)56，ANAD. PDPN，APPD.NAC560， NAC660，即NAD60.PAD12NAD30， 在 RtAPD 中，tanPADPDAP，AP 3PD. 5. 解：(1)ADB90，BAD30，AD6 3， cosBADADAB，326 3AB，AB12. 又ABAC，AC12， PM 為 ABC 的中位線，PM12AC6. (2)證明：方法一：如圖，在截取 ED 上截取 EQPD

36、， word . ADB90， 1290， 又ADAE，23， 又3490， 14. 在 BDP 和 CEQ 中，PDQE，14，BDCE， BDPCEQ. BPCQ，DBPQCE， 又51DBP，64QCE， 56， PCCQ， BPCP. 方法二：如圖，過(guò)點(diǎn) B 作 EP 的垂線交 EP 的延長(zhǎng)線于點(diǎn) M，過(guò) C 點(diǎn)作 EP 的垂線交 EP 于點(diǎn) N. ADB90，1290， 又ADAE，23， 又3490，14， 在 BMD 和 CNE 中， 14，BMDCNE90，BDCE， BMDCNE. BMCN. 在 BMP 和 CNP 中， 56，BMPCNP，BMCN， BMPCNP， BP

37、CP. 方法三：如圖，過(guò)點(diǎn) B 作 BMCE 交 EP的延長(zhǎng)線于點(diǎn) M. 略證 BMPCEP，BPCP. (3)BF2FC22AD2. 類型 4 中位線：三角形中兩中點(diǎn)，連接那么成中位線 例 4: 解： 1PM=PN;PMPN (2) PMN 為等腰直角三角形，理由如下： 由題意知 ABC 和 ADE 均為等腰直角三角形， ABAC，ADAE，BACDAE90， BADDACCAEDAC，BADCAE， BADCAE，ABDACE，BDCE. 又M、P、N 分別是 DE、CD、BC 的中點(diǎn)，PM 是 CDE 的中位線， PMCE 且 PM12CE，MPDECDACDACE. 同理，PNBD 且

38、 PN12BD，DBCPNC， 又BDCE，ABDACE，PMPN， MPNMPDDPNECDDCNCNP ACDACEDCNCBD ACDDCNABDCBDACBABC90， PMPN，PMN 為等腰直角三角形； word . (3) PMN 面積的最大值為492.提示：在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，由(2)中的結(jié)論知 PMN 為等腰直角三角形，SPMN12PN218BD2，當(dāng) SPMN有最大值時(shí)，那么 BD 的值最大，由三角形三邊關(guān)系可推斷出當(dāng) B、A、D 三點(diǎn)共線時(shí)，BD 的值最大，其最大值為 14，此時(shí) SPMN12PN218BD218 14 14492. 針對(duì)訓(xùn)練： 1. 解：(1)證明：延長(zhǎng) D

39、A 交 BE 于 G 點(diǎn) BAECAD180， 即EAGGABCAD180， GABBACCAD180， EAGCAB. EAGAEDADE， CABAEDADE. (2)證明：如圖，過(guò) E 點(diǎn)作 DA 延長(zhǎng)線的垂線，垂足為 H. AHEACB90， 由(1)可知，EAHBAC， 又AEAB， AHEACB， EHBC，AHAC. ACAD，AHAD. EHAFAD90，AFEH. A 為 DH 中點(diǎn)， AF為 DHE 中位線，EH2AF，BC2AF. (3)成立證明如下： 如圖，延長(zhǎng) DA 至 M 點(diǎn)，使 AMDA，連接 EM， BAECAD180，CADCAM180， BAECAM， BA

40、ECACCAMEAC， 即BACCAM. AMAD，ADAC，AMAC. 又ABAE，BACEAM， BACEAM， BCEM. F、A 分別為 DE、DM 中點(diǎn)， AF為 DEM 中位線， EM2AF，BC2AF. 2. 解：(1)證明：BACEAD180，BAE90，DAC90， 在 ABE 與 ACD 中，AEAD，BAECAD90，ABAC，ABEACD(SAS)，CDBE， 在 RtABE 中，F(xiàn) 為 BE 的中點(diǎn)，BE2AF，CD2AF. (2)成立，證明：如圖，延長(zhǎng) EA交 BC 于 G，在 AG上截取 AHAD， BACEAD180， EABDAC180， EABBAH180，

41、DACBAH， word . 在 ABH與 ACD 中，AHAD，BAHCAD，ABAC， ABHACD(SAS)， BHDC， ADAE，AHAD，AEAH， EFFB，BH2AF，CD2AF. 3. 解：(1)證明：ABAC， ABDACD， AEAD，ADEAED， BADABDADEEDC，EDCACDAED， BAD2EDC， ABF2EDC，BADABF， ABF 是等腰三角形； (2)方法一：如圖，延長(zhǎng) CA至點(diǎn) H，使 AGAH，連接 BH， 點(diǎn) N 是 BG的中點(diǎn)，AN12BH， BADABF，DACCBG，CABCBA， ABC 是等邊三角形ABBCAC，BACBCA60，

42、 GMAB，ABAC，CMAG，AHCM， 在 BAH和 BCM 中，ABBC，BAHBCM120，AHCM， BAHBCM(SAS)，BHBM， AN12BM， 方法二：如圖，延長(zhǎng) AN 至 K，使 NKAN，連接 KB， 同方法一，先證 ABC 是等邊三角形， 再證 ANGKNB(SAS)， 所以 BKAGCM， 然后可以證得ABKBCN120， 最后證 ABKBCN(SAS)， 所以 BMAK2AN. 類型 5 角的和差倍分 例 5：解：(1)如圖，過(guò)點(diǎn) P 作 PGEF 于 G. PEPF6，EF6 3， FGEG3 3，F(xiàn)PGEPG12EPF. 在 RtFPG中，sinFPGFGPF

43、3 3632. FPG60， EPF2FPG120. (2)如圖，作 PMAB 于 M，PNAD 于 N. AC 為菱形 ABCD 的對(duì)角線， DACBAC，AMAN，PMPN. 在 RtPME 和 RtPNF中，PMPN，PEPF， RtPMERtPNF， NFME. word . 又AP10，PAM12DAB30， AMANAPcos3010325 3. AEAF(AMME)(ANNF)AMAN10 3. 針對(duì)訓(xùn)練： 1. 證明：如圖，過(guò) D 作 DEAB 于 E，過(guò) D 作 DFAC 于 F， DA 平分BAC，DEAB，DFAC， DEDF， BACD180，ACDFCD180， BF

44、CD， 在 DFC 和 DEB 中， FDEB，F(xiàn)CDB，DFDB， DFCDEB，DCDB. 2. 解：(1)ACAB4，且 CD1， ADACCD3. 在 RtABD 中，BAD90， BDAB2AD25， SABD12AB AD12AE BD， AE. (2)證明：如圖，取 BC 的中點(diǎn) M，連接 AM 交 BD 于點(diǎn) N. BAC90，ABAC，點(diǎn) M 為 BC 的中點(diǎn)， AMBMCM，AMBC，NADFCP45， AMFBMN90. AEBD，MAFANEMBNBNM90， 又ANEBNM，MAFMBN， AMFBMN，MFMN， AMMNCMMF，即 ANCF. APCD， ACC

45、DACAP， 即 ADCP. ADNCPF， ADBCPF. 3. 解：(1)ABBD，BAD45， BDA45，即ABD90. 四邊形 ABCD 是平行四邊形， 當(dāng) E、C 重合時(shí)，BF12BD12AB. 在 RtABF中，AB2BF2AF2， (2BF)2BF2( 5)2， BF1，AB2. 在 RtABD 中，ADAB2BD2 2AB22 2. word . (2)證明：如圖，在 AF 上截取 AKHD，連接 BK. AFDABF2FGD3 且ABFFGD90， 23.在 ABK與 DBH中，ABBD，23，AKHD， ABKDBH，BKBH，65. 四邊形 ABCD 是平行四邊形， A

46、DBC，5445，6545， 7ABD6455.在 BFK與 BFH中， BKBH，75，BFBF，BFKBFH. BFKBFH，即AFBHFB. 4. 解：(1)證明：由折疊知EMNABC90，BEEM，EMBEBM， EMNEMBABCEBM， 即BMPMBC. 在正方形 ABCD 中，ADBC， AMBMBC， AMBBMP， BM 是AMP 的平分線 (2) PDM 的周長(zhǎng)沒(méi)有發(fā)生變化證明如下：如圖，過(guò) B 作 BQMP 于Q. A90，且由(1)知 BM 是AMP的平分線，BABQ， AMQB90，AMBBMP，MBMB， AMBQMB(AAS)MAMQ. BABC，BQBC， 又B

47、QP90C，BPBP， RtBPCRtBPQ(HL)PCPQ， PDM 的周長(zhǎng)MDMPDPMDMQQPPD MDMAPCPDADDC2AD. PDM 的周長(zhǎng)沒(méi)有發(fā)生變化 類型 6 旋轉(zhuǎn)型全等問(wèn)題：圖中假設(shè)有邊相等，可用旋轉(zhuǎn)做實(shí)驗(yàn) 例 6：解：(1)四邊形 ADEF 是正方形，ADAF，ABAC， BACDAF90，BADCAF， DABFAC，BACF， ACBACF90，即 CFBC； DABFAC，CFBD，BCBDCD，BCCFCD. (2)結(jié)論成立，結(jié)論不成立四邊形 ADEF 是正方形，ADAF，ABAC. BACDAF90，BADCAF， DABFAC，ABDACF，CFBD， BCFACFACBABDACB90，即 CFBC；BCCDBD，BCCDCF. (3)如圖，過(guò) A 作 AHBC 于 H，過(guò) E 作 EMBD 于 M，ENCF于 N， BAC90，ABAC，BC 2AB4，AHCH12BC2， CD14BC1，DH3，同(2)證得 BADCAF， ABDACF45，BCFACBACF90， word . BCCF，CFBD5. 四邊形 AD