大學(xué)物理競(jìng)賽專題輔導(dǎo)之機(jī)械波

1、 理 學(xué) 院 物 理 系 張 晚 云理 學(xué) 院 物 理 系 張晚云1 1、描述波的物理量、描述波的物理量 u 僅取決于媒質(zhì)僅取決于媒質(zhì)波源、相對(duì)運(yùn)動(dòng)波源、相對(duì)運(yùn)動(dòng)液體和氣體中的波速液體和氣體中的波速 Bu 體積體積模量模量特別：理想氣體中的波速特別：理想氣體中的波速molMRTPu 固體中的波速固體中的波速 Gu Yu 切變切變模量模量彈性彈性模量模量橫橫 波波縱縱 波波 理 學(xué) 院 物 理 系 張晚云2 2、平面簡(jiǎn)諧波、平面簡(jiǎn)諧波(1)(1)波函數(shù)波函數(shù) )cos(,0kxtAtxy 波源初相位波源初相位)(cos0 uxtA(2)(2)物理意義物理意義(a)當(dāng)當(dāng)x= x0時(shí)時(shí)-該處的振動(dòng)方

2、程該處的振動(dòng)方程 )cos(,000kxtAtxy 該處初相位該處初相位(b)當(dāng)當(dāng)t= t0時(shí)時(shí)-該時(shí)刻的波形方程該時(shí)刻的波形方程 )cos(,000kxtAtxy 2 k波源振動(dòng)方程波源振動(dòng)方程)(2cos0 x xt tA A 理 學(xué) 院 物 理 系 張 晚 云3、簡(jiǎn)諧波的能量與能流密度簡(jiǎn)諧波的能量與能流密度(1)(1)平均能量密度平均能量密度2212wA(2)(2)平均能流（波的功率）平均能流（波的功率） uSAuSwP2221(3)(3)平均能流密度（波的強(qiáng)度）平均能流密度（波的強(qiáng)度）2212IwuA u 理 學(xué) 院 物 理 系 張 晚 云4、波的相干疊加波的相干疊加)cos(:111

3、1 tAyS)cos(:2222 tAyS cos2212221AAAAAp )(2)(1212rr 21 若若 m 2/) 12( m加強(qiáng)加強(qiáng)減弱減弱21rr m2 ) 12( m加強(qiáng)加強(qiáng)減弱減弱21maxAAAA |21minAAAA (1)(1)一般規(guī)律一般規(guī)律 理 學(xué) 院 物 理 系 張 晚 云(2)(2)特例特例駐波駐波【形成】?jī)傻确⒌人俚姆聪虿òl(fā)生相干疊加的結(jié)果【形成】?jī)傻确⒌人俚姆聪虿òl(fā)生相干疊加的結(jié)果【特點(diǎn)】分段振動(dòng)的穩(wěn)定態(tài)，無(wú)相位、能量的傳播【特點(diǎn)】分段振動(dòng)的穩(wěn)定態(tài)，無(wú)相位、能量的傳播注意：半波損失及其發(fā)生條件注意：半波損失及其發(fā)生條件 在固定端反射、從波疏媒質(zhì)垂直（或掠

4、）在固定端反射、從波疏媒質(zhì)垂直（或掠）入射到小波密媒質(zhì)界面反射時(shí)，產(chǎn)生半波損失入射到小波密媒質(zhì)界面反射時(shí)，產(chǎn)生半波損失 理 學(xué) 院 物 理 系 張 晚 云振動(dòng)的本征頻率與簡(jiǎn)正模振動(dòng)的本征頻率與簡(jiǎn)正模21l222l233l, 3 , 2 , 1,2 nnl 41l432l453l, 2 , 14) 12( nnln u SSRRuu 反反之之，為為負(fù)負(fù)值值相相互互接接近近，取取為為正正值值；、SR 5 5、多普勒效應(yīng)、多普勒效應(yīng) (1)(1)機(jī)械波的多普勒效應(yīng)：機(jī)械波的多普勒效應(yīng)：( (S和和R在同一直線上運(yùn)動(dòng)在同一直線上運(yùn)動(dòng)) ) 理 學(xué) 院 物 理 系 張晚云注：注：S和和R不不在同一直線上

5、運(yùn)動(dòng)，只需寫出它們?cè)谶B線在同一直線上運(yùn)動(dòng)，只需寫出它們?cè)谶B線 方向上的速度分量，代入上式進(jìn)行計(jì)算即可。方向上的速度分量，代入上式進(jìn)行計(jì)算即可。(2)(2)電磁波的電磁波的多普勒效應(yīng)多普勒效應(yīng)SRcc 相相對(duì)對(duì)速速度度SR (3)(3)若若Su，則產(chǎn)生沖擊波則產(chǎn)生沖擊波 Su S MVus1sin 馬赫數(shù)馬赫數(shù)注：注：帶電粒子在介質(zhì)中運(yùn)動(dòng)中，也可輻射錐形電磁波。帶電粒子在介質(zhì)中運(yùn)動(dòng)中，也可輻射錐形電磁波。理 學(xué) 院 物 理 系 張晚云典型問(wèn)題及示例典型問(wèn)題及示例波動(dòng)考題大致可分為以下幾種類型波動(dòng)考題大致可分為以下幾種類型(2) (2) 由已知點(diǎn)的振動(dòng)，求波動(dòng)表達(dá)式；由已知點(diǎn)的振動(dòng)，求波動(dòng)表達(dá)式；

6、(3) (3) 已知波形曲線，求波動(dòng)表達(dá)式；已知波形曲線，求波動(dòng)表達(dá)式；(5) (5) 波的疊加波的疊加波的干涉和駐波；波的干涉和駐波；(6) (6) 多普勒效應(yīng)。多普勒效應(yīng)。(4) (4) 波的能量或能流；波的能量或能流；理 學(xué) 院 物 理 系 張晚云一、由已知點(diǎn)的振動(dòng)，求波動(dòng)表達(dá)式一、由已知點(diǎn)的振動(dòng)，求波動(dòng)表達(dá)式 解題思路：解題思路：(1)(1)由題設(shè)條件寫出波源或傳播方向上某一點(diǎn)由題設(shè)條件寫出波源或傳播方向上某一點(diǎn)(x=x0)的振動(dòng)表達(dá)式；的振動(dòng)表達(dá)式；(2)(2)在波線上任取一點(diǎn)在波線上任取一點(diǎn)p( (坐標(biāo)為坐標(biāo)為x) )，計(jì)算由傳播路徑，計(jì)算由傳播路徑引起的點(diǎn)振動(dòng)相位比已知點(diǎn)超前或滯

7、后量：引起的點(diǎn)振動(dòng)相位比已知點(diǎn)超前或滯后量：(3)(3)在原振動(dòng)表達(dá)式中的加上（超前）或減去（滯后）在原振動(dòng)表達(dá)式中的加上（超前）或減去（滯后）上述相位差即得到波動(dòng)表達(dá)式；上述相位差即得到波動(dòng)表達(dá)式；)(20 xx 注意：若涉及反射，則討論半波損失。注意：若涉及反射，則討論半波損失。2008.03 理 學(xué) 院 物 理 系 張 晚 云例例1 如圖，如圖，處波源的振動(dòng)方程為處波源的振動(dòng)方程為 該振動(dòng)以平面波形式沿該振動(dòng)以平面波形式沿x軸正向傳播，波速為軸正向傳播，波速為u。在。在距波源距波源d處發(fā)生反射，反射點(diǎn)為一固定端。設(shè)反射時(shí)處發(fā)生反射，反射點(diǎn)為一固定端。設(shè)反射時(shí)無(wú)能量損失，試求反射波的表達(dá)式

8、。無(wú)能量損失，試求反射波的表達(dá)式。 )(2cos0SItAy x入射波入射波xd提示：提示：(1)(1)傳播過(guò)程傳播過(guò)程相位延遲：相位延遲：)2(2x xd d (2)(2)固定端反射固定端反射半波損失半波損失)()2(22cos),(SISIx xd dt tA At tx xy yr r 反射波反射波補(bǔ)充：半波反射和全波反射補(bǔ)充：半波反射和全波反射半波反射半波反射固定端固定端入射波入射波反射波反射波全波反射全波反射反射波反射波入射波入射波自由端自由端理 學(xué) 院 物 理 系 張晚云理 學(xué) 院 物 理 系 張晚云二、已知波形曲線，建立波動(dòng)表達(dá)式；二、已知波形曲線，建立波動(dòng)表達(dá)式； 解題思路：解

9、題思路：(1)(1)由某時(shí)刻的波形曲線寫出振幅與波長(zhǎng)等，由某時(shí)刻的波形曲線寫出振幅與波長(zhǎng)等，特別要特別要注意從曲線上確定某點(diǎn)（如原點(diǎn)）的振動(dòng)相位，通常注意從曲線上確定某點(diǎn)（如原點(diǎn)）的振動(dòng)相位，通常是用旋轉(zhuǎn)矢量法。是用旋轉(zhuǎn)矢量法。(2)(2)寫出上述某點(diǎn)的振動(dòng)方程；寫出上述某點(diǎn)的振動(dòng)方程；(3)(3)根據(jù)傳播方向?qū)懗霾▌?dòng)表達(dá)式。根據(jù)傳播方向?qū)懗霾▌?dòng)表達(dá)式。 注意：若同時(shí)給出兩個(gè)時(shí)刻的波形圖，注意：若同時(shí)給出兩個(gè)時(shí)刻的波形圖， 可得到波速等信息。可得到波速等信息。1. 一沿一沿x 軸負(fù)向傳播的平面余弦波在軸負(fù)向傳播的平面余弦波在t =1/3 s時(shí)的波時(shí)的波形如圖所示，且周期形如圖所示，且周期T =

10、2s PQ20 x/cmoy/cm-5.u(1)(1)寫出寫出O點(diǎn)的振動(dòng)表式點(diǎn)的振動(dòng)表式; ;(2)(2)寫出此波的波動(dòng)表式寫出此波的波動(dòng)表式; ;(3)(3)寫出寫出Q點(diǎn)的振動(dòng)表式點(diǎn)的振動(dòng)表式(4)(4)Q點(diǎn)離點(diǎn)離O點(diǎn)的距離多大點(diǎn)的距離多大? ? 理 學(xué) 院 物 理 系 張晚云 解：解：0.5Hz =20cm/s= 400.5A =10cm =40cm2T=u =2sT(1)(1)由旋轉(zhuǎn)矢量法可知由旋轉(zhuǎn)矢量法可知O點(diǎn)在點(diǎn)在t=1/3s時(shí)的相位為時(shí)的相位為-2/313t+= + =23= ()10tcos=y0O點(diǎn)的振動(dòng)規(guī)律：點(diǎn)的振動(dòng)規(guī)律：+=x2032)(+10tcos=yQ6=23.3cm

11、x13t+= + 2= 6(2)(2)波動(dòng)方程為波動(dòng)方程為(3)(3)對(duì)于對(duì)于Q點(diǎn)點(diǎn)由由(1)(1)式：式：+()10tcos=yx20(1)理理 學(xué)學(xué) 院院 物物 理理 系系 張晚云張晚云()10tcos=y0PQ20 x/cmoy/cm-5.u例例6.已知一列沿已知一列沿x正向傳播的簡(jiǎn)諧波在正向傳播的簡(jiǎn)諧波在t1=0和和t2=0.25s時(shí)的波形如圖所示。求：時(shí)的波形如圖所示。求： (1)P點(diǎn)的振動(dòng)表式點(diǎn)的振動(dòng)表式; ; (2)此波的波動(dòng)表式此波的波動(dòng)表式; ; x / moy / m0.20.45ut1=0t2=0.25sP. 解：解： A =0.2m =0.6mT=1s= 40.25 1

12、Hz =2T=2 2=u =0.6m/s+0.2tcos=2yx20.6 t =0 x =0y =0v0 2=+2310 x0.2tcos=2y理 學(xué) 院 物 理 系 張晚云+2310 x0.2tcos=2y2+0.2tcos=2yO2+0.33100.2tcos=2yP20.2tcos=2理 學(xué) 院 物 理 系 張晚云x / moy / m0.20.45ut1=0t2=0.25sP.2例例3 如圖所示為一平面簡(jiǎn)諧波在如圖所示為一平面簡(jiǎn)諧波在t = 2 s時(shí)刻的波形圖，時(shí)刻的波形圖，設(shè)此簡(jiǎn)諧波的頻率為設(shè)此簡(jiǎn)諧波的頻率為250 Hz，且此時(shí)質(zhì)點(diǎn)，且此時(shí)質(zhì)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)方向的運(yùn)動(dòng)方向向下，求向下，求(

13、1) (1) 該波的波函數(shù)；該波的波函數(shù)；(2) (2) 在距原點(diǎn)在距原點(diǎn)O為為100 m處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程 與振動(dòng)速度表達(dá)式。與振動(dòng)速度表達(dá)式。提示：先根據(jù)提示：先根據(jù)P P點(diǎn)的振動(dòng)方向可判斷波向左傳播。點(diǎn)的振動(dòng)方向可判斷波向左傳播。uA/2x (m)y (m)o100 mP 理 學(xué) 院 物 理 系 張 晚 云t =2s y (m)2uA/2x (m)o100 mP2A/2/4t = 2s yo 理 學(xué) 院 物 理 系 張 晚 云4)(20 s st tt t再求再求O 點(diǎn)振動(dòng)的初相：點(diǎn)振動(dòng)的初相：寫出波函數(shù)：寫出波函數(shù)： )cos(,0 k kx xt tA At tx xy

14、 y代入考察點(diǎn)點(diǎn)坐標(biāo)，得該點(diǎn)振動(dòng)方程代入考察點(diǎn)點(diǎn)坐標(biāo)，得該點(diǎn)振動(dòng)方程理 學(xué) 院 物 理 系 張晚云三、波的能量三、波的能量要求：熟記相關(guān)公式，要求：熟記相關(guān)公式，注意波動(dòng)能量與諧振動(dòng)能量的區(qū)別。注意波動(dòng)能量與諧振動(dòng)能量的區(qū)別。1. 一揚(yáng)聲器的膜片，半徑為一揚(yáng)聲器的膜片，半徑為0.1m，使它產(chǎn)生，使它產(chǎn)生 l kHz、40W的聲輻射，則膜片的振幅應(yīng)多大的聲輻射，則膜片的振幅應(yīng)多大? ?已知該溫度下空已知該溫度下空氣的密度為氣的密度為=1.29kg/m3，聲速為，聲速為344m/s。 提示：提示：u 12AI2=2Pr2=2 2、一揚(yáng)聲器各向同性地發(fā)出頻率為、一揚(yáng)聲器各向同性地發(fā)出頻率為2kHz的

15、球面波，在的球面波，在6m遠(yuǎn)處的強(qiáng)度為遠(yuǎn)處的強(qiáng)度為1.010-3 W/m2，設(shè)沒(méi)有反射，則。，設(shè)沒(méi)有反射，則。 (1)(1)在在30m處的聲強(qiáng)為多大處的聲強(qiáng)為多大? ? (2) (2)6.0m處的位移振幅為多大處的位移振幅為多大? ? 解：解：2530=62=I61251.010-3 2=I6I30r30r62(1)1I3025=4.010-5 ( W/m2 ) u 12AI2=2u12AI=1.7210-7 ( m ) (2)理 學(xué) 院 物 理 系 張晚云理 學(xué) 院 物 理 系 張晚云四、波的疊加四、波的疊加干涉與駐波干涉與駐波波的干涉問(wèn)題主要是計(jì)算相干波在相遇處是增強(qiáng)波的干涉問(wèn)題主要是計(jì)算

16、相干波在相遇處是增強(qiáng)還是減弱，這可通過(guò)二者相位差或波程差來(lái)確。還是減弱，這可通過(guò)二者相位差或波程差來(lái)確。駐波問(wèn)題中，重點(diǎn)是計(jì)算波腹和波節(jié)的位置，關(guān)駐波問(wèn)題中，重點(diǎn)是計(jì)算波腹和波節(jié)的位置，關(guān)鍵是寫出入射波與反射波在相遇點(diǎn)的相位差或波程差。鍵是寫出入射波與反射波在相遇點(diǎn)的相位差或波程差。1海邊有一發(fā)射天線發(fā)射波長(zhǎng)為海邊有一發(fā)射天線發(fā)射波長(zhǎng)為的電磁波，海輪上有一接的電磁波，海輪上有一接收天線，兩天線都高出海面收天線，兩天線都高出海面H，海輪自遠(yuǎn)處接近發(fā)射天線。，海輪自遠(yuǎn)處接近發(fā)射天線。若將平靜海面視為水平反射面，當(dāng)海輪第一次接收到時(shí)訊若將平靜海面視為水平反射面，當(dāng)海輪第一次接收到時(shí)訊號(hào)極大值時(shí)，兩天

17、線的距離為號(hào)極大值時(shí)，兩天線的距離為。發(fā)射發(fā)射天線天線24222 xxHxH 反射波與直射波的波程差：反射波與直射波的波程差： k 1442 Hx變化：兩天線高度不等；變化：兩天線高度不等；船船飛機(jī)飛機(jī)(波源波源)，結(jié)果如何？，結(jié)果如何？變變1. 地面上波源地面上波源S與高頻率波探測(cè)器與高頻率波探測(cè)器D之間的距離為之間的距離為d，從從S直接發(fā)出的波與從直接發(fā)出的波與從S發(fā)出經(jīng)高度為發(fā)出經(jīng)高度為H的水平層反射后的水平層反射后的波，在的波，在D處加強(qiáng)，反射線及入射線與水平層所成的角處加強(qiáng)，反射線及入射線與水平層所成的角度相同。當(dāng)水平層逐漸升高度相同。當(dāng)水平層逐漸升高h(yuǎn)距離時(shí)，在距離時(shí)，在D處測(cè)不到

18、訊號(hào)。處測(cè)不到訊號(hào)。不考慮大氣的吸收。試求不考慮大氣的吸收。試求此波源此波源S發(fā)出波的波長(zhǎng)。發(fā)出波的波長(zhǎng)。dhHSD32112BA提示：提示：SBBD+=d1SAAD+=d22d1 +=kd 1、3兩波在兩波在D處干涉加強(qiáng)處干涉加強(qiáng)2、3兩波在兩波在D處干涉相消處干涉相消1()+2d2 +=kd22 d2=2 d1得得理 學(xué) 院 物 理 系 張晚云變變2. 圖為演示聲波干涉的聲音干涉儀。圖為演示聲波干涉的聲音干涉儀。S為揚(yáng)聲器，為揚(yáng)聲器，D為聲音探測(cè)器。路徑為聲音探測(cè)器。路徑SAD固定，但路徑固定，但路徑SBD的長(zhǎng)度可變。的長(zhǎng)度可變。干涉儀內(nèi)有空氣，聲強(qiáng)在干涉儀內(nèi)有空氣，聲強(qiáng)在B的第一位置時(shí)為

19、極小值的第一位置時(shí)為極小值100單位，而漸增至單位，而漸增至B 距第一位置為距第一位置為1.65cm 的第二位置時(shí)，的第二位置時(shí)，有極大值有極大值 900單位，求：?jiǎn)挝?，求?1)(1)聲源發(fā)出的聲波頻率聲源發(fā)出的聲波頻率; ; (2)(2)抵達(dá)探測(cè)器的兩波的相對(duì)振幅抵達(dá)探測(cè)器的兩波的相對(duì)振幅 ABDS理 學(xué) 院 物 理 系 張晚云(1)(1)由題意由題意解：解：4 =1.6510-2(m) = 6.610-2(m) =u =331=5015(Hz)6.610-2(2)(2)A1=A2I1I21001900=3=例例2. 有一平面波的波動(dòng)方程為：有一平面波的波動(dòng)方程為：此波傳到隔板上的兩個(gè)小孔

20、此波傳到隔板上的兩個(gè)小孔A、B上，上，A、B相距相距1m,PAPB ,如如圖所示。若從圖所示。若從 A、B 傳出的子波到達(dá)傳出的子波到達(dá)P 時(shí)時(shí)恰好第一次相消，求恰好第一次相消，求P 點(diǎn)到點(diǎn)到A點(diǎn)的距離。點(diǎn)的距離。2tycos=x330600(SI)ABP理 學(xué) 院 物 理 系 張晚云u =330m/s=300Hz =u =330300=1.1(m)2tycos=x330600解：解：ABPx1m ()2PBPA=1()+=k2=2 ()PBPA1()+k20=k令令得得1 x2+=x2 x =0.634m解得：解得：理 學(xué) 院 物 理 系 張晚云1x=4 2 1變題變題1 1：如圖所示，從遠(yuǎn)

21、處聲源發(fā)出的波長(zhǎng)為如圖所示，從遠(yuǎn)處聲源發(fā)出的波長(zhǎng)為 的聲波的聲波垂直入射到墻上，墻上有兩相距為垂直入射到墻上，墻上有兩相距為 的小孔的小孔A和和B。若。若將一探測(cè)器沿與墻垂直的將一探測(cè)器沿與墻垂直的AP直線移動(dòng)，則只能探測(cè)到直線移動(dòng)，則只能探測(cè)到兩次極大，它們的位置兩次極大，它們的位置Q1、Q2已定性地在圖中示出，已定性地在圖中示出，則則Q1、Q2到到A點(diǎn)的距離分別為點(diǎn)的距離分別為d1 = ，d2 =。 聲聲波波BAQ2Q1P33理 學(xué) 院 物 理 系 張晚云提示：提示：222AQBQ 設(shè)設(shè)111AQBQ 設(shè)設(shè)AB 12 則則 3 ;21 2例例3. 標(biāo)準(zhǔn)聲源能發(fā)出頻率為標(biāo)準(zhǔn)聲源能發(fā)出頻率為0

22、=250Hz的聲波，一音的聲波，一音叉與該標(biāo)準(zhǔn)聲源同時(shí)發(fā)聲，產(chǎn)生頻率為叉與該標(biāo)準(zhǔn)聲源同時(shí)發(fā)聲，產(chǎn)生頻率為1.5Hz的拍音，的拍音，若在音叉的臂上粘上一小塊橡皮泥，則拍頻增加，由此若在音叉的臂上粘上一小塊橡皮泥，則拍頻增加，由此可知，音叉的固有頻率可知，音叉的固有頻率= 。將上述音叉置于。將上述音叉置于盛水的玻璃管口調(diào)節(jié)管中水面的高度，當(dāng)管中空氣柱高盛水的玻璃管口調(diào)節(jié)管中水面的高度，當(dāng)管中空氣柱高度度L從零連續(xù)增加時(shí)，發(fā)現(xiàn)在從零連續(xù)增加時(shí)，發(fā)現(xiàn)在L=0.34m和和1.03m時(shí)產(chǎn)時(shí)產(chǎn)生相繼的兩共鳴，由以上數(shù)據(jù)可得聲波在空氣中的傳播生相繼的兩共鳴，由以上數(shù)據(jù)可得聲波在空氣中的傳播速度為速度為。理 學(xué)

23、 院 物 理 系 張晚云提示：提示： 0 拍拍0 拍拍 0拍拍音叉粘橡皮泥音叉粘橡皮泥 此時(shí)拍頻此時(shí)拍頻()拍拍 0 mHz5 .248 共鳴時(shí)氣柱內(nèi)形成駐波共鳴時(shí)氣柱內(nèi)形成駐波4/)12( k kL Ln n連續(xù)兩次共鳴時(shí)氣柱的高度差連續(xù)兩次共鳴時(shí)氣柱的高度差2/ nL nL2 理 學(xué) 院 物 理 系 張晚云五、多普勒效應(yīng)典例求解五、多普勒效應(yīng)典例求解 1. (1) (1)一波源一波源( (=2040Hz) )以速度以速度s向一反射面接近，向一反射面接近，觀察者在觀察者在A點(diǎn)聽(tīng)得拍音的頻率為點(diǎn)聽(tīng)得拍音的頻率為 = 3Hz ，求波源，求波源移動(dòng)的速度移動(dòng)的速度s ，設(shè)聲速為，設(shè)聲速為340m/s； (2)(2)若若(1)(1)中波源沒(méi)有運(yùn)動(dòng)，而反射面以速中波源沒(méi)有運(yùn)動(dòng)，而反射面以速度度=0.20m/s向觀察者接近向觀察者接近, ,所聽(tīng)得的拍音頻率所聽(tīng)得的拍音頻率= 4Hz求波源的頻率。求波源的頻率。Avs波源波源觀測(cè)者觀測(cè)者解解(1)： 觀察者直接聽(tīng)到的頻率為觀察者直接聽(tīng)到的頻率為 uSvu+= 1 由反射面反射后的波的頻率為由反射面反射后的波的頻率為 uSvu-= 2=21=Sv uSvu222+=0 Sv2Sv u2 u2+=0 Sv2Sv u2 u2