直接證明與間接證明2

1、經(jīng)過(guò)證明經(jīng)過(guò)證明的結(jié)論的結(jié)論 一般地，從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步一般地，從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求推證過(guò)程中，使每一步結(jié)論成立的充尋求推證過(guò)程中，使每一步結(jié)論成立的充分條件，直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)分條件，直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個(gè)明顯成立的條件（已知條件、為判定一個(gè)明顯成立的條件（已知條件、定理、定義、公理等）為止，這種證明的定理、定義、公理等）為止，這種證明的方法叫做方法叫做分析法分析法 特點(diǎn)：特點(diǎn)：執(zhí)果索因執(zhí)果索因. .用框圖表示分析法用框圖表示分析法1 1QPQP2323PPPP1212PPPP得到一個(gè)明顯得到一個(gè)明顯成立的結(jié)論成立的結(jié)論復(fù)習(xí)復(fù)習(xí)思考題思考題: :甲、乙

2、、丙三箱共有小球甲、乙、丙三箱共有小球384384個(gè)個(gè), ,先先由甲箱取出若干放進(jìn)乙、丙兩箱內(nèi)由甲箱取出若干放進(jìn)乙、丙兩箱內(nèi), ,所放個(gè)所放個(gè)數(shù)分別為乙、丙箱內(nèi)原有個(gè)數(shù)數(shù)分別為乙、丙箱內(nèi)原有個(gè)數(shù), ,繼而由乙箱繼而由乙箱取出若干個(gè)球放進(jìn)甲、丙兩箱內(nèi)取出若干個(gè)球放進(jìn)甲、丙兩箱內(nèi), ,最后由丙最后由丙箱取出若干個(gè)球放進(jìn)甲、乙兩箱內(nèi)箱取出若干個(gè)球放進(jìn)甲、乙兩箱內(nèi), ,方法同方法同前前. .結(jié)果三箱內(nèi)的小球數(shù)恰好相等結(jié)果三箱內(nèi)的小球數(shù)恰好相等. .求甲、求甲、乙、丙三箱原有小球數(shù)乙、丙三箱原有小球數(shù)甲甲:208:208個(gè)個(gè), ,乙乙:112:112個(gè)個(gè), ,丙丙:64:64個(gè)個(gè)思考？思考？ A A、B

3、 B、C C三個(gè)人，三個(gè)人，A A說(shuō)說(shuō)B B撒謊，撒謊，B B說(shuō)說(shuō)C C撒謊，撒謊，C C說(shuō)說(shuō)A A、B B都撒謊。則都撒謊。則C C必定必定是在撒謊，為什么？是在撒謊，為什么？分析分析:假設(shè)假設(shè)C沒(méi)有撒謊沒(méi)有撒謊, 則則C真真. - - - -那么那么A假且假且B假假;由由A A假假, , 知知B B真真. . 這與這與B B假矛盾假矛盾. .那么那么假設(shè)假設(shè)C C沒(méi)有撒謊不成立沒(méi)有撒謊不成立; ;則則C C必定是在撒謊必定是在撒謊. . 反證法：反證法： 假設(shè)命題結(jié)論的反面成立，經(jīng)過(guò)正確的假設(shè)命題結(jié)論的反面成立，經(jīng)過(guò)正確的推理推理, ,引出矛盾，因此說(shuō)明假設(shè)錯(cuò)誤引出矛盾，因此說(shuō)明假設(shè)錯(cuò)誤,

4、 ,從而從而證明原命題成立證明原命題成立, ,這樣的的證明方法叫反這樣的的證明方法叫反證法。證法。反證法的思維方法：反證法的思維方法：正難則反正難則反反證法的基本步驟：反證法的基本步驟：（1 1）假設(shè)命題結(jié)論不成立，即假設(shè)結(jié)論的反面成）假設(shè)命題結(jié)論不成立，即假設(shè)結(jié)論的反面成-立；立；（2 2）從這個(gè)）從這個(gè)假設(shè)出發(fā)假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過(guò)推理論證，得出，經(jīng)過(guò)推理論證，得出矛盾矛盾； （3 3）從矛盾判定假設(shè)不正確，從而肯定命題的結(jié)）從矛盾判定假設(shè)不正確，從而肯定命題的結(jié) - -論正確論正確歸繆矛盾：歸繆矛盾：（1 1）與已知條件矛盾；）與已知條件矛盾；（2 2）與已有公理、定理、定義矛盾；）與已有公理、

5、定理、定義矛盾； （3 3）自相矛盾。）自相矛盾。應(yīng)用反證法的情形：應(yīng)用反證法的情形： (1)(1)直接證明困難直接證明困難; ; (2) (2)需分成很多類進(jìn)行討論需分成很多類進(jìn)行討論（3)3)結(jié)論為結(jié)論為“至少至少”、“至多至多”、“有無(wú)窮有無(wú)窮多個(gè)多個(gè)” ” -類命題；類命題； （4 4）結(jié)論為結(jié)論為 “ “唯一唯一”類命題；類命題；例例1 1：用反證法證明：用反證法證明：如果如果ab0ab0，那么，那么a a b b證：假設(shè) a b不成立，則 a b證：假設(shè) a b不成立，則 a b若 a =b，則a = b,若 a =b，則a = b,與已知a b矛盾,與已知a b矛盾,若 a b，

6、則a b,若 a b，則a b矛盾,與已知a b矛盾,故假設(shè)不成立，結(jié)論 a b成立。故假設(shè)不成立，結(jié)論 a b成立。例例2 2 已知已知a0a0，證明，證明x x的方程的方程ax=bax=b有且只有有且只有一個(gè)根。一個(gè)根。證：假設(shè)方程ax+b = 0(a 0)至少存在兩個(gè)根，證：假設(shè)方程ax+b = 0(a 0)至少存在兩個(gè)根，1 12 21 12 2不不妨妨設(shè)設(shè)其其中中的的兩兩根根分分別別為為x x ，x x 且且x x x x1212則ax = b，ax = b則ax = b，ax = b1212ax = axax = ax1 12 2 a ax x - -a ax x = = 0 01

7、 12 2 a a（x x - -x x ） = = 0 012121212 x x ，x -x 0 x x ，x -x 0 a = 0 a = 0 與已知a 0矛盾,與已知a 0矛盾,故假設(shè)不成立，結(jié)論成立。故假設(shè)不成立，結(jié)論成立。P P例例3 3：證明：圓的兩條不全是直徑的相交：證明：圓的兩條不全是直徑的相交弦不能互相平分弦不能互相平分. .已知：在已知：在OO中中, ,弦弦ABAB、CDCD相交于相交于P P，且，且ABAB、CDCD不全是直徑不全是直徑 求證：求證：ABAB、CDCD不能互相平分。不能互相平分。A AB BC CD DO O 例例4 4 求證：求證： 是無(wú)理數(shù)。是無(wú)理數(shù)

8、。2 2證：假設(shè) 2是有理數(shù)，證：假設(shè) 2是有理數(shù)，m m則則存存在在互互質(zhì)質(zhì)的的整整數(shù)數(shù)m m，n n使使得得2 2 = =，n n m m = =2 2n n2 22 2 m m= = 2 2n n2 2m m 是是偶偶數(shù)數(shù)，從從而而m m必必是是偶偶數(shù)數(shù)，故故設(shè)設(shè)m m= =2 2k k（k kN N）22222222從而有4k = 2n ，即n = 2k從而有4k = 2n ，即n = 2k2 2n 也是偶數(shù)，n 也是偶數(shù)，這與m，n互質(zhì)矛盾！這與m，n互質(zhì)矛盾！所以假設(shè)不成立，2是有理數(shù)成立。所以假設(shè)不成立，2是有理數(shù)成立。121212122222112211221:若p p = 2(q +q ),證明:關(guān)于x的方程1:若p p = 2(q +q ),證明:關(guān)于x的方程x +p x+q = 0與x +p x+q = 0中至少有一x +p x+q = 0與x +p x+q = 0中至少有一個(gè)有實(shí)根.個(gè)有實(shí)根.2 22 22 22 2: :若若a a, ,b b, ,c c均均為為實(shí)實(shí)數(shù)數(shù), ,且且a a