大學(xué)數(shù)學(xué)(高數(shù)微積分)第七章線性變換第八節(jié)(課堂講義)

1、從前面第五節(jié)的討論可以知道，并不是對(duì)于每一個(gè)線性變換都有一組基，使它在這組基下的矩陣成為對(duì)角形.下面先介紹一下，在適當(dāng)選擇的基下,一般的一個(gè)線性變換能化簡(jiǎn)成什么形狀.在這一節(jié)，我們的討論限制在復(fù)數(shù)域中. tttJ1000010000010000),(，其一般形狀如) 1 (21sAAA其中iikkiiiiiA111并且 1 , 2 , s 中有一些可以相等.例如i10i,0100001000010000,210021002都是若爾當(dāng)塊，是一個(gè)若爾當(dāng)形矩陣.410000041000004000000400000011000001而一級(jí)若爾當(dāng)塊就是一級(jí)矩陣，因此若爾當(dāng)形矩陣中包括對(duì)角矩陣.因?yàn)槿魻?/p>

2、當(dāng)形矩陣是下三角形矩陣，所以不難算出，這一節(jié)我們將利用線性變換按它的不變子空間的直和分解的性質(zhì)來(lái)證明下列重要結(jié)論. 設(shè) A 的特征多項(xiàng)式為,)()()()(2121srsrrf1 , 2 , s 是 f () 的全部不同的根.由知 V 可分解成 A 的不變子空間的直和V = V1 V2 Vs ,其中., 0)( |VViriiEA我們?nèi)缒茏C明在每個(gè) Vi 上有一組基使 A |Vi 在該基下矩陣為若爾當(dāng)形矩陣，則定理得證.為此需證明： ) 2() 0() 0() 0(.,211211121212121skkkskkkssssBBBBBBBBB于是 B在這組基下的矩陣為)3(01010010100

3、1010k1k2ks我們對(duì) V 的維數(shù) n 作歸納法.n =1 .這時(shí) V 有基 1 ，且 B1 = 11 .由B k1 = 1k1 = 0 ,得 1 = 0 .于是 1 ( B1 =0 )，是要求的基.設(shè)線性空間維數(shù) n 時(shí)，引理的結(jié)論成立.對(duì)滿足引理?xiàng)l件的 n 維線性空間 V，考察 B 的不變子空間 B V.若 B V 的維數(shù)等于 V 的維數(shù)，則B V = V.于是B kV =B k-1 (B V ) = B k-1V = B k-2V = =V. 但 B kV = 0，得 V = 0，矛盾.故 B V 的維數(shù)小于n .將 B 看成 B V 上的線性變換，仍有B k = 0 .由歸納法假設(shè)

4、， BV上有基) 4() 0() 0() 0(,211211121212121tkkktkkkttttBBBBBBBBB其中 k1 , k2 , , kt 皆為正整數(shù).由于 1 , 1 , , t 皆屬于B V，有1 , 2 , , t V使 B1 = 1 , , Bt = t .排出下列向量集合：) 5 (,.,211211121212121tkkktkkkttttBBBBBBBBB,1st0,0,0,0,0,112211112211sttktkkkkkttBBBBBBBB其中實(shí)線方框中的向量組正是 (4) 中的向量組，虛線方框中的向量組正是實(shí)線方框中各向量在 B 下的原像所成的向量組.最后

5、一行中的tkktBB,11是 B 的核 B -1(0) 中的向量，它們是 B V 的基中的部分向量，故是線性無(wú)關(guān)的.t+1 , , s 是 B -1(0) 中的向量，它們與tkktBB,11合起來(lái)正是 B -1(0) 的一組基，并組成上述向量組(5) 的最后一行.由 知虛線方框中的向量與最后一行的向量合起來(lái)就是 V 的一組基，且符合引理的要求 ( 這時(shí) kt+1 = = ks =1 ) .完成了歸納法.現(xiàn)在回來(lái)證明定理 16 .在 Vi 上有.)(0EAiri作,| )(iiVEAB則.0Bir由引理，有 Vi 的基使 B 的矩陣為形狀如 (3) 的若爾當(dāng)形.于是 A | Vi = B + i E 在該基下的矩陣為 (3) 中矩陣與 i E 的和，即為iiiiiiiii111111l1l2lt也是若爾當(dāng)形.把每個(gè) Vi 的上述基合起來(lái)是 V 的基， A 在該基下的矩陣仍為若爾當(dāng)形矩陣.上述結(jié)果用矩陣表示就是： 定理 17 是借助于線性變換的不變子空間的直和分解及取適當(dāng)基向量來(lái)達(dá)到證明的.這是用線性變換的工具來(lái)解決矩陣問(wèn)題的范例.但這方法用于計(jì)算一般矩陣的若爾當(dāng)形卻不方便