極限的有關(guān)運(yùn)算

1、 定理定理推論推論1lim( ),lim( )f xcc f x如如果果存存在在 而而 為為常常數(shù)數(shù) 則則 這意味著這意味著, ,常數(shù)因子可以提到極限常數(shù)因子可以提到極限符號(hào)的外面符號(hào)的外面. .(1) lim ( )( );f xg xAB(2) lim ( )( );f xg xA Blim( ),lim ( ),f xAg xB設(shè)設(shè)則則( )(3)lim,0.( )f xABg xB 其其中中六、極限的四則運(yùn)算clim( ).f xc 推論推論2 這意味著這意味著,求一個(gè)函數(shù)求一個(gè)函數(shù) n 次冪的極限次冪的極限等于該函數(shù)極限值的等于該函數(shù)極限值的n 次冪次冪.lim( ),lim( )l

2、im( ) .nnf xnf xf x 如如果果存存在在 而而 是是正正整整數(shù)數(shù) 則則 例例1021lim(234)xxx21lim(2)xx . 1 212limxx 1lim3xx 1lim( 4)x13lim4xx212(lim )34xx代數(shù)和的極限等于極限的代數(shù)和代數(shù)和的極限等于極限的代數(shù)和.lim ( )( )f xg xABlim( )lim( )cf xcf x lim( )lim( )nnf xf x 211lim2xxx 211lim(1)lim(2)xxxx 211lim1lim2xxxx 1112 . 0 在對(duì)商求極限時(shí)在對(duì)商求極限時(shí),若分母不為若分母不為0，商的，商的

3、極限等于先求極限后極限等于先求極限后,再做除法再做除法.0)2(lim1 xx( )lim,0.( )f xABg xB其其中中例例1121241lim21xxx 12(21)(21)lim(21)xxxx 12lim(21)xx. 2 要看分子要看分子, ,分母能否因式分解，并約分分母能否因式分解，并約分. .當(dāng)分母的極限為當(dāng)分母的極限為 0 的情形，的情形，1,210,2xx 而而在在時(shí)時(shí)可可以以約約分分. .2lim 41)lim 21)xx （不不能能寫寫成成（12lim(21)0,xx由由于于( )lim,0.( )f xABg xB其其中中例例12225lim4xxx 224lim

4、05xxx . 1. 要看能否因式分解；要看能否因式分解；對(duì)于分母求極限為對(duì)于分母求極限為0的情形，的情形，2. 考慮利用無(wú)窮小的倒數(shù)是無(wú)窮大這一性質(zhì)考慮利用無(wú)窮小的倒數(shù)是無(wú)窮大這一性質(zhì).225lim4xxx 222lim(4)0,4xxx 可可以以因因式式分分解解但但與與分分子子不不能能約約分分，需需要要另另外外想想辦辦法法. .2,x 注注意意當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí) 分分母母是是無(wú)無(wú)窮窮小小量量 分分子子是是常常數(shù)數(shù). .例例13如何求有理根式的極限：如何求有理根式的極限：lim(21)nnnn 將原式看作分式，將原式看作分式，分析與提示分析與提示: :(21).1nnn即即，再再有有理理化化例例14(

5、21)(21)lim21nnnnnnnn 1)12(lim nnnn123lim nnnn.32 12)1(2(lim nnnnnnnnn11213lim ,ann 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)是是無(wú)無(wú)窮窮小小量量14)lim(21)nnnn 1sinlim0 xxx 1)0sin,0 xxx 時(shí)時(shí)，與與 為為等等價(jià)價(jià)無(wú)無(wú)窮窮小小量量 它它們們趨趨于于 的的速速度度一一樣樣. .七、兩個(gè)重要的極限其中，其中，0sin 215 limsin 3xxx 例例）1sinlim22sinlim020 ttxxtxtx0sin22332slimin3xxxxx xxxxxx3sin3lim22sinlim3200 .23

6、練習(xí)練習(xí)212412)lim21xxx 0sin3)limxxx 0tan34)limxxx2221)lim31xxxx 4222213*5)lim221211*6)lim()xnxxnnnnn 112(1)2nn n注：帶注：帶* *號(hào)的題號(hào)的題目較難目較難2221)lim31xxxx 222lim 2lim 31xxxxx （）（）2lim310 xx要要注注意意：.107 22(2)(24)lim2xxxxx 22lim(24)xxx.12 3282)lim2xxx 其中，其中，0sin3)limxxx 00sinsinlimlim1txxtxtxt 0sinlimxxx 0sinlimxxx . 0tan34)limxxx0sin33lim13xxx0sin3limcos3xxxx 00sin31limlimcos3xxxxx. 3 1lim(1)xxx10lim(1)xxx e e 2)2.718 281 828 459 045 是是一一個(gè)個(gè)無(wú)無(wú)理理數(shù)數(shù)， 1lim(1)nnn e e. .e ee ee e3