時間序列分析教程重點(diǎn)講義資料

1、3.3時間序列分析3.3.1時間序列概述1. 基本概念(1)一般概念：系統(tǒng)中某一變量的觀測值按時間順序（時間間隔相同）排列成一個數(shù)值序列，展示研究對象在一定時期內(nèi)的變動過程，從中尋找和分析事物的變化特征、發(fā)展趨勢和規(guī)律。它是系統(tǒng)中某一變量受其它各種因素影響的總結(jié)果。(2)研究實質(zhì)：通過處理預(yù)測目標(biāo)本身的時間序列數(shù)據(jù)，獲得事物隨時間過程的演變特性與規(guī)律，進(jìn)而預(yù)測事物的未來發(fā)展。它不研究事物之間相互依存的因果關(guān)系。(3)假設(shè)基礎(chǔ)：慣性原則。即在一定條件下，被預(yù)測事物的過去變化趨勢會延續(xù)到未來。暗示著歷史數(shù)據(jù)存在著某些信息，利用它們可以解釋與預(yù)測時間序列的現(xiàn)在和未來。 近大遠(yuǎn)小原理（時間越近的數(shù)據(jù)影

2、響力越大）和無季節(jié)性、無趨勢性、線性、常數(shù)方差等。(4)研究意義：許多經(jīng)濟(jì)、金融、商業(yè)等方面的數(shù)據(jù)都是時間序列數(shù)據(jù)。 時間序列的預(yù)測和評估技術(shù)相對完善，其預(yù)測情景相對明確。 尤其關(guān)注預(yù)測目標(biāo)可用數(shù)據(jù)的數(shù)量和質(zhì)量，即時間序列的長度和預(yù)測的頻率。2. 變動特點(diǎn)(1)趨勢性：某個變量隨著時間進(jìn)展或自變量變化，呈現(xiàn)一種比較緩慢而長期的持續(xù)上升、下降、停留的同性質(zhì)變動趨向，但變動幅度可能不等。(2)周期性：某因素由于外部影響隨著自然季節(jié)的交替出現(xiàn)高峰與低谷的規(guī)律。(3)隨機(jī)性：個別為隨機(jī)變動，整體呈統(tǒng)計規(guī)律。(4)綜合性：實際變化情況一般是幾種變動的疊加或組合。預(yù)測時一般設(shè)法過濾除去不規(guī)則變動，突出反映

3、趨勢性和周期性變動。3. 特征識別認(rèn)識時間序列所具有的變動特征，以便在系統(tǒng)預(yù)測時選擇采用不同的方法。(1)隨機(jī)性：均勻分布、無規(guī)則分布，可能符合某統(tǒng)計分布。(用因變量的散點(diǎn)圖和直方圖及其包含的正態(tài)分布檢驗隨機(jī)性，大多數(shù)服從正態(tài)分布。)(2)平穩(wěn)性：樣本序列的自相關(guān)函數(shù)在某一固定水平線附近擺動，即方差和數(shù)學(xué)期望穩(wěn)定為常數(shù)。 樣本序列的自相關(guān)函數(shù)只是時間間隔的函數(shù)，與時間起點(diǎn)無關(guān)。其具有對稱性，能反映平穩(wěn)序列的周期性變化。 特征識別利用自相關(guān)函數(shù)ACF：k=k/0 其中k是yt的k階自協(xié)方差，且0=1、-1<k<1。 平穩(wěn)過程的自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)都會以某種方式衰減趨近于0，前者測

4、度當(dāng)前序列與先前序列之間簡單和常規(guī)的相關(guān)程度，后者是在控制其它先前序列的影響后，測度當(dāng)前序列與某一先前序列之間的相關(guān)程度。實際上，預(yù)測模型大都難以滿足這些條件，現(xiàn)實的經(jīng)濟(jì)、金融、商業(yè)等序列都是非穩(wěn)定的，但通過數(shù)據(jù)處理可以變換為平穩(wěn)的。4. 預(yù)測類型(1)點(diǎn)預(yù)測：確定唯一的最好預(yù)測數(shù)值，其給出了時間序列未來發(fā)展趨勢的一個簡單、直接的結(jié)果。但常產(chǎn)生一個非零的預(yù)測誤差，其不確定程度為點(diǎn)預(yù)測值的置信區(qū)間。(2)區(qū)間預(yù)測：未來預(yù)測值的一個區(qū)間，即期望序列的實際值以某一概率落入該區(qū)間范圍內(nèi)。區(qū)間的長度傳遞了預(yù)測不確定性的程度，區(qū)間的中點(diǎn)為點(diǎn)預(yù)測值。(3)密度預(yù)測：序列未來預(yù)測值的一個完整的概率分布。根據(jù)密

5、度預(yù)測，可建立任意置信水平的區(qū)間預(yù)測，但需要額外的假設(shè)和涉及復(fù)雜的計算方法。5. 基本步驟(1)分析數(shù)據(jù)序列的變化特征。(2)選擇模型形式和參數(shù)檢驗。(3)利用模型進(jìn)行趨勢預(yù)測。(4)評估預(yù)測結(jié)果并修正模型。3.3.2隨機(jī)時間序列系統(tǒng)中某一因素變量的時間序列數(shù)據(jù)沒有確定的變化形式，也不能用時間的確定函數(shù)描述，但可以用概率統(tǒng)計方法尋求比較合適的隨機(jī)模型近似反映其變化規(guī)律。(自變量不直接含有時間變量,但隱含時間因素)1 自回歸AR(p)模型（R：模型的名稱 P：模型的參數(shù)）（自己影響自己，但可能存在誤差，誤差即沒有考慮到的因素）(1)模型形式（t越小越好，但不能為0：為0表示只受以前Y的歷史的影響

6、不受其他因素影響） yt=1yt-1+2yt-2+pyt-p+t 式中假設(shè)：yt的變化主要與時間序列的歷史數(shù)據(jù)有關(guān)，與其它因素?zé)o關(guān)； t不同時刻互不相關(guān)，t與yt歷史序列不相關(guān)。式中符號：p模型的階次，滯后的時間周期，通過實驗和參數(shù)確定；yt當(dāng)前預(yù)測值，與自身過去觀測值yt-1、yt-p是同一序列不同時刻的隨機(jī)變量，相互間有線性關(guān)系，也反映時間滯后關(guān)系；yt-1、yt-2、yt-p同一平穩(wěn)序列過去p個時期的觀測值；1、2、p自回歸系數(shù)，通過計算得出的權(quán)數(shù)，表達(dá)yt依賴于過去的程度，且這種依賴關(guān)系恒定不變；t隨機(jī)干擾誤差項，是0均值、常方差2、獨(dú)立的白噪聲序列，通過估計指定的模型獲得。(2)識別

7、條件 當(dāng)k>p時，有k=0或k服從漸近正態(tài)分布N(0,1/n)且(|k|>2/n1/2)的個數(shù)4.5%，即平穩(wěn)時間序列的偏相關(guān)系數(shù)k為p步截尾，自相關(guān)系數(shù)rk逐步衰減而不截尾，則序列是AR(p)模型。 實際中，一般AR過程的ACF函數(shù)呈單邊遞減或阻尼振蕩，所以用PACF函數(shù)判別(從p階開始的所有偏自相關(guān)系數(shù)均為0)。(3)平穩(wěn)條件 一階：|1|<1。二階：1+2<1、1-2<1、|2|<1。越大，自回歸過程的波動影響越持久。(4)模型意義 僅通過時間序列變量的自身歷史觀測值來反映有關(guān)因素對預(yù)測目標(biāo)的影響和作用，不受模型變量相互獨(dú)立的假設(shè)條件約束，所構(gòu)成的模型

8、可以消除普通回歸預(yù)測方法中由于自變量選擇、多重共線性等造成的困難。2 移動平均MA(q)模型(1)模型形式 yt=t-1t-1-2t-2-pt-p(2)模型含義用過去各個時期的隨機(jī)干擾或預(yù)測誤差的線性組合來表達(dá)當(dāng)前預(yù)測值。AR(p)的假設(shè)條件不滿足時可以考慮用此形式?？倽M足平穩(wěn)條件，因其中參數(shù)取值對時間序列的影響沒有AR模型中參數(shù)p的影響強(qiáng)烈，即這里較大的隨機(jī)變化不會改變時間序列的方向。(3)識別條件 當(dāng)k>q時，有自相關(guān)系數(shù)rk=0或自相關(guān)系數(shù)rk服從N(0,1/n(1+2r2i)1/2)且(|rk|>2/n1/2(1+2r2i)1/2)的個數(shù)4.5%，即平穩(wěn)時間序列的自相關(guān)系數(shù)

9、rk為q步截尾，偏相關(guān)系數(shù)k逐步衰減而不截尾，則序列是MA(q)模型。 實際中，一般MA過程的PACF函數(shù)呈單邊遞減或阻尼振蕩，所以用ACF函數(shù)判別(從q階開始的所有自相關(guān)系數(shù)均為0)。(4)可逆條件 一階：|1|<1。二階：|2|<1、1+2<1。 當(dāng)滿足可逆條件時，MA(q)模型可以轉(zhuǎn)換為AR(p)模型3 自回歸移動平均ARMA(p,q)模型(1) 模型形式 yt=1yt-1+2yt-2+pyt-p+t-1t-1-2t-2-pt-p式中符號： p和q是模型的自回歸階數(shù)和移動平均階數(shù)；和是不為零的待定系數(shù)；t獨(dú)立的誤差項；yt是平穩(wěn)、正態(tài)、零均值的時間序列。(2) 模型含義

10、使用兩個多項式的比率近似一個較長的AR多項式，即其中p+q個數(shù)比AR(p)模型中階數(shù)p小。前二種模型分別是該種模型的特例。一個ARMA過程可能是AR與MA過程、幾個AR過程、AR與ARMA過程的迭加，也可能是測度誤差較大的AR過程。(3) 識別條件平穩(wěn)時間序列的偏相關(guān)系數(shù)k和自相關(guān)系數(shù)rk均不截尾，但較快收斂到0，則該時間序列可能是ARMA(p,q)模型。實際問題中，多數(shù)要用此模型。因此建模解模的主要工作是求解p、q和、的值，檢驗t和yt的值。(4) 模型階數(shù)AIC準(zhǔn)則：最小信息準(zhǔn)則，同時給出ARMA模型階數(shù)和參數(shù)的最佳估計，適用于樣本數(shù)據(jù)較少的問題。目的是判斷預(yù)測目標(biāo)的發(fā)展過程與哪一隨機(jī)過程

11、最為接近。因為只有當(dāng)樣本量足夠大時，樣本的自相關(guān)函數(shù)才非常接近母體的自相關(guān)函數(shù)。具體運(yùn)用時，在規(guī)定范圍內(nèi)使模型階數(shù)從低到高，分別計算AIC值，最后確定使其值最小的階數(shù)是模型的合適階數(shù)。模型參數(shù)最大似然估計時AIC=(n-d)log2+2(p+q+2)模型參數(shù)最小二乘估計時AIC=nlog2+(p+q+1)logn式中：n為樣本數(shù)，2為擬合殘差平方和，d、p、q為參數(shù)。其中：p、q范圍上線是n較小時取n的比例，n較大時取logn的倍數(shù)。實際應(yīng)用中p、q一般不超過2。4 自回歸綜合移動平均ARIMA(p,d,q)模型(1)模型識別 平穩(wěn)時間序列的偏相關(guān)系數(shù)k和自相關(guān)系數(shù)rk均不截尾，且緩慢衰減收斂

12、，則該時間序列可能是ARIMA(p,d,q)模型。(2)模型含義模型形式類似ARMA（p,q）模型，但數(shù)據(jù)必須經(jīng)過特殊處理。特別當(dāng)線性時間序列非平穩(wěn)時，不能直接利用ARMA（p,q）模型，但可以利用有限階差分使非平穩(wěn)時間序列平穩(wěn)化，實際應(yīng)用中d一般不超過2。若時間序列存在周期性波動，則可按時間周期進(jìn)行差分，目的是將隨機(jī)誤差有長久影響的時間序列變成僅有暫時影響的時間序列。即差分處理后新序列符合ARMA(p,q)模型，原序列符合ARIMA(p,d,q)模型。3.3.3建模解模過程1. 數(shù)據(jù)檢驗檢驗時間序列樣本的平穩(wěn)性、正態(tài)性、周期性、零均值，進(jìn)行必要的數(shù)據(jù)處理變換。(1)作直方圖：檢驗正態(tài)性、零均

13、值。 按圖形Graphs直方圖Histogram的順序打開如圖3.15所示的對話框。圖3.15 將樣本數(shù)據(jù)送入變量Variable框，選中顯示正態(tài)曲線Display normal curve項，點(diǎn)擊OK運(yùn)行，輸出帶正態(tài)曲線的直方圖，如圖3.16所示。圖3.16 從圖中看出：標(biāo)準(zhǔn)差不為1、均值近似為0，可能需要進(jìn)行數(shù)據(jù)變換。(2)作相關(guān)圖：檢驗平穩(wěn)性、周期性。 按圖形Graphs時間序列Time Series自相關(guān)Autocorrelations的順序打開如圖3.17所示的對話框。圖3.17 將樣本數(shù)據(jù)送入變量Variable框，選中自相關(guān)Autocorrelations和偏自相關(guān)Partial

14、 Autocorrelations項，暫不選數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換Transform項，點(diǎn)擊設(shè)置項Options，出現(xiàn)如圖3.18所示對話框。圖3.18因為一般要求時間序列樣本數(shù)據(jù)n>50，滯后周期k<n/4，所以此處控制最大滯后數(shù)值Maximum Number of Lags設(shè)定為12。點(diǎn)擊繼續(xù)Continue返回自相關(guān)主對話框后，點(diǎn)擊OK運(yùn)行系統(tǒng)，輸出自相關(guān)圖如圖3.19所示。圖3.19 從圖中看出；樣本序列數(shù)據(jù)的自相關(guān)系數(shù)在某一固定水平線附近擺動，且按周期性逐漸衰減，所以該時間序列基本是平穩(wěn)的。(3)數(shù)據(jù)變換：若時間序列的正態(tài)性或平穩(wěn)性不夠好，則需進(jìn)行數(shù)據(jù)變換。常用有差分變換(利用tran

15、sformCreate Time Series)和對數(shù)變換(利用TransformCompute)進(jìn)行。一般需反復(fù)變換、比較，直到數(shù)據(jù)序列的正態(tài)性、平穩(wěn)性等達(dá)到相對最佳。2. 模型識別分析時間序列樣本，判別模型的形式類型，確定p、d、q的階數(shù)。(1)判別模型形式和階數(shù) 相關(guān)圖法： 運(yùn)行自相關(guān)圖后，出現(xiàn)自相關(guān)圖（圖3.19）和偏自相關(guān)圖（圖3.20）。圖3.20 從圖中看出：自相關(guān)系數(shù)和偏相關(guān)系數(shù)具有相似的衰減特點(diǎn)：衰減快，相鄰二個值的相關(guān)系數(shù)約為0.42，滯后二個周期的值的相關(guān)系數(shù)接近0.1，滯后三個周期的值的相關(guān)系數(shù)接近0.03。所以，基本可以確定該時間序列為ARMA（p,q）模型形式，但還

16、不能確定是ARMA（1,1）或是ARMA（2,2）模型。但若前四個自相關(guān)系數(shù)分別為0.40、0.16、0.064、0.0256，則可以考慮用AR(1) 模型。 另外，值得說明的是：只是ARMA模型需要檢驗時間序列的平穩(wěn)性，若該序列的偏自相關(guān)函數(shù)具有顯著性，則可以直接選擇使用AR模型。 實際上，具體應(yīng)用自相關(guān)圖進(jìn)行模型選擇時，在觀察ACF與PACF函數(shù)中，應(yīng)注意的關(guān)鍵問題是：函數(shù)值衰減的是否快；是否所有ACF之和為-0.5，即進(jìn)行了過度差分；是否ACF與PACF的某些滯后項顯著和容易解釋的峰值等。但是，僅依賴ACF圖形進(jìn)行時間序列的模型識別是比較困難的。 參數(shù)估計： 從(m,m-1)開始試驗，一

17、般到m=p+q=1/n。實際應(yīng)用中，往往從(1,1)、(2,2)，逐個計算比較它們的AIC值（或SBC值），取其值最小的確定為模型。(2)建立時間序列新變量 無論是哪種模型形式，時間序列總是受自身歷史數(shù)據(jù)序列變化的影響，因此需將歷史數(shù)據(jù)序列作為一個新的時間序列變量。 按數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換transform建立時間序列Create Time Series的順序展開對話框，圖3.21。圖3.21在功能Function下拉框中選擇變量轉(zhuǎn)換的函數(shù)，其中：非季節(jié)差分Differences: 計算時間序列連續(xù)值之間的非季節(jié)性差異。季節(jié)性差分Seasonal Differences: 計算時間序列跨距間隔恒定值之間的

18、季節(jié)性差異，跨距根據(jù)定義的周期確定。領(lǐng)先移動平均Prior moving average:計算先前的時間序列數(shù)值的平均值。中心移動平均Centered moving average:計算圍繞和包括當(dāng)前值的時間序列數(shù)值的平均值。中位數(shù)Running medians:計算圍繞和包括當(dāng)前值的時間序列的中位數(shù)。累積和Cumulative sum:計算直到包括當(dāng)前值的時間序列數(shù)值的累計總數(shù)。滯后順序Lag: 根據(jù)指定的滯后順序，計算在前觀測量的值。領(lǐng)先順序Lead:根據(jù)指定的領(lǐng)先順序，計算連續(xù)觀測量的值。平滑Smoothing:以混合數(shù)據(jù)平滑為基礎(chǔ)，計算連續(xù)觀測量的值。以上各項主要用在生成差分變量、滯后

19、變量、平移變量，并且還要關(guān)注差分、滯后、平移的次數(shù)，以便在建立模型、進(jìn)行參數(shù)估計時，使方程達(dá)到一致。在順序Order框中填入在前或在后的時間序列數(shù)值間隔的數(shù)目。在新變量New Variable框中接受左邊框移來的源變量。在名稱Name框中定義新變量的名稱，但必單擊改變Change方能成立。單擊OK運(yùn)行系統(tǒng)，在原數(shù)據(jù)庫中出現(xiàn)新變量列。另外，若需產(chǎn)生周期性時間序列的日期型變量，則按數(shù)據(jù)Data定義日期Define Dates的順序展開如圖3.22所示對話框。圖3.22在樣本Cases Are欄中選擇定義日期變量的時間間隔，在起始日期First Case Is欄中設(shè)定日期變量第一個觀測量的值，單擊O

20、K完成定義。3. 參數(shù)估計采用最大似然估計或最小二乘估計等方法估計、參數(shù)值，并進(jìn)行顯著性檢驗。按分析Analyze時間序列Time seriesARIMA模型的順序展開如圖3.23對話框。圖3.23 在圖3.23中：選擇原時間序列變量進(jìn)入因變量框；根據(jù)模型識別結(jié)果和建立的新時間變量，選擇一個或多個變量進(jìn)入自變量框；暫時不進(jìn)行因變量的數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換；與自變量的選擇對應(yīng)，根據(jù)模型識別結(jié)果或?qū)嶒灥乃悸吩O(shè)定p、(d)、q的值；選擇模型中包含常數(shù)項；分別單擊保存和設(shè)置按鈕，展開如圖3.24和3.25對話框。圖3.24 圖3.24中：在建立變量Create Variable欄選擇新建變量結(jié)果暫存原數(shù)據(jù)文件Add

21、 to file項，也可選擇用新建變量代替原數(shù)據(jù)文件中計算結(jié)果Replace existing項；在設(shè)定置信區(qū)間百分比%Confidence Intervals下拉框選擇95；在預(yù)測樣本Predict Cases欄選擇根據(jù)時期給出預(yù)測結(jié)果的方法。圖3.25 圖3.25中：在收斂標(biāo)準(zhǔn)Convergence Criteria欄選擇迭代次數(shù)Maximum iterations、參數(shù)變化精度Parameter change、平方和變化精度Sum of squares change，當(dāng)運(yùn)算達(dá)到其中一個參數(shù)的設(shè)定，則迭代終止；在估計初始值Initial Values for Estimation欄選擇由過

22、程自動選擇Automatic或由先前模型提供Apply from previous model，一般默認(rèn)前者；在預(yù)測方法Forecasting Method欄選擇無條件Unconditional或有條件最小二乘法Conditional least squares；在輸出控制Display欄選擇最初和最終參數(shù)的迭代摘要Initial and final parameters with iteration summary或詳細(xì)資料details、或只顯示最終參數(shù)Final parameters only。 單擊OK，系統(tǒng)立即執(zhí)行，輸出信息如下：MODEL: MOD_1Split group num

23、ber: 1 Series length: 48No missing data.Melard's algorithm will be used for estimation.Conclusion of estimation phase.Estimation terminated at iteration number 7 because:Sum of squares decreased by less than .001 percent.FINAL PARAMETERS:Number of residuals 48Standard error 1.1996949Log likeliho

24、od -75.463915AIC 156.92783SBC 162.54143 Analysis of Variance: DF Adj. Sum of Squares Residual VarianceResiduals 45 65.099923 1.4392678 Variables in the Model: B SEB T-RATIO APPROX. PROB.AR1 .02318739 .31945836 .0725835 .94245925MA1 -.44871554 .28829314 -1.5564558 .12660552CONSTANT -.02421308 .255050

25、18 -.0949346 .92478827The following new variables are being created: Name Label FIT_1 Fit for 樣本數(shù)據(jù) from ARIMA, MOD_1 CON ERR_1 Error for 樣本數(shù)據(jù) from ARIMA, MOD_1 CON LCL_1 95% LCL for 樣本數(shù)據(jù) from ARIMA, MOD_1 CON UCL_1 95% UCL for 樣本數(shù)據(jù) from ARIMA, MOD_1 CON SEP_1 SE of fit for 樣本數(shù)據(jù) from ARIMA, MOD_1 CON各個輸出統(tǒng)計量的意義：常數(shù)項：認(rèn)為是取值恒為1的常數(shù)變量，其系數(shù)就是自變量為0時因變量的最優(yōu)預(yù)測值，也稱為預(yù)測基準(zhǔn)值。系 數(shù)：反映自變量對因變量影響的權(quán)重。標(biāo)準(zhǔn)誤：表明樣本數(shù)據(jù)的可靠性。在(殘差)參數(shù)近似服從正態(tài)分布條件下，系數(shù)加減兩倍的標(biāo)準(zhǔn)誤差近似等于總體參數(shù)95%的置信區(qū)間。其值