第八章 粘性流體動力學(xué)基礎(chǔ)

1、第八章粘性流體動力學(xué)基礎(chǔ)u流體微團的運動形式與速度分解定理u粘性流體的應(yīng)力狀態(tài)u廣義牛頓內(nèi)摩擦定理（本構(gòu)關(guān)系）uNavier-Stokes方程u粘性流體運動的能量方程u粘性流體運動的基本性質(zhì)u粘性流體運動方程組的封閉u邊界層近似及其特征u平面不可壓縮流體層流邊界層方程u平板層流邊界層的相似解u邊界層的分離現(xiàn)象1、流體微團運動的基本形式 流體微團在運動過程中，將發(fā)生剛體運動（平動和轉(zhuǎn)動）與變形運動（線變形和角變形運動）。 流體微團的運動形式與速度分解定理平動轉(zhuǎn)動線變形角變形),(0zyxM),(),(),(tzyxutzyxutzyxuzyx),(1tzzyyxxM),(),(),(tzzyyx

2、xutzzyyxxutzzyyxxuzyx2、速度分解定理 德國物理學(xué)家 Helmholtz（1821-1894）1858年提出的流場速度的分解定理，正確區(qū)分了流體微團的運動形式。設(shè)在流場中，相距微量的任意兩點，按泰勒級數(shù)展開給出分解。 在 速度為 在 點處，速度為),(),(),(tzzyyxxutzzyyxxutzzyyxxuzyx以x方向速度分量為例，由泰勒級數(shù)展開，有將上式分別加、減下列兩項得到zzuyyuxxutzyxutzzyyxxuxxxxx),(),(zxuyxuzy21 , 21zxuzuyyuxuzzuxuyyuxuxxutzyxutzzyyxxuzxxyxzxyxxx21

3、21- 2121),(),(如果令：綜合起來，有xuxxxzuxuyuxuxzxzxyxy21,21xuzuyuxuzxyxyz21,21zyxyztzyxutzzyyxxuzxuzuyyuxuzzuxuyyuxuxxutzyxutzzyyxxuxzxyxxzyxxzxxyxzxyxxx)(),(),(2121- 2121),(),(對于y,z方向的速度分量，也可得到寫成矢量形式其中，第一項表示微團的平動速度，第二項表示微團轉(zhuǎn)動引起的，第三項表示微團變形引起的。 zyxxytzyxuzzuyyuxxutzyxutzzyyxxuzyxzxtzyxuzzuyyuxxutzyxutzzyyxxuzz

4、yzxzyxzzzzzzzyyyxyxzyyyyyy)(),(),(),()(),(),(),( rrMuMu)()(01定義如下：流體微團平動速度：流體微團線變形速度：流體微團角變形速度（剪切變形速度）：流體微團旋轉(zhuǎn)角速度：),(),(),(tzyxutzyxutzyxuzyxzuyuxuzzzyyyxxx,zuyuzuxuyuxuyzyzxzxzxyxy21,21,21yuxuxuzuyuxuxyzzxyxyz21,21,213、有旋運動與無旋運動流體質(zhì)點的渦量定義為表示流體質(zhì)點繞自身軸旋轉(zhuǎn)角速度的2倍。并由渦量是否為零，定義無旋流動與有旋運動。4、變形率矩陣（或變形率張量） 在速度分解定

5、理中，最后一項是由流體微團變形引起的，其中 稱為變形率矩陣，或變形率張量。該項與流體微團的粘性應(yīng)力存在直接關(guān)系。zyxuuuzyxiurotu k j 2 定義，流體微團的變形率矩陣為 該矩陣是個對稱矩陣，每個分量的大小與坐標(biāo)系的選擇有關(guān)，但有 三個量是與坐標(biāo)系選擇無關(guān)的不變量。它們是： zzzyzxyzyyyxxzxyxx zzzyzxyzyyyxxzxyxxzxyzxyzzxxzzyyyyxxzzyyxxIII 322221 對于第一不變量，具有明確的物理意義。表示速度場的散度，或流體微團的相對體積膨脹率。 如果選擇坐標(biāo)軸是三個變形率矩陣的主軸，則此時變形率矩陣的非對角線上的分量為零，相應(yīng)

6、的變形率矩陣與不變量為uzuyuxuIzyxzzyyxx1 321 0 00 00 0 321331322123211III粘性流體的應(yīng)力狀態(tài)1、理想流體和粘性流體作用面受力差別 流體處于靜止?fàn)顟B(tài)，只能承受壓力，幾乎不能承受拉力和剪力，不具有抵抗剪切變形的能力。理想流體在運動狀態(tài)下，流體質(zhì)點之間可以存在相對運動，但不具有抵抗剪切變形的能力。因此，作用于流體內(nèi)部任意面上的力只有正向力，無切向力。 粘性流體在運動狀態(tài)下，流體質(zhì)點之間可以存在相對運動，流體具有抵抗剪切變形的能力。因此，作用于流體內(nèi)部任意面上力既有正向力，也有切向力。 2、粘性流體中的應(yīng)力狀態(tài) 在粘性流體運動中，由于存在切向力，過任意

7、一點單位面積上的表面力就不一定垂直于作用面，且各個方向的大小也不一定相等。因此，作用于任意方向微元面積上合應(yīng)力可分解為法向應(yīng)力和切向應(yīng)力。如果作用面的法線方向與坐標(biāo)軸重合，則合應(yīng)力可分解為三個分量，其中垂直于作用面的為法應(yīng)力，另外兩個與作用面相切為切應(yīng)力，分別平行于另外兩個坐標(biāo)軸，為切應(yīng)力在坐標(biāo)軸向的投影分量。 由此可見，用兩個下標(biāo)可把各個應(yīng)力分量的作用面方位和投影方向表示清楚。其中第一個下標(biāo)表示作用面的法線方向，第二個下標(biāo)表示應(yīng)力分量的投影方向。如，對于x面的合應(yīng)力可表示為 y面的合應(yīng)力表達式為 z面的合應(yīng)力表達式為kjixzxyxxxkjiyzyyyxykjizzzyzxz 如果在同一點上

8、給定三個相互垂直坐標(biāo)面上的應(yīng)力，那么過該點任意方向作用面上的應(yīng)力可通過坐標(biāo)變換唯一確定。因此，我們把三個坐標(biāo)面上的九個應(yīng)力分量稱為該點的應(yīng)力狀態(tài)，由這九個應(yīng)力分量組成的矩陣稱為應(yīng)力矩陣（或應(yīng)力張量）。根據(jù)剪力互等定理，在這九分量中，只有六個是獨立的，其中三法向應(yīng)力和三個切向應(yīng)力。這個應(yīng)力矩陣如同變形率矩陣一樣，是個對稱矩陣。 zyyzzxxzyxxyzzzyyzyyyxxzxy zxxx（1）在理想流體中，不存在切應(yīng)力，三個法向應(yīng)力相等，等于該點壓強的負值。即（2）在粘性流體中，任意一點的任何三個相互垂直面上的法向應(yīng)力之和一個不變量，并定義此不變量的平均值為該點的平均壓強的負值。即（3）在粘性

9、流體中，任意面上的切應(yīng)力一般不為零。 1 0 00 1 00 0 1 ppzzyyxx3zzyyxxp0 xzxy廣義牛頓內(nèi)摩擦定理（本構(gòu)關(guān)系）1、牛頓內(nèi)摩擦定理啟發(fā) 牛頓內(nèi)摩擦定理得到，粘性流體作直線層狀流動時，流層之間的切應(yīng)力與速度梯度成正比。即 如果用變形率矩陣和應(yīng)力矩陣表示，有 說明應(yīng)力矩陣與變形率矩陣 成正比。對于一般的三維流動，Stokes（1845年）通過引入三條假定，將牛頓內(nèi)摩擦定律進行推廣，提出廣義牛頓內(nèi)摩擦定理。dyduxdyduxuyuxyxyxyx 22、Stokes假設(shè)（1845年） (Stokes，英國數(shù)學(xué)家、力學(xué)家，1819-1903年）（1）流體是連續(xù)的，它的應(yīng)

10、力矩陣與變形率矩陣成線性關(guān)系，與流體 的平動和轉(zhuǎn)動無關(guān)。（2）流體是各向同性的，其應(yīng)力與變形率的關(guān)系與坐標(biāo)系的選擇和位 置無關(guān)。（3）當(dāng)流體靜止時，變形率為零，流體中的應(yīng)力為流體靜壓強。 由第三條件假定可知，在靜止?fàn)顟B(tài)下，流體的應(yīng)力只有正應(yīng)力， 無切應(yīng)力。即 0pzzyyxx 因此，在靜止?fàn)顟B(tài)下，流體的應(yīng)力狀態(tài)為 根據(jù)第一條假定，并受第三條假定的啟發(fā)，可將應(yīng)力矩陣與變形率矩陣寫成如下線性關(guān)系式（本構(gòu)關(guān)系）。 式中，系數(shù)a、b是與坐標(biāo)選擇無關(guān)的標(biāo)量。參照牛頓內(nèi)摩擦定理，系數(shù)a只取決于流體的物理性質(zhì)，可取 Ipp001 0 00 1 00 0 1 Iba2a由于系數(shù)b與坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)動無關(guān)，因此可以推

11、斷，要保持應(yīng)力與變形率成線性關(guān)系，系數(shù)b只能由應(yīng)力矩陣與變形率矩陣中的那些線性不變量構(gòu)成。即令式中， 為待定系數(shù)。將a、b代入，有取等式兩邊矩陣主對角線上的三個分量之和，可得出321321)()()(bubbbbbbbzzyyxxzzyyxxzzyyxx321b b b Ibubbzzyyxx321)(232133)(32)(bubbuzzyyxxzzyyxx 歸并同類項，得到在靜止?fàn)顟B(tài)下，速度的散度為零，且有于是，有 由于b1和b2均為常數(shù)，且要求p0在靜止?fàn)顟B(tài)的任何情況下 均成立，則 然后代入第一式中，有3213)32()(31 (bubbzzyyxx03)( 0puzzyyxx310)3

12、1 (bbp310)31 (bbp31b 013b322b如果令稱為流體壓強。則本構(gòu)關(guān)系為上式即為廣義牛頓內(nèi)摩擦定理（為牛頓流體的本構(gòu)方程）。用指標(biāo)形式，上式可表示為3zzyyxxp Iup322ji 322p-ji uxuxuxuiijiijij對于不可壓縮流體,有如果用坐標(biāo)系表示，有粘性切應(yīng)力：法向應(yīng)力：0 uji 2p-ji iijiijijxuxuxuyuxuxyxyxy2zuyuyzyzyz2xuzuzxzxzx2xxxxxpxup22yyyyypyup22zzzzzpzup22Navier-Stokes方程1、流體運動的基本方程 利用牛頓第二定理推導(dǎo)以應(yīng)力形式表示的流體運動微分方程

13、。(在流場中取一個微分六面體流體微團進行分析，以x方向為例，建立運動方程）。dtdumFxxdtdudxdzdtdyxdydxdzzdzdxdzdxdyydzdydzdydxxXdxdydzxzxzxzxyxyxyxxxxxxx)()()(整理后，得到 這是以應(yīng)力形式表示的流體運動微分方程，具有普遍意義，既適應(yīng)于理想流體，也適應(yīng)于粘性流體。這是一組不封閉的方程，在質(zhì)量力已知的情況下，方程中多了6個應(yīng)力分量，要想得到封閉形式，必須引入本構(gòu)關(guān)系，如粘性流體的廣義牛頓內(nèi)摩擦定律。 jjiiizzzyzxzyzyyyxyxzxyxxxxfdtdufdtuddtduzyxZdtduzyxYdtduzyx

14、X1 1)(1)(1)(12、Navier-Stokes方程組（粘性流體運動方程組）人類對流體運動的描述歷史是： o1500年以前Da Vinci（1452-1519，意大利科學(xué)家）定性。o1755年Euler（瑞士科學(xué)家，1707-1783）推導(dǎo)出理想流體 運動方程。o1822年Navier（1785-1836，法國科學(xué)家）開始考慮粘性 1829年P(guān)oisson(1781-1846)、1843年Saint Venant（1795-1886)、1845年Stokes(1819-1903，英國科學(xué)家)結(jié)束，完成了推導(dǎo)過程，提出現(xiàn)在形式的粘性流體運動方程。（歷時90年） 以x方向的方程為例，給出推

15、導(dǎo)。引入廣義牛頓內(nèi)摩擦定理，即代入得到dtduzyxXxzxyxxx)(1 322zuxuyuxuuxupxzzxxyyxxxxzuxuzyuxuyuxuxxpXdtduxzxyxx1 1 32211 對于y和z方向的方程為 這就是描述粘性流體運動的N-S方程組，適應(yīng)于可壓縮和不可壓縮流體。zuyuzuyuyyuxuxypYdtduyzyxyy13221 11uzuzzuyuyzuxuxzpZdtduzyzxzz3221 1 11 寫成張量的形式為 對于不可縮流體， ，且粘性系數(shù)近似看作常數(shù)，方程組可得到簡化。仍以x向方程進行說明。 13211ijjijjjiiiixuxuxxuxxpXdtd

16、u0 u2222222222222222222221 13221zuyuxuzuyuxuxzuyuxuzuzxuyuyxuxuzuxuzyuxuyuxuxxxxzyxxxxxzxyxxzxyx由此可得到張量形式矢量形式222222222222222222111zuyuxuzpZdtduzuyuxuypZdtduzuyuxuxpXdtduzzzzyyyyxxxx221jiiiixuxpXdtduupfdtud1 為了研究流體的有旋性，Lamb等將速度的隨體導(dǎo)數(shù)加以分解，把渦量分離出來，形成如下形式的Lamb型方程。 upfuutu1223、 Bernoulli積分 伯努利家族（瑞士）前后四代，數(shù)

17、十人，形成歷史上罕見的數(shù)學(xué)大家族。其中， Bernoulli, Nocholas(尼古拉斯伯努利）,1623-1708，瑞士伯努利數(shù)學(xué)家族第一代。 Bernoulli, Johann（約翰伯努利），1667-1748，伯努利數(shù) 學(xué)家族第二代，提出著名的虛位移原理。Bernoulli, Daniel（丹尼爾伯努利），1700-1782，伯努利數(shù)學(xué)家族第三代，Johann.伯努利的兒子，著有流體動力學(xué)（1738），將微積分方法運用到流體動力學(xué)中，提出著名的伯努利方程。與Bernoulli積分理想流體運動方程類似，積分N-S方程假定： （1）不可壓縮粘性流體；（2）定常流動；（3）質(zhì)量力有勢；（4）

18、沿流線積分。沿流線積分N-S方程，可推導(dǎo)出粘性流體的能量方程。與理想流體能量不同的是，方程中多了一項因粘性引起的損失項，表示流體質(zhì)點克服粘性應(yīng)力所消耗的能量。 在粘性不可壓縮定常流動中，任取一條流線，在流線上某處取一微段ds，該處所對應(yīng)的流速為kdzjdyidxsdkujuiuuzyx沿流線積分N-S方程，有在定常流情況下，跡線和流線重合。sdupfsddtuddzuzpZdzdtdudyuypYdydtdudxuxpXdxdtduzzyyxx1 1 1 1 流線微段與速度之間的關(guān)系為dtudzdtudydtudxzyx,2ud 2uuud 2ud2ud2ud uuu 22z2y2x2z2y2

19、xzyxzyxzyxzyxdududududtdzdudtdydudtdxdzdtdudydtdudxdtdusddtud質(zhì)量力有勢，因此有不可壓縮定常流動，有粘性項寫成為在流線微段上，微分形式為ddzzdyydxxZdzYdyXdx)(pddzzpdyypdxxp)111()(dzudyudxuzyx0)()2(2dzudyudxuupdzyx 與理想流體能量微分方程相比，在上式中多了一項與粘性有關(guān)的項，物理上表示單位質(zhì)量流體質(zhì)點克服粘性應(yīng)力所做的功，代表機械能的損失，不可能再被流體質(zhì)點機械運動所利用。故稱其為單位質(zhì)量流體的機械能損失或能量損失。 對于質(zhì)量力只有重力的情況，方程的形式變?yōu)?方

20、程兩邊同除以g，得到 表示單位重量流體總機械能量沿流線的變化。0)()2(2dzudyudxuupgzdzyx0)()2(2dzudyudxuggupzdzyx 如果令 能量方程變?yōu)?單位重量流體所具有的機械能為 ；單位重量流體粘 性力所做的功為 。沿著同一條流線積分，得到)(dzudyudxughdzyxw0)2(2whdgupzdgupz22whd 212222211121222221112222wwhgupzgupzhdgupzgupz 上式說明，在粘性流體中，沿同一條流線上單位重量流體的所具有的機械能總是沿程減小的，不能保持守恒（理想流體時，總機械能是保持守恒的，無機械能損失），減小的

21、部分代表流體質(zhì)點克服粘性應(yīng)力做功所消耗的機械能量。粘性流體Bernoulli積分方程說明，粘性流體在流動中，無論勢能、壓能和動能如何轉(zhuǎn)化，但總機械能是沿程減小的，總是從機械能高的地方流向機械能低的地方。粘性流體運動的能量方程1、熱力學(xué)第一定理 能量方程是熱力學(xué)第一定理在運動流體中的表現(xiàn)形式。熱力學(xué)第一定理表示：單位時間內(nèi)作用于系統(tǒng)上所有力對系統(tǒng)所做的功與單位時間內(nèi)輸入系統(tǒng)的熱量之和等于系統(tǒng)總能量的變化率。即其中，Q為單位時間輸入系統(tǒng)的總熱量，包括熱輻射和熱傳導(dǎo)；W為單位時間作用于系統(tǒng)上所有力對系統(tǒng)所做的功。作用力包括表面力和體積力。WQdtdE 2、能量方程推導(dǎo) 在粘性流體空間中，任取一個微分

22、平行六面體的流體微團作為系統(tǒng)，六面體為控制體，則該系統(tǒng)單位時間內(nèi)總能量的變化率應(yīng)等于單位時間作用于系統(tǒng)上所有作用力的功與外界傳給系統(tǒng)的熱量之和。用e表示單位質(zhì)量流體所具有的內(nèi)能，那么單位質(zhì)量流體所具有的總能量（內(nèi)能+動能）為 單位時間內(nèi)，微元流體系統(tǒng)總能量的變化率為22uedxdydzuedtddtdE22 作用系統(tǒng)上的力包括：通過控制面作用于系統(tǒng)上的表面力和系統(tǒng)上的質(zhì)量力。單位時間內(nèi)，所有作用力對系統(tǒng)所做的功為：質(zhì)量力功率：x方向表面力的功率：dxdydzufdxdydzZuYuXuWzyx)(1dxdydzzuyuxuWdxdyudzzuudxdzudyyuudydzudxxuuWxzxx

23、yxxxxxxzxxzxxzxxyxxyxxyxxxxxxxxxxx)()()()( )( )(22同理可得，y和z方向的功率為總功率為dxdydzzuyuxuWdxdydzzuyuxuWzzzzyzzxzzyzyyyyyxyy)()()()()()(22dxdydzzuyuxudxdydzzuyuxudxdydzzuyuxuWWWWWzzzzyzzxzyzyyyyyxyxzxxyxxxxzyx)()()()()()( )()()( 22222 單位時間內(nèi)，外界傳給系統(tǒng)的總熱量Q包括熱輻射和熱傳導(dǎo)。令q表示單位時間因熱輻射傳給單位質(zhì)量流體的熱量，總的輻射熱量為 由Fourier定理可得，通過控

24、制面?zhèn)鹘o系統(tǒng)的熱量。對于x方向，單位時間通過控制面?zhèn)魅胂到y(tǒng)的熱量為qdxdydzQRdxdydzxTkxdxdydzxTkxdxdydzxqdydzdxxqqqQkxkxkxkxkx 同理可得，y和z方向的熱傳導(dǎo)量。單位時間內(nèi)，總的熱傳導(dǎo)量為將以上各式代入dxdydzzTkzQdxdydzyTkyQkzky T)dxdydz(kdxdydzzTkzyTkyxTkxQQQQkzkykxkWQdtdE整理得到該方程為能量方程的微分形式。寫成張量形式為 )( )( )()u(T)(k)u(22zuuuyuuuxuuuqufuedtdzzzyzyxzxzyzyyyxyxzxzyxyxxxiiijiji

25、iiixTkxqxuufuuedtd)(2另外，如果用ui乘以運動方程，有代入能量方程，得到另一種形式的能量方程。jijijijiiiiiijjijijijiiiiijijijijiiiiijjiiiiixuufuudtdxuxuxuufuudtdxuxuufuudtdxuufdtdu)(221)(2)(2 uiiiijijxTkxqdtde 上式的物理意義是：在單位時間內(nèi)，單位體積流體內(nèi)能的變化率等于流體變形時表面力作功與外部傳入熱量之和。其中，表面力作功包括壓力作功和剪切力作功，壓力作功表示流體變形時法向力作膨脹功，剪切力作功表示流體運動是克服摩擦力作功，這部分是由于流體粘性引起的，將流體

26、部分機械能不可逆轉(zhuǎn)化為熱能而消耗掉。 利用廣義牛頓內(nèi)摩擦定理，可得 其中， 為耗散函數(shù)。22322322iiijijiiiiijijiiijijxuxupxuxup 這樣，能量方程也可寫成為 說明，單位體積流體內(nèi)能的變化率等于法向力作功、外加 熱量以及由于粘性而消耗的機械能之和。由連續(xù)方程，有TkqupdtdexTkxqxupdtdeiiii(dtdpdtdpdtdepedtddtdhdtddtdu1111代入能量方程中，得到對于不可壓縮流體，有)()( dTCde ,)(vTkqdtdpdtdTCTkqupdtdTCdTCdhTkqdtdpdtdhpvpTkqdtdpdtdTCTkqdtdT

27、Cpv 粘性流體運動的基本性質(zhì)包括：運動的有旋性，旋渦的擴散性，能量的耗散性。 1、粘性流體運動的渦量輸運方程 為了討論旋渦在粘性流體流動中的性質(zhì)和規(guī)律，推導(dǎo)渦量輸運方程是必要的。其Lamb型方程是引入廣義牛頓內(nèi)摩擦定理 1 fdtud 122fuutu Iup322粘性流體運動的基本性質(zhì)Lamb型方程變?yōu)閷ι鲜絻蛇吶⌒龋玫秸砗蟮玫?)2()32(122upfuutu )2()32(122upfuutu )2(1)32(1)1()(upfut 這是最一般的渦量輸運方程。該式清楚地表明：流體的粘性、非正壓性和質(zhì)量力無勢，是破壞旋渦守恒的根源。在這三者中，最常見的是粘性作用。由于（1）如果質(zhì)

28、量力有勢、流體正壓、且無粘性，則渦量方程簡化為這個方程即為Helmholtz渦量守恒方程。uudtduuuutut)( )()()(0)(uudtd（2）如果質(zhì)量力有勢，流體為不可壓縮粘性流體，則渦量輸運方程變?yōu)閺埩啃问綖椋?）對于二維流動，上式簡化為udtduudtd)()()(jjijijixxxudtd2)0)( ( udtd2、粘性流體運動的有旋性 理想流體運動可以是無旋的，也可以是有旋的。但粘性流體運動一般總是有旋的。用反證法可說明這一點。對于不可壓縮粘性流體，其運動方程組為根據(jù)場論知識，有代入上式，得到upfdtudu10)()(uuupfdtudu10如果流動無旋，則 這與不可壓

29、縮理想流體的方程組完全相同，粘性力的作用消失，說明粘性流體流動與理想流體流動完全相同，且原方程的數(shù)學(xué)性質(zhì)也發(fā)生了變化，由原來的二階偏微分方程組變成一階偏微分方程組。但問題出在固壁邊界上。在粘性流體中，固壁面的邊界條件是：不穿透條件和不滑移條件。即 要求降階后的方程組同時滿足這兩個邊界條件一般是不可能的。這說明粘性流體流動一般總是有旋的。pfdtudu100u 0nu 但也有特例。如果固壁的切向速度正好等于固壁面處理想流體的速度，也就是固壁面與理想流體質(zhì)點不存在相對滑移，這時不滑移條件自動滿足，這樣理想流體方程自動滿足固壁面邊界條件。說明在這種情況下，粘性流體流動可以是無渦的。但一般情況下，固壁

30、面與理想流體質(zhì)點總是存在相對滑移的，受流體粘性的作用，必然要產(chǎn)生旋渦。由此可得出結(jié)論：粘性流體旋渦是由存在相對運動的固壁面與流體的粘性相互作用產(chǎn)生的。3、粘性流體旋渦的擴散性 粘性流體中，旋渦的大小不僅可以隨時間產(chǎn)生、發(fā)展、衰減、消失，而且還會擴散，渦量從強度大的地方向強度小的地方擴散，直至旋渦強度均衡為止。 以一空間孤立渦線的擴散規(guī)律為例說明之。渦線強度的定解問題為這是一個擴散方程的定解問題，其解為0 ,r 0,t0 0,r , 0trrrrttrtrrtrerruerdret40400402221221244、粘性流體能量的耗散性 在粘性流體中，流體運動必然要克服粘性應(yīng)力作功而消耗機械能。

31、耗散函數(shù)的引入是表征這一特性的重要物理量。按照定義，單位時間、單位體積流體所消耗的能量為在直角坐標(biāo)系中的表達式為2322iiijijxu222222222222232 432 444222zzxxzzyyyyxxyzxzxyzzyyxxyzxzxyzzyyxx 對于粘性流體，只有兩種可能使耗散函數(shù)為零的情況，也就是無機械能損失。一種是相當(dāng)于流體無變形運動，也就是平動和轉(zhuǎn)動不消耗機械能。另一種是相當(dāng)于流體運動，無剪切變形，只有各向同性的膨脹或壓縮。 這說明，粘性流體的變形運動與機械能損失是同時存在的，而且耗散函數(shù)與變形率的平方成正比，因此粘性流體的機械能損失是不可避免的。1,2,3ji, , 0

32、ij ji , ; ji , 0jjiiij1、粘性流體運動方程組的封閉性 在推導(dǎo)粘性流體方程組時，所引入的獨立未知物理量有：流體密度 、流體速度 、質(zhì)量力 、粘性系數(shù) 、熱傳導(dǎo)系數(shù)k、壓強p、內(nèi)能e、溫度T和熱輻射量q ，共13個標(biāo)量。但所導(dǎo)出的方程只有5個，其中1個連續(xù)方程、3個運動方程和1個能量方程。要向求解必須給出補充關(guān)系，封閉方程。通常，質(zhì)量力是已知的；粘性系數(shù)和熱傳導(dǎo)系數(shù)決定于流體性質(zhì)，也是已知的；熱輻射量已知，這樣未知量的個數(shù)變?yōu)?個，即3個速度分量，流體密度、壓強、溫度和內(nèi)能。因此，需要補充2個方程。2、狀態(tài)方程 在研究可壓縮流體時，必然涉及熱力學(xué)狀態(tài)參數(shù)對流體運動的影響。表征

33、流體熱力學(xué)狀態(tài)的物理量稱為熱狀態(tài)參數(shù)。uf粘性流體運動方程組的封閉 熱狀態(tài)物理量p、T、 ，這些參數(shù)之間的數(shù)學(xué)關(guān)系叫做狀態(tài)方程。對于完全氣體，有 內(nèi)能和焓的表達式為3、可壓縮流體的封閉方程組 連續(xù)方程：RTTpfp 0),(pTTCev11C Ch vp0)(ut 運動方程： 廣義牛頓內(nèi)摩擦定理： 能量方程： 狀態(tài)方程： 1fdtud Iup322)(TkqupdtdeTRTvCe p4、不可壓縮流體方程組連續(xù)方程：運動方程：能量方程：5、定解條件定解條件包括：初始條件和邊界條件。（1）初始條件 給定初始時刻流場物理量的函數(shù)值（速度、壓強、溫度、密度）。0 uupfdtud1TqdtdTCv（

34、2）邊界條件 固壁面條件（滿足不穿透和不滑移條件）。 不同流體分界面條件（在分界面上速度、壓強、溫度是連續(xù)的）。 進出口邊界條件（給定進口斷面速度、壓強、溫度分布）。0u 0u fngngnfuuuu212121T p Tpuu邊界層近似及其特征1、邊界層概念的提出 業(yè)已知道，流動Re數(shù)（O.Reynolds，1883年，英國流體力學(xué)家）是用以表征流體質(zhì)點的慣性力與粘性力對比關(guān)系的。根據(jù)量級分析，作用于流體上的慣性力和粘性力可表示為:o慣性力： o粘性力：o慣性力/粘性力： 因此，在高Re數(shù)下，流體運動的慣性力遠遠大于粘性力。這樣研究忽略粘性力的流動問題是有實際意義的。20203ULtULdt

35、dVmFJLUAdydVF0Re00202LULUULFFJ 這也是早期發(fā)展理想流體力學(xué)的重要依據(jù)，而且確實較成功地解決了與粘性關(guān)系不大的一系列流動問題，諸如繞流物體的升力、波動等問題，但對繞流物體阻力、渦的擴散等問題，理想流體力學(xué)的解與實際相差甚遠，且甚至得出完全相反的結(jié)論，圓柱繞流無阻力的DAlembert疑題就是一個典型的例子。（ DAlembert，法國力學(xué)家，1717-1783）那么，如何考慮流體的粘性，怎樣解決擾流物體的阻力問題，這在當(dāng)時確實是一個阻礙流體力學(xué)發(fā)展的難題，直到1904年國際流體力學(xué)大師德國學(xué)者L.Prandtl通過大量實驗發(fā)現(xiàn)，雖然整體流動的Re數(shù)很大，但在靠近物面

36、的薄層流體內(nèi)，流場的特征與理想流動相差甚遠，沿著法向存在很大的速度梯度，粘性力無法忽略。Prandtl把這一物面近區(qū)粘性力起重要作用的薄層稱為邊界層（Boundary layer）。 Prandtl邊界層概念的提出，為人們?nèi)绾斡嬋胝承缘淖饔瞄_辟了劃時代的途徑，因此稱其為粘性流體力學(xué)之父。對整個流場提出的基本分區(qū)是: （1）整個流動區(qū)域可分成理想流體的流動區(qū)域（勢流區(qū)）和粘性流體的流動區(qū)域（粘流區(qū)）。 （2）在遠離物體的理想流體流動區(qū)域，可忽略粘性的影響，按勢流理論處理。 （3）粘性流動區(qū)域僅限于物面近區(qū)的薄層內(nèi)，稱為邊界層。既然是粘流區(qū)，粘性力的作用不能忽略，與慣性力同量級，流體質(zhì)點作有旋運動

37、。2、邊界層的特征（1）邊界層定義 嚴(yán)格而言，邊界層區(qū)與主流區(qū)之間無明顯界線，通常以速度達到主流區(qū)速度的0.99U作為邊界層的外緣。由邊界層外緣到物面的垂直距離稱為邊界層名義厚度，用表示。（2）邊界層的有渦性 粘性流體運動總伴隨渦量的產(chǎn)生、擴散、衰減。邊界層就是渦層，當(dāng)流體繞過物面時，無滑移邊界條件相當(dāng)于使物面成為具有一定強度的連續(xù)分布的渦源。以二維流動為例說明之。此時，物面上的渦源強度為 對于不可壓縮流體，二維流動的渦量輸運方程為 上式表明，由于粘性的影響，物面上的渦量一方面沿垂直流線方向擴散，另一方面，渦量沿主流方向遷移，并隨之而逐漸衰減。渦量的擴散速度與粘性有關(guān)，渦量的遷移速度取決于流動

38、速度。oxxyzyuyuxu2222yxdtdzzzz（3）邊界層厚度的量級估計 根據(jù)邊界層內(nèi)粘性力與慣性力同量級的條件，可估算邊界層的厚度。以平板繞流為例說明。設(shè)來流的速度為U，在x方向的長度為L，邊界層厚度為 。 慣性力： 粘性力： 由慣性力與粘性力同量級得到 22ULtULdtdVmFJ2LUAdydVFRe1 UL 22LLUFFJ 由此可見，在高Re數(shù)下，邊界層的厚度遠小于被繞流物體的特征長度。 （4）邊界層各種厚度定義 （a）邊界層排移厚度 在邊界層內(nèi)，理想流體的質(zhì)量流量為 其中，ue為邊界層外緣速度。由于粘性的存在，實際流體通 過的質(zhì)量流量為 上述兩項之差表示粘性存在而損失的流量

39、，這部分流量 被排擠到主流場中，相當(dāng)于主流區(qū)增加了一層流體。0dyumeei0udyme主流區(qū)所增加的厚度為 這部分主流區(qū)增加的流體厚度是由邊界層流體排擠入主流區(qū)造成的。因此，稱其為排移厚度。 （b）邊界層動量損失厚度 在邊界層內(nèi)，在質(zhì)量流量不變的條件下，理想流體通過的動量為 由于粘性的存在，實際流體通過的動量為01dyuuueeee011dyuuee0udyuKei02dyuKe 上述兩項之差表示粘性存在而損失的動量，這部分動量損失用外流流速ue（理想流體）折算的動量損失厚度為（c）邊界層能量損失厚度 在邊界層內(nèi)，在質(zhì)量流量不變的條件下，以外流速度（理想流體）通過的動能為由于粘性的存在，實際

40、流體通過的動能為022dyuuuuueee021dyuuuueee0221udyuEei0221udyuEe 上述兩項之差表示粘性存在而損失的動能，這部分動能損失用主流流速ue（理想流體）折算的動能損失厚度為: 上述各種厚度的計算公式，對于不可壓縮流體而言，變?yōu)?032322121dyuuuuueeee02231dyuuuueee011dyuue021dyuuuuee02231dyuuuuee平面不可壓縮流體層流邊界層方程1、平壁面上邊界層方程 根據(jù)Prandtl邊界層概念，通過量級比較，可對N-S方程組進行簡化，得到邊界層近似方程。對于二維不可壓縮流動，N-S方程為 選取長度特征L，速度尺度

41、ue，時間尺度t=L/ue，邊界層近似假定：0yvxu22221yuxuxpfyuvxuutux22221yvxvypfyvvxvutvy（1）根據(jù)邊界層定義，縱向偏導(dǎo)數(shù)遠遠小于橫向偏導(dǎo)數(shù)。（2）法向速度遠遠小于縱向速度。（3）邊界層內(nèi)的壓強與外流速度的平方成正比。 將這些量級關(guān)系式代入到N-S方程中，得到y(tǒng)xyLxLL,1,1,Re1uvutLuuvuLuLtveeee,Re1,/2eupN-S方程組與各項量級比較:LuLLuyvxueeReReu1Reu 0eeReuu Lu Re/Reu 12e2e2e2e222222LLuLuLuLuyuxuxpfyuvxuutueeeex ReLu

42、ReLu Re Re Re12e2e2222222LuLuLuyvxvypfyvvxvutveeey在高Re數(shù)情況下，忽略小量得到忽略質(zhì)量力，由第三個方程得到這說明，在高Re數(shù)情況下，在邊界層內(nèi)壓力沿法向是不變的。0yvxu221yuxpfyuvxuutuxypfy10yp10 邊界層內(nèi)的壓力分布與邊界層外邊界線上的壓力分布相等。也就是，p與y無關(guān)，僅是x和t的函數(shù)。即忽略質(zhì)量力，Prandtl邊界層方程變?yōu)檫吔鐥l件：),(txppe0yvxu221yuxpyuvxuutuyp10euu y0 v0u 0y 在邊界層外邊界線上，可按照理想流體勢流方程確定壓強。即 在定常流動情況下，有xpxuu

43、tueeee10yvxu22yuxuutuyuvxuutueee0yvxu22yuxuuyuvxuuee綜上所述，邊界層基本特性可歸納為2、曲壁面上的邊界層方程 在實際流動中所遇到的物面常是彎曲的，因此推導(dǎo)曲壁面上的邊界層方程具有重要意義。在推導(dǎo)中，使用曲壁面上的邊界層坐標(biāo)系。其中，x軸貼著壁面，y軸垂直于壁面。 在邊界層內(nèi)任取一點M，其坐標(biāo) x=ON y=NM M為M的鄰點，MM的弧長為ds),(pp 0 Re1uv Re1eetxypyxL22) ()(MMMMds在x處，設(shè)曲壁的曲率半徑為R(x)，有則有 仍以u和v分別表示邊界層坐標(biāo)系中的x和y方向的速度分量，則由正交曲線坐標(biāo)系方程，得

44、到dyMNNMdxRyRdyRMMMM ,)(1,RyR)()(RyR ) ()(212221222222HHdyHdxHdydxMMMMds0yRvyvxuRyR運動方程為:xudxdRyRRydxdRyRRvxvyRRyRuyuyRyuxuyRRxpyRRyRuvyuvxuuyRRtu332222222)()()(2)(11xvdxdRyRRydxdRyRRuxuyRRyRvyvyRyvxvyRRypyRuyvvxvuyRRtv3322222222)()()(2)(11 假定物面的曲率半徑R(x)與x向的特征長度L同量級，y的量級與邊界層厚度同量級，故有:量級比較，簡化的邊界層方程為:Re

45、1,1,1, 11, 1, 1,1RyyxyLxRyRRyHdxddxdRRLuvutLuuvuLuLtveeee,Re1,/0yvxu221yuxpyuvxuutuypRu2 這就是曲壁面上的邊界層方程，與平壁面的方程相比，只是y方向的方程有所不同。為了和流動彎曲所產(chǎn)生的離心力相平衡，必須有y方向的壓力梯度。以下估計這個壓力梯度的量級大小。初步假定邊界層內(nèi)速度分布為線性分布。 從y=0到y(tǒng)=s積分，有 在Rs的情況下，此壓差是個小量，可忽略。由此仍得出在曲壁面的邊界層內(nèi)，法向壓力不變是個常數(shù)。這說明，在曲率半徑不太小且變化不太大的情況下，曲壁面上的邊界層方程與平壁面上的邊界層方程完全相同。2

46、222,yRuyuRypyuueeeRRuppe31up ,31)0()(2e2 1908年，Prandtl學(xué)生Blasius利用邊界層速度分布的相似性求解了平板層流邊界層方程。對于零壓梯度、定常、不可壓縮流體平板層流繞流，邊界層方程為相應(yīng)的邊界條件為Blasius假設(shè)，在平板上邊界層內(nèi)的速度分布具有相似性特征。即 0yvxu22yuyuvxuuUyu y ; 0 v0u 0)(yfUu平板層流邊界層的相似解根據(jù)量級比較，邊界層厚度的量級為: 引入流函數(shù)，可消掉一個連續(xù)方程。 UxxUxxxRexUyy)()(FxUdUxfUudy)(FUyyuxUxFxFxUFxUxxv)()(由此得到代入

47、方程中，得到FFxUxuu 22xx2FFFxUyuv 221FxUFFFxUFFxU 2222121fxUfffxUf fxU 2222121化簡后變?yōu)檫吔鐥l件為Blasius用無窮級數(shù)進行了求解。假設(shè)： 其中， 為待定系數(shù)。02 FFF1.0F, ; 0, 0, 0FFnnnAAAAAf! 3! 2)(332210nAAAA,210023)!23(21)(nnnnaCf 0,.11, 1, 1210FCCC 由邊界條件，可得（1）邊界層厚度 （ ）（2）邊界層位移厚度 （3）邊界層動量損失厚度 0.3321(0)F 1)( Fiml0 . 5,9916. 0/UuxxRe5xxdyUuRe

48、7208. 1101xxdyUuUuRe664. 01022183（4）壁面切應(yīng)力（5）壁面摩擦阻力系數(shù) （6）平均壁面摩擦總阻力系數(shù) 郭永懷（1953年）對平板前緣點的修正，得到 適用范圍： 65103103ReLxyUyuRe1332. 0200 xfUCRe1664. 05 . 020LfLfDfLCdxCLCRe1328. 1)(210LLDfCRe10. 4Re328. 1 邊界層動量積分關(guān)系式是由Karman1921導(dǎo)出的，對近似求解邊界層特性具有重要作用。適應(yīng)于層流邊界層和湍流邊界層。今在邊界層內(nèi)任取一控制體，控制體長度為dx，控制面為Aab、Abc、Acd、Ada。現(xiàn)對控制體應(yīng)

49、用動量定律，可得由Aab面流入控制體的質(zhì)量為 由Acd面流出控制體的質(zhì)量為)(0 xabudymdxudyxmmxabcd)(0根據(jù)質(zhì)量守恒定律，通過Abc流入控制體的質(zhì)量為由Aab面流入控制體的動量為由Acd面流出控制體的動量為通過Abc流入控制體的動量在x方向的分量為 dxudyxmmmxabcdbc)(0)(02xabdyuKdxdyuxKKxabcd)(02dxudyxuKxebc)(0在Aab面上的作用力為在Acd面上的作用力為在Abc面上的力為在Aad面上的切應(yīng)力為 )(xpFeab)(dxdxdxdppFeecdddxdxdppFeebc2dxFad0現(xiàn)對控制體建立x方向的動量方

50、程為整理后，得由于dxudyxuKdxdyuxKdxddxdxdppdxdxdxdppxpxeabxabeeeee)(0)(0202)()(Adyuxudyxuxdxdpxxee)(02)(00)()(02)(00)(xxeedyudxdudydxduxdxdp)(0)(0)(0 xexexeudydxdudyuudxdudydxdu由Bernoulli方程，可得 這就是邊界層動量積分方程。是一個一階常微分方程，適應(yīng)于層流和湍流邊界層。 dxduudxdueee)2(12220dxdpdxduueee1)(0)(xeeedydxduudxdpx)(0)(0201)1 (xeeexeeedyuudxduudyuuuuudxddxduuudxdeee1220如果寫成無量綱形式，有對于零壓梯度的平板邊界層流動，有動量積分方程也可通過直接積分邊界層微分方程獲得。對于二維不可壓縮流體邊界層方程為2122H )2(2dxduuHdxdCeef0dxdp 0dxdu .u ee220constdxdue0yvxu22yuxuutuyuvxuutueee用ue乘以連續(xù)方程，并把動量方程改寫。兩式相減，得到積分上式，有xuuyvuxuueeeyu 1yxuutuyuvxuutueeeyxuuuuvvuyuuuuxuuteeeee1)()()()(000001)()()()(dyydy