通信原理第九章

1、第9章 數(shù)字信號(hào)的最佳接收第九章數(shù)字信號(hào)的最佳接收本章主要內(nèi)容9.1 引言(什么是“最佳接收”)9.2 最大信噪比準(zhǔn)則(即匹配濾波器)9.3 最小均方差準(zhǔn)則9.4 最小誤碼率準(zhǔn)則9.5 二進(jìn)制最佳接收機(jī)舉例本章重點(diǎn)本章重點(diǎn) -常見的最佳接收準(zhǔn)則最大輸出信噪比準(zhǔn)則(匹配濾波器) h(t)的求法 so(t)的求法 最大信噪比的輸出時(shí)刻和數(shù)值計(jì)算最大似然準(zhǔn)則公式課后習(xí)題課后習(xí)題9.1注意： （1）設(shè)噪聲功率譜密度n0已知 （2）h(t)與輸出信號(hào)不是一回事 （3）h(t)與s(t)關(guān)于Tb/2對(duì)稱 （4）而輸出信號(hào)是h(t)與s(t)的卷積，共分4段對(duì)于考研的同學(xué)對(duì)于考研的同學(xué),9.3節(jié)和節(jié)和9.4

2、節(jié)同等重要節(jié)同等重要第9章 數(shù)字信號(hào)的最佳接收 9.1 引言1. 信號(hào)在信道傳輸時(shí)存在兩個(gè)問題：信號(hào)在信道傳輸時(shí)存在兩個(gè)問題：（1）信道特性不理想。）信道特性不理想。2.最佳接收原理：最佳接收原理： 在隨機(jī)噪聲存在的條件下，使接收機(jī)最佳地完成接在隨機(jī)噪聲存在的條件下，使接收機(jī)最佳地完成接收和判決信號(hào)的一般性理論。收和判決信號(hào)的一般性理論。（2）在傳輸過程中引入了噪聲。）在傳輸過程中引入了噪聲。（均衡器）（均衡器）（最佳接收機(jī)）（最佳接收機(jī)）第9章 數(shù)字信號(hào)的最佳接收 最佳接收 類似于香農(nóng)定理指出了特定帶寬和信噪比條件下的傳信率的極限， “最佳接收”告訴人們?cè)谔囟ǖ陌l(fā)送波形和噪聲情況下，接收機(jī)所

3、能達(dá)到的最佳接收效果的極限 即“最佳接收”是一種理論，是一種努力方向，但在實(shí)際中并不一定這么去設(shè)計(jì)接收機(jī)。第9章 數(shù)字信號(hào)的最佳接收二、最佳接收準(zhǔn)則 “最佳”有不同的標(biāo)準(zhǔn)，我們把這些標(biāo)準(zhǔn)稱為“最佳接收準(zhǔn)則”，常見的準(zhǔn)則有 最大輸出信噪比準(zhǔn)則 經(jīng)過對(duì)信號(hào)特殊處理，使得輸出信號(hào)在特定的時(shí)刻達(dá)到最大信噪比 最小均方差準(zhǔn)則 因?yàn)椤胺讲睢贝碇嗨贫?，所以接收信?hào)與哪個(gè)信號(hào)方差最小就表示發(fā)送的是哪個(gè)信號(hào) 最小誤碼率準(zhǔn)則 使得差錯(cuò)的概率最?。◤母怕史植济芏热胧郑┑?章 數(shù)字信號(hào)的最佳接收 所謂的所謂的“最佳最佳”是是相對(duì)相對(duì)的而不是絕對(duì)的，是對(duì)一定的準(zhǔn)則而的而不是絕對(duì)的，是對(duì)一定的準(zhǔn)則而言的。在某一準(zhǔn)則下

4、設(shè)計(jì)的最佳接收機(jī)，而在另一準(zhǔn)則下不一定言的。在某一準(zhǔn)則下設(shè)計(jì)的最佳接收機(jī)，而在另一準(zhǔn)則下不一定是最佳的。是最佳的。 4. 本章重點(diǎn)：本章重點(diǎn)：（1）三個(gè)準(zhǔn)則。）三個(gè)準(zhǔn)則。（2）匹配濾波器的設(shè)計(jì)。）匹配濾波器的設(shè)計(jì)。第9章 數(shù)字信號(hào)的最佳接收9.2 最大信噪比準(zhǔn)則及其最佳接收1. 最大輸出信噪比準(zhǔn)則：在接收機(jī)輸入信噪比相同的情況下，最大輸出信噪比準(zhǔn)則：在接收機(jī)輸入信噪比相同的情況下，若所設(shè)計(jì)的接收機(jī)輸出信噪比最大，則我們能夠最佳地判斷若所設(shè)計(jì)的接收機(jī)輸出信噪比最大，則我們能夠最佳地判斷所出現(xiàn)的信號(hào)，從而可以得到最小的誤碼率。所出現(xiàn)的信號(hào)，從而可以得到最小的誤碼率。 一一. 概念概念2. 匹配濾波

5、器：在某一時(shí)刻匹配濾波器：在某一時(shí)刻 t0 ，輸出信號(hào)的輸出信號(hào)的瞬時(shí)功率瞬時(shí)功率與與噪聲平均噪聲平均功率功率之比達(dá)到最大的一種線性濾波器之比達(dá)到最大的一種線性濾波器 。 注：所謂的注：所謂的“匹配匹配”是指濾波器的是指濾波器的傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)與與輸入信號(hào)頻譜輸入信號(hào)頻譜之間的匹配。之間的匹配。以以“最大信噪比最大信噪比”為準(zhǔn)則的最佳接收機(jī)又稱為為準(zhǔn)則的最佳接收機(jī)又稱為“匹配濾波匹配濾波器器”。第9章 數(shù)字信號(hào)的最佳接收3. 設(shè)計(jì)匹配濾波器的基本條件：設(shè)計(jì)匹配濾波器的基本條件：（1）接收端事先明確知道，發(fā)送信號(hào)分別以何種形狀的波形，）接收端事先明確知道，發(fā)送信號(hào)分別以何種形狀的波形，表示發(fā)送的

6、表示發(fā)送的1，0碼符號(hào)或多元符號(hào)。碼符號(hào)或多元符號(hào)。（2）接收端針對(duì)各符號(hào)波形，分別提供與其相匹配的接收電）接收端針對(duì)各符號(hào)波形，分別提供與其相匹配的接收電路，能使各符號(hào)接收波形的輸出信噪比最大。路，能使各符號(hào)接收波形的輸出信噪比最大。第9章 數(shù)字信號(hào)的最佳接收1. 條件條件二二. 原理原理（1）線性濾波器輸入端的信號(hào)為：）線性濾波器輸入端的信號(hào)為：)()()(tntstx（2）輸出端的信號(hào)為：）輸出端的信號(hào)為：)()()(00tntsty（3）濾波器的傳遞函數(shù)為）濾波器的傳遞函數(shù)為 ，)(H的頻譜函數(shù)為的頻譜函數(shù)為 ，)(ts)(S噪聲的功率譜為噪聲的功率譜為 。20n)(H)(tx)(th

7、)(ty第9章 數(shù)字信號(hào)的最佳接收)()(1ooSFts即)()(1HSFdeHStj)()(21（1）輸出信號(hào)的瞬時(shí)功率所以輸出信號(hào)的瞬時(shí)功率為所以輸出信號(hào)的瞬時(shí)功率為22)()(21)(deHStstjo22)()(41deHStj2 分析分析第9章 數(shù)字信號(hào)的最佳接收（2）輸出噪聲的平均功率 根據(jù)3.9節(jié)中的結(jié)論公式(3.9.8)可知 一個(gè)平穩(wěn)隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)后的功率譜密度是原來的|H()|2倍 所以當(dāng)功率譜密度為n0/2高斯噪聲通過線性的匹配濾波器時(shí)，輸出噪聲功率譜密度為20)(2HndHnNo20)(221輸出噪聲平均功率dHn20)(4第9章 數(shù)字信號(hào)的最佳接收匹配濾波器在t0

8、時(shí)刻輸出的瞬時(shí)信噪比d| )(|4de )()(41| )(|202j220oo0HnSHNtsrto茲不等式根據(jù)高等數(shù)學(xué)中的許瓦dxxgdxxfdxxgxf222)()()()(d| )(|4de )(d)(41202j22o0HnSHrt第9章 數(shù)字信號(hào)的最佳接收匹配濾波器最大瞬時(shí)信噪比2d)(2102onSr即EtsS的能量就是信號(hào)伐定理可知根第二章學(xué)過的據(jù)巴塞)(d)(21200o22nEnEr這就是匹配濾波器能獲這就是匹配濾波器能獲得的最大瞬時(shí)信噪比得的最大瞬時(shí)信噪比第9章 數(shù)字信號(hào)的最佳接收獲得最大瞬時(shí)信噪比的條件 即上式中等號(hào)成立的條件，也就是許瓦茲不等式中等號(hào)成立的條件，為兩個(gè)

9、函數(shù)共軛*)()(0tjeSH即0)(*tjeS對(duì)上式兩邊同時(shí)取反付立葉變換可得對(duì)上式兩邊同時(shí)取反付立葉變換可得（積分過程詳見公式（積分過程詳見公式9.2.9）)()(0ttsth在電路學(xué)中，兩個(gè)共軛的阻抗，我們通常稱作在電路學(xué)中，兩個(gè)共軛的阻抗，我們通常稱作“匹配匹配”，這正，這正是是“匹配濾波器匹配濾波器”名稱的由來名稱的由來)(,0碼元寬度通常取為了使系統(tǒng)可物理實(shí)現(xiàn)bTt 第9章 數(shù)字信號(hào)的最佳接收結(jié)論結(jié)論（2）由于）由于 與與 相一致，所以稱為匹配濾波器。相一致，所以稱為匹配濾波器。)(H)(S（3）沖激響應(yīng)為：）沖激響應(yīng)為： 。)()(0ttKsth（4）要是匹配濾波器物理可實(shí)現(xiàn)，則

10、要：）要是匹配濾波器物理可實(shí)現(xiàn)，則要： 。00)(ttts這說明：對(duì)于物理可實(shí)現(xiàn)的匹配濾波器，其輸入端這說明：對(duì)于物理可實(shí)現(xiàn)的匹配濾波器，其輸入端 必須在它輸出最必須在它輸出最大信噪比時(shí)刻大信噪比時(shí)刻t0之前等于之前等于0。 )(ts（5）輸出信號(hào)為：）輸出信號(hào)為：)()()()()()()()(0000ttKRdttssKdtstsKdhtsts（1）當(dāng)）當(dāng) 時(shí)，時(shí)， ( ) 。 0)()(tjeKSH0max02nErdSE2)(21)()(,0ttRts的自相關(guān)函數(shù)上式恰好為根據(jù)自相關(guān)函數(shù)定義第9章 數(shù)字信號(hào)的最佳接收)()()(激響應(yīng)即匹配濾波器的單位沖取反付立葉變換可得對(duì)thHdeH

11、thtj)(21)(deeStjtj0)(21*deedestjtjj 0*)(21ddeeestjtjj0)(21dsdeetjtj)(21)(0根據(jù)付立葉變根據(jù)付立葉變換時(shí)移特性換時(shí)移特性dstt)()(0)(0tts第9章 數(shù)字信號(hào)的最佳接收h(t)與s(t)的波形關(guān)系)()(0tTsthTtbb所以有一般取 通過對(duì)任意一個(gè)s(t)波形，畫出h(t)波形的方法，我們可知 h(t)與s(t)關(guān)于t=Tb/2這條豎線呈左右對(duì)稱如t)(tsbT2bTt)(thbT2bT則第9章 數(shù)字信號(hào)的最佳接收例題已知s(t)如圖所示，求 （1）輸出最大信噪比的時(shí)刻 （2）匹配濾波器的單位沖激響應(yīng)和輸出波形

12、 （3）最大信噪比的值t)(tsbTA第9章 數(shù)字信號(hào)的最佳接收bbTTt碼元結(jié)束時(shí)刻，最大信噪比時(shí)刻即為一般選解：0) 1 ( 對(duì)稱關(guān)于應(yīng)與響應(yīng)匹配濾波器的單位沖激2)()()2(bTttsth圖形如下所以)(tht)(thbTA第9章 數(shù)字信號(hào)的最佳接收的卷積與為輸出根據(jù)信號(hào)與系統(tǒng)知識(shí)，)()()(thtstsot)(thbTA)(sAbT)(th0)()(, 0stht當(dāng)0)()()(dsthtso00)()(,0區(qū)間內(nèi)不為只有在當(dāng)tsthTtb)()(tTTAthbb且bTAs)(且第9章 數(shù)字信號(hào)的最佳接收bTA)(sAtTb)(tht的積分區(qū)域時(shí)bTt 0時(shí)當(dāng)bTt 0dsthts

13、o)()()(dTAtTTAbtbb0)(62322ttTTAbbt)(tsobT第9章 數(shù)字信號(hào)的最佳接收bTA)(sAtTb)(tht的積分區(qū)域時(shí)bbTtT2時(shí)當(dāng)bbTtT2dsthtso)()()(dTAtTTAbTtbbbbT-)(t)(tsobTbT2第9章 數(shù)字信號(hào)的最佳接收bTA)(sA)(thtbT2時(shí)當(dāng)bTt20)()()(dsthtsot)(tsobTbT2第9章 數(shù)字信號(hào)的最佳接收02)3(nEro直接利用公式dttsEbT02)(dttTAbTb02bTbtTA0323332bbTTA32bTA0232nTArbo的最大值為第9章 數(shù)字信號(hào)的最佳接收關(guān)于這類題型的總結(jié)

14、1、 h(t)與輸出信號(hào)不是一回事 2、 h(t)與s(t)關(guān)于Tb/2對(duì)稱 3、輸出信號(hào)是h(t)與s(t)的卷積，通常要分段來討論相乘以后的積分結(jié)果 4、信號(hào)能量可以從信號(hào)波形中計(jì)算出來第9章 數(shù)字信號(hào)的最佳接收)(ty)0 ()() (1TttTsth)0 ()()(2TttTsth輸出T定時(shí)判決比較 二進(jìn)制最佳接收機(jī)結(jié)構(gòu)框圖二進(jìn)制最佳接收機(jī)結(jié)構(gòu)框圖)0 ()()(TttTsthm)0 ()()(1TttTsth)(ty輸出決判較比T定時(shí)多進(jìn)制最佳接收機(jī)結(jié)構(gòu)框圖多進(jìn)制最佳接收機(jī)結(jié)構(gòu)框圖 第9章 數(shù)字信號(hào)的最佳接收 9.3 9.3 最小均方差準(zhǔn)則最小均方差準(zhǔn)則 最小均方差準(zhǔn)則：在接收機(jī)中將

15、已知的約定信號(hào)與接收信最小均方差準(zhǔn)則：在接收機(jī)中將已知的約定信號(hào)與接收信號(hào)相比較，求其均方差（或求相關(guān)系數(shù)），然后根據(jù)均方差的號(hào)相比較，求其均方差（或求相關(guān)系數(shù)），然后根據(jù)均方差的大小判定收到的是哪個(gè)信號(hào)。大小判定收到的是哪個(gè)信號(hào)。 一一. 概念概念二二. 分析分析 以二進(jìn)制系統(tǒng)為例，用以二進(jìn)制系統(tǒng)為例，用 和和 分別表示分別表示“0”和和“1”的的發(fā)送波形。發(fā)送波形。 )(1ts)(2ts第9章 數(shù)字信號(hào)的最佳接收1. 接收信號(hào)：接收信號(hào)： )()()(tntsty2. 均方差：均方差： TdttstyTtstyE0212121)()(1)()(與與 的均方差為：的均方差為：)(1ts)(t

16、y與與 的均方差為：的均方差為：)(2ts)(tyTdttstyTtstyE0222222)()(1)()(3. 判決準(zhǔn)則：判決準(zhǔn)則： )()(2222112221tsts判為判為第9章 數(shù)字信號(hào)的最佳接收4. 最佳接收機(jī)模型：最佳接收機(jī)模型： 2)( dt2)( dt比較判決定時(shí) Ts)(1ts)(2ts)(ty輸出+-第9章 數(shù)字信號(hào)的最佳接收5. 化簡(jiǎn)：化簡(jiǎn)： （1）假設(shè)條件：）假設(shè)條件： EdttsdttsTT022021)()( 與與 的能量相等，即的能量相等，即:)(2ts)(1ts 與與 的相關(guān)系數(shù)為：的相關(guān)系數(shù)為：)(2ts)(1tsTdttstsE021)()(1 2121)

17、()(tsPtsP第9章 數(shù)字信號(hào)的最佳接收（2）推導(dǎo)：）推導(dǎo)： TTdttstyTdttstyT022021)()(1)()(1？TTdttstydttsty0201)()()()(？（3） 簡(jiǎn)化后的判決準(zhǔn)則：簡(jiǎn)化后的判決準(zhǔn)則： )()()()()()()()()()(2020110201tsdttstydttstytsdttstydttstyssssTTTT判為判為第9章 數(shù)字信號(hào)的最佳接收（4）簡(jiǎn)化后）簡(jiǎn)化后 最佳接收機(jī)模型：最佳接收機(jī)模型： dt dt比較判決定時(shí) Ts)(1ts)(2ts)(ty輸出第9章 數(shù)字信號(hào)的最佳接收9.4 最小誤碼率準(zhǔn)則 我們?cè)诘?章講過,二進(jìn)制不歸零信號(hào)的

18、誤碼率1/0) 1 (0/1)0(PPPPPe0a1a)(0 xf)(1xfy)(100/1對(duì)應(yīng)圖中紅色陰影面積的條件概率誤判成是發(fā)其中P)(011/0對(duì)應(yīng)圖中蘭色陰影面積的條件概率誤判成是發(fā)其中P根據(jù)第根據(jù)第7章的討論章的討論,最佳判決電平最佳判決電平y(tǒng)應(yīng)滿足應(yīng)滿足:)()0()() 1 (01yfPyfPx1,判成時(shí)當(dāng)yx 1)()0()() 1 (01判為xfPxfP0反之判成第9章 數(shù)字信號(hào)的最佳接收最大似然準(zhǔn)則 根據(jù)上面的公式，我們可以得出一個(gè)誤碼率最小的最佳判決準(zhǔn)則 這個(gè)準(zhǔn)則簡(jiǎn)稱為“最大似然準(zhǔn)則”當(dāng)發(fā)當(dāng)發(fā)“1”或發(fā)或發(fā)”0”是一個(gè)恒定電平時(shí)是一個(gè)恒定電平時(shí)兩個(gè)條件概率就是高斯分布，

19、從而可以具體計(jì)算。兩個(gè)條件概率就是高斯分布，從而可以具體計(jì)算。但，如果信號(hào)不是恒定信號(hào)呢？但，如果信號(hào)不是恒定信號(hào)呢？)() 1 (1xfP)() 0(0 xfP10第9章 數(shù)字信號(hào)的最佳接收當(dāng)發(fā)送信號(hào)不是恒定電平信號(hào)時(shí)的條件概率分布密度(證明過程從略) 例如2ASK/2FSK/2(D)PSK調(diào)制波形,發(fā)”1”或發(fā)“0”時(shí)，波形不是一個(gè)恒定電平 所以該信號(hào)加上噪聲后，也不是一個(gè)簡(jiǎn)單的高斯分布 可證明其k維聯(lián)合概率密度為)()(1exp)2(1)(020)(dttstynyfbTknts是一個(gè)隨機(jī)過程是接收機(jī)收到的信號(hào)其中,)(ty第9章 數(shù)字信號(hào)的最佳接收任意二進(jìn)制波形的最大似然準(zhǔn)則 對(duì)于非恒

20、定電平波形的信號(hào)（如2進(jìn)制數(shù)字調(diào)制信號(hào)），最大似然準(zhǔn)則變成：)()(1exp)(02101dttstynsPbT1s2s)()(1exp)(02202dttstynsPbT0)(1)(21表示發(fā)；表示發(fā)其中tsts第9章 數(shù)字信號(hào)的最佳接收最小誤碼率準(zhǔn)則下的最佳接收機(jī) 對(duì)上式兩端同取以e為底的對(duì)數(shù)（因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)不易用電路實(shí)現(xiàn)）dttstynsPbT02101)()(1)(ln1s2sdttstynsPbT02202)()(1)(ln把積分號(hào)里的平方項(xiàng)展開把積分號(hào)里的平方項(xiàng)展開第9章 數(shù)字信號(hào)的最佳接收最小誤碼率準(zhǔn)則下的最佳接收機(jī))()()(2)(1)(ln021010201dttsdttsty

21、dttynsPbbbTTT1s2s)()()(2)(1)(ln022020202dttsdttstydttynsPbbbTTT),2PSK,2FSK()()(021021雙極性基帶信號(hào)調(diào)制例如假設(shè)dttsdttsbbTT由于基于這個(gè)假設(shè)，所以下面的結(jié)論和框圖不適用由于基于這個(gè)假設(shè)，所以下面的結(jié)論和框圖不適用于單極性的基帶信號(hào)和于單極性的基帶信號(hào)和2ASK信號(hào)！信號(hào)！第9章 數(shù)字信號(hào)的最佳接收最小誤碼率準(zhǔn)則下的最佳接收機(jī) 整理上式得dttstysPnbT0110)()()(ln21s2sdttstysPnbT0220)()()(ln21U計(jì)為2U計(jì)為)(2ts+1U+2U第9章 數(shù)字信號(hào)的最佳接

22、收 確知信號(hào)的最佳接收確知信號(hào)的最佳接收1. 確知信號(hào)的定義：確知信號(hào)的定義：P216（1）條件一：條件一：2. 二進(jìn)制確知信號(hào)的最佳接收機(jī)設(shè)計(jì)二進(jìn)制確知信號(hào)的最佳接收機(jī)設(shè)計(jì)EdttsdttsTT022021)()( 與與 的能量相等，即的能量相等，即:)(2ts)(1ts根據(jù)最小差錯(cuò)率準(zhǔn)則，經(jīng)理論推導(dǎo)可得如下判決準(zhǔn)則：根據(jù)最小差錯(cuò)率準(zhǔn)則，經(jīng)理論推導(dǎo)可得如下判決準(zhǔn)則：)()()()()()()()()()(20220111022011tsdttstyUdttstyUtsdttstyUdttstyUTTTT判為判為)(ln2)(ln2202101sPnUsPnU其中：其中：第9章 數(shù)字信號(hào)的最佳

23、接收此時(shí)二進(jìn)制確知信號(hào)最佳接收機(jī)框圖如下圖所示。此時(shí)二進(jìn)制確知信號(hào)最佳接收機(jī)框圖如下圖所示。 dt dt比較判決定時(shí) Ts)(1ts)(2ts)(ty輸出1U2U第9章 數(shù)字信號(hào)的最佳接收（2）條件二：條件二： 與與 的出現(xiàn)概率相等，即的出現(xiàn)概率相等，即:)(2ts)(1ts因此，二進(jìn)制確知信號(hào)的判決不等式可再次簡(jiǎn)化為：因此，二進(jìn)制確知信號(hào)的判決不等式可再次簡(jiǎn)化為：)()()()()()()()()()(2020110201tsdttstydttstytsdttstydttstyTTTT判為判為21)()(21sPsP此時(shí)，此時(shí)， 。21UU dt dt比較判決定時(shí) Ts)(1ts)(2ts)(ty輸出第9章 數(shù)字信號(hào)的最佳接收（3）條件三：條件三： 對(duì)于對(duì)于PSK系統(tǒng)，判決不等式還可簡(jiǎn)化為：系統(tǒng)，判決不等式還可簡(jiǎn)化為：)(0)()()(0)()(201101tsdttstytsdttstyTT判為判為對(duì)于對(duì)于PSK系統(tǒng)，有系統(tǒng)，有)()(21tstsTTdttstydttsty0201)()()()( dt比較判決定時(shí) Ts)(1ts)(t