材力第四章第一講

1、版權(quán)所有版權(quán)所有, 2000,2005 (c) 華中科技大學(xué)力學(xué)系華中科技大學(xué)力學(xué)系華中科技大學(xué)華中科技大學(xué) 力學(xué)系力學(xué)系李 國(guó) 清Copyright, 2000,2005 (c) Dept. Mech., HUST , ChinaE-mail：Tel: (27)87557446(Office) 第四章第四章 梁的彎曲梁的彎曲 強(qiáng)度強(qiáng)度* *4.1 4.1 平面彎曲梁的內(nèi)力平面彎曲梁的內(nèi)力4.2 4.2 平面彎曲梁的正應(yīng)力平面彎曲梁的正應(yīng)力4.3 4.3 梁的彎曲切應(yīng)力梁的彎曲切應(yīng)力4.4 4.4 梁的強(qiáng)度條件與合理設(shè)計(jì)梁的強(qiáng)度條件與合理設(shè)計(jì)4.5 4.5 梁的彈塑性彎曲簡(jiǎn)介梁的彈塑性彎曲簡(jiǎn)介

2、工程實(shí)例工程實(shí)例以彎曲變形為主的桿件稱為梁以彎曲變形為主的桿件稱為梁(beam)列車車軸列車車軸伽利略梁的彎曲實(shí)驗(yàn)伽利略梁的彎曲實(shí)驗(yàn)變形變形受力受力彎曲變形彎曲變形(bending)外力與桿軸線垂直時(shí)（通常稱為橫向力）外力與桿軸線垂直時(shí)（通常稱為橫向力）橫向橫向力力橫向橫向力力其軸線將由直線彎成曲線其軸線將由直線彎成曲線彎曲彎曲受力特點(diǎn)：受力特點(diǎn)： 作用于桿件的載荷作用于桿件的載荷（包括支座反力）垂直于（包括支座反力）垂直于桿件軸線，稱之為橫向力。桿件軸線，稱之為橫向力。 對(duì)軸線變彎為主要特對(duì)軸線變彎為主要特征的變形形式，征的變形形式，稱為彎曲。稱為彎曲。凡是以彎曲為主要變形的凡是以彎曲為主要

3、變形的桿件，桿件，稱為梁。稱為梁。變形特點(diǎn)：變形特點(diǎn)： 任意二橫截面繞橫向軸任意二橫截面繞橫向軸轉(zhuǎn)動(dòng)，形成相對(duì)角位移轉(zhuǎn)動(dòng)，形成相對(duì)角位移 ，桿的軸線彎成一曲線，產(chǎn)生桿的軸線彎成一曲線，產(chǎn)生一撓度一撓度 。 w 平面彎曲的概念及梁的計(jì)算簡(jiǎn)圖平面彎曲的概念及梁的計(jì)算簡(jiǎn)圖一、彎曲的概念一、彎曲的概念1. 彎曲彎曲: : 桿受垂直于軸線的外力或外力偶矩矢的作用時(shí),軸 線變成了曲線，這種變形稱為彎曲。2. 梁：梁：以彎曲變形為主的 構(gòu)件通常稱為梁。3. 3. 工程實(shí)例工程實(shí)例4. 4. 平面彎曲：平面彎曲：桿發(fā)生彎曲變形后，軸線仍然和外力在同一 平面內(nèi)。 對(duì)稱彎曲（如下圖） 平面彎曲的特例?？v向?qū)ΨQ面縱

4、向?qū)ΨQ面MP1P2q非對(duì)稱彎曲 若梁不具有縱對(duì)稱面，或者，梁雖具有縱 對(duì)稱面但外力并不作用在對(duì)稱面內(nèi)，這種 彎曲則統(tǒng)稱為非對(duì)稱彎曲。 下面幾章中，將以對(duì)稱彎曲為主，討論梁的應(yīng)力和變形計(jì)算。二、梁的計(jì)算簡(jiǎn)圖二、梁的計(jì)算簡(jiǎn)圖 梁的支承條件與載荷情況一般都比較復(fù)雜，為了便于分析計(jì)算，應(yīng)進(jìn)行必要的簡(jiǎn)化，抽象出計(jì)算簡(jiǎn)圖。1. 構(gòu)件本身的簡(jiǎn)化構(gòu)件本身的簡(jiǎn)化 通常取梁的軸線來代替梁。2. 載荷簡(jiǎn)化載荷簡(jiǎn)化 作用于梁上的載荷（包括支座反力）可簡(jiǎn)化為三種類型：集中力、集中力偶和分布載荷。3. 支座簡(jiǎn)化支座簡(jiǎn)化固定鉸支座 2個(gè)約束，1個(gè)自由度。如：橋梁下的固定支座，止推滾珠軸承等?？蓜?dòng)鉸支座 1個(gè)約束，2個(gè)自由度

5、。如：橋梁下的輥軸支座，滾珠軸承等。固定端 3個(gè)約束，0個(gè)自由度。如：游泳池的跳水板支座，木樁下端的支座等。XAYAMA4. 梁的三種基本形式梁的三種基本形式簡(jiǎn)支梁M 集中力偶集中力偶q(x) 分布力分布力懸臂梁外伸梁 集中力集中力Pq 均布力均布力5. 靜定梁與超靜定梁靜定梁與超靜定梁靜定梁：由靜力學(xué)方程可求出支反力，如上述三種基本 形式的靜定梁。超靜定梁：由靜力學(xué)方程不可求出支反力或不能求出全 部支反力。 例例11貯液罐如圖示，罐長(zhǎng)L=5m，內(nèi)徑 D=1m，壁厚t =10mm， 鋼的密度為： 7.8g/cm，液體的密度為：1g/cm ,液面高 0.8m，外伸端長(zhǎng) 1m，試求貯液罐的計(jì)算簡(jiǎn)圖

6、。解：解：q 均布力均布力LgLAgLALgVLmgq2211rad855131060.gRRgD2221)sin(21gAgA22119.81000)sin106.3(1.8550.521 0.53.14897800010114322.q 均布力均布力(kN/m) 9梁的剪力和彎矩梁的剪力和彎矩 一、彎曲內(nèi)力：一、彎曲內(nèi)力：舉例舉例已知：如圖，P，a，l。 求：距A端x處截面上內(nèi)力。PaPlYAXARBAABB解：求外力lalPYYlPaRmXXABAA)( , 0 , 00 , 0ABPYAXARBmmx求內(nèi)力截面法xYMmlalPYFYACA , 0)( , 0SAYAQMRBPMQ 彎

7、曲構(gòu)件內(nèi)力剪力彎矩1. 彎矩：M 構(gòu)件受彎時(shí)，橫截面上其作用面垂直于截面的內(nèi)力偶矩。CC2. 剪力：FS 構(gòu)件受彎時(shí)，橫截面上其作用線平行于截面的內(nèi)力。3.內(nèi)力的正負(fù)規(guī)定:剪力Fs: 繞研究對(duì)象順時(shí)針轉(zhuǎn)為正剪力；反之為負(fù)。彎矩M：使梁變成凹形的為正彎矩；使梁變成凸形的為負(fù)彎矩。FS(+)FS()FS()FS(+)M(+)M(+)M()M() 例例2：求圖（a）所示梁1-1、2-2截面處的內(nèi)力。xyqLFQqLYS11 0解：解：截面法求內(nèi)力。 1-1截面處截取的分離體 如圖（b）示。圖（a）1111 0)(qLxMMqLxFmiA二、例題二、例題qqLab1122qLFS1AM1圖（b）x1L

8、)axq FS22( axqMqLxFmiB0)(21, 0)(22222-2截面處截取的分離體如圖（c） axqFqLYS0)(222222)(21qLxaxqMxy圖（a）qqLab1122qLFS2BM2x2圖（c）1. 內(nèi)力方程：內(nèi)力與截面位置坐標(biāo)（x）間的函數(shù)關(guān)系式。2. 剪力圖和彎矩圖：)(xFSFS 剪力方程)(xMM 彎矩方程)(xFSFS 剪力圖的圖線表示)(xMM 彎矩圖的圖線表示剪力方程和彎矩方程剪力方程和彎矩方程 剪力圖和彎矩圖剪力圖和彎矩圖 例例3 3 求下列各圖示梁的內(nèi)力方程并畫出內(nèi)力圖。PYxFO)(S解：求支反力)Lx(PMxY)x(MOO 寫出內(nèi)力方程PL M

9、PYOO ; PYOL根據(jù)方程畫內(nèi)力圖M(x)xQ(x)FS(x)M(x)xxPPLMO解：寫出內(nèi)力方程根據(jù)方程畫內(nèi)力圖qxxF)(S221qx)x(MLqM(x)xFS(x)FS(x)xM(x)x qL22qL)3(6)(220 xLLqxFS解：求支反力內(nèi)力方程3 ; 600Lq RLqRBAq0RA根據(jù)方程畫內(nèi)力圖RBL)xL(LxqxM2206)(xL33FS(x)x620Lq320Lq27320LqM(x)一、一、 剪力、彎矩與分布荷載間的關(guān)系剪力、彎矩與分布荷載間的關(guān)系對(duì)dx 段進(jìn)行平衡分析，有：0)(d)(d)()(0SSSxFxFxxqxFY)(dd)(SxFxxq剪力、彎矩與

10、分布荷載集度間的關(guān)系及應(yīng)用剪力、彎矩與分布荷載集度間的關(guān)系及應(yīng)用dxxq(x)q(x)M(x)+d M(x)FS(x)+d FS(x)FS(x)M(x)dxAy xqxxFddS剪力圖上某點(diǎn)處的切線斜率等剪力圖上某點(diǎn)處的切線斜率等于該點(diǎn)處荷載集度的大小。于該點(diǎn)處荷載集度的大小。 q(x)M(x)+d M(x)FS(x)+d FS(x)FS(x)M(x)dxAy0)(d)()()(d(21)d(, 0)(2SxMxMxMxxqxxFFmiA)(d)(dSxFxxM彎矩圖上某點(diǎn)處的切線斜率等于該點(diǎn)處剪力的大小。彎矩圖上某點(diǎn)處的切線斜率等于該點(diǎn)處剪力的大小。)(d)(d22xqxxM彎矩與荷載集度的

11、關(guān)系是：彎矩與荷載集度的關(guān)系是：二、剪力、彎矩與外力間的關(guān)系二、剪力、彎矩與外力間的關(guān)系外力外力無外力段均布載荷段集中力集中力偶q=0q0q0FSFS0q0QQb時(shí)在BC段） 內(nèi)力與外力的相依內(nèi)力與外力的相依關(guān)系關(guān)系外力規(guī)律發(fā)生變化截面外力規(guī)律發(fā)生變化截面集中力、集中力偶作集中力、集中力偶作用點(diǎn)、分布載荷的起點(diǎn)和終點(diǎn)處的橫截面。用點(diǎn)、分布載荷的起點(diǎn)和終點(diǎn)處的橫截面。 ，確定各段確定各段Q、M 分布規(guī)律分布規(guī)律，以此列出各，以此列出各 段的段的 根據(jù)內(nèi)力方程，確定根據(jù)內(nèi)力方程，確定Q 、M 的變化圖形的變化圖形，以此，以此作出作出。yxaaapapACBDRARBxxx 3203, 0PRaRp

12、apamBBA 30,0PRRPRyABA323233220pppQaxaaxaaxDBCDACxxapaxpxpxpMaxaaxaaxx332333220yxaaapapACBDRARBxxxP32P3QxPa/32Pa/3 xapaxpxpxpMaxaaxaaxpppQaxaaxaaxDBCDACxx332333220323233220,32)(:,32)(:,3)(:constPxQDBconstPxQCDconstPxQAC.0,3;32,2:;3,2;3,:;3,; 0, 0:MaxPaMaxDBPaMaxPaMaxCDPaMaxMxACMxoPa/3yxaaqa2ACBqRARBx

13、x qaRqaqaaRmAAB432121,022 qaRaqaqaaRmbBA412321, 02 axaaxqqaaxqaQCBACx243043 axaaxqqaqaxaxqaxMx2214304322axaaxqqaaxqaQCBACx243043 axaaxqqaqaxaxqaxMx2214304322yxaaqa2ACBqRARBxx .,2,:;43:4143qaQaxqaQaxCBconstqaxQAC.0,2,:;,0,0:241243MaxqaMaxCBqaMaxMxAC qaRA43 qaRb41yxaaqa2ACBqRARBxxQx3qa/4qa/4M3qa2/4qa2

14、/4qa2/32xx=7a/4xxa2474732104743qaMaaqqaQaaaxaxqqaaxqqaqaxdxddxxdM470221432143)(22axxaqaxqa43:4:43.,2,:;43:4143qaQaxqaQaxCBconstqaxQAC.0,2,:;,0,0:241243MaxqaMaxCBqaMaxMxAC例例3. 復(fù)合靜定梁，試作剪力圖和彎矩圖。復(fù)合靜定梁，試作剪力圖和彎矩圖。 特點(diǎn)特點(diǎn):中間鉸不能傳遞彎矩，中間鉸不能傳遞彎矩，只能傳遞力的作用。求解時(shí)先只能傳遞力的作用。求解時(shí)先由中間鉸處拆開，化為兩個(gè)單由中間鉸處拆開，化為兩個(gè)單跨梁?？缌?。 AD、DC和和C

15、B三段剪力三段剪力方程和彎矩方程如下：方程和彎矩方程如下：qaRqaRCA81,831. 支座反力支座反力qaRqaRCA81,83)2()(81)()(81)()2()(81)4(2183)(812183)()20(2183)(83)(2axaaxqaaxRxMqaRxQaxaaxqaaxqaqaxxMqaqaqaxQaxqxqaxxMqxqaxQCC:AD)2()(81)()(81)()2()(81)4(2183)(812183)()20(2183)(83)(2axaaxqaaxRxMqaRxQaxaaxqaaxqaqaxxMqaqaqaxQaxqxqaxxMqxqaxQCCDC：a/2A

16、CBqa/2aDxxxBAqccRCRARC由由AC跨的平衡條件求得?？绲钠胶鈼l件求得。axqxqadxdM83, 083得22max1289)83(218383qaaqaqaM)2()(81)()(81)()2()(81)4(2183)(812183)()20 (2183)(83)(2axaaxqaaxRxMqaRxQaxaaxqaaxqaqaxxMqaqaqaxQaxqxqaxxMqxqaxQCCCB：2. 剪力圖和彎矩圖剪力圖和彎矩圖OQ3qa/3qa/8MO9qa2/128qa2/16qa2/183a/8a/2ACBqa/2aDxxxcBqcARCRA)2()(81)()(81)()2

17、()(81)4(2183)(812183)()20(2183)(83)(2axaaxqaaxRxMqaRxQaxaaxqaaxqaqaxxMqaqaqaxQaxqxqaxxMqxqaxQCC:AD AD段的彎矩圖為一條二段的彎矩圖為一條二次拋物線，作圖時(shí)須求出彎次拋物線，作圖時(shí)須求出彎矩的極值和所在截面的位置，矩的極值和所在截面的位置，才能大致繪出其圖形。才能大致繪出其圖形。 考察考察 dx 微段的受力與平衡微段的受力與平衡yxABq(x)dxxQ(x)Q(x)+dQ(x)M(x)M(x)+dM(x)xyxdxoq(x)規(guī)定分布規(guī)定分布載荷以向載荷以向上為正上為正Q(x)Q(x)+dQ(x)M

18、(x)M(x)+dM(x)xyxdxoq(x) xqdxxdQxdQxQdxxqxQy0,0 xQdxxdMdxxqxdMxMdxdxxqdxxQxMmc略去二階微量,202, 02Q(x)Q(x)+dQ(x)M(x)M(x)+dM(x)xyxdxoq(x)c xQdxxdMxqdxxdQ,xqdxxdQdxxMd22對(duì)于無集中外力作用的某個(gè)梁段對(duì)于無集中外力作用的某個(gè)梁段AB，可寫成積分形式，可寫成積分形式dxxqQQdxxqxdQBAABBABA dxxQMMdxxQxdMBAABBABA 2dQd dd ddxqMxQMxq ; ;2dxxQMMdxxqQQBAABBAABCADBmkN

19、q20kNmm20m1m1m1RARB解：解：1. 1. 求支座反力求支座反力 kNRaRmqamBBA15022, 022015MkNmOxQKNxo1015515CA段段：dQdxq（x）0，kndxxqQQACCA201200A點(diǎn)：RA35kn（ ），發(fā)生跳躍，knRQQAAA153520AB段： knQdxxqQQconstxQxqABAAB15, 0B點(diǎn)： RB15kn（ ），發(fā)生跳躍，01515BBBRQQCA段： , 00,222xQdxdMxqdxMdxMM mkndxxQMMACCA1012021AD段： , 0,xQdxdMxMM mkndxxQMMDAAD511510 kNRRRqayABA350, 02. 2. 作剪力圖、彎矩圖作剪力圖、彎矩圖D點(diǎn)：MD20kn.m，發(fā)生跳躍（ ）。 mknMMMDDD15205D