隨機變量與分布列習(xí)題

1、. .18/18隨機變量與分布列1已知隨機變量，若，則的值為（ ）A. B. C. D. 2已知隨機變量，若，則的值為（ ）A. 0.4 B. 0.2 C. 0.1 D. 0.63已知，則的值為（ ）A. 10 B. 7 C. 3 D. 64集裝箱有標(biāo)號為1，2，3，4，5，6且大小一樣的6個球，從箱中一次摸出兩個球，記下并放回，如果兩球之積是4的倍數(shù)，則獲獎.若有4人參與摸獎，恰好有3人獲獎的概率是（ ）A. B. C. D. 5甲袋中放有大小和形狀一樣的小球若干，其中標(biāo)號為0的小球為1個，標(biāo)號為1的小球2個，標(biāo)號為2的小球2個.從袋中任取兩個球，已知其中一個的標(biāo)號是1，則另一個標(biāo)號也是1的

2、概率為_6設(shè)隨機變量服從正態(tài)分布，則_7某人通過普通話二級測試的概率是，他連線測試3次，那么其中恰有1次通過的概率是（ ）A. B. C. D. 8從1，2，3，4，5，6，7中任取兩個不同的數(shù)，事件為“取到的兩個數(shù)的和為偶數(shù)”，事件為“取到的兩個數(shù)均為奇數(shù)”，則（ ）A. B. C. D. 9班主任為了對本班學(xué)生的考試成績進行分析，決定從全班位女同學(xué)，位男同學(xué)中隨機抽取一個容量為的樣本進行分析.（）如果按性別比例分層抽樣，求樣本中男生、女生人數(shù)分別是多少；（）隨機抽取位同學(xué)，數(shù)學(xué)成績由低到高依次為：；物理成績由低到高依次為：，若規(guī)定分（含分）以上為優(yōu)秀，記為這位同學(xué)中數(shù)學(xué)和物理分數(shù)均為優(yōu)秀的

3、人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.10某品牌汽車的店，對最近100份分期付款購車情況進行統(tǒng)計，統(tǒng)計情況如下表所示.已知分9期付款的頻率為0.4；該店經(jīng)銷一輛該品牌汽車，若顧客分3期付款，其利潤為1萬元；分6期或9期付款，其利潤為2萬元；分12期付款，其利潤為3萬元.付款方式分3期分6期分9期分12期頻數(shù)2020（1）若以上表計算出的頻率近似替代概率，從該店采用分期付款購車的顧客（數(shù)量較大）中隨機抽取3為顧客，求事件：“至多有1位采用分6期付款“的概率；（2）按分層抽樣方式從這100為顧客中抽取5人，再從抽取的5人中隨機抽取3人，記該店在這3人身上賺取的總利潤為隨機變量，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.11某公

4、司有五輛汽車，其中兩輛汽車的車牌尾號均為1. 兩輛汽車的車牌尾號均為2，車的車牌尾號為6，已知在非限行日，每輛車可能出車或不出車，三輛汽車每天出車的概率均為，兩輛汽車每天出車的概率均為，且五輛汽車是否出車相互獨立，該公司所在地區(qū)汽車限行規(guī)定如下：車牌尾號0和51和62和73和84和9限行日星期一星期二星期三星期四星期五（1）求該公司在星期一至少有2輛汽車出國的概率；（2）設(shè)表示該公司在星期二和星期三兩天出車的車輛數(shù)之和，求的分布列與期望.12拖延癥總是表現(xiàn)在各種小事上，但日積月累，特別影響個人發(fā)展某校的一個社會實踐調(diào)查小組，在對該校學(xué)生進行“是否有明顯拖延癥”的調(diào)查中，隨機發(fā)放了110份問卷對

5、收回的100份有效問卷進行統(tǒng)計，得到如下列聯(lián)表：有明顯拖延癥無明顯拖延癥合計男352560女301040合計6535100（）按女生是否有明顯拖延癥進行分層，已經(jīng)從40份女生問卷中抽取了8份問卷，現(xiàn)從這8份問卷中再隨機抽取3份，并記其中無明顯拖延癥的問卷的份數(shù)為，試求隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望；（）若在犯錯誤的概率不超過的前提下認為無明顯拖延癥與性別有關(guān)，那么根據(jù)臨界值表，最精確的的值應(yīng)為多少？請說明理由附：獨立性檢驗統(tǒng)計量，其中獨立性檢驗臨界值表：02501501000500251323207227063841502413某高校數(shù)學(xué)系2016年高等代數(shù)試題有6個題庫，其中3個是新題庫（即沒有

6、用過的題庫），3個是舊題庫（即至少用過一次的題庫），每次期末考試任意選擇2個題庫里的試題考試.（1）設(shè)2016年期末考試時選到的新題庫個數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）已知2016年時用過的題庫都當(dāng)作舊題庫，求2017年期末考試時恰好到1個新題庫的概率14某市舉行的“國際馬拉松賽”，舉辦單位在活動推介晚會上進行嘉賓現(xiàn)場抽獎活動，抽獎盒中裝有6個大小一樣的小球，分別印有“快樂馬拉松”和“美麗綠城行”兩種標(biāo)志，搖勻后，參加者每次從盒中同時抽取兩個小球（取出后不再放回），若抽到的兩個球都印有“快樂馬拉松”標(biāo)志即可獲獎并停止取球；否則繼續(xù)抽取，第一次取球就抽中獲一等獎，第二次取球抽中獲二等獎，第三次

7、取球抽中獲三等獎，沒有抽中不獲獎活動開始后，一位參賽者問：“盒中有幾個印有快樂馬拉松的小球？”主持人說：“我只知道第一次從盒中同時抽兩球，不都是美麗綠城行標(biāo)志的概率是（1）求盒中印有“快樂馬拉松”小球的個數(shù)；（2）若用表示這位參加者抽取的次數(shù)，求的分布列與期望15為創(chuàng)建全國文明城市，某區(qū)向各事業(yè)行政單位征集“文明過馬路”義務(wù)督導(dǎo)員.從符合條件的600名志愿者中隨機抽取100名，按年齡作分組如下：20,25) , 25,30) , 30,35)， 35,40) , 40,45 ，并得到如下頻率分布直方圖.()求圖中的值，并根據(jù)頻率分布直方圖統(tǒng)計這600名志愿者中年齡在30.40)的人數(shù)；()在抽

8、取的100名志愿者中按年齡分層抽取10名參加區(qū)電視臺“文明伴你行”節(jié)目錄制，再從這10名志愿者中隨機選取3名到現(xiàn)場分享勸導(dǎo)制止行人闖紅燈的經(jīng)歷，記這3名志愿者中年齡不低于35歲的人數(shù)為,求的分布列與數(shù)學(xué)期望.16一家醫(yī)藥研究所，從中草藥中提取并合成了甲、乙兩種抗“病毒”的藥物，經(jīng)試驗，服用甲、乙兩種藥物痊愈的概率分別為.現(xiàn)已進入藥物臨床試用階段，每個試用組由4位該病毒的感染者組成，其中2人試用甲種抗病毒藥物，2人試用乙種抗病毒藥物，如果試用組中，甲種抗病毒藥物治愈人數(shù)超過乙種抗病毒藥物的治愈人數(shù)，則稱該組為“甲類組”.（1）求一個試用組為“甲類組”的概率；（2）觀察3個試用組，用表示這3個試用

9、組中“甲類組”的個數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.17某班為了提高學(xué)生學(xué)習(xí)英語的興趣，在班舉行英語寫、說、唱綜合能力比賽，比賽分為預(yù)賽和決賽2個階段，預(yù)賽為筆試，決賽為說英語、唱英語歌曲，將所有參加筆試的同學(xué)（成績得分為整數(shù)，滿分100分）進行統(tǒng)計，得到頻率分布直方圖，其中后三個矩形高度之比依次為4:2:1，落在的人數(shù)為12人（）求此班級人數(shù)；（）按規(guī)定預(yù)賽成績不低于90分的選手參加決賽，已知甲乙兩位選手已經(jīng)取得決賽資格，參加決賽的選手按抽簽方式?jīng)Q定出場順序（i）甲不排在第一位乙不排在最后一位的概率；（ii）記甲乙二人排在前三位的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望182017年1月1日，作為市打造“千園之

10、城”27個示性公園之一的泉湖公園正式開園.元旦期間，為了活躍氣氛，主辦方設(shè)置了水上挑戰(zhàn)項目向全體市民開放.現(xiàn)從到公園游覽的市民中隨機抽取了60名男生和40名女生共100人進行調(diào)查，統(tǒng)計出100名市民中愿意接受挑戰(zhàn)和不愿意接受挑戰(zhàn)的男女生比例情況，具體數(shù)據(jù)如圖表：（1）根據(jù)條件完成下列列聯(lián)表，并判斷是否在犯錯誤的概率不超過1%的情況下愿意接受挑戰(zhàn)與性別有關(guān)？愿意不愿意總計男生女生總計（2）水上挑戰(zhàn)項目共有兩關(guān)，主辦方規(guī)定：挑戰(zhàn)過程依次進行，每一關(guān)都有兩次機會挑戰(zhàn)，通過第一關(guān)后才有資格參與第二關(guān)的挑戰(zhàn)，若甲參加每一關(guān)的每一次挑戰(zhàn)通過的概率均為，記甲通過的關(guān)數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.參考公式與數(shù)據(jù)

11、：0.10.050.0250.012.7063.8415.0246.635.19在某校組織的“共筑中國夢”競賽活動中，甲、乙兩班各有6名選手參賽，在第一輪筆試環(huán)節(jié)中，評委將他們的筆試成績作為樣本數(shù)據(jù)，繪制成如圖所示的莖葉圖，為了增加結(jié)果的神秘感，主持人故意沒有給出甲、乙兩班最后一位選手的成績，知識告知大家，如果某位選手的成績高于90分（不含90分），則直接“晉級”（1）求乙班總分超過甲班的概率；（2）主持人最后宣布：甲班第六位選手的得分是90分，乙班第六位選手的得分是97分，請你從平均分和方差的角度來分析兩個班的選手的情況；主持人從甲乙兩班所有選手成績中分別隨機抽取2個，記抽取到“晉級”選手的

12、總?cè)藬?shù)為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望20一個袋中裝有大小一樣的球10個，其中紅球8個，黑球2個，現(xiàn)從袋中有放回地取球，每次隨機取1個.求：（1）連續(xù)取兩次都是紅球的概率；（2）如果取出黑球，則取球終止，否則繼續(xù)取球，直到取出黑球，取球次數(shù)最多不超過4次，求取球次數(shù)的概率分布列與期望.21甲乙兩人下棋比賽，規(guī)定誰比對方先多勝兩局誰就獲勝，比賽立即結(jié)束；若比賽進行完6局還沒有分出勝負則判第一局獲勝者為最終獲勝且結(jié)束比賽.比賽過程中，每局比賽甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，每局比賽相互獨立.求：（1）比賽兩局就結(jié)束且甲獲勝的概率；（2）恰好比賽四局結(jié)束的概率；（3）在整個比賽過程中，甲獲勝的概率.22若隨

13、機變量，且，則展開式中項的系數(shù)是_23在某項測試中，測量結(jié)果服從正態(tài)分布，若，則_24某班有50名學(xué)生，一次數(shù)學(xué)考試的成績服從正態(tài)分布,已知，估計該班學(xué)生數(shù)學(xué)成績在120分以上的有_人.25某廠生產(chǎn)的零件尺寸服從正態(tài)分布N(25,0.032)，為使該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品有95%以上的合格率，則該廠生產(chǎn)的零件尺寸允許值的圍為_26已知正態(tài)總體的數(shù)據(jù)落在區(qū)間(3，1)里的概率和落在區(qū)間(3,5)里的概率相等，那么這個正態(tài)總體的數(shù)學(xué)期望為_27若隨機變量的分布列如下表：01xPp且E（）1.1，則D（）_28設(shè)p為非負實數(shù)，隨機變量X的概率分布為X012Pp則E（X）的最大值為_，D（X）的最大值為_291

14、2個同類型的零件中有2個次品，抽取3次進行檢驗，每次抽取一個，并且取出不再放回，以表示取出次品的個數(shù)，則的期望值=參考答案1A解析由題意有正態(tài)密度函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱,正態(tài)密度函數(shù)的圖象與 軸圍成的面積為,所以有,選.2B解析 。故選B。3A解析由題意得 。故選A。4B解析獲獎的概率為 ，記獲獎的人數(shù)為 ， ，所以4人中恰好有3人獲獎的概率為 ，故選B.5解析記“一個標(biāo)號是 ”為事件 ,”另一個標(biāo)號也是”為事件 ，所以 。6解析依題意有.7A解析次獨立重復(fù)實驗，恰好發(fā)生一次的概率為.點睛：本題主要考查獨立重復(fù)試驗和二項分布的知識.獨立重復(fù)試驗獨立重復(fù)試驗是指在一樣條件下可重復(fù)進行的，各次之間

15、相互獨立的一種試驗，在這種試驗中每一次試驗只有兩種結(jié)果，即要么發(fā)生，要么不發(fā)生，且任何一次試驗中發(fā)生的概率都是一樣的二項分布在次獨立重復(fù)試驗中，設(shè)事件發(fā)生的次數(shù)為，在每次試驗中事件發(fā)生的概率為，那么在次獨立重復(fù)試驗中，事件恰好發(fā)生次的概率為 ()，此時稱隨機變量服從二項分布，記作，并稱為成功概率8C解析事件 “取到的兩個數(shù)之和為偶數(shù)”所包含的基本事件有：事件 “取到的兩個數(shù)均為奇數(shù)”所包含的基本事件有，故選C.9（）5,3；（）詳見解析.解析試題分析：（）利用分層抽樣的特點（等比例抽樣）進行求解；（）寫出隨機變量的所有可能取值，利用排列組合知識求出每個變量所對應(yīng)的概率，列表得到分布列，進而求出

16、期望值.試題解析：（）抽取女生數(shù)人，男生數(shù)（II）的所有可能取值為， ，的分布列為10（1）;（2）所以隨機變量的分布列為5670.30.40.3（萬元）.解析試題分析（1）依據(jù)題設(shè)運用二項分布公式求解；（2）借助題設(shè)求出隨機變量的分布列，再依據(jù)數(shù)學(xué)期望公式分析求解：（1）由題意，則表中分6期付款購車的顧客頻率，所以.（2）按分層抽樣的方式抽取的5人中，有1位分3期付款，有3位分6期或9期付款，有1位分12期付款.隨機變量可能取的值是5，6，7，則，所以隨機變量的分布列為5670.30.40.3（萬元）即為所求.11（1）；（2）見解析解析試題分析：（1）記事件 “該公司在星期一至少有輛車出車

17、”，利用獨立重復(fù)試驗的概率的乘法，轉(zhuǎn)化求解即可；（2）的可能取值為，求出概率，得到分布列，然后求解期望即可.試題解析：（1）記事件 “該公司在星期一至少有2輛車出車”，則；（2）的可能取值為0，1，2，3，4，5的分布列為01234512（）的分布列為：012;（）解析試題分析:（）分層從 “無有明顯拖延癥”里抽人無明顯拖延癥的問卷的份數(shù)為，隨機變量X=0，1，2利用“超幾何分布”即可得出分布列與其數(shù)學(xué)期望；（）根據(jù)“獨立性檢驗的基本思想的應(yīng)用”計算公式可得的觀測值，即可得出試題解析:（）女生中從“有明顯拖延癥”里抽人，“無有明顯拖延癥”里抽人則隨機變量，的分布列為：012（）由題設(shè)條件得，由

18、臨界值表可知： ，點晴：本題考查的是超幾何分布和獨立性檢驗問題.（）要注意區(qū)分是超幾何分布還是二項分布，分層從 “無有明顯拖延癥”里抽人無明顯拖延癥的問卷的份數(shù)為 =0，1，2利用“超幾何分布”即可得出分布列與其數(shù)學(xué)期望；（）根據(jù)“獨立性檢驗的基本思想的應(yīng)用”計算公式可得的觀測值，即可得出13（），分布列見解析（）解析試題分析：（）先確定隨機變量所有可能取值,再分別求對應(yīng)概率,列表可得分布列,最后根據(jù)數(shù)學(xué)期望公式求期望,（）按2016年時用過的題庫分類討論: 2016年期末考試時取到0個新題庫時,2017年期末考試時恰好到1個新題庫的概率; 2016年期末考試時取到1個新題庫時,2017年期末

19、考試時恰好到1個新題庫的概率; 2016年期末考試時取到2個新題庫時,2017年期末考試時恰好到1個新題庫的概率;再根據(jù)2016年期末考試時取到個新題庫對應(yīng)概率可得所求概率為.試題解析：（）的所有可能取值為0，1，2， 設(shè)“2016年期末考試時取到個新題庫（即）”為事件又因為6個題庫中，其中3個是新題庫，3個是舊題庫，所以；，所以的分布列為012P的數(shù)學(xué)期望為 （）設(shè)“從6個題庫中任意取出2個題庫，恰好取到一個新題庫”為事件，則“2017年時恰好取到一個新題庫”就是事件，而事件互斥，所以 所以2017年時恰好取到一個新題庫的概率為點睛：求解離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望的一般步驟為：第一步是“判斷取

20、值”，即判斷隨機變量的所有可能取值，以與取每個值所表示的意義；第二步是“探求概率”，即利用排列組合、枚舉法、概率公式(常見的有古典概型公式、幾何概型公式、互斥事件的概率和公式、獨立事件的概率積公式，以與對立事件的概率公式等)，求出隨機變量取每個值時的概率；第三步是“寫分布列”，即按規(guī)形式寫出分布列，并注意用分布列的性質(zhì)檢驗所求的分布列或某事件的概率是否正確；第四步是“求期望值”，一般利用離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望的定義求期望的值，對于有些實際問題中的隨機變量，如果能夠斷定它服從某常見的典型分布(如二項分布XB(n，p)，則此隨機變量的期望可直接利用這種典型分布的期望公式(E(X)np)求得.因此

21、，應(yīng)熟記常見的典型分布的期望公式，可加快解題速度.14（1）；（2）詳見解析.解析試題分析：（1）運用古典概型的計算公式與對立事件的概率公式求解；（2）依據(jù)題設(shè)條件借助隨機變量的分布列與數(shù)學(xué)期望公式進行計算求解：試題解析：解：（1）設(shè)印有“美麗綠城行”的球有個，同時抽兩球不都是“美麗綠城行”標(biāo)志為事件，則同時抽取兩球都是“美麗綠城行”標(biāo)志的概率是，由對立事件的概率：.即，解得.（2）由已知，兩種球各三個，故可能取值分別為1,2,3，.則的分布列為：所以.15（），人；（）見解析.解析試題分析：（I）根據(jù)頻率分布直方圖中矩形面積和為，求得，然后利用相應(yīng)公式計算相應(yīng)組中抽取人數(shù)；（II）先確定各組

22、人數(shù)，根據(jù)題意可得 的所有可能取值為0，1，2，3，依次求出概率即可.試題解析：（）因為小矩形的面積等于頻率.所以，求得. 所以這600名志愿者中，年齡在30,40人數(shù)為（人）.（）用分層抽取的方法從中抽取10名志愿者，則年齡低于35歲的人數(shù)有（人），年齡不低于35歲的人數(shù)有（人）.依題意， 的所有可能取值為0，1，2，3，則 ,.所以X的分布列為P0123X數(shù)學(xué)期望為.16（1）；（2）詳見解析.解析試題分析：（1）依據(jù)題設(shè)條件運用分類計數(shù)原理求解；（2）求出隨機變量的分布列，再運用隨機變量的數(shù)學(xué)期望公式求解：試題解析：解：（1）設(shè)表示事件“一個試用組中，服用甲種抗病毒藥物有效的有人”，；表

23、示事件“一個試用組中，服用乙種抗病毒藥物有效的有人”，.依題意有，所求的概率為.（2）的可能值為0,1,2,3，其分布列為，數(shù)學(xué)期望.17（I）；（II）（i）；（ii）分布列見解析，期望為 .解析試題分析：（1）借助頻率分布直方圖中的有效信息進行求解：（2）依據(jù)題設(shè)條件運用古典概型的計算公式與數(shù)學(xué)期望的求解公式進行求解：試題解析：解：（）落在區(qū)間的頻率是，所以人數(shù)（）由（）知，參加決賽的選手共6人，（i）設(shè)“甲不在第一位，乙不在最后一位”為事件，則，所以甲不在第一位、乙不在最后一位的概率為（ii）隨機變量的可能取值為0,1,2，隨機變量的分布列為：因為，所以隨機變量的數(shù)學(xué)期望為118（1）見

24、解析;（2）的分布列為：012.解析試題分析：（1）根據(jù)比例確定人數(shù)，填入對應(yīng)表格，再根據(jù)卡方公式計算，最后對照數(shù)據(jù)判斷結(jié)論不成立，（2）先確定隨機變量可能取法0，1，2，再分別計算對應(yīng)概率（可利用對立事件概率求法求較復(fù)雜事件的概率），列表可得分布列，最后根據(jù)數(shù)學(xué)期望公式求期望.試題解析：（1）愿意不愿意總計男生154560女生202040總計3565100，則不能認為在犯錯誤的概率不超過1%的情況下愿意接受挑戰(zhàn)與性別有關(guān).（2）記男生甲第次通過第一關(guān)為，第次通過第二關(guān)為，的可能取值為0，1，2.，的分布列為：012.19（1）；（2）見解析.解析試題分析：（1）先分別求出甲班前 位選手的總分

25、和乙班前 位選手的總分，由此利用列舉法能求出乙班總分超過甲班的概率（2）分別求出甲、乙兩班平均分和方差，由此能求出甲班選手間的實力相當(dāng)，相差不大，乙班選手間實力懸殊，差距較大的可能取值為，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出的分布列和試題解析：（1）甲班前5位選手的總分為，乙班前5位選手的總分為，若乙班總分超過甲班，則甲、乙兩班第六位選手的成績可分別為，三種所以，乙班總分超過甲班的概率為（2）甲班平均分為，乙班平均分為，兩班的平均分一樣，但甲班選手的方差小于乙班，所以甲班選手間的實力相當(dāng)，相差不大，乙班選手間實力懸殊，差距較大的可能取值為，；的分布列為：01234 . 20（1）；（2）.解析試題分

26、析（1）有放回取，可看作獨立重復(fù)試驗，即每次取出是紅球概率一樣，都為，再根據(jù)概率乘法公式得連續(xù)取兩次都是紅球的概率；（2）先確定隨機變量取法，再分別求對應(yīng)概率，列表可得分布列，最后根據(jù)期望公式求數(shù)學(xué)期望.試題解析：（1）連續(xù)取兩次都是紅球的概率.（2）的可能取值為1,2,3,4，.的概率分布列為1234.點睛：求解離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望的一般步驟為：第一步是“判斷取值”，即判斷隨機變量的所有可能取值，以與取每個值所表示的意義；第二步是“探求概率”，即利用排列組合、枚舉法、概率公式(常見的有古典概型公式、幾何概型公式、互斥事件的概率和公式、獨立事件的概率積公式，以與對立事件的概率公式等)，求出隨機變量取每個值時的概率；第三步是“寫分布列”，即按規(guī)形式寫出分布列，并注意用分布列的性質(zhì)檢驗所求的分布列或某事件的概率是否正確；第四步是“求期望值”，一般利用離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望的定義求期望的值，對于有些實際問題中的隨機變量，如果能夠斷定它服從某常見的典型分布(如二項分布XB(n，p)，則此隨機變量的期望可直接利用這種典型分布的期望公式(E(X)np