中考整理初中考點(diǎn)重點(diǎn) 數(shù)學(xué)學(xué)科 中考數(shù)學(xué)坐標(biāo)系壓軸題

1、【坐標(biāo)系壓軸專題】坐標(biāo)系中的問題，一般出在壓軸題，不是壓軸題也會(huì)有很大的難度，針對(duì)此便有了這個(gè)專題【1】坐標(biāo)系問題的基本運(yùn)算實(shí)用度：如果想要熟練地解坐標(biāo)系中的問題，先掌握下列的幾個(gè)重要點(diǎn)（看不清放大看）前三點(diǎn)、最后一點(diǎn)稍難，有口訣：兩點(diǎn)間距離公式：橫坐標(biāo)相減的平方加縱坐標(biāo)相減的平方開根號(hào)斜率k：豎直高度比水平寬度中點(diǎn)坐標(biāo)公式：橫坐標(biāo)的平均數(shù)，縱坐標(biāo)的平均數(shù)平移函數(shù)圖像：左增右減，上加下減【例題1】（原創(chuàng)）難度：答案：【2】等腰三角形、直角三角形存在性基礎(chǔ)做起，實(shí)用性：關(guān)鍵詞：等腰兩圓一線，直角兩線一圓這兩點(diǎn)放在一起是為了對(duì)比，它們都需要分類討論。什么叫做兩圓一線、兩線一圓呢？舉個(gè)例子，如圖，A

2、B線段一條，在下面那根直線上找P和Q，使得(1.)ABP是等腰三角形 (2.)ABQ是直角三角形首先(1.)，有三種可能（AB=AP，AB=BP，AP=BP），兩圓：以A為圓心，AB為半徑畫圓，與直線交于P1，還有一個(gè)圓是以B為圓心，AB為半徑畫圓與直線交于P2和P3。最后一線：AB的垂直平分線與直線交于P4，P5（有時(shí)不一定5個(gè)，視情況而定）(2.)，同樣三種，兩線：分別以A、B作AB的垂線分別交直線于Q1，Q2，一圓：以AB為直徑作圓，由于直徑所對(duì)圓周角是直角，所以與直線交點(diǎn)為Q3 Q4（個(gè)數(shù)視情況而定）已經(jīng)找到了，怎么求呢？等腰的話最暴力的算法就是設(shè)出未知點(diǎn)坐標(biāo)，把三角形三段長(zhǎng)都用兩點(diǎn)間

3、距離公式表達(dá)出來，最后一個(gè)一個(gè)等起來解方程即可。當(dāng)然這是無可奈何、形狀實(shí)在不好找的時(shí)候的迫不得已辦法，一般他會(huì)給你已知兩點(diǎn)，在拋物線對(duì)稱軸上或x軸上或y軸上找，這樣就有一些幾何特征可以利用。當(dāng)然暴力算法某些時(shí)候也是必須要用的。直角，兩線的好找（k1k2乘積為-1可以，做垂直相似也可以），最后一圓略麻煩，這就要用到模型：一線三等角，做垂直，如圖。左右兩個(gè)三角形相似，然后設(shè)線段長(zhǎng)，表達(dá)，相似比，解方程即可。一般是一元二次方程，所以解出一個(gè)另一個(gè)就自然知道。注意：這里是非常規(guī)做法，就是妙招，再好算或者你對(duì)自己計(jì)算有信心的情況下，可以用中點(diǎn)坐標(biāo)公式得出圓心坐標(biāo)，再得出半徑，設(shè)出Q的坐標(biāo)，用兩點(diǎn)間距離公

4、式來做?！纠}】（原創(chuàng)）難度：答案：(1.)(2.)P的坐標(biāo)為(3,3)或(6,3)或(3.)【3】鉛直高模型實(shí)用度：平面直角坐標(biāo)系里，隨機(jī)的三個(gè)點(diǎn)，圍成一個(gè)三角形，你能求出這個(gè)三角形的面積嗎？這種題很容易，簡(jiǎn)單幾個(gè)字：水平寬乘鉛直高打個(gè)比方，這道題，隨便找三個(gè)點(diǎn)A、B、C（坐標(biāo)看網(wǎng)格），求ABC的面積好的我們先做輔助線，作CDx軸交AB（或它的延長(zhǎng)線）于D，那么不論這個(gè)三角形是鈍角三角形還是銳角三角形還是直角三角形，它的面積總會(huì)等于圖上那玩意。其中，因?yàn)镃D是作x軸的垂線做出來的，所以叫做鉛直高，鉛直高與哪個(gè)邊相交，那么這條邊（注意是線段，如圖的AB）兩個(gè)端點(diǎn)的水平距離為水平寬（事實(shí)上就是右

5、邊端點(diǎn)的橫坐標(biāo)減去左邊端點(diǎn)的橫坐標(biāo)），兩個(gè)的乘積的二分之一就是面積，從圖上直觀地看出，面積是4怎么考？一般讓你求一個(gè)關(guān)于面積的函數(shù)解析式，然后求最大值。怎么求？水平寬好求，鉛直高呢？再如圖：好了，已知拋物線函數(shù)表達(dá)式，如圖，C是AB下方拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，求ABC面積的最大值。做這種題先作輔助線CDx軸交AB于D，然后設(shè)C坐標(biāo)，因?yàn)镃Dx軸，所以D的橫坐標(biāo)與C的相同。所以CD的長(zhǎng)度就有，拿就是縱坐標(biāo)相減（注意：被減數(shù)一定要是位于上方的點(diǎn)的縱坐標(biāo)。）這種題近幾年考了很多，都快考爛了，所以中考絕不可能出這樣常規(guī)的題，一定會(huì)加以創(chuàng)新?！纠}1】（原創(chuàng)）難度：答案：(1.)(2.)提示：過D作DE的垂線交

6、CE于G，利用豎直高解。(3.)提示：求平行四邊形面積最大值即求BCD面積最大值，(4.)提示：作垂直，用相似?！?.1】四邊形存在性問題平行四邊形實(shí)用度：四邊形存在性近年來經(jīng)?？迹赃@部分要重視，只是平行四邊形考得多了，題型會(huì)有創(chuàng)新，因此先打好常規(guī)題的基礎(chǔ)：一般平行四邊形最普通的出題方式如下：普通法函數(shù)給出，拋物線交直線于A、B，在拋物線和直線上分別找E、F，使得C、D、F、E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形。這種題十分簡(jiǎn)單，用上次講的鉛直高表達(dá)EF和CD一等起來就是【以EF、CD為對(duì)邊的平行四邊形】注意還沒有完，還要討論對(duì)角線的情況，這要取CD中點(diǎn)，設(shè)坐標(biāo)轉(zhuǎn)化，然后代入函數(shù)求解。 然后稍微復(fù)雜

7、的：作高法這個(gè)講起來就復(fù)雜點(diǎn)了，如圖函數(shù)有，B的坐標(biāo)看網(wǎng)格，在拋物線、x軸上找P、Q，使以A、B、P、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求P、Q的坐標(biāo)先討論AB是邊的情況，既然是平行四邊形那就先作PQAB，我們知道，當(dāng)PQ=AB時(shí)就是平行四邊形。什么時(shí)候相等？P到x軸距離和B到x軸的距離相等，如圖，作PMx軸，BNx軸，（圖上沒畫）PM=BN=3時(shí)，就會(huì)有PQMBAN，這樣PQ=AB，就OK。也就是說，P的縱坐標(biāo)是3時(shí)，因?yàn)閽佄锞€有了，解方程即可得到P的坐標(biāo)，因?yàn)槿?，AN=QM，所以Q的坐標(biāo)也有了（？，0）。另外就是對(duì)角線的情況，同樣找中點(diǎn)轉(zhuǎn)換。變式：萬一題目條件不變，Q改成在對(duì)稱軸或者某常

8、函數(shù)上找要怎么辦？事實(shí)上是一樣的：只是歪了點(diǎn)而已，記住兩邊都有，別只找到一邊不找另一邊?！纠}】（原創(chuàng)）難度：答案：(1.)3(2.)(3.)或【4.2】四邊形存在性菱形與等腰梯形實(shí)用度：首先從菱形開始說起。事實(shí)上，菱形的存在性就相當(dāng)于變向的找等腰三角形，就是說找菱形就按照找等腰的那個(gè)套路找，不必講太多，充分利用四邊相等，且對(duì)邊平行的性質(zhì)，還有對(duì)角線互相垂直且平分的性質(zhì)，馬上就能找到。然后等腰梯形有點(diǎn)難搞。好的我們拿鎮(zhèn)樓圖說話： 原題是我改編的，其中拋物線：y=-x+2x+3（你會(huì)發(fā)現(xiàn)這個(gè)函數(shù)被用爛了）E是AC上方拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，作EDx軸交AC于D，當(dāng)四邊形DECO為等腰梯形時(shí)，求E的坐標(biāo)。

9、這種題的話先說常規(guī)做法，作EGy軸，DHy軸，利用CG=DH來解，就是拿CO-DE（DE的長(zhǎng)度可以表示）再除以2，等于OH來解方程。這樣會(huì)很麻煩所以= =妙招解法：設(shè)CO的中點(diǎn)是G，DE的中點(diǎn)是H，當(dāng)GHy軸時(shí)，就是等腰梯形，理由很簡(jiǎn)單，這個(gè)時(shí)候GH是垂直平分CO的，由對(duì)稱性就能秒殺。D、E坐標(biāo)可表達(dá)，其中點(diǎn)H用中點(diǎn)坐標(biāo)公式表達(dá)，表達(dá)出H的縱坐標(biāo)，和G的縱坐標(biāo)（就是3/2)相等解方程就秒殺?？偨Y(jié)一下，看到有等腰的什么東西可以聯(lián)想到垂直平分線，就好解了?！纠}1】（改編）難度：【例題2】（原創(chuàng)）難度：答案：【1】(1.)拋物線的表達(dá)式為，直線的表達(dá)式為(2.)提示：水平寬鉛直高2，關(guān)鍵在于哪一段

10、。(3.)提示：分類討論，畫圖求解?；颉?】(1.) (2.)提示：過F作FGOA于G，通過FGA與某一個(gè)三角形相似。(3.)提示：根據(jù)對(duì)稱性做，P是BC與拋物線的交點(diǎn)。【5】坐標(biāo)系軸對(duì)稱綜合問題實(shí)用度：坐標(biāo)系中的軸對(duì)稱是今年考的比較多的問題關(guān)注下面幾點(diǎn)：角相等，邊相等的轉(zhuǎn)化并且還要和相似全等連用，如：如圖，函數(shù)有，直線CD下方的拋物線上是否存在A，x軸上存在B，使得A、B關(guān)于CD軸對(duì)稱【5】坐標(biāo)系軸對(duì)稱綜合問題實(shí)用度：坐標(biāo)系中的軸對(duì)稱是今年考的比較多的問題關(guān)注下面幾點(diǎn)：角相等，邊相等的轉(zhuǎn)化并且還要和相似全等連用，如：如圖，函數(shù)有，直線CD下方的拋物線上是否存在A，x軸上存在B，使得A、B關(guān)于

11、CD軸對(duì)稱，一題解：首先第一種解法，我自己的解法妙解，來自孤獨(dú)求解186（改正一下，AE=8a，非AF=8a）多種解法，形態(tài)不一，不過在這里要記住，因?yàn)閷?duì)稱可能帶來角平分線，再加上平行的話就很有可能會(huì)出現(xiàn)等腰，具體見模型專題?！纠}1】（2014 河南）答案：【1】(1.) (2.)提示：不要忘了絕對(duì)值， (3.)提示：角平分線+平行=等腰，P坐標(biāo)為或或【6】相切圓問題實(shí)用度：這種題型不出不知道一出嚇一跳，很多人看到圓和拋物線擺在一起就感到絕望了，一堆曲線怎么破？事實(shí)上圓只是一個(gè)條件的載體，不會(huì)考的很深，而相切問題算比較難的了。例如：沒錯(cuò)還是這個(gè)函數(shù)，在對(duì)稱軸上找一點(diǎn)E，使得以E為圓心的圓與x

12、軸和直線AB同時(shí)相切。這個(gè)E要怎么找？首先按照這個(gè)結(jié)構(gòu)來說，是設(shè)直線AB與對(duì)稱軸交于D，設(shè)EF的長(zhǎng)，然后利用相似（DEFDCA）得出E的坐標(biāo)。雖然照這個(gè)模型是這么做的，老師也是這么講的，但是這樣的話要討論坐標(biāo)的正負(fù)問題。妙解：我們知道內(nèi)心（內(nèi)切圓圓心）是角平分線交點(diǎn)，做這種題的時(shí)候同樣可以利用這一點(diǎn)，我們可以求出CAB平分線的解析式，再求對(duì)稱軸交點(diǎn)即可。理論依據(jù)就是角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等。那么現(xiàn)在主要問題是角平分線的解析式怎么求：在A的右方截取AM=AB，連接BM，取BM中點(diǎn)G，連接AG，直線AG與對(duì)稱軸交于E等腰三角形三線合一+中點(diǎn)坐標(biāo)公式搞定AG函數(shù)解析式是個(gè)奇怪的東西，無所謂。

13、不過要注意的是這只求出來1個(gè)，還有上面一個(gè)，按照同樣的求法太麻煩，可以用AGAE（兩個(gè)角平分線的產(chǎn)物）再用個(gè)射影定理。在你覺得計(jì)算量不會(huì)很大的時(shí)候可以用這個(gè)，比如說斜邊不帶根號(hào)的時(shí)候，或者其他好算的時(shí)候?！纠}1】（2015 深圳）難度：答案：【1】(1.) (2.)提示：說得太直接，話說我押題押得真準(zhǔn)別說沒用的。(3.)提示：作BC的平行線，要讓高是1.5倍?！?】圖像平移問題實(shí)用度：平移大家都懂，平移后函數(shù)的表達(dá)式幾個(gè)字概括上加下減，左增右減即使知道這個(gè)口訣，你知道怎么做嗎首先：交點(diǎn)問題，問和直線有幾個(gè)交點(diǎn)設(shè)出函數(shù)表達(dá)式，算（判別式）即可，注意說的是直線還是線段，如是線段的話要多討論一步。

14、其次：斜向平移問題。比如說：如圖，函數(shù)有，A是拋物線頂點(diǎn)且在直線上，將拋物線沿直線平移，A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B，AB=5時(shí)，求平移后拋物線。事實(shí)上是先配頂點(diǎn)式，原拋物線：y=(x+2)-1，那么就設(shè)B(m,1/2m)所以平移后拋物線y=(x-m)+1/2m，用兩點(diǎn)間距離公式秒殺。所以說斜著平移就要設(shè)坐標(biāo)，配頂點(diǎn)式。三角函數(shù)綜合：還用上面那個(gè)圖，設(shè)原拋物線與y軸交于C，則當(dāng)tanBCO=1時(shí)，求拋物線解析式。照樣設(shè)坐標(biāo)，通過三角函數(shù)轉(zhuǎn)換解出B的坐標(biāo)，于是平移后拋物線解析式就有了。【例題1】（2014 深圳）難度：答案：【1】(1.) (2.)提示：設(shè)出頂點(diǎn)坐標(biāo)，表達(dá)F的坐標(biāo)，作EGy軸，利用射影定理。(

15、3.)提示：表達(dá)面積， 注意需要分類討論，或或【8】相似三角形存在性問題使用度：相似三角形近幾年來考的貌似比較少，可是這還是很重要的。一般的相似問題都是直角三角形的相似，這是比較簡(jiǎn)單的。然后常考的就是鈍角三角形的相似，銳角比較少考。相似問題的關(guān)鍵在于尋找對(duì)應(yīng)關(guān)系，合理的分類討論，如：函數(shù)：y=x-4x+3，D是頂點(diǎn)，E是x軸上方拋物線上的點(diǎn)，作EFx軸于F，若EFA與CBD相似，求E的坐標(biāo)先設(shè)出E的坐標(biāo)(m,m-4m+3)，可以知道CBD=90，BC：BD=3:1，分類討論， EF：AF=1:3、EF：AF=3：1，列方程求出m。別忘了E可以在右邊也可以在左邊。相似三角形的存在性不難，就是相似

16、比列方程。但要記住一句話：沒有相等角的一定不相似，有相等角的卻不一定相似。意思是相似三角形的前提是要有相等的角，在這前提下才能用相似【例題1】（原創(chuàng)）難度：答案：【1】(1.) (2.)提示：，則要OFDQOD，記住可用韋達(dá)定理簡(jiǎn)單運(yùn)算。提示：猜測(cè)特殊位置，猜P是頂點(diǎn)時(shí)，可通過設(shè)坐標(biāo)求證。具體證明略?！?】等腰直角三角形的存在性實(shí)用度：一般這種題比較少考，但是貌似作為一個(gè)比較基礎(chǔ)、而比較有創(chuàng)新意識(shí)的題型，不講不行。事實(shí)上這個(gè)很簡(jiǎn)單：記得我們講過的弦圖嗎？這就是要用弦圖的。例如：函數(shù)如下，在平面內(nèi)找一點(diǎn)D，使ABD是等腰直角三角形。A的坐標(biāo)是(-3,0)，B是(0,-1)做這種題，有等腰直角或正

17、方形的話，首先考慮弦圖，故做出弦圖。然后設(shè)DE=x，推出BC=x，CD=x+1，所以AE=x+1，所以就會(huì)有x+x+1=3，x=1所以D的坐標(biāo)就有了。是不是很簡(jiǎn)單？來試試身手！【例題1】（2014 臨沂）難度：答案：【1】(1.)(2.)提示：很多種求法，吧里也有很多可參考的，可用鉛直高做。距離(3.)提示：同時(shí)考察平移、等腰直角三角形。注意平移時(shí)CD的長(zhǎng)以及相對(duì)位置不變。（即C、D的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)相差不變）【10】角度存在性實(shí)用度：角度的存在性比較經(jīng)典，也是比較新穎的題，不出不知道，一出嚇一跳。舉個(gè)例子：如圖，函數(shù)已有，在x軸上找一點(diǎn)D，使得ACO=DCB。求D的坐標(biāo)先觀察圖形，猜測(cè)會(huì)有兩個(gè)

18、D，一個(gè)在B左側(cè)，一個(gè)在右側(cè)，由角度相等證得ACD=45。有45先聯(lián)想到弦圖，故作等腰直角三角形ACE，EFx軸，則AEFCAO，然后得到E的坐標(biāo)是(3,1)，因?yàn)镃的坐標(biāo)已知，所以直線CE的表達(dá)式可以求出，從而得出D的坐標(biāo)。另一邊的怎么辦？這要利用前面求得的D的坐標(biāo)，觀察圖形可知CB是角平分線，根據(jù)對(duì)稱性，可以把BCD1翻折到BCF的位置，而且F正好在CD2上，以此可以求出F的坐標(biāo)，然后算直線求出D2的坐標(biāo)。這種題要觀察周圍的等量關(guān)系，常常需要借助全等來解決?！纠}1】（改編）難度：答案：【1】(1.) (2.)提示：根據(jù)對(duì)稱性，可知BE與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,3)。(3.)提示：根據(jù)計(jì)算得到

19、D的坐標(biāo)，然后分M在y軸左側(cè)、右側(cè)討論。或或【1】新型最值問題（注：“”為補(bǔ)充，原帖中沒有）一種新型的最值問題，用那套模型是否能夠搞定呢？注意：請(qǐng)了解模型專題中的最值問題及第一反應(yīng)專題中的路徑問題再加以了解換表不換里，所有最值的思想都是一樣的。只是這里要繞一些彎路?！纠}1】雖然你看到“和最小”，卻找不到作對(duì)稱的方法，因?yàn)樽鲗?duì)稱一定要有直線。遇到這樣的題，不妨設(shè)B的運(yùn)動(dòng)路徑為l，由拋物線，以求得B的坐標(biāo)，另外便是有一種叫做焦點(diǎn)準(zhǔn)線的東西，高中的東西，當(dāng)然它會(huì)給你一個(gè)材料理解，具體是什么自行百度?！纠}2】（改編）(1.)證明用兩點(diǎn)距離公式證明。(2.)連接PC，由(1.)可知h1+h2即為CP+CA，故求CP+CA的最小值，P、C、A共線時(shí)最小，最小值為6【練習(xí)1】（原創(chuàng)）答案：【1】