自動(dòng)控制理論：第二章 線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

1、第二章 線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型本章重點(diǎn)線性系統(tǒng)微分方程的建立；運(yùn)用拉氏變換法求解線性微分方程；傳遞函數(shù)的概念和性質(zhì)；傳遞函數(shù)和微分方程之間的關(guān)系；結(jié)構(gòu)圖的繪制及其等效變換；結(jié)構(gòu)圖和信號(hào)流圖的關(guān)系；梅遜公式。本章難點(diǎn)運(yùn)用綜合的基礎(chǔ)知識(shí)(如電子、機(jī)械、物理等知識(shí))建立正確的微分方程；(2)建立系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖或信號(hào)流圖；(3)結(jié)構(gòu)圖和信號(hào)流圖等效變換的靈活運(yùn)用；控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型概述 一、為什么要建立控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型？1、是定量分析、計(jì)算機(jī)仿真、系統(tǒng)設(shè)計(jì)的需要2、是尋找一個(gè)較好的控制規(guī)律的需要 二、什么是控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型？描述控制系統(tǒng)中各變量之間相互關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式 三、如何建立數(shù)學(xué)模型？1、提出合理的

2、假設(shè)，忽略次要因數(shù)，抓住本質(zhì)。2、建立恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)描述3、非線性環(huán)節(jié)的處理 五、經(jīng)典控制理論中控制系統(tǒng)模型描述方法 1、微分方程 2、傳遞函數(shù)四、實(shí)際工程應(yīng)用中建立模型的一般步驟 1、把各部件盡可能地作線性化處理； 2、建立線性化的系統(tǒng)模型（近似模型）； 3、求系統(tǒng)的近似特性； 4、建立更復(fù)雜的模型，得到更精確的特性。六、建立控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的一般方法 1、機(jī)理分析法 2、實(shí)驗(yàn)辯識(shí)法 第一節(jié) 線性系統(tǒng)的輸入輸出時(shí)間函數(shù)描述1、建立的目的：確定被控制量與給定輸入或擾動(dòng)之間的關(guān)系，為分析和設(shè)計(jì)創(chuàng)造條件 2、建立輸入輸出時(shí)間函數(shù)描述的方法分析系統(tǒng)的工作原理，作合理的假設(shè)；確定系統(tǒng)的輸入量和輸出量；根據(jù)

3、物理或化學(xué)定律例寫描述系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的方程； （常用定律：基爾霍夫定律、牛頓定律、能量守恒定律）消去中間變量求出描述系統(tǒng)輸入輸出關(guān)系的微分方程。一、建立線性系統(tǒng)的輸入輸出時(shí)間描述函數(shù)例1、 彈簧阻尼系統(tǒng)，圖中質(zhì)量為m的物體受到外力F的作用，產(chǎn)生位移y，求該系統(tǒng)的輸入輸出描述解：（1）分析物體m的受力情況，假設(shè)k為常數(shù)、f為常數(shù);（2）輸入量為F，輸出量為y;（3）根據(jù)牛頓定律列寫方程（4）消去中間變量求出描述系統(tǒng)輸入輸出關(guān)系的微分方程。例2、 如圖為兩個(gè)形式相同的RC電路串聯(lián)組成的濾波電路，建立輸入電壓為u,求電容C2兩端電壓uc為輸出的微分方程。解： （1）分析電路的工作原理，假設(shè)電阻是理想電阻器

4、，電容也是理想的電容器；（2）輸入量為u，輸出量為uc;（3）根據(jù)基爾霍夫定理列寫方程（4）消去中間變量求出描述系統(tǒng)輸入輸出關(guān)系的微分方程。二、描述線性定常系統(tǒng)輸入輸出關(guān)系的微分方程一般形式：三、實(shí)驗(yàn)法建立模型基本原理1、基本原理：設(shè)系統(tǒng)是線性定常系統(tǒng)，且t=0時(shí)系統(tǒng)的響應(yīng)及其各階導(dǎo)數(shù)均為零，則其響應(yīng)與輸入之間其次性和線性關(guān)系，即滿足2、脈沖函數(shù)單位脈沖函數(shù)延遲單位脈沖函數(shù)3、實(shí)驗(yàn)方法如果以單位脈沖函數(shù)作為輸入函數(shù)，則系統(tǒng)輸出為稱為單位脈沖響應(yīng)。 如果以脈沖強(qiáng)度為A的延遲脈沖函數(shù)作為輸入函數(shù)，將其施加于初始條件為零的線性定常系統(tǒng)，它將滿足第二節(jié) 線性系統(tǒng)的輸入輸出傳遞函數(shù)描述 R(S)輸入函數(shù)

5、的拉氏變換C(S)輸出函數(shù)的拉氏變換S 拉氏算子說(shuō)明:1、拉氏算子為復(fù)變量，單位為S-12、利用拉氏變換之后，卷積分公式變成代數(shù)方程，G（S）稱為系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，它是系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)的象函數(shù)，在電路分析中也稱為網(wǎng)絡(luò)函數(shù)；3、卷積分公式只適用于初始條件為零的線性定常系統(tǒng)，傳遞函數(shù)可定義為初始條件為零的線性定常系統(tǒng)輸出的拉氏變換與輸入的拉氏變換之比；4、傳遞函數(shù)中的S算子可與角頻率聯(lián)系起來(lái)，傳遞函數(shù)也稱為頻域描述。5、得到系統(tǒng)傳遞函數(shù)的方法實(shí)驗(yàn)法、分析法用分析法求系統(tǒng)傳遞函數(shù)假設(shè)通過(guò)對(duì)系統(tǒng)機(jī)理模型分析得到n階系統(tǒng)的微分方程為假設(shè)初始條件為零！對(duì)等式兩邊取拉氏變換可得：極點(diǎn)：零點(diǎn)：代數(shù)方程式的根由方

6、程式的結(jié)構(gòu)與其各項(xiàng)系數(shù)確定，系統(tǒng)極點(diǎn)和零點(diǎn)由系統(tǒng)結(jié)構(gòu)與參數(shù)確定。為什么采用傳遞函數(shù)來(lái)描述？微分方程描述不直觀、求解困難。線性常微分方程經(jīng)過(guò)拉氏變換，即可得到系統(tǒng)在復(fù)數(shù)域中的數(shù)學(xué)模型，稱之為傳遞函數(shù)。 將單位脈沖響應(yīng)g(t)的曲線轉(zhuǎn)換成相應(yīng)的傳遞函數(shù)。表示其輸入輸出關(guān)系。R(s)輸入r(t)的像函數(shù)，即輸入函數(shù)的拉氏變換；C(s)輸出c(t)的像函數(shù)，即輸出函數(shù)的拉氏變換。傳遞函數(shù)初始條件為零的線性定常系統(tǒng)輸出的拉氏變換與輸入的拉氏變換之比。也稱為頻（率）域描述。 幾點(diǎn)說(shuō)明：只適用于線性定常系統(tǒng)。是系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型。 分母的階數(shù)一定高于分子的階數(shù) 。(為什么？）有慣性元件和受到功率的限制客觀物

7、理世界的基本屬性，它反映了一個(gè)基本事實(shí)：一個(gè)物理系統(tǒng)的輸出不能完全復(fù)現(xiàn)輸入信號(hào)，只有經(jīng)過(guò)一定的時(shí)間過(guò)程后，輸出量才能達(dá)到輸入量所要求的數(shù)值。一個(gè)傳遞函數(shù)只能表示一個(gè)輸入量對(duì)一個(gè)輸出量的關(guān)系。單輸入-單輸出系統(tǒng)，若多輸入多輸出要采用傳遞函數(shù)矩陣。傳遞函數(shù)可以表示成有理分式，也可以表示成零極點(diǎn)表示的形式。也可以表示成時(shí)間常數(shù)的形式K值具有量綱也稱為傳遞系數(shù)7. 分子分母的系數(shù)都是實(shí)數(shù)，所以如果有復(fù)數(shù)零極點(diǎn)則必為共軛復(fù)數(shù)。式中，復(fù)習(xí)拉氏變換（Laplace transform） 拉氏變換的定義t0時(shí)f(t)=02. 幾個(gè)簡(jiǎn)單的函數(shù)的拉氏變換單位階躍指數(shù)函數(shù)余弦函數(shù)單位斜坡函數(shù) 3. 拉氏變換的一些性

8、質(zhì)線性性質(zhì)疊加性質(zhì)延遲性質(zhì)像函數(shù)（復(fù)域）的微分相似定理本函數(shù)（時(shí)域）的微分例：復(fù)域延遲性質(zhì)例：已知 終值定理：有存在的條件f(t)及其導(dǎo)數(shù)是可拉氏變換的，且要sF(s)在虛軸（除原點(diǎn)）和右半平面上沒(méi)有極點(diǎn)。 初值定理：卷積定理：已知函數(shù)f(t)和g(t)，其卷積定義為3. 拉氏反變換求本函數(shù)（1）部分分式分解法極點(diǎn)的幾種情形：都是一階實(shí)極點(diǎn)。例：已知：計(jì)算f(t) 重的一階實(shí)極點(diǎn)含有共軛極點(diǎn)。2. 留數(shù)方法（略）第三節(jié) 非線性數(shù)學(xué)模型的線性化 1、什么叫非線性數(shù)學(xué)模型的線性化？在一定條件下將非線性系統(tǒng)近似的視為線性系統(tǒng) 2、典型非線性發(fā)電機(jī)激磁特性3、小范圍線性化的概念和原理 假設(shè)對(duì)于一般的非線性系統(tǒng)，其輸入量為r,輸出量為c=f(r),并設(shè)在給定的工作點(diǎn)c0=f(r0)處各階導(dǎo)數(shù)均存在，則可以展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù)：在處理線性化問(wèn)題時(shí)，要注意以下幾點(diǎn)： （1）工作點(diǎn)