靜電場中的導體及電介質(zhì)一章習題解答

1、-. z.靜電場中的導體與電介質(zhì)一章習題解答習題81 A、B為兩個導體大平板，面積均為S，平行放置，如下圖。A板帶電+Q1，B板帶電Q2，如果使B板接地，則AB間電場強度的大小E為：+Q1 +Q2 A B 習題81圖 (A) (B) (C) (D) 解：B板接地后，A、B兩板外側(cè)均無電荷，兩板內(nèi)側(cè)帶等值異號電荷，數(shù)值分別為+Q1和-Q1，這時AB間的場應是兩板內(nèi)側(cè)面產(chǎn)生場的疊加，即所以，應該選擇答案(C)。習題82 C1和C2兩個電容器，其上分別標明200pF(電容量)，500V(耐壓值)和300pF，900V。把它們串聯(lián)起來在兩端加上1000V的電壓，則(A) C1被擊穿，C2不被擊穿 (B

2、) C2被擊穿，C1不被擊穿(C) 兩者都被擊穿 (D) 兩者都不被擊穿答：兩個電容器串聯(lián)起來，它們各自承受的電壓與它們的電容量成反比，設(shè)C1承受的電壓為V1，C2承受的電壓為V2，則有聯(lián)立、可得，可見，C1承受的電壓600V已經(jīng)超過其耐壓值500V ，因此，C1先被擊穿，繼而1000V電壓全部加在C2上，也超過了其耐壓值900V，緊接著C2也被擊穿。所以，應該選擇答案(C)。習題83 三個電容器聯(lián)接如圖。電容C1=C2=C3，而C1、C2、C3的耐壓值分別為100V、200V、300V。則此電容器組的耐壓值為(A) 500V (B) 400V (C) 300V (D) 150V (E) 60

3、0V解：設(shè)此電容器組的兩端所加的電壓為u，并且用C1C2表示C1、C2兩電容器的并聯(lián)組合，這時該電容器組就成為C1C2與C3的串聯(lián)。由于C1= C2=C3，所以C1C22C3，故而C1C2承受的電壓為u/3，C3承受的電壓為2u/3。C1 C2 C3 習題83圖 由于C1C2的耐壓值不大于100V ，這要求即要求同理，C3的耐壓值為300V，這要求對于此電容器組的耐壓值，只能取兩者之較低的，即300V。因此，應該選擇答案(C)。+Q Q +q m 習題84圖 習題84 一個大平行板電容器水平放置，兩極板間的一半充有各向同性均勻電介質(zhì)，另一半為空氣，如圖，當兩極板帶上恒定的等量異號電荷時，有一質(zhì)

4、量為m、帶電量為+q的質(zhì)點，平衡在極板間的空氣區(qū)域中，此后，假設(shè)把電介質(zhì)抽去，則該質(zhì)點：保持不動。(B) 向上運動。(C) 向下運動。(D) 是否運動不能確定。解：在抽出介質(zhì)前，相當于左右兩半兩個“電容器并聯(lián)，由于這兩個“電容器電壓相等，而右半邊的電容又小于左半邊的，因此由q=CU公式可知，右半邊極板的帶電量小于左半邊的。當抽去介質(zhì)后，極板電荷重新分布而變?yōu)樽笥揖鶆?，使得右半邊極板電荷較抽出介質(zhì)前為多，因此這時帶電質(zhì)點受到向上的靜電力將大于其重力，它將向上運動。所以應中選擇答案(B)。習題85 一個平行板電容器充電后與電源斷開，當用絕緣手柄將電容器兩極板間距拉大，則兩極板間的電勢差U12、電場

5、強度的大小E和電場能量W將發(fā)生如下變化：U12減小，E減小，W減小。(B) U12增大，E增大，W增大。(C) U12增大，E不變，W增大。(D) U12減小，E不變，W不變。解：電容器充電后與電源斷開，其極板上的電荷將保持不變。由公式當將電容器兩極板間距拉大，其電容C將減小，這將使其極板間的電勢差U12增大；因為極板電荷保持不變，使得板間場強亦不變；由電容器儲能公式因電勢差U12增大而極板電荷保持不變，故電場能量W將增大。綜上所述，應中選擇答案(C)。習題86 一個平行板電容器充電后仍與電源連接，假設(shè)用絕緣手柄將電容器兩極板間距拉大，則極板上的電量Q、電場強度的大小E和電場能量W發(fā)生如下變化

6、：Q增大，E增大，W增大。(B) Q減小，E減小，W減小。(C) Q增大，E減小，W增大。(D) Q增大，E增大，W減小。解：電容器充電后仍與電源連接，其兩極板間的電壓U12不變。假設(shè)此時將電容器兩極板間距拉大，其電容量C將變小，由公式可知，極板上的電量Q將減??；與此同時，由公式可知，極板間電場也將減小；又由公式可知，電場能量W將減小。綜上所述，應中選擇答案(B)。習題87一空氣平行板電容器充電后與電源斷開，然后在兩極板間充滿*種各向同性、均勻電介質(zhì)，則電場強度大小E、電容C、電壓U、電場能量W四個量各自與充入介質(zhì)前相比擬，增大()或減小()的情形為：E、C、U、W(B) E、C、U、WE、C

7、、U、W(D) E、C、U、W解：設(shè)未充滿電介質(zhì)時電容器的電容為C0，電壓為U0，場強為E0，電場能量為W0。充滿電介質(zhì)后則有所以U；電場強度的大小變?yōu)樗訣；電容變?yōu)樗訡；電場能量為所以W。綜上所述，應中選擇答案(B)。習題88 C1和C2兩空氣電容器并聯(lián)起來接上電源充電，然后將電源斷開，再把一電介質(zhì)板插入C1中，則：C1和C2極板上電量都不變。C1極板上電量增大，C2極板上電量不變。C1極板上電量增大，C2極板上電量減少。C1極板上電量減少，C2極板上電量增大。解：充電后將電源斷開，兩電容器的總電量不變，即 ()由于兩電容器并聯(lián)，它們的電勢差U相等，因此它們所帶的電量(q=CU)與它們的

8、電容量成正比，但因C1中插入了介質(zhì)板，所以C1的電容量增加，即q1，由()式可知，這時q2 應當減少，所以應中選擇答案(C)。習題89 兩個薄金屬同心球殼，半徑各為R1和R2(R1R2)，分別帶有電荷q1和q2，二者電勢分別為U1和U2，設(shè)無窮遠點為電勢零點，現(xiàn)用導線將兩球殼連起來，則它們的電勢為：(A) U1 (B) U2 (C) U1+U2 (D) (U1+U2)/2解：用導線將兩球殼連起來，電荷都將分布在外球殼，現(xiàn)在該體系等價于一個半徑為R2的均勻帶電球面，因此其電勢為原來兩球殼未連起來之前，內(nèi)球電勢為外球電勢為或者：因此，所以，應選擇答案(B)。習題810 一平行板電容器充滿相對介電常

9、數(shù)為的各向同性均勻電介質(zhì)，介質(zhì)外表極化電荷面密度為。則極化電荷在電容器中產(chǎn)生的電場強度的大小為：(A) (B) (C) (D) 解：介質(zhì)外表的極化電荷可以看成兩個電荷面密度為的無限大平行平面，由疊加原理，它們在電容器中產(chǎn)生的電場強度大小為所以，應中選擇答案(A)。習題811 兩塊面積均為S的金屬板A和B彼此平行放置，板間距離為d(d遠小于板的線度)，設(shè)A板帶電為q1，B板帶電為q2，則A、B兩板間的電勢差為：(A) (B) (C) (D) A B 4 3 2 1 q1 q2 題解811圖 解：如下圖，設(shè)A、B兩塊平行金屬板的四個外表的電荷面密度分別為，和，則根據(jù)電荷守恒有根據(jù)靜電平衡條件有聯(lián)立

10、解得根據(jù)疊加原理，兩個外側(cè)外表的電荷在兩極板間產(chǎn)生的場強相互抵消；兩內(nèi)側(cè)的電荷在兩板間產(chǎn)生的場強方向一樣，它們最終在板間產(chǎn)生的場強為因而A、B兩板間的電勢差為可以看出，應該選擇答案(C)。習題812 一空氣平行板電容器，兩極板間距為d，充電后板間電壓為U?，F(xiàn)將電源斷開，在兩板間平行地插入一厚度為d/3的金屬板，則板間電壓變成=。解法：電源斷開前后極板帶電量不變，因而極間場強不變；由于在兩板間平行地插入一厚度為d/3的金屬板，相當于極板間距變?yōu)樵瓉淼?/3，因此，板間電壓相應地也變?yōu)樵瓉淼?/3，即解法：設(shè)未將電源斷開 (也未插入金屬板) 時電容器的電容為C，這時電容器極板的電壓為將電源斷開后極

11、板的電量將保持不變，但因在兩板間平行地插入一厚度為d/3的金屬板，這相當于極板間距變?yōu)?d/3，因而電容器的電容變?yōu)橐虼?，現(xiàn)板間電壓為習題813 A、B為兩個電容值都等于C的電容器，A帶電量為Q，B帶電量為2Q，現(xiàn)將A、B并聯(lián)后，系統(tǒng)電場能量的增量。解：A、B并聯(lián)后，系統(tǒng)的等效電容為2C，帶電量為3Q，因此，系統(tǒng)電場能量的增量為習題814 一空氣平行板電容器，其電容值為C0。充電后電場能量為W0。在保持與電源連接的情況下在兩極板間充滿相對介電常數(shù)為的各向同性均勻電介質(zhì)，則此時電容器的電容值C=，電場能量W=。解：充滿介質(zhì)后，電容器的電容值增大了倍，因此有；由電容器儲能公式充滿介質(zhì)后，兩極板間電

12、壓U不變，只是電容值增大了倍，因而其能量相應地增大為原來的倍，即。習題815 半徑為0.1m的孤立帶電導體球，其電勢為300V，則離導體球中心30cm處的電勢為U=。解：孤立導體球的電量為其電荷分布是一個均勻帶電球面，因而其電勢分布為把r=0.30m、R=0.1m及UR=300V代入上式可得U=100V。習題816半徑為R1和R2的兩個同軸金屬圓筒，其間充滿著相對介電常數(shù)為的均勻介質(zhì)。設(shè)兩筒上單位長度帶電量分別為和，則介質(zhì)中電位移矢量的大小為D=；電場強度的大小為E=。解：取半徑為r(R1rR2)、高度為h的、與圓筒同軸的兩端封閉的柱面為高斯面，根據(jù)有介質(zhì)時的高斯定理有因此根據(jù)電位移與場強的關(guān)

13、系可得習題817 兩個半徑一樣的金屬球，相距很遠。證明：該導體組的電容等于各孤立導體球的電容值的一半。證明：設(shè)兩球分別帶電+Q和Q，因為它們相距很遠，各自都可以看作“孤立的。該兩球的電勢差為所以，該導體組的電容為而對于各孤立導體球的電容則為，因此我們有證畢。習題818 證明：半徑為R的孤立球形導體，帶電量為2Q，其電場能量恰與半徑為R/4、帶電量為Q的孤立球形導體的電場能量相等。證明：半徑為R的孤立球形導體的電容為其帶電為2Q時的電場能量為同理，半徑為R/4、帶電量為Q的孤立球形導體的電場能量為2d * O 習題819圖 * * S 習題819 兩塊“無限大平行導體板，相距為2d，都與地連接。

14、在板間均勻充滿著正離子氣體(與導體板絕緣)，離子數(shù)密度為n，每個離子的帶電量為q，如果忽略氣體中的極化現(xiàn)象，可以認為電場分布相對于中心平面是對稱的。試求兩板間的電場分布和電勢分布。分析：由于電場分布相對于中心平面是對稱的，因此求板間電場可以考慮用高斯定理。解：設(shè)中心平面處為*軸的原點，可以看出，板間電場都與*軸平行：在-d*0區(qū)間，場強方向與*軸反向；在0*d區(qū)間，場強方向與*軸同向。因而可取一柱形高斯面S，其軸線即為*軸，其兩個端面分別在+*和-*處。由高斯定理得即解得(-d*d)寫成矢量式兩板間任一點的電勢為(-d*d)習題820 兩根平行“無限長 均勻帶電直線，相距為d，導線半徑都是R(

15、Rd)。導線上電荷線密度分別為和，試求該導體單位長度的電容。解：建立如下圖的坐標系，則兩線間任一點的場為d * P * O R R 題解820圖 兩線間的電勢差單位長度的電容為注意：兩線間的電場強度E是兩個帶電直線共同產(chǎn)生，應當用統(tǒng)一坐標系表示；每一條導線作為導體，各自都是等勢體，因此求電勢差的積分限取R到dR。習題821 電容器由兩個同軸圓筒組成，內(nèi)筒半徑為a，外筒半徑為b，筒長都是L，中間充滿相對介電常數(shù)為 的各向同性均勻電介質(zhì)，假設(shè)內(nèi)外筒分別帶有等量異號電荷+Q和Q。設(shè)b-ab，可以忽略邊緣效應，求圓柱形電容器的電容；(2) 電容器儲存的能量。解：(1) 由于b-ab，所以兩個同軸圓筒可

16、看成“無限長，它們沿長度方向電荷線密度為QL，兩筒間的場為兩筒間的電勢差為圓柱形電容器的電容為電容器儲存的能量為習題822 半徑為R的金屬球，球上帶電荷Q，球外充滿介電常數(shù)為的各向同性的均勻電介質(zhì)，求電場中儲存的電場能。rR rR解法：由高斯定理容易求得帶電金屬球內(nèi)外的場分布顯然，電場能量密度為在距金屬球球心為r處取厚度為dr 的薄球殼體積元，其體積為，在其內(nèi)儲存的電場能為因此，金屬球電場中儲存的電場能為解法：孤立導體球(球外充滿介電常數(shù)為的各向同性的均勻電介質(zhì))的電容為電容器儲能公式，可以求得金屬球電場中儲存的電場能為注：比擬兩種方法，容易看出第二種方法更簡單。習題823 半徑分別為1.0c

17、m與2.0cm的兩個球形導體，各自帶電量，兩球心間相距很遠。假設(shè)用細導線將兩球相接，求：(1) 每個球所帶的電量；(2) 每個球的電勢。解：(1) 兩個球用導線連接后，電荷重新分布，設(shè)這時兩球分別帶電為q1和q2，由電荷守恒有式中q為連接前兩球的總帶電量，。用導線連接后兩球等勢即聯(lián)立、解得(2) 由于兩球相距很遠，它們的相互影響可以忽略，可以看成孤立、均勻帶電的導體球，因此它們的電勢為注意：該題中的兩球體是導體球，它們帶的電只能分布在外外表；而且兩者相距很遠，都可以看作是外表均勻帶電，因此，應該按均勻帶電球面來計算它們的電勢。習題824 兩個電容器的電容之比為C1C2=12。把它們串聯(lián)后接到電

18、壓一定的電源上充電，它們的電能之比是多少如果是并聯(lián)充電，電能之比是多少在上述兩種情況下電容器系統(tǒng)的總電能之比是多少解：(1) 兩個電容器串聯(lián)它們的帶電量相等，根據(jù)公式可知它們的電能與電容量成反比，因此有(2) 兩個電容器并聯(lián)它們的電壓相等，根據(jù)公式可知它們的電能與電容量成正比，因此有(3) 在以上兩種情況下電容器系統(tǒng)的電容分別為 ； 由于電源電壓一定，因此兩種情況下電容器系統(tǒng)的總電能應與它們的電容成正比，所以有習題825 一圓柱形電容器，外柱的直徑為4cm，內(nèi)柱的直徑可以適中選擇，假設(shè)其間充滿各向同性的介質(zhì)，該介質(zhì)的擊穿電場強度大小為E0=200kV/cm，試求該電容器可能承受的最高電壓。解：

19、設(shè)該電容器的內(nèi)、外柱半徑分別為a和b，、外柱帶電分別為和，則內(nèi)、外柱間的場分布為 (arb)該場強的最大值也是擊穿場強E0，可令上式中的r =a，即兩極間的電勢差()根據(jù)最值條件，可令，代入()式即可得到該電容器可能承受的最高電壓b a O 習題826圖 習題826 圖示為一球形電容器，在外球殼的半徑b及內(nèi)外導體間的電勢差U維持恒定的條件下，內(nèi)球半徑a為多大時才能使內(nèi)球表附近的電場強度最小 并求這個最小電場強度的大小。解：內(nèi)外導體間的電勢差滿足下面關(guān)系內(nèi)球外表附近的電場強度可表示為把代入得把對a求導數(shù)并令其等于零解得所以，當a=b/2時，內(nèi)球表附近的電場強度最??；這個最小電場強度的大小為R1

20、R2 習題827圖 習題827 圖示為兩個同軸帶電長直金屬圓筒，、外筒半徑分別為R1和R2，兩筒間為空氣，、外筒電勢分別為U1=2U0，U2=U0，U0為一常量。求兩金屬筒之間的電勢分布。解：兩金屬筒之間的電勢差為所以設(shè)距軸線為r(R1rR2)處的電勢為U(r)，則該處與外筒之間的電勢差為因此，這就是兩金屬筒之間的電勢分布。該步也可以有如下等價作法：因內(nèi)筒與r處的電勢差為所以，習題828 一電容為C的空氣平行板電容器，接上端電壓U為定值的電源充電。在電源保持連接的情況下，試求把兩個極板間距增大至n倍時外力所作的功。分析：由于電源保持連接，所以在把兩個極板間距拉大的過程中，外力與電源共同對系統(tǒng)作

21、功，拉大的過程所滿足的功能關(guān)系應為我們只要算出系數(shù)能量的增量和電源作的功就能求得外力的功。解：因為保持與電源連接，因而兩極間的電勢差U不變。由于在極板間距拉大的過程中，電容器的電容從變到所以電容器能量的增量為在極板間距拉大的過程中，電容器上帶電從Q變到，電源所作的功為由功能關(guān)系可得外力所作的功為可見，在極板間距拉大的過程中外力作正功。注意：對電容器來說，保持與電源連接，其兩極電壓U不變，可用公式來進展計算或討論其能量；假設(shè)充電后斷開電源，則極板帶電量Q不變，這時可用公式來進展計算或討論其能量。計算作功要搞清系統(tǒng)和外界，對此題“外界有兩家：外力和電源；對如2000.1習題集15112題就與此題不

22、同，可參見以下的本章補充習題答案。靜電場中的導體和電介質(zhì)一章補充習題答案習題15112(2000.1習題集) 一平行板電容器的極板面積為S=1m2，兩極板夾著一塊d=5mm厚的同樣面積的玻璃板。玻璃的相對介電常數(shù)=5。電容器充電到電壓U=12V以后切斷電源，求把玻璃板從電容器中抽出來外力需作多少功。分析：電源已切斷，只有外力作功，功能關(guān)系為：。解：切斷電源前后極板上電荷不變，該電荷為切斷電源前的電荷：式中C為未抽出玻璃板時電容器的電容值。當抽出玻璃板后，電容器的電容值變?yōu)楦鶕?jù)功能關(guān)系，可得抽出玻璃板過程中外力所作的功為習題1589 在帶電量為+Q的金屬球產(chǎn)生的電場中，為測量*點的場強，在該點引入一帶電量為+Q/3的點電荷。假設(shè)測得其受力為，則該點場強大小為(A) 。 (B) 。 (C) 。 (D) 無法判斷。說明：因為引入的測場強的試驗電荷的帶電量太大了，以至于其場影響了