2013專轉(zhuǎn)本高數(shù)定積分復(fù)習(xí)資料同方

1、第四章 定積分本章主要知識點定積分計算特殊類函數(shù)的定積分計算變限積分定積分有關(guān)的證明題廣義積分斂散性定積分應(yīng)用（1）面積（2）旋轉(zhuǎn)體體積一、定積分計算定積分計算主要依據(jù)牛頓萊伯尼茲公式：設(shè)，則。其主要計算方法與不定積分的計算方法是類似的，也有三個主要方法，但需要指出的是對于第類直接交換法，注意積分限的變化：。例4.1解：原式=例4.2解：原式=例4.3 解：原式=二、特殊類函數(shù)的定積分計算1含絕對值函數(shù)利用函數(shù)的可拆分性質(zhì)，插入使絕對值為0的點，去掉絕對值，直接積分即可。例4.4解：原式=例4.5解：原式= = =102分段函數(shù)積分例4.6，求解：原式=例4.7，求解：原式 3奇函數(shù)積分 如果

2、 為定義在的奇函數(shù)，則，這是一個很重要考點。例4.8例4.9解：原式例4.10解：原式例4.11為-a,a上的連續(xù)函數(shù)，計算解：為奇函數(shù)，原式04關(guān)于三角函數(shù)積分 對積分成立：；這個結(jié)論應(yīng)牢記，對于某些三角函數(shù)積分可以做到快捷。例4.12解：原式例4.13解：原式.5一些特殊的含有特定技巧的積分例4.14.解：令，原式I，則I。例4.15解：令 原式I ，解得I。例4.16解：令，原式I，I三、變限積分變上限積分是函數(shù)的另一種重要形式。求導(dǎo)公式（其中）是一個非常重要的公式，它提供了利用導(dǎo)數(shù)來研究它的工具更一般的結(jié)論是：例4.17解：原式例4.18解：原式例4.19已知，研究的單調(diào)性，凹凸性解：

3、由得拐點拐點拐點例4.20若，其中是已知一階可導(dǎo)函數(shù)，求，解： ，例4.21. 已知函數(shù)連續(xù)。且。設(shè)，求，并討論的連續(xù)性。解：當時，； 當時，由，故，當，, ,所以，點點連續(xù)。四、有關(guān)定積分的證明題有關(guān)定積分的證明題，主要的方法有：（1）線性交換，如 （2）變上限求導(dǎo)公式 （3）恒等變形 。例4.22如果為上的奇函數(shù)，證明。證明： 例4.23證明： ，其中為已知可積函數(shù)。證明：左邊例4.24已知是以為周期的連續(xù)函數(shù)，那么對任何實數(shù)成立證明：由于所以例4.25證明：，為任一非零可積函數(shù)。證明：，所以。例4.26證明：證明：當時，成立，所以，所以，成立例4.27證明：證明：兩邊同時取，所以原命題成

4、立。五、廣義積分的斂散性定義：存在有限基本結(jié)論： （其中）復(fù)習(xí)時應(yīng)著重掌握通過直接計算來研究廣義積分的斂散性。例4.28研究的斂散性解： 所以，是收斂的。例4.29求解：左邊， 。例4.30當為何值時，廣義積分收斂？當為何值時，這個廣義積分發(fā)散？又當為何值時，廣義積分取得最小值？解：當時，有當，發(fā)散，即，當時，廣義積分收斂；時，廣義積分發(fā)散。設(shè)，則 令，得駐點：。但當時，；當時，；從而，當時，廣義積分取極小值，也就是最小值。注：類似可研究無界函數(shù)積分，即瑕積分。假設(shè)為的瑕點，存在有限。例5.26解：原式，所以原式發(fā)散。例4.27解：原式 六、定積分應(yīng)用1面積圖示4.1如圖所示。求面積首要問題是

5、畫出草圖，圖形的上下位置，交點一定要做得準確。通常曲線，例直線、拋物線、雙曲線、指數(shù)、對數(shù)、的圖像要畫得熟練、準確。例4.28與直線所圍圖形面積。解：由，解得。圖示4.2e例4.29軸所圍圖形面積。解：圖示4.3例4.30所圍圖形面積。解：y圖示4.4=例4.31求由過拋物線y=上點的切線與拋物線本身及軸所圍圖形的面積。解：切線的方程：，圖示4.5=。例4.32過作拋物線兩切線，求兩切線與拋物線本身所圍圖形的面積.。解；設(shè)切點為，切線方程為， 又切點位于其上，切線方程為； 圖示4.62旋轉(zhuǎn)體體積繞軸旋轉(zhuǎn)所得圖形的體積（圖4.7）圖示4.7繞軸旋轉(zhuǎn)所得圖形的體積（圖4.7）繞軸旋轉(zhuǎn)所得圖形的體積

6、（圖4.8）繞軸旋轉(zhuǎn)所得圖形的體積（圖4.8）圖示4.8例4.33與所圍部分， （1）繞軸旋轉(zhuǎn)所得圖形的體積； （2）繞軸旋轉(zhuǎn)所得圖形的體積。解：圖示4.9例4.34拋物線拋物線上哪一點處切線平行于軸？寫出切線方程？求由拋物線與其水平切線及軸所圍平面圖形的面積。求該平面圖繞軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)體的體積。解：（1），得切點為，切線方程為（2）4（3）圖示4.10例4.35計算由和軸所圍成的平面圖形繞軸，軸分別旋轉(zhuǎn)而得到的旋轉(zhuǎn)體的體積。解：（1）（2）3應(yīng)用綜合例4.36由直線及拋物線圍成一個曲邊三角形，在曲邊上求一點，使曲線在該點處的切線與直線的圍成的三角形面積最大。解：如圖，設(shè)所求切點為P（）切線

7、PT交軸于A,交直線于，切線PT的方程為又P點在上，因此，令得，A點坐標為A(,令得，B點的坐標為（8，16），于是三角形ABC的面積為令,得：,因為，所以 為最小值，故為所有三角形中面積之最小值。圖示4.11 單元練習(xí)41設(shè)，則。2。3。4。5。6設(shè)為區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，則曲線與直線所圍成的封閉的圖形的面積為（）（A） (B) (C) (D)不能確定7下列命題正確的有（ ）（A） （B） (C) (D)8（）(A) (B) (C) (D).9下列關(guān)系中正確的有（）(A) (B) (C) (D) 以上都不正確10在滿足條件（ ）時收斂（A） (B) (C) (D)11求下列極限 12計算（1）

8、（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10） ，求 EMBED Equation.3 （11），表示對取整（12）（13）（14） （15）（16） （17）（18） （19）（20）（為常數(shù)） （21）（22）（23），求（24）13設(shè)其中為連續(xù)函數(shù)，試討論函數(shù)在處的連續(xù)性與可導(dǎo)性。14求的極值與拐點。15設(shè)是連續(xù)的偶函數(shù)，且。設(shè)，（1）證明是單調(diào)遞增函數(shù)。（2）當為何值時,取最小值。16求在上的最大值。17已知拋物線,求（1）拋物線在點處的法線方程。（2）拋物線的部分及其在處的法線和軸所圍成圖形繞軸旋轉(zhuǎn)所成旋轉(zhuǎn)體的體積。18將拋物線的橫坐標與之間弧段與直線 (為點,垂直于橫軸，

9、在拋物線上)及軸所圍成圖形繞軸旋轉(zhuǎn)，問為何值時，旋轉(zhuǎn)體體積等于以三角形繞軸旋轉(zhuǎn)所成的錐體的面積。19求，所圍面積。20所圍圖形面積。21設(shè)有曲線過原點作其切線，求由此曲線、切線及軸圍成的平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)體的體積。22若的力能使彈簧伸長，現(xiàn)要使彈簧伸長,問需要多大的功？23設(shè)一半球形水池直徑為，水面離開地面深，現(xiàn)將水池內(nèi)的水抽盡，至少要作多少功？歷年真考題1.（2001） 定積分（ ）A. 0 B. 2 C. 1 D. 12. （2001）設(shè)為連續(xù)函數(shù)，則 。3. （2001）,求常數(shù)。4. （2001）計算5. （2001）過作拋物線的切線，求（1）切線方程；（2）由拋物線、切

10、線、以及軸所圍平面圖形的面積；（3）該平面分別繞軸、軸旋轉(zhuǎn)一周的體積。6. （2002），則的范圍是（ ）A. B. C. D. 7. （2002） 若廣義積分收斂，則應(yīng)滿足（ ）A. B. C. D. 8. （2002） 。9.（2002）設(shè)，求。10.（2002）求極限11.（2002）從原點作拋物線的兩條切線，由這兩條切線與拋物線所圍成的圖形記為S。求（1）S的面積；（2）圖形S繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得的立體體積。12（2003） 。13.（2003） 14.（2003）拋物線（1）拋物線上哪一點處切線平行于軸？寫出切線方程。（2）求拋物線與水平切線及軸所圍平面圖形的面積。（3）求該平面圖形繞軸

11、旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)體的體積。15.（2004）設(shè)圓周所圍成的面積為S,則的值為（） A. S B. C. D. 2S16.（2004）求極限17.（2004）計算廣義積分18.（2004）證明：，并利用此等式求19.（2005）20.（2005）計算21.（2005）已知曲邊三角形由拋物線及直線所圍成，求 （1）曲邊三角形的面積； （2）該曲邊三角形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周，所形成的旋轉(zhuǎn)體體積。本章測試題1 ，則。2. 。3下列廣義積分收斂的是（ ） A B C D4收斂，則有（ ） A B C D5。 則（ ） A-2 B-1 C 1 D 26. ，且是不等于的常數(shù)，求證：。7. ，求8. 9. 10.

12、求在上的最大值和最小值。11. 12. 設(shè)，求13. ，求14. 設(shè)曲線（1）求過曲線上點的切線方程，（2）求此切線與曲線及直線所圍成的平面圖形面積。15. 曲線與直線圍成一個平面圖形（1）求此圖形繞軸所成的旋轉(zhuǎn)體的體積。（2）求此圖形繞軸所成的旋轉(zhuǎn)體的體積。16. 求曲線和它的右極值點處的切線所圍區(qū)域面積17. 設(shè)在上連續(xù)，且。證明：在內(nèi)只有一個零點。18. 證明： 19. 設(shè)連續(xù)函數(shù)在上單調(diào)增加，又，試證：在內(nèi)非負。20在曲線上點處作切線,（1）求由曲線切線、曲線本身及軸所圍的面積。（2）求上述所圍圖形繞軸旋轉(zhuǎn)所得體積。21. ，討論在處連續(xù)性和可導(dǎo)性。22 設(shè)在上可導(dǎo)，且,證明在內(nèi)至少存

13、在一個，使。單元練習(xí)題4答案1、 2、03、4、15、6、B7、C8、D 9、B10、C11、解：(1)原式=(2)=1（3）=（4）12、解：（1）原式（2）原式=（3）原式= =（4）原式=記， =所以，所以，原式=（5）原式（6）原式= =（7）原式（8）原式（9）原式（10）原式（11）原式（12）原式（13）原式（14）原式令原式（15）原式（16）原式 （17）原式 （18）原式（19）原式（20）當時，原式 當時，原式當時，原式=。(21) 原式(22) 原式 (23) 原式=(24) 原式=13、解：在處可導(dǎo)，且。14、解：由，得：極小值拐點拐點極小值15、解 （1） 故單調(diào)遞減函數(shù)（2），由偶函數(shù)性質(zhì)知，又由的嚴格單調(diào)性知，為唯一解，知其為最小值，16、解：，所以在上的最大值為=17、解：（1）法線方程為，即（）圖示4.1218解：圖示4.13得到：19解：圖示4.14=20解：=圖示4.1521解：設(shè)切點為，切線斜率，切線方程為：，2切點在切線上，故，切線方程為： 圖示4.16 =22解：彈簧伸長,需力大小為， W=焦耳 圖示4.1723建立如圖坐標系 (焦耳)本章測試答案1. 2. ,34.5.6設(shè)，則=，兩邊在上作定積分得到A=，7 8原式=9原式= =10，當時， 11原式= =12原式=13令，則原式=，即，即14解：（1），切線方程為（2），故 15