第05講 充分條件、必要條件、充要條件（教師版）

1、第05講 充分條件、必要條件、充要條件野【學(xué)習(xí)目標】.通過對典型數(shù)學(xué)命題的梳理，理解必要條件的意義，理解性質(zhì)定理與必要條件的關(guān)系.通過對典型數(shù)學(xué)命題的梳理，理解充分條件的意義，理解判定定理與充分條件的關(guān)系.通過對典型數(shù)學(xué)命題的梳理，理解充要條件的意義，理解數(shù)學(xué)定義與充要條件的關(guān)系.【基礎(chǔ)知識】知識點一充分條件、必要條件1 .在“如果p,那么爐形式的命題中，P稱為命題的條件，夕稱為命題的結(jié)論，假設(shè)“如果p,那么d是一個真 命題，那么稱由能推出q,記作 =4，讀作“p推出，；否那么，稱為由p推不出G記作尸為，讀作“p推不出2當(dāng)p n q時我們稱p是q的充分條件，q是p的必要條件.知識點二充要條件一

2、般地，如果p=q, q右p ,那么稱是q的充分不必要條件；如果十夕且q=p,那么稱是夕的必要 不充分條件；如果且4 0 那么稱是4的充分必要條件（簡稱充要條件），記作poq,也讀 作“P與q等價”，“p當(dāng)且僅當(dāng)q”.知識點三 充分條件、必要條件和充要條件與數(shù)學(xué)判定定理、性質(zhì)定理及數(shù)學(xué)定義的關(guān)系.判定定理實際上給出了一個充分條件.性質(zhì)定理實際上給出了一個必要條件.一個數(shù)學(xué)對象的定義實際上給出了這個對象的充要條件.判定定理和性質(zhì)定理與充分條件、必要條件的關(guān)系數(shù)學(xué)中的每一條判定定理都給出了相應(yīng)數(shù)學(xué)結(jié)論成立的一個充分條件.數(shù)學(xué)中的每一條性質(zhì)定理都給出了相應(yīng)數(shù)學(xué)結(jié)論成立的一個必要條件.【考點剖析】考點一

3、：充分條件、必要條件的判斷例L 1”是“工的（【分析】 轉(zhuǎn)化是的充分不必要條件為x|x aCxxh,分析即得解【詳解】 由題意，是的充分不必要條件 故x% axxb應(yīng)選：B那么加的取值范圍是（）4.條件g:2x- l0,假設(shè)是4的充分不必要條件,A.A.(1-,4-00(2B.1 ,+00 2C.00 2JD.(100 I 2【答案】A【答案】A【解析】【分析】解不等式2x- 10,解不等式2x- 10,根據(jù)條件可得出集合間的包含關(guān)系,由此可得出實數(shù)2的取值范圍.【詳解】解不等式2x- 10,因為是q的充分不必要條件，那么小 同因為是q的充分不必要條件，那么小 同共，故應(yīng)選：A.應(yīng)選：A.5.

4、設(shè) P： x3, q： -1%3 ,那么是 q成立的A.充分非必要條件A.充分非必要條件B.必要非充分條件C.充要條件D.既非充分也非必要條件【答案】B【解析】【分析】 由條件推結(jié)論可判斷充分性，由結(jié)論推條件可判斷必要性.【詳解】 由x3不能推出-1 vxv3 ,例如x = -2,但-lvxv3 必有 x3,所以人xv3是/-lvxv3的必要不充分條件.應(yīng)選：B.6.集合4 = 劃11,或x2, B = x2ax + 3,那么 3；當(dāng)5W0時，根據(jù)題意作出如下圖的數(shù)軸，由圖可知+3 -1 2T 2 2a。+3 x。+ 3 2。，解得-4或 1vq?3,綜上可得，實數(shù)1的取值范圍為（YT）U（l

5、,y）.7.條件 ：2左-1WxW2, 安-5Wx3, 是9的充分條件，那么實數(shù)Z的取值范圍是【答案】-2,+8）【解析】【分析】設(shè)4 =何2B = x|-5x3,那么A =再對A分兩種情況討論得解.【詳解】記A = x|2U2, B = x-5x2,即攵5，符合題意；3一3當(dāng) 時，k 幺一，由 A = 8可得2k 1 2 5 ,所以 Z2 2，即2 W k W .綜上所述，實數(shù)的攵的取值范圍是-2,+8).故答案為：-2,+8).8.從“充分而不必要條件”“必要而不充分條件”“充要條件”與“既不充分又不必要條件”中選出適當(dāng)?shù)囊环N填 空：ABC 中，ZC = 90 AB2 = AC2 + BC

6、2;x0是xNl的；(3)1=2是2=4的；0vxv2是lx0不一定能推出之1,比方x =由xNl能推出x0,所以%0是的必要而不充分條件；空3：由x = 2推出d=4,由f =4不一定能推出x = 2,比方x = 2,所以x = 2是=4的充分而不必要條件；空4：由。vxv2不一定能推出1cx3 ,比方 =由lx3不一定能推出0vxv2,比方x = 2.1,所以0vxv2是lx3的既不充分又不必要條件.故答案為：充要條件；必要而不充分條件；充分而不必要條件；既不充分又不必要條件.假設(shè)“Tvxvl是-lx-加1的充要條件，那么實數(shù)根的取值是.【答案】0【解析】【分析】根據(jù)充要條件的定義即可求解

7、.【詳解】-1 x-mm-lx 771+1,那么x|lvxvl = x m-l x2 = 0.m + 1 = 1故答案為：0.p、4都是廠的必要條件，s是一的充分條件，9是S的充分條件，那么S是q的 條件，p是夕的條件.【答案】充要#充分必要 必要【解析】【分析】由中P、4都是廠的必要條件，S是一的充分條件，9是S的充分條件.我們根據(jù)充要條件的傳遞性可得 /心 s三個條件等價，進而可得答案.【詳解】,:P，4都是廠的必要條件，S是一的充分條件，9是S的充分條件.q=s=r=q, q=s； mq=s=r, r0q； s=，=p.:.q, r, s互為充要條件，那么s是夕的充要條件，是9的必要條件

8、故答案為：充要，必要.11,已矢口集合 A = %卜2W6, B = 1xl-mx01.(1)假設(shè)=求實數(shù)2的取值范圍；假設(shè)是的充分條件，求加的取值范圍.【答案】(1)(0,3(2) 5, +00)【解析】【分析】(1)根據(jù)= 由5Q4求解；(2)根據(jù)xwA是的充分條件，由AQB求解.解：因為A = H_2W6, B = x解：因為A = H_2W6, B = xl-mA：0,且 AQ所以3U4那么1 相22, 1 + m 6角軍得0 0那么 1 - m 6解得N5,所以團的取值范圍是叵+8).12.P”-20M：0 4。其中。1.假設(shè)是q的充分不必要條件，求實數(shù)。的取值范圍；假設(shè)是的必要不充

9、分條件，求實數(shù)，的取值范圍.【答案】(1)(2,+8)。2)【解析】【分析】a 0,(1)由題意可得A曝&所以4 。從而可求出實數(shù)。的取值范圍， -0和。29 命題 q： B-xcix -40,因為P是的充分不必要條件，所以A曝3,.40,即2-29 q： B=xax _40,因為是的必要不充分條件，所以傳A,當(dāng)昕0時，B=0,滿足題意；4當(dāng)0時，由854,得一2,即0。2；. a當(dāng)。0時，顯然不滿足題意.綜合得，實數(shù)。的取值范圍為。，2)13.集合4 = 才2 a Wx2 + a , B = x|x0,且“九A”是工人灰，的充分不必要條件,求實數(shù)。的取值范圍.【答案】An3 = %| -1V

10、X1 或4xW5(。,1)【解析】【分析】(1)借助數(shù)軸即可確定集合A與集合8的交集(2)由于SrB,根據(jù)集合之間的包含關(guān)系即可求解當(dāng) =3時，集合A = x|2 =x|-lx5,B = xx4,= -或40,且是充分不必要條件，A = x|2 - a x 0), dRB = 1x|l x v 42 Q1因為 A 5rB ,那么 2 + a 0解得Ovavl.故。的取值范圍是：（Q1）14.求方程6a2+2x+l = 0（w0）至少有一個負根的充要條件.【答案】且QWO【解析】【分析】利用充要條件的定義以及根與系數(shù)的關(guān)系即可求解.【詳解】必要性：設(shè)/，巧為方程辦2+2工+ 1 = 0的兩根.

11、Q W 0 , ,a方程至少有一個負根應(yīng)滿足：當(dāng)正負根各有一個時，貝即,0,解得QVO. a 二 4一4。20,2 當(dāng)有兩個負根時，那么百+=-一， 、 a解得充分性：當(dāng)且QW0,A = 4-467 02當(dāng)0。（1時，-一0A = 4-402當(dāng)0時，0,此時方程正負根各有一個，a綜上所述，方程至少有一個負根的充要條件是且B.必要非充分條件D.非充分非必要條件A.充分非必要條件C.充要條件【答案】A【解析】【分析】易知充分性成立，取特殊值檢驗知必要性不成立，即可求解.【詳解】當(dāng)41時，,I成立，即充分性成立， a當(dāng) =-1時，滿足1 ,但。1不成立，即必要性不成立， a那么“a 1 是/ 1 ”

12、的充分不必要條件. a應(yīng)選：A.考點二：根據(jù)充分條件求參數(shù)的范圍在1例2.集合4 = %卜1%1, B = x-ax-ba.假設(shè)“a = l”是“Ac3w0”的充分條件，那么實數(shù)b的取值范圍是（）A.抄卜20B. /?|0/?2C. b-2b2D. b-2b2【答案】C【解析】【分析】先化簡集合3,解不等式-1。-1V1或-即得解.【詳解】解：A = x -1 x 1 , B = x ax ba = x b axb + ci 9因為 = 1”是的充分條件，即當(dāng)Q = 1時成立，所以一Ivl 或-即一2/?2.應(yīng)選：C.考點三：根據(jù)必要條件求參數(shù)的范圍例3.p：根-1 vx/n+l , q： 2

13、x 2首先根據(jù)題意得到 ,二，再解不等式組即可.m + 1 2因為4是夕的必要條件，所以機+ i6，解得34根5,所以實數(shù)2的取值范圍為3,5.應(yīng)選：B考點四：根據(jù)充要條件求參數(shù)的范圍江例4.方程依2+2%+1 = 0至少有一個負實根的充要條件是()A. 06;1B. aC. a D.Oal 或 qvO【答案】C【解析】【分析】按。=0和QW0討論方程ax2+2x+i = o有負實根的等價條件即可作答.【詳解】當(dāng)。=0時，方程為2x+l =。有一個負實根x = J,反之，x =時，那么。=0,于是得4 = 0；當(dāng)qwO時，A = 4 4q,假設(shè)(),方程有兩個不等實根，用入2=,。，即不與巧一

14、正一負， a反之，方程有一正一負的兩根時，那么這兩根之積，小于0, ”0,于是得 aX + 工2 =0,由A20,即01知，方程有兩個實根公電，必有 2都是負數(shù)，xx2 = 0反之，方程依2+2x + l=0兩根不工2都為負,反之，方程依2+2x + l=0兩根不工2都為負,A = 4 4202 %1 + x 0a解得0Q4l,于是得0。41,綜上，當(dāng)qKI時，方程以2+2+1 = 0至少有一個負實根，反之，方程辦2+2x + i = o至少有一個負實根，必有所以方程加+2x + l = 0至少有一個負實根的充要條件是應(yīng)選：C考點五：充要條件的證明江例5.證明：“0”是“關(guān)于1的方程2_2%

15、+加=0有一正一負根”的充要條件.【答案】證明見解析【解析】【分析】根據(jù)充要條件的定義，分別證明充分性和必要性即可求證.【詳解】充分性：假設(shè) 20,那么關(guān)于X的方程V2x+2 = 0有一正一負根，證明如下：當(dāng)2 0 ,所以方程九之一m=0有兩個不相等的實根，設(shè)兩根分別為毛，巧，那么玉%2=根。，所以方程/一2元+機=。有一正一負根，故充分性成立，必要性：假設(shè)“關(guān)于1的方程/一21+機=0有一正一負根”，那么2 0設(shè)方程_2x + 2 = 0一正一負根分別為毛，巧，那么 ,，XjX2 = m 0所以機0,所以假設(shè)“關(guān)于X的方程2x +加=0有一正一負根“，那么相0,故必要性成立，所以“0”是“關(guān)

16、于x的方程2尤+機=0有一正一負根”的充要條件.【真題演練】.aR,假設(shè)集合M = N = l,0,l,那么“a = 0”是“MqN”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義即可求解.【詳解】當(dāng)4 =。時，集合M=l,0, N = T0,l,可得MqN,滿足充分性，假設(shè)MjN ,那么。=0或Q = -1,不滿足必要性，所以=0”是= N”的充分不必要條件，應(yīng)選：A.設(shè)集合M =1,2, N = a29 那么“ = 1是“NqM”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件.C.充分必要條件D.既不充分又不

17、必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)充分條件與必要條件的定義判斷即可.【詳解】 解：當(dāng)。=-1時，N = 1,滿足Nq,故充分性成立; 當(dāng)N = M時，7 = 1或% = 2,所以。不一定滿足。=-1,故必要性不成立.應(yīng)選：A.【點睛】此題考查充分必要條件的判斷，是基礎(chǔ)題.設(shè)xeR,那么“2 是“卜1|0,即x2,x-1，即-lx-11, 0 x2,因為集合0,2是集合（F, 2的真子集，所以“2-X2（r是小-1區(qū)1”的必要不充分條件.應(yīng)選：B.【點睛】此題考查充分條件以及必要條件的判定，給出命題“假設(shè)A那么3”,如果A可證明3,那么說明A是3的充分條件, 如果3可證明A ,那么說明A是3

18、的必要條件，考查推理能力與計算能力，是簡單題.錢大姐常說“廉價沒好貨、她這句話的意思是：“不廉價”是“好貨的A.充分條件B.必要條件C,充分必要條件 D.既非充分也非必要條件【答案】B【解析】【詳解】根據(jù)等價命題，廉價D沒好貨，等價于，好貨D不廉價，應(yīng)選B.【考點定位】考查充分必要性的判斷以及邏輯思維能力，屬中檔題.“m二”是“一元二次方程x2+x + m = 0”有實數(shù)解的A.充分非必要條件A.充分非必要條件B.充分必要條件C.必要非充分條件C.必要非充分條件D.非充分必要條件【答案】A【解析】【詳解】試題分析：方程f+X +小=0有解，那么A = l-4加=加，是根工!的充分不必要條件.故

19、A正444確.考點：充分必要條件.假設(shè)集合P = l,2,3,4,Q = x0 x5,xwHRiJa.是“九的充分條件但不是必要條件B. “xeR”是。夕的必要條件但不是充分條件C.是。夕的充要條件D.既不是的充分條件也不是的必要條件【答案】A【解析】【詳解】試題分析：顯然PGQ,但Q1是卜|1的A.充分不必要條件B.必要不充分條件C充分必要條件D.既不充分又不必要條件【答案】A【解析】【詳解】試題分析：假設(shè)xl,那么1幻1；但當(dāng)1回1時，X1或XV-1,所以是“|不|1的充分不必要條件，選A.假設(shè)非空集合A、B、。滿足且3不是A的子集，那么A.，是匕4的充分條件但不是必要條件B.是匕EA”的必要條件但不是充分條件是的充分條件uxG 既不是A”的充分條件也不是“xA”必要條件【答案】B【解析】【詳解】因為人口8 = （2且8不是A的子集，所以A是C的真子集，所以xA那么x一定屬于C,但xC不一定屬 于A所以“xC”是“x A”的必要不充分條件.設(shè)機是整數(shù)，那么“八均為偶數(shù)”是“加+是偶數(shù)”的A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【詳解】均為偶數(shù)=相+是偶數(shù)，那么充分；機+及是偶數(shù)那么僅均為偶數(shù)或者僅均為奇數(shù)即是偶數(shù)w機均為偶數(shù)，那么不必要，應(yīng)選A.設(shè)N+, 一元二次方程以+ = 0有整數(shù)根的充