北京市西城區(qū)2017屆高考一模考試數(shù)學(xué)試題(理) 有答案

1、北京市西城區(qū)高三統(tǒng)一測試數(shù)學(xué)（理科）2017.4第卷（選擇題共40分）一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)1已知全集UR，集合Ax|x2，Bx|x0，那么AUB（A）x|0 x2（C）x|x0（B）x|0 x2（D）x|x22在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)i1i的對(duì)應(yīng)點(diǎn)位于2（B）2（D）25在ABC中，點(diǎn)D滿足BC3BD，則（A）第一象限（C）第三象限3函數(shù)f(x)sin2xcos2x的最小正周期是（A）4函數(shù)f(x)2xlog|x|的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2（A）0（B）1（B）第二象限（D）第四象限（C）3（C）2（D）3（A）AD33（B）AD12AB

2、AC12ABAC33（C）ADABAC（D）ADABAC213321336在正方形網(wǎng)格中，某四面體的三視圖如圖所示如果小正方形網(wǎng)格的邊長為1，那么該四面體最長棱的棱長為（A）25（B）42（C）6（D）437數(shù)列a的通項(xiàng)公式為a|nc|(nN*)則“c1”是“a為遞增數(shù)列”的nnn（A）充分而不必要條件（B）必要而不充分條件（C）充要條件（D）既不充分也不必要條件12曲線（為參數(shù)）與直線xy10相交于A,B兩點(diǎn)，y1sin8將五個(gè)1，五個(gè)2，五個(gè)3，五個(gè)4，五個(gè)5共25個(gè)數(shù)填入一個(gè)5行5列的表格內(nèi)（每格填入一個(gè)數(shù)），使得同一行中任何兩數(shù)之差的絕對(duì)值不超過2考察每行中五個(gè)數(shù)之和，記這五個(gè)和的最小

3、值為m，則m的最大值為（A）8（B）9（C）10（D）11第卷（非選擇題共110分）二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分9在(12x)5的展開式中，x2的系數(shù)為_（用數(shù)字作答）10設(shè)等比數(shù)列a的前n項(xiàng)和為S若a3，S9，則a_；S_nn12nn11執(zhí)行如右圖所示的程序框圖，輸出的S值為_xcos,則|AB|_13實(shí)數(shù)a,b滿足0a2，b1若ba2，則ba的取值范圍是_平面區(qū)域W由所有滿足AP5的點(diǎn)P組成，則W的面積是_；四面體PABC的14如圖，正方體ABCDABCD的棱長為2，點(diǎn)P在正方形ABCD的邊界及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng)111111體積的最大值是_三、解答題：本大題共6小題，共80分解

4、答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟15（本小題滿分13分）在ABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c，且atanC2csinA（）求角C的大??；（）求sinAsinB的取值范圍16（本小題滿分14分）如圖，在正四棱錐PABCD中，PAAB，E，F(xiàn)分別為PB，PD的中點(diǎn)（）求證：AC平面PBD；（）求異面直線PC與AE所成角的余弦值；（）若平面AEF與棱PC交于點(diǎn)M，求17（本小題滿分13分）PMPC的值NN在測試中，客觀題難度的計(jì)算公式為PiRRi，其中P為第i題的難度，為答對(duì)該題的人數(shù)，為參加測試的總?cè)薸i數(shù)5現(xiàn)對(duì)某校高三年級(jí)240名學(xué)生進(jìn)行一次測試，共道客觀題測試前根據(jù)對(duì)學(xué)生的

5、了解，預(yù)估了每道題的難度，如下表所示：題號(hào)P考前預(yù)估難度i10.920.830.740.650.420測試后，隨機(jī)抽取了名學(xué)生的答題數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，結(jié)果如下：題號(hào)實(shí)測答對(duì)人數(shù)1162163144145425（）根據(jù)題中數(shù)據(jù)，估計(jì)這240名學(xué)生中第題的實(shí)測答對(duì)人數(shù)；225X（）從抽樣的20名學(xué)生中隨機(jī)抽取名學(xué)生，記這名學(xué)生中第題答對(duì)的人數(shù)為，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；P（）試題的預(yù)估難度和實(shí)測難度之間會(huì)有偏差設(shè)P為第i題的實(shí)測難度，請(qǐng)用和P設(shè)計(jì)一個(gè)統(tǒng)計(jì)量，并制iii定一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)來判斷本次測試對(duì)難度的預(yù)估是否合理18（本小題滿分13分）1已知函數(shù)f(x)exx2設(shè)l為曲線yf(x)在點(diǎn)P(x,f(x)處

6、的切線，其中x1,1000（）求直線l的方程（用x表示）；0（）設(shè)O為原點(diǎn)，直線x1分別與直線l和x軸交于A,B兩點(diǎn)eqoac(,)求AOB的面積的最小值19（本小題滿分14分）如圖，已知橢圓C:x2y211(ab0)的離心率為，F(xiàn)為橢圓C的右焦點(diǎn)A(a,0)，|AF|3a2b22（）求橢圓C的方程；（）設(shè)O為原點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)，AP的中點(diǎn)為M直線OM與直線x4交于點(diǎn)D，過O且平行于AP的直線與直線x4交于點(diǎn)E求證：ODFOEF20（本小題滿分13分）如圖，將數(shù)字1,2,3,2n(n3)全部填入一個(gè)2行n列的表格中，每格填一個(gè)數(shù)字第一行填入的數(shù)字依次為記S|ab|ab|ab|a,a,a，第二

7、行填入的數(shù)字依次為b,b,12n12nnii1122i1,bn|ab|nn（）當(dāng)n3時(shí)，若a1，a3，a5，寫出S的所有可1233能的取值；12213,214；（）給定正整數(shù)n試給出a,a,a的一組取值，使得無論b,b,b填寫的順序如何，S都只有一個(gè)取12n12nn值，并求出此時(shí)S的值；n（）求證：對(duì)于給定的n以及滿足條件的所有填法，S的所有取值的奇偶性相同n西城區(qū)高三統(tǒng)一測試高三數(shù)學(xué)（理科）參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)2017.4一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.1A2A3B4C5D6C7A8C二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.9401032n1；3(2n1)11614

8、243注：第10，14題第一空2分，第二空3分.三、解答題：本大題共6小題，共80分.其他正確解答過程，請(qǐng)參照評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)給分.15（本小題滿分13分）解：（）由atanC2csinA，ccosC2sinAsinCcosC2sinA2得asinC由正弦定理得sinAsinC所以cosC11分3分4分因?yàn)镃(0,)，5分33A)sinA3所以C（）sinAsinBsinAsin(2322cosA6分7分8分3sin(A)9分63，所以0A因?yàn)镃23，10分6A65所以6，11分所以12sin(A)1，2,36所以sinAsinB的取值范圍是(316（本小題滿分14分）解：（）設(shè)ACBDO，則O為底面

9、正方形ABCD中心連接PO因?yàn)镻ABCD為正四棱錐，所以PO平面ABCD1分所以POAC2分又BDAC，且POBDO，3分所以AC平面PBD4分12分13分所以AE(2,1,1)，PC(2,0,2)7分（）因?yàn)镺A，OB，OP兩兩互相垂直，如圖建立空間直角O-xyz5分因?yàn)镻BAB，所以RtPOBRtAOB所以O(shè)AOP6分設(shè)OA2所以A(2,0,0)，B(0,2,0)，C(2,0,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，E(0,1,1)，F(xiàn)(0,1,1)坐標(biāo)系所以|cosAE,PC|AEPC|AE|PC|366即異面直線PC與AE所成角的余弦值為3（）連接AM9分，其中0,1，則PMPC(2

10、,0,2)，10分設(shè)PMPC所以AMAPPM(22,0,22)設(shè)平面AEMF的法向量為n(x,y,z)，又AF(2,1,1)，所以nAF0,2xyz0.nAE0,2xyz0,即所以y0令x1，z2，所以n(1,0,2)12分因?yàn)锳M平面AEF，所以nAM0，13分即222(22)0，1PM1解得，所以14分3PC317（本小題滿分13分）4545解：（）因?yàn)?0人中答對(duì)第題的人數(shù)為人，因此第題的實(shí)測難度為0.22分2050所以，估計(jì)240人中有2400.248人實(shí)測答對(duì)第題3分（）X的可能取值是，1，24分；P(X1)4；P(X2)47分P(X0)C216C220C1C1C2123231619

11、C295C2952020X的分布列為：XP01219132952395EX0123233812199595958分10分ii（）將抽樣的20名學(xué)生中第題的實(shí)測難度，作為240名學(xué)生第題的實(shí)測難度定義統(tǒng)計(jì)量S(PP)2(PP)2n(PP)2，其中P為第i題的預(yù)估難度規(guī)定：若S0.05，11122nni由此得切線l的方程為：y(ex0 x2)(ex0 x)(xx)，20則稱本次測試的難度預(yù)估合理，否則為不合理11分1S(0.80.9)2(0.80.8)2(0.70.7)2(0.70.6)2(0.20.4)250.01212分因?yàn)镾0.0120.05，所以，該次測試的難度預(yù)估是合理的13分”和預(yù)注：

12、本題答案不唯一，學(xué)生可構(gòu)造其它統(tǒng)計(jì)量和臨界值來進(jìn)行判斷如“預(yù)估難度與實(shí)測難度差的平方和，“預(yù)估難度與實(shí)測難度差的絕對(duì)值的，“”估難度與實(shí)測難度差的絕對(duì)值的平均值”等，學(xué)生只要言之合理即可18（本小題滿分13分）解：（）對(duì)f(x)求導(dǎo)數(shù)，得f(x)exx，1分所以切線l的斜率為f(x)ex0 x，2分00100201x即y(e0 x)x(1x)ex0 x2.4分00（）依題意，切線方程中令x1，20201x得y(e0 x)(1x)ex0 x200.所以A(1,y)，B(1,0)1(2x)(ex0 x).5分0eqoac(,S)AOB所以12|OB|y|22001,1.7分設(shè)g(x)(1x)(ex

13、x)，x1,1.8分11|(2x)(ex0 x)|011|(1x)(ex0 x)|，x2020112211111x則g(x)(exx)(1x)(e)(x1)(e1).10分22222令g(x)0，得x0或x1g(x)，g(x)的變化情況如下表：x1(1,0)0(0,1)122e1g(x)g(x)3(11)011(e)22所以g(x)在(1,0)單調(diào)遞減；在(0,1)單調(diào)遞增，12分所以g(x)ming(0)1，從而AOB的面積的最小值為113分19（本小題滿分14分）解：（）設(shè)橢圓C的半焦距為c依題意，得c1a2，ac32分解得a2，c1所以b2a2c23，x2y2所以橢圓C的方程是14分43

14、（）解法一：由（）得A(2,0)設(shè)AP的中點(diǎn)M(x,y)，P(x,y)0011設(shè)直線AP的方程為：yk(x2)(k0)，將其代入橢圓方程，整理得(4k23)x216k2x16k2120，6分4k23所以2x16k217分所以x08k24k23，yk(x2)006k4k23，即M(8k26k,4k234k23)8分6k所以直線OM的斜率是4k2338k24k4k23，9分x令x4，得D(4,)10分所以直線OM的方程是y34k3k直線OE的方程是ykx令x4，得E(4,4k)11分由F(1,0)，得直線EF的斜率是4k4k413，所以EFOM，記垂足為H；因?yàn)橹本€DF的斜率是k1，所以DFOE，

15、記垂足為G341k13分在RtEHO和RtDGO中，ODF和OEF都與EOD互余，所以O(shè)DFOEF14分解法二：由（）得A(2,0)設(shè)P(x,y)(x2)，其中3x24y212011111,1)6分因?yàn)锳P的中點(diǎn)為M，所以M(x2y122OM所以直線OM的斜率是ky1，7分x21x令x4，得D(4,所以直線OM的方程是yy4y11)8分x2x211x令x4，得E(4,)9分直線OE的方程是yy4y11x2x211由F(1,0)，得直線EF的斜率是kEF4y13(x2)1，10分因?yàn)閗EFkOM4yy4y21111，3(x2)x23(x24)111所以EFOM，記垂足為H；12分同理可得kDFk

16、OE4yy4y21111，3(x2)x23(x24)111所以DFOE，記垂足為G13分在RtEHO和RtDGO中，ODF和OEF都與EOD互余，所以O(shè)DFOEF14分20（本小題滿分13分）解：（）S的所有可能的取值為3，5，7，9.3分3（）令ai(i1,2,n)，則無論b,b,b填寫的順序如何，都有Sn2i12nn5分因?yàn)閍i，i所以bn1,n2,i,2n，(i1,2,n)6分所以S|ab|(ba)baiin因?yàn)閍biiniiiiiinnnn(i1,2,n)，2nn28分i1i1i1i1in1i1注：a,a,a1,2,n，或a,a,an1,n2,2n均滿足條件12n12n（）解法一：顯然

17、，交換每一列中兩個(gè)數(shù)的位置，所得的S的值不變n不妨設(shè)ab，記Aa，Bb，其中i1,2,iiiinn,n則S|ab|(ab)abAB9分i1i1nnnnniiiiiii1i1i1i1因?yàn)锳Bi2ni12n(2n1)2n(2n1)，考慮如下表所示的任意兩種不同的填法，S|ab|，S|ab|，不妨設(shè)ab，ab，所以AB與n具有相同的奇偶性11分又因?yàn)锳B與AB具有相同的奇偶性，所以SAB與n的奇偶性相同，n所以S的所有可能取值的奇偶性相同13分n解法二：顯然，交換每一列中兩個(gè)數(shù)的位置，所得的S的值不變nnnniiniiiiiii1i1其中i1,2,n9分a1a2ana1a2anb1b2bnb1b2bnSS(ba)(ba