行程問題_環(huán)形路教師版

1、WORD.PAGE- 7 - / NUMPAGES7行程問題環(huán)形路（教師版）一、本講知識點在環(huán)行道路上的行程問題本質(zhì)上講是追與問題或相遇問題。當(dāng)二人（或物）同向運動就是追與問題，追與距離是二人初始距離與環(huán)形道路之長的倍數(shù)之和；當(dāng)二人（或物）反向運動時就是相遇問題，相遇距離是二人從出發(fā)到相遇所行路程和。二、本講經(jīng)典例題鋪墊如下圖，兩名運動員在沿湖周長為2250米的環(huán)形跑道上練習(xí)長跑。甲每分鐘跑250米，乙每分鐘跑200米。兩人同時同地同向出發(fā)，多少分鐘后甲第1次追上乙？若兩人同時同地反向出發(fā)，多少分鐘后甲、乙第1次相遇？分析與解答：2250（250-200）=225050=45（分鐘），即45分

2、鐘后甲第1次追上乙；2250（250+200）=2250450=5（分鐘），即5分鐘后甲、乙第1次相遇.例1如下圖，兩名運動員在沿湖的環(huán)形跑道上練習(xí)長跑。甲每分鐘跑250米，乙每分鐘跑200米。兩人同時同地同向出發(fā)，45分鐘后甲追上了乙。如果兩人同時同地反向而跑，經(jīng)過多少分鐘后兩人相遇？（2）分析與解答：根據(jù)圖（1）用追與問題公式求出環(huán)形跑道的長，因從同一點出發(fā)，距離差=跑道長。（250-200）45=2250（米）。 同理，在環(huán)形跑道上，若反向而行，從同一點出發(fā)兩人相遇所經(jīng)過的路程和=跑道長。如圖（2），2250（250+200）=5（分鐘）即經(jīng)過5分鐘兩人相遇。隨堂練習(xí)1如下圖，兩名運動員

3、在沿湖的環(huán)形跑道上練習(xí)長跑。甲每分鐘跑250米，乙每分鐘跑200米。兩人同時同地同向出發(fā)，54分鐘后甲追上乙。如果兩人同時同地反向而跑，經(jīng)過多少分鐘后兩人相遇？分析與解答：具體分析見例題。 環(huán)形跑道周長：（250-200）54=2700（米）， 兩人相遇時間：2700（250+200）=2700450=6（分鐘）， 即經(jīng)過6分鐘后兩人相遇。拓展甲、乙兩運動員在周長為400米環(huán)形跑道上同向競走，已知乙的平均速度是每分鐘80米，甲的平均速度是乙的1.25倍，甲在乙前面100米處。問幾分鐘后，甲第一次追上乙？分析與解答：具體分析過程略。15分鐘。鋪墊下圖是一個圓形中央花園，A、B是直徑的兩端，小軍在

4、A點，小勇在B點，同時出發(fā)相向而行。他倆第1次相遇時，小軍走了50米，當(dāng)他們第2次相遇時，小軍走了多少米？分析與解答：第1次相遇，倆人合起來走了半周長，從1次相遇開始到第2次相遇兩人共走了一周長，兩次共走了一周半。所以，小軍從開始到第2次相遇走了50米的3倍，即走了503=150（米）。例2如下圖，是一個圓形中央花園，A、B是直徑的兩端，小軍在A點，小勇在B點，同時出發(fā)相向而行。他倆第1次在C點相遇，C點離A點有50米；第二次在D點相遇，D離B有30米。問這個花園一周長多少米？分析與解答：第1次相遇，倆人合起來走了半周長，從C點開始第2次在D點相遇兩人共走了一周長，兩次共走了一周半。小軍從AC

5、D走了50米的3倍，即走了503=150（米）。去掉BD之間的距離，就是半個圓周的長，所以一周的長度為（150-30）2=240（米）。隨堂練習(xí)2如下圖，A、B是圓直徑的兩端點，亮亮在點A，明明在點B，相向而行。他們在C點第一次相遇，C點離A點100米；在D點第二次相遇，D點離B點80米。求圓的周長。分析與解答：具體分析過程見例題。440米。拓展如下圖，在一圓形跑道上。小明從A點，小強從B點同時出發(fā)，相向行走。6分鐘后，小明與小強相遇，再過4分鐘，小明到達(dá)B點，又再過8分鐘，小明與小強再次相遇。問：小明環(huán)行一周要多長時間？分析與解答：這是一個相遇問題，因為兩人6分鐘相遇，且再過4分鐘小明到達(dá)B

6、點，所以，小明走4分鐘的路程相當(dāng)于小強走6分鐘的路程。從第一次相遇到再相遇小明走了4+8=12分鐘，當(dāng)然小強也走了12分鐘，但他走的路程只相當(dāng)于小明走8分鐘的路程，再次相遇，一定是兩人合走了一圈，因此小明走一圈需12+8=20分鐘。鋪墊如下圖三個環(huán)形跑道相切排列，每個環(huán)形跑道周長均為210厘米。甲、乙兩只爬蟲分別從A、B兩地按箭頭所示方向出發(fā)，甲爬蟲繞1、2號環(huán)行跑道作“8”字型循環(huán)運動，乙爬蟲繞3、2號環(huán)行跑道作“8”字型循環(huán)運動，已知甲、乙兩只爬蟲的速度都是每分鐘17.5厘米。問：甲、乙兩只爬蟲多少分鐘后第一次相遇？分析與解答：由題意可知，甲、乙爬蟲第一次相遇走的距離是一周半，即210+2

7、102=315厘米。所以第一次相遇所用時間為315（17.5+17.5）=9（分鐘）。例3如下圖三個環(huán)形跑道相切排列，每個環(huán)形跑道周長均為210厘米。甲、乙兩只爬蟲分別從A、B兩地按箭頭所示方向出發(fā)，甲爬蟲繞1、2號環(huán)行跑道作“8”字型循環(huán)運動，乙爬蟲繞3、2號環(huán)行跑道作“8”字型循環(huán)運動，已知甲、乙兩只爬蟲的速度都是每分鐘17.5厘米。問：甲、乙兩爬蟲多少分鐘后第二次相遇？分析與解答：解法一：由“鋪墊”知，甲、乙兩爬蟲第一次相遇用9分鐘。又知甲、乙兩爬蟲從第一次相遇到第二次相遇又走了一個圓周。所以第一次相遇到第二次再相遇所用時間為：210（17.5+17.5）=21035=6（分鐘）。即甲、

8、乙兩爬蟲用15（9+6=15）分鐘后第二次相遇。 解法二：因為甲、乙兩爬蟲的速度一樣，所以，甲、乙兩爬蟲第二次相遇時，甲、乙爬蟲分別爬了周，即210=262.5厘米。262.517.5=15（分鐘），即甲、乙兩爬蟲15分鐘后第二次相遇。 注：這種解法用到了小數(shù)和分?jǐn)?shù)的乘除法知識，超出了五年級學(xué)生的認(rèn)知水平。隨堂練習(xí)3如下圖，三個環(huán)形跑道相切排列。甲、乙兩只爬蟲分別從A、B兩地按箭頭所示方向出發(fā)，甲爬蟲繞1、2號環(huán)行跑道作“8”字型循環(huán)運動，乙爬蟲繞3、2號環(huán)行跑道作“8”字型循環(huán)運動，已知甲、乙兩只爬蟲的速度都是每分鐘20厘米，甲、乙兩只爬蟲爬行20分鐘后第二次相遇，問每個環(huán)形跑道的周長為多少

9、厘米？分析與解答：甲、乙兩爬蟲第二次相遇總爬行的距離為：（20+20）20=800（厘米）由題意與圖可知：甲、乙兩爬蟲第二次相遇時，共爬行的距離為5個半周長。所以每個環(huán)形跑道的周長為：80052=320（厘米）。拓展如下圖，三個環(huán)行跑道相切排列，每個環(huán)行跑道周長均為210厘米。甲、乙兩只爬蟲分別從A、B兩地按箭頭所示方向出發(fā)，甲爬蟲繞1、2號環(huán)行跑道作“8”字型循環(huán)運動，乙爬蟲繞3、2號環(huán)行跑道作“8”字型循環(huán)運動，已知甲、乙兩只爬蟲的速度分別是每分鐘20、15厘米。問甲、乙兩爬蟲第二次相遇時，甲爬蟲爬了多少厘米？分析與解答：具體分析過程略。300厘米。鋪墊有一條長500米的環(huán)形跑道，小軍從跑

10、道上某一點出發(fā)逆時針跑步，他總共跑了5525米。問：小軍是在離起點多少米處停下來的？分析與解答：因為5525500=1125（米），所以5525米相當(dāng)于11圈余25米，即小軍是在離起點25米處停下來的。例4甲、乙從360米的環(huán)行跑道上的同一地點同向跑步。甲每分鐘跑305米，乙每分鐘跑275米。兩人起跑后，第一次相遇在離起點多少米處？分析與解答：甲第一次追上乙需用時間360（305-275）=36030=12（分），第一次相遇甲跑的路程30512=3660（米），3660米相當(dāng)于10圈60米（3660360=1060），所以第一次相遇在離起點60米處。隨堂練習(xí)4甲、乙從1740米的環(huán)行跑道上的同

11、一地點反向跑步。甲每分鐘跑300米，乙每分鐘跑280米。兩人同時起跑后，第一次相遇在離起點多少米處？分析與解答：甲、乙第一次相遇用時間1740（300+280）=1740580=3（分鐘），相遇時乙跑的路程2803=840（米）。（注：橢圓上兩點間的距離是短弧的長）所以第一次相遇離起點840米。拓展如下圖，沿著長為70米的正方形，按逆時針方向，甲從A出發(fā)，每分鐘走65米，乙從B出發(fā)，每分鐘走72米。當(dāng)乙第一次追上甲時是在正方形的哪一條邊上？分析與解答：由題意可知，這是乙追甲的追與問題。因此甲在乙前方703=210米。乙第一次追上甲時用時間：210（72-65）=2107=30（分鐘）。乙追上甲

12、時形的路程：7230=2160（米）。2160=（47+2）70+60（米），即，乙走了4圈后又跑了兩條邊BC、CD，在AD距D點60米處追上甲。故，乙第一次追上甲時是在AD邊上。鋪墊甲、乙兩名運動員的速度和是800米/分，速度差是100米/分，且已知甲運動員比乙運動員跑得快，問甲、乙兩名運動員的速度各是多少？分析與解答：甲運動員的速度：（800+100）2=450米/分，乙運動員的速度：（800-100）2=350米/分。例5有一條長500米的環(huán)行跑道。甲、乙兩人同時從跑道上某一點出發(fā)，反向而跑，1分鐘后相遇；如果兩人同向而跑，則10分鐘后相遇。已知甲跑的比乙快。問甲、乙兩人每分鐘各跑多少米

13、？分析與解答：甲、乙的速度和為5001=500米/分。甲、乙的速度差為50010=50米/分，所以甲的速度為（500+50）2=275米/分，乙的速度為500-275=225米/分。隨堂練習(xí)5有一條沿湖的環(huán)行跑道長1120米。甲、乙兩人同時從跑道上某一點出發(fā)，如果同向而跑，25分鐘相遇；如果兩人反向而跑則2分鐘后相遇。又已知乙比甲跑得快。問甲、乙每分鐘各跑多少米？分析與解答：甲、乙兩人的速度差112028=40米/分，甲、乙兩人的速度和11202=560米/分.又因為乙比甲跑得快，所以，甲的速度：（560-40）2=260米/分；乙的速度：（560+40）2=300米/分.拓展一個圓的周長90

14、厘米，甲、乙兩只爬蟲從同一地點同時爬行，若反向而爬，10分鐘后相遇；若同向而爬，90分鐘后相遇。又已知甲爬蟲比乙爬蟲爬得快。問甲、乙兩爬蟲每秒鐘各爬多少米？分析與解答：具體分析過程見例題。甲爬蟲5厘米/秒，乙爬蟲4厘米/秒。鋪墊小明從A點出發(fā)，沿400米環(huán)行跑道行走，每分鐘走80米，問小明第二次出現(xiàn)在A點時用多少分鐘？（不算起始時在A點）分析與解答：小明第一次出現(xiàn)在A點用時間：40080=5（分鐘），所以第二次出現(xiàn)在A點用時間：52=10（分鐘），例6甲、乙兩人同時從A點反向出發(fā)，沿400米環(huán)行跑道行走，甲每分鐘走80米，乙每分鐘走50米，這兩人至少用多少分鐘再在A點相遇？分析與解答：甲第一次

15、出現(xiàn)在A點用時間40080=5（分鐘），以后每隔5分鐘就會出現(xiàn)在A點一次；乙第一次出現(xiàn)在A點用時間40050=8（分鐘），以后每隔8分鐘就會出現(xiàn)在A點一次。如下表：第一次第二次第三次第四次第五次第六次第七次第八次甲出現(xiàn)在A點時間（分）5101522025303540乙出現(xiàn)在A點時間（分）81624340485664由上表可知，當(dāng)40分鐘時，甲、乙同時第一次出現(xiàn)在A點。注：此題也可用最小公倍數(shù)的知識解答。隨堂練習(xí)6有一條長480米的環(huán)行跑道，甲、乙兩人同時從跑道上的A點同向出發(fā)行走，甲每分鐘走60米，乙每分鐘走80米。這兩人至少用多少分鐘再在A點相遇？分析與解答：具體分析過程見例題。甲回到A點用

16、的時間：48060=8（分鐘）；乙回到A點用的時間：48080=6（分鐘）。8和6的最小公倍數(shù)是24.故，這兩個人至少24分鐘用再在A點相遇。拓展有甲、乙、丙三個人，甲每分鐘走120米，乙每分鐘走100米，丙每分鐘走70米。如果三個人同時同向從同地出發(fā)，沿周長是300米的圓形跑道行走，那么多少分鐘后，三個人又可以相聚？分析與解答：設(shè)X分鐘后，三人又可以相聚。由題意知，甲、乙相聚時，他們行走的路程差恰好是300米的整數(shù)倍，即 （120100）X=300n（n是正整數(shù)） 類似的有 （12070）X=300m（m是正整數(shù)）（10070）X=300p（p是正整數(shù)） 解得，X=15n；，X=6m；，X=

17、10p；要想三人再次相聚，X必是15、6、10的公倍數(shù)，取他們的最小公倍數(shù) 15、10、6=30即，30分鐘后三人再次相聚。鋪墊小紅在400米長的環(huán)行跑道上跑了一圈，已知她前一半時間每秒跑4米，后一半時間每秒跑6米，那么小紅跑一圈需要多長時間？分析與解答：小紅跑一圈所用時間的一半是400（4+6）=40（秒），所以小紅跑一圈需要402=80（秒）。例7小明在360米長的環(huán)行跑道上跑了一圈，已知他前一半時間每秒跑5米，后一半時間每秒跑4米，那么小明后一半路程用了多長時間？分析與解答：小明前一半時間：360（5+4）=40（秒），小明前一半時間跑的路程：540=200（米）， 小明后一半時間跑的路

18、程：440=160（米）。所以小明后一半路程的180米（3602=180）中，前20米（180-160=20）的速度是5米/秒，剩余的160米路程的速度是4米/秒。故小明后一半路程用的時間為205+1604=4+40=44（秒）。隨堂練習(xí)7一條環(huán)行跑道長30千米，一輛汽車沿著該跑道跑了一圈。已知該汽車前一半時間每分鐘跑2千米；后一半時間每分鐘跑1千米，那么該汽車前一半路程用了多少分鐘？分析與解答：該汽車前一半時間30（2+1）=10（分鐘），該汽車前一半時間跑的路程210=20（千米），該汽車后一半時間跑的路程110=10（千米），所以，該汽車前一半路程15千米（302=15）所用的速度都是2

19、千米/分。故，該汽車前一半路程用的時間為152=7.5（分）。拓展繞湖一周30千米，小繞湖走了一周，已知他前一半的時間的速度是4千米/小時，后一半的時間的速度是6千米/小時，那么小前一半路程用多少時間？分析與解答：具體分析見例題。3.5小時。鋪墊在周長為200米的圓形跑道上一條直徑的兩端，甲、乙兩人分別以6米/秒、5米/秒的速度同時同向出發(fā)，沿跑道行進(jìn)。問：6分鐘，甲能否追上乙兩次？分析與解答：甲第一次追乙時相距：2002=100（米）。故，甲第一次追上乙用的時間：100（6-5）=100（秒）；甲第二次追乙時相距：200米。故，甲第二次追上乙用的時間：200（6-5）=200（秒）。200+

20、100=300秒=5分鐘6分鐘。所以，6分鐘，甲能追上乙兩次。例8在周長為200米的圓形跑道一條直徑的兩端，甲、乙兩人分別以6米/秒，5米/秒的速度同時同向出發(fā)，沿跑道行駛。問：16分鐘，甲追上乙多少次？分析與解答：由“鋪墊”知，甲第1次追上乙所用的時間是100秒。甲第二次追上乙所用的時間200（6-5）=200秒，且以后每隔200秒追上一次。又，16分鐘=960秒，除去甲第1次追上乙用去100秒，剩余的時間甲又追上乙4次（960-100）200=860200=460。故，16分鐘，甲追上乙5次。隨堂練習(xí)8在周長400米的圓形跑道一條直徑的兩端，明與王軍分別以4米/秒，5米/秒的速度同時同向出發(fā)前行。問20分鐘，兩人相遇多少次？分析與解答：第1次相遇用的時間：4002（5-4）=200秒；第2次相遇用的時間：400（5-4）=400秒，且以后每隔400秒相遇一次。又，20分鐘=1200秒，（1200-200）400=2200秒。故，20分鐘兩人相遇了2+1=3次。拓展在400米環(huán)行跑道上，A、B兩點相距100米。甲、乙兩人分別從A、B兩點同時出發(fā)，按逆時針方向跑步。甲每秒跑5米，乙每秒跑4米。問30分鐘，甲追上乙多少次？分析與解答：甲第一次追上乙用的時間：100（5-4）=10