數(shù)學(xué)系第三學(xué)期數(shù)學(xué)分析期末考試題

1、第三學(xué)期數(shù)學(xué)分析期末考試題一、 敘述題（每小題10分，共20分）敘述第一類(lèi)曲面積分的概念。敘述Stokes公式的內(nèi)容。二、 討論題（每小題15分，共30分）討論函數(shù)在任意有界閉區(qū)域上的可積性。試確定函數(shù)的連續(xù)范圍。三、 計(jì)算題（每小題10分，共30分）1設(shè)四邊形各邊長(zhǎng)為定值（分別為），求其最大面積，并且指出此時(shí)四邊形的幾何特性。2求球面在圓柱外那部分曲面的面積。3、求曲面積分及三個(gè)坐標(biāo)面所圍的第一卦限部分的外側(cè).四、證明題（每小題10分，共20分）若積分收斂，函數(shù)有界，并且關(guān)于是單調(diào)的，則積分一致收斂。設(shè)有半徑為的球面，其球冠的高為，證明球冠的面積.數(shù)學(xué)分析試題答案一 敘述題（每小題10分，共

2、30分）1設(shè)曲面為有界光滑（或分片光滑）曲面，函數(shù)在上有界。將曲面用一個(gè)光滑曲線(xiàn)網(wǎng)分成片小曲面，并記為的面積。在每片上任取一點(diǎn)，作和式 。 如果當(dāng)所有的小曲面的最大直徑為趨于零時(shí)，這個(gè)和式的極限存在，且與小曲面的分法和點(diǎn)的取法無(wú)關(guān)，則稱(chēng)此極限值為在曲面上的第一類(lèi)曲面積分，記為 。2設(shè)是光滑曲面，其邊界為分段光滑閉曲線(xiàn)。若函數(shù)，和在其邊界上上具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)。則成立 ，其中取誘導(dǎo)正向。3設(shè)函數(shù)在單調(diào)，則成立 。 等價(jià)形式：=。二 討論題（每小題10分，共20分）首先，函數(shù)在任意有界閉區(qū)域上是不可積的。下面證明這一點(diǎn)任給區(qū)域的分割，將分成個(gè)小區(qū)域：，設(shè)它們的面積分別是：.在小區(qū)域上任取一點(diǎn).若與都是

3、有理數(shù)，有，則積分和.其中是區(qū)域的面積.若與至少有一個(gè)是無(wú)理數(shù)，有，則積分和，因而，當(dāng)時(shí)，積分和不存在極限，即函數(shù)在任意有界閉區(qū)域上是不可積的.2注意到可能為奇點(diǎn)，將積分寫(xiě)成 。因?yàn)楫?dāng)時(shí),所以只有當(dāng)即時(shí)才收斂；而顯然只有當(dāng)時(shí)才收斂。所以的定義域?yàn)椤，F(xiàn)在說(shuō)明在其定義域上連續(xù)。為此只要說(shuō)明在任意閉區(qū)間上，連續(xù)即可。對(duì)任意閉區(qū)間，由于，且收斂。因此由Weierstrass判別法，關(guān)于一致收斂，因此被積函數(shù)在上的連續(xù)性知，在上連續(xù)。由于，且收斂，所以由Weierstrass判別法，關(guān)于一致收斂，因此被積函數(shù)在上的連續(xù)性知，在上連續(xù)。綜上所述，在其定義域上連續(xù)。三 計(jì)算題（每小題10分，共30分）設(shè) 則有 因而于是，此時(shí)得最大面積是并且四邊形為圓的內(nèi)接四邊形.已知球面表面積為，設(shè)該球面在一個(gè)圓柱內(nèi)的表面積為，則所求球面面積為.而因此.3、解 由高斯公式及柱坐標(biāo)變換有四 證明題（每小題10分，共20分）證明 設(shè)則由1）知：對(duì)任給，總存