電路理論：第13章 線性動態(tài)電路的復(fù)頻域分析

1、*1電路理論教學(xué)研究組Circuit Theory Teaching and Research Group第十三章線性動態(tài)電路的復(fù)頻域分析主要內(nèi)容*21 拉普拉斯變換3 線性動態(tài)電路的復(fù)頻域分析法2 運(yùn)算電路4 網(wǎng)絡(luò)函數(shù)13.0 概述*3動態(tài)電路的分析：經(jīng)典法（本質(zhì)），三要素法（一階電路）問題：高階電路如何求解呢？動態(tài)電路和電阻電路的區(qū)別：電阻電路：代數(shù)方程；動態(tài)電路：微分方程。怎么辦？復(fù)頻域分析法 或者 狀態(tài)方程法！經(jīng)典法？建立、求解相對復(fù)雜！本章解決的問題：求解電路換路后由一個穩(wěn)態(tài)過渡到下一個穩(wěn)態(tài)的動態(tài)過程。13.1 拉普拉斯變換*413.1.1 拉普拉斯變換的定義式中稱為復(fù)頻率。拉氏變換

2、：拉氏反變換：拉氏變換對：*5拉普拉斯變換表原函數(shù)象函數(shù)原函數(shù)象函數(shù) 記住常用的拉氏變換對*613.1.2 拉普拉斯的基本性質(zhì)1.唯一性質(zhì)由該式所定義的象函數(shù) 與定義在 區(qū)間上的時域函數(shù) 之間存在一一對應(yīng)關(guān)系。2.線性性質(zhì)已知：有： 、 為任意常數(shù)象函數(shù)的拉氏反變換亦有相同的線性性質(zhì)。3.時域微分性質(zhì) 若則該性質(zhì)表明一個函數(shù)求導(dǎo)后的拉氏變換等于這個函數(shù)的拉氏變換后乘以復(fù)參量 ，再減去 時刻的起始值。 推廣： 使用該性質(zhì)可將關(guān)于 的微分方程轉(zhuǎn)化為關(guān)于 的代數(shù)方程，因此它對分析線性系統(tǒng)有著重要作用。 思考：4時域積分性質(zhì) 一個函數(shù)積分后的拉氏變換等于這個函數(shù)的拉氏變換除以復(fù)參量s。 例:求 的象函

3、數(shù) 。 解：由 若 則 5.時域位移性質(zhì) 若 ，則 6.頻域位移性質(zhì) 該性質(zhì)表明函數(shù) 的象函數(shù)是將 中的 換成。若 ，則 7.卷積定理若通過拉氏變換,可將時域的卷積運(yùn)算轉(zhuǎn)化為復(fù)頻域的乘法運(yùn)算。時域卷積頻域相乘13.1.3 象函數(shù)的部分分式展開（拉氏反變換）集中參數(shù)電路的象函數(shù)可以表示成下列有理分式 式中 和 都是實(shí)系數(shù)的多項式，且無公因式。 情況一：(1) 的根為不等實(shí)根Step 1： 可以展開成下列簡單的部分分式之和 。用( )乘上式的兩邊各項式中：稱為留數(shù)，計算公式為：解釋:令 ,等號右邊除了第 和 外,其他各項為零。Step 2： 求原函數(shù)將 代入兩邊取拉普拉斯逆變換并利用線性性質(zhì)(2)

4、 含有重根 設(shè) 的 個根中,第一個根 為 階重根,其余為根為單根。的部分分式展開式 確定各待定系數(shù)(留數(shù))的公式為 對下式進(jìn)行拉氏反變換,可求出已知象函數(shù)的原函數(shù)。 由于 的系數(shù)為實(shí)數(shù)， 的復(fù)數(shù)極點(diǎn)均以共軛復(fù)數(shù)形式出現(xiàn)，且對應(yīng)待定系數(shù)也是共軛關(guān)系。利用這一特點(diǎn)便可減化計算。(3) 的根中有共軛復(fù)根令 ， ，則 ， 當(dāng)有共軛復(fù)根時,可把一對共軛復(fù)根作為一個整體考慮,按下述分解展開成部分分式。這種方法可避免復(fù)數(shù)運(yùn)算。13.2 運(yùn)算電路回憶：求解穩(wěn)態(tài)電路的兩類約束： 基爾霍夫定律+伏安關(guān)系類比：求解運(yùn)算電路同樣需要兩類約束。1復(fù)頻域中的基爾霍夫定律時域形式 復(fù)頻域形式KCL：KVL：.線性元件伏安關(guān)

5、系的復(fù)頻域形式(1)線性電阻時域形式 復(fù)頻域形式關(guān)系式：電路：(2)線性電容由拉氏變換微分特性得時域形式 復(fù)頻域形式(3) 線性電感時域形式 復(fù)頻域形式(4) 互感元件時域形式 復(fù)頻域形式3.運(yùn)算電路(1) 元件的運(yùn)算阻抗和運(yùn)算導(dǎo)納電阻、電容和電感在零狀態(tài)下的伏安關(guān)系。( 域)統(tǒng)一寫成元件的運(yùn)算阻抗。定義：零狀態(tài)下,元件的電壓象函數(shù)與電流象函數(shù)之比，稱為運(yùn)算阻抗。統(tǒng)一寫成稱為元件的運(yùn)算導(dǎo)納。定義：在零狀態(tài)下,元件的電流象函數(shù)與電壓象函數(shù)之比，稱為運(yùn)算導(dǎo)納。元件運(yùn)算阻抗運(yùn)算導(dǎo)納電阻電感電容(2)運(yùn)算電路又稱為電路的復(fù)頻域模型從原電路可按下列方法畫出相應(yīng)的運(yùn)算電路: 把動態(tài)電路中的電壓和電流用象函

6、數(shù)表示,參考方向保持不變。 其他電路元件分別用 域模型替換。 電壓源的電壓和電流源的電流分別變換為象函數(shù),而電路的符號不變。 13.3 線性動態(tài)電路的復(fù)頻域分析法（）求時刻的電容電壓和電感電流（）通過拉氏變換求得響應(yīng)的時域形式（）將響應(yīng)的相函數(shù)部分分式展開（）求響應(yīng)的象函數(shù)（）畫出運(yùn)算電路復(fù)頻域分析法的一般步驟為：相量法:畫出響應(yīng)的相量圖,列寫方程,取相量變換。為求解任意激勵 ，作用于非時變 網(wǎng)絡(luò)的響應(yīng) ,可以采用時域分析法或復(fù)頻域分析法, 起到異曲同工的作用。13.4.1 網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的定義和性質(zhì)1. 定義：零狀態(tài)響應(yīng) 的象函數(shù) 與輸入激勵 的象函數(shù) 之比 網(wǎng)絡(luò)函數(shù)僅與電路的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)和元件參數(shù)有

7、關(guān),而與外輸入無關(guān)。 即在任意波形的外加輸入激勵下,其零狀態(tài)響應(yīng)的象函數(shù)與輸入的象函數(shù)的比值是一定的。13.4 網(wǎng)絡(luò)函數(shù)解釋： 時，零狀態(tài)響應(yīng)為 網(wǎng)絡(luò)函數(shù)就是網(wǎng)絡(luò)單位沖激特性的象函數(shù)；反之，網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的原函數(shù)就是網(wǎng)絡(luò)的單位沖激特性2. 根據(jù)單位沖激特性的定義及齊性原理，當(dāng)激勵 網(wǎng)絡(luò)函數(shù) 和單位沖激特性 都反映網(wǎng)絡(luò)的固有性質(zhì)。 及 的根。 用部分分式展開求 的原函數(shù)時, 式中 ， 、 、 、 都是 的多項式。3. 若已知網(wǎng)絡(luò)函數(shù)和外加激勵的象函數(shù)，則零狀態(tài)響應(yīng)象函數(shù)為網(wǎng)絡(luò)函數(shù)極點(diǎn)的性質(zhì)決定了網(wǎng)絡(luò)暫態(tài)過程的特性。的根將包括13.4.2 網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的極零點(diǎn)圖 網(wǎng)絡(luò)函數(shù)與單位沖激特性構(gòu)成拉普拉斯變換對，單

8、位沖激特性的性質(zhì)取決于網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的極點(diǎn)性質(zhì)，即取決于極點(diǎn)在復(fù)平面上的位置。要點(diǎn)： 由極點(diǎn)在復(fù)平面上的分布來判斷暫態(tài)特性。 分析一階極點(diǎn)情況：若網(wǎng)絡(luò)函數(shù)僅含一階極點(diǎn)，且 ，則網(wǎng)絡(luò)函數(shù)可展開成 其中極點(diǎn) 、 、 只與網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)與參數(shù)有關(guān)。 網(wǎng)絡(luò)的單位沖激特性為 網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的極點(diǎn)位置與單位沖激特性的關(guān)系 復(fù)頻域網(wǎng)絡(luò)函數(shù)與復(fù)數(shù)網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的關(guān)系 位于左半平面時，收斂位于右半平面時，發(fā)散位于實(shí)軸上時，響應(yīng)非振蕩位于虛軸上時，臨界穩(wěn)定否則，均為振蕩所有極點(diǎn)位于左半平面，暫態(tài)過程穩(wěn)定若有一個以上極點(diǎn)位于右半平面，暫態(tài)過程不穩(wěn)定穩(wěn)定電路求原函數(shù)的象函數(shù)。 【例1】 解： 【例2】 求象函數(shù) 的原函數(shù)。其中 其中和均為常

9、數(shù)，彼此不等。 解： 【例3】 求所示電路的沖激響應(yīng)。 解：該電路的輸入-輸出方程為兩邊取拉氏變換 令 取拉氏反變換 查表和線性性質(zhì)解利用線性性質(zhì)和位移性質(zhì)求矩形脈沖函數(shù) 的象函數(shù)。 【例4】 【例5】求象函數(shù)的原函數(shù)。解： 本題象函數(shù)為假分式，應(yīng)先將項式加真分式的形式。化為多的根分別為 各留數(shù)分別為【例】 求象函數(shù)的原函數(shù)。 解：各待定系數(shù)分別為 確定出、和后，亦可用下述方法計算 上式不論 取何值，等式都應(yīng)該成立。 利用這一特點(diǎn)，有時可簡化待定系數(shù)的確定。 例如，為了確定本例的，而避免求導(dǎo)數(shù)，可令 取合適值，如 ，代入上式 代入設(shè)有一對共軛單根 式中 為的共軛。取拉氏反變換 【例7】 求象函

10、數(shù)的原函數(shù)。解：顯然，與為共軛復(fù)數(shù)。因此，在實(shí)際計算中，只要算出一個系數(shù)，然后取它的共軛就可得到另一個系數(shù)?！纠?】 避免復(fù)數(shù)運(yùn)算重做例1求的象函數(shù)。解： 先將分母配成二項式的平方【例9】 電路如圖（a）所示。已知，。求時的電容電壓。 (b) 運(yùn)算電路(a) 例題電路 解：電源電壓的象函數(shù) 運(yùn)算電路如圖（b）所示。節(jié)點(diǎn)電壓方程(b) 運(yùn)算電路取拉氏反變換 【例10】圖(a)所示的電路，在開關(guān)S閉合前已處于穩(wěn)態(tài)，試求 時的電感電壓。(a) 例題電路 【解】（1）求和。直流穩(wěn)態(tài)，電感短路，電容開路。 時，電路處于(b) 運(yùn)算電路 (a) 例題電路 （2） 求。運(yùn)算電路如圖（b）所示。利用節(jié)點(diǎn)分析法

11、整理 （3）求。對取拉氏反變換 【例11】求下圖所示電路的零狀態(tài)響應(yīng)及圖中，。 。解： 分析 此題若用時域法求解，不論是求初始值，還是求時，電感電流發(fā)生躍變；穩(wěn)態(tài)值都比較困難。因為，時，均為短路狀態(tài)，出現(xiàn)環(huán)流，需用磁鏈?zhǔn)睾慊蚱渌椒▉泶_定。的值。而用復(fù)頻域分析法，就不用考慮這些，它只考慮電路處于零狀態(tài) 復(fù)頻域電路如上圖所示。 設(shè)網(wǎng)孔電流分別為和則網(wǎng)孔電流方程 ，不論電路有無躍變，也不論電路是否存在穩(wěn)態(tài)環(huán)流等，復(fù)頻域分析法過程完全相同，無需特殊對待。 故當(dāng)電路存在躍變時，應(yīng)盡量采用復(fù)頻域分析法求解。 ， 【例12】 電路如圖（a）所示，電源電壓，。 開關(guān)S打開前電路時將S打開，求時的和。 已達(dá)穩(wěn)

12、態(tài)，(a)例題電路 解：（1）確定電路的起始狀態(tài)。時，電路處于正弦穩(wěn)態(tài)，用相量法可得電感電流的振幅相量。 （2）求響應(yīng)的象函數(shù)。 開關(guān)S打開后，電壓源不起作用，運(yùn)算電路圖如圖（b）所示。(b)運(yùn)算電路節(jié)點(diǎn)法得電容電壓的象函數(shù) 電感電流的象函數(shù) （3）求時域響應(yīng)。 取拉氏反變換【例13】 圖(a)所示電路，在開關(guān)S動作之前已進(jìn)入時開關(guān)S斷開。試求時的電流和開關(guān)兩端電壓。 穩(wěn)態(tài)，(a)例題電路 解：時刻，耦合電感的兩個線圈相當(dāng)短路解法一 運(yùn)算電路如圖(b)所示 (a)例題電路 (b) 域模型電路 取拉氏反變換 解法二 對于三端和二端耦合電感，可在時域先用互感消去法 將其轉(zhuǎn)化為去耦等效電路，然后再畫運(yùn)算電路。 圖(a)所示互感電路的去耦等效電路(c)所示 (a) (c)運(yùn)算電路如圖(d)所示 (d)回路法 注意: （1）雖然在換路時刻，耦合電感電流發(fā)生躍變，但本題耦合電感的端電壓中并不含沖激分量，這一點(diǎn)與二端電感有所不同。 （2）本題開路支路雖然電流為0，但是，由于存在互感，其電壓并不為0。 1)定義網(wǎng)絡(luò)函數(shù) ，求