數(shù)字邏輯與數(shù)字系統(tǒng)：第2章 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)

1、2.1邏輯變量與邏輯函數(shù)2.2基本邏輯運(yùn)算與基本邏輯門2.3邏輯代數(shù)的公式與規(guī)則2.4邏輯函數(shù)的表示方法2.5邏輯函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式2.6邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)方法第二章 數(shù)字邏輯基礎(chǔ)22.1 邏輯變量與邏輯函數(shù)2.1 邏輯變量與邏輯函數(shù)F=f(A,B)數(shù)字電路AB圖2.1 數(shù)字電路框圖邏輯變量：邏輯代數(shù)中的變量 邏輯變量的命名方式：?jiǎn)蝹€(gè)英文字母邏輯變量的取值：0和1（邏輯值）正邏輯：用“0”表示低電平，用“1”表示高電平 負(fù)邏輯：用“0”表示高電平，用“1”表示低電平 邏輯值不同于二進(jìn)制數(shù)的數(shù)值，邏輯值“0”和“1”沒有大小之分，只表示兩種不同的狀態(tài)，比如表示電平的高和低、開關(guān)的通和斷、指示燈的亮和滅、

2、命題的真和假這類只有兩種取值的事件或狀態(tài)。設(shè)輸入變量為A和B，輸出變量為F，則邏輯函數(shù)可以表示為F=f(A，B)。32.2 基本邏輯運(yùn)算與基本邏輯門2.2 基本邏輯運(yùn)算與基本邏輯門2.2.1邏輯與運(yùn)算和與門2.2.2邏輯或運(yùn)算和或門2.2.3邏輯非運(yùn)算和非門2.2.4基本邏輯門的其它符號(hào)表示2.2.5由基本邏輯門構(gòu)成的其它復(fù)合門邏輯代數(shù)中邏輯運(yùn)算包括基本邏輯運(yùn)算和復(fù)合邏輯運(yùn)算?；具壿嬤\(yùn)算只有三種：邏輯與運(yùn)算、邏輯或運(yùn)算和邏輯非運(yùn)算。實(shí)際數(shù)字電路的邏輯運(yùn)算通常是這三種基本邏輯運(yùn)算的各種不同組合。42.2.1 邏輯與運(yùn)算和與門2.2 基本邏輯運(yùn)算與基本邏輯門如果只有當(dāng)所有條件均具備，結(jié)果才能發(fā)生

3、，則稱這種邏輯關(guān)系為邏輯與運(yùn)算。只有當(dāng)開關(guān)A、B都閉合時(shí)，燈F才亮。把電路中開關(guān)的狀態(tài)作為自變量，而把燈的狀態(tài)作為因變量。邏輯代數(shù)中將符合圖2.2的函數(shù)關(guān)系定義為邏輯與，又叫邏輯乘，所以邏輯函數(shù)表達(dá)式中的與項(xiàng)也叫乘積項(xiàng)，運(yùn)算符號(hào)為“”，2變量的邏輯與運(yùn)算表達(dá)式為： F = AB 實(shí)現(xiàn)邏輯與運(yùn)算的邏輯電路稱為與門圖2.32輸入與門符號(hào) 52.2.1 邏輯與運(yùn)算和與門2.2 基本邏輯運(yùn)算與基本邏輯門在不致混淆的場(chǎng)合下，A和B的邏輯與運(yùn)算也可以表示為AB。由于每個(gè)自變量都只有0、1兩種可能的取值，可以將自變量的各種取值和相應(yīng)的函數(shù)值用表格表示，稱為邏輯函數(shù)的真值表表示法。由真值表可以看出，邏輯與運(yùn)算

4、的運(yùn)算規(guī)則是0 0 = 0 0 1 = 0 1 0 = 0 1 1 = 1ABF000010100111圖2.4 2輸入與運(yùn)算的Proteus仿真結(jié)果表2.1 與運(yùn)算真值表62.2.2 邏輯或運(yùn)算和或門2.2 基本邏輯運(yùn)算與基本邏輯門如果條件之一具備，結(jié)果就發(fā)生，則稱這種邏輯關(guān)系為邏輯或運(yùn)算。只要當(dāng)開關(guān)A、B之一閉合時(shí)，燈F就能亮。把電路中開關(guān)的狀態(tài)作為自變量，而把燈的狀態(tài)作為因變量。實(shí)現(xiàn)邏輯或運(yùn)算的邏輯電路稱為或門圖2.5 邏輯或電路實(shí)例圖2.6 2輸入或門符號(hào)邏輯代數(shù)中將符合圖2.5的函數(shù)關(guān)系定義為邏輯或，又叫邏輯加，運(yùn)算符號(hào)為“+”，2變量的邏輯或運(yùn)算表達(dá)式為：F = A + B 72.

5、2.2 邏輯或運(yùn)算和或門2.2 基本邏輯運(yùn)算與基本邏輯門式F = A+B對(duì)應(yīng)的真值表如表2.2所示。由真值表可以看出，邏輯或運(yùn)算的運(yùn)算規(guī)則是：0 + 0 = 0 0 + 1 = 1 1 + 0 = 1 1 + 1 = 1ABF000011101101表2.2 或運(yùn)算真值表圖2.7 2輸入或運(yùn)算的Proteus仿真結(jié)果82.2.3 邏輯非運(yùn)算和非門2.2 基本邏輯運(yùn)算與基本邏輯門如果條件具備時(shí)，結(jié)果不發(fā)生；而條件不具備時(shí)，結(jié)果反而發(fā)生，則稱這種邏輯關(guān)系為邏輯非運(yùn)算。當(dāng)開關(guān)A斷開時(shí)，燈F能亮，開關(guān)A接通時(shí)，燈F反而不亮。把電路中開關(guān)的狀態(tài)作為自變量，而把燈的狀態(tài)作為因變量。實(shí)現(xiàn)邏輯或運(yùn)算的邏輯電路

6、稱為非門圖2.5 邏輯或電路實(shí)例圖2.9 非門符號(hào) AF=A0110表2.3 非運(yùn)算真值表 F是A的函數(shù)。邏輯代數(shù)中將符合圖2.8的函數(shù)關(guān)系定義為邏輯非，又叫邏輯反，運(yùn)算符號(hào)為“”，邏輯非屬于單目運(yùn)算，即只有一個(gè)運(yùn)算對(duì)象，邏輯非運(yùn)算表達(dá)式為：F=A92.2.4 基本邏輯門的其它符號(hào)表示2.2 基本邏輯運(yùn)算與基本邏輯門AFABFAFABF IEEE/ANSI符號(hào) 國際符號(hào) 慣用符號(hào)與門AND或門OR非門NOTABF&ABF&ABFABF1ABF1ABF+AF1AF1注意： 與門和或門電路具有兩個(gè)或兩個(gè)以上的輸入端和一個(gè)輸出端； 非門電路具有一個(gè)輸入端和一個(gè)輸出端。102.2.5 由基本邏輯門構(gòu)成

7、的其它復(fù)合門2.2 基本邏輯運(yùn)算與基本邏輯門與非門 1個(gè)與門和1個(gè)非門的組合，F(xiàn)=(AB) ；或非門 1個(gè)或門和1個(gè)非門的組合，F(xiàn)=(A+B) ；與或非門2個(gè)與門、1個(gè)或門和1個(gè)非門的組合，F(xiàn)=(AB+CD)或非門NOR IEEE/ANSI符號(hào) 國際符號(hào) 慣用符號(hào)與非門NAND與或非門ABF&ABFABF&ABFABFABF1ABF1ABF+BF&1ACDBF&1ACDBF+ACDABFCD11異或、同或(異或非)異或運(yùn)算( XOR )F=AB同或運(yùn)算( XNOR ) F=A B規(guī)則：00=0，01=1，10=1，11=0；即：兩變量取值相同，結(jié)果為0；取值不同，結(jié)果為1；規(guī)則：00=1，01

8、=0，10=0，11=1即：兩變量取值相同，結(jié)果為1；取值不同，結(jié)果為0；復(fù)合門電路推廣到多變量變量中1的個(gè)數(shù)為偶數(shù)，結(jié)果為0；為奇數(shù)，結(jié)果為1;推廣到多變量變量中0的個(gè)數(shù)為偶數(shù)，結(jié)果為1；為奇數(shù)，結(jié)果為0;= A B + A B= A B + A B12異或、同或運(yùn)算真值表(異或與同或互為取非運(yùn)算)ABF=ABF=AB +A BF=A BF=A B +AB000011011100101100110011異或、同或運(yùn)算的真值表同或門XNOR IEEE/ANSI符號(hào) 國際符號(hào) 慣用符號(hào)異或門XORABFABF=1ABF=1ABFABF=ABFABF=ABF正邏輯和負(fù)邏輯通常規(guī)定：高電平代表1，低

9、電平代表0，是正邏輯(高電平有效)高電平代表0，低電平代表1，是負(fù)邏輯(低電平有效) 本書中如無特殊聲明，均指正邏輯。對(duì)同一個(gè)邏輯電路，從正邏輯和負(fù)邏輯的角度分析，其表達(dá)的邏輯關(guān)系是不一樣的。例如一個(gè)邏輯電路在正邏輯分析時(shí)是一個(gè)與門電路，而使用負(fù)邏輯分析時(shí)則成為一個(gè)或門電路。負(fù)邏輯門的邏輯符號(hào)和正邏輯門的邏輯符號(hào)畫法一樣，但要在輸入端和輸出端分別加上一個(gè)小圓圈，以便區(qū)別于正邏輯門。正邏輯和負(fù)邏輯提示：多輸入門的邏輯符號(hào)和真值表13邏輯門的使能和禁止特性術(shù)語：4. 邏輯門的使能和禁止特性原始形式：信號(hào)沒經(jīng)反相處理的原始形式。互補(bǔ)形式：信號(hào)反相后的形式。使能：如果允許一個(gè)數(shù)字信號(hào)按照其原始形式或者

10、反相后的互補(bǔ)形式通過某個(gè)邏輯門，則說明該邏輯門被使能。禁止：如果阻止一個(gè)數(shù)字信號(hào)按照其原始形式或者反相后的互補(bǔ)形式通過某個(gè)邏輯門，則說明該邏輯門被禁止。1）與門14與門被禁止與門被使能與門被禁止與門被使能邏輯門的使能和禁止特性4. 邏輯門的使能和禁止特性1）與門15與門的使能與禁止運(yùn)算真值表ABY=AB000Y=0 禁止010100Y=B 使能111邏輯門的使能和禁止特性4. 邏輯門的使能和禁止特性16或門的使能與禁止運(yùn)算真值表ABY=A+B000Y=B 使能011101Y=1 禁止1112）或門或門被使能或門被禁止邏輯門的使能和禁止特性4. 邏輯門的使能和禁止特性17與非門的使能與禁止運(yùn)算真

11、值表ABY=AB001Y=1 禁止011101Y=B 使能110控制輸入端 A信號(hào)輸入端 B3）與非門與非門被禁止與非門被使能邏輯門的使能和禁止特性4. 邏輯門的使能和禁止特性18與非門的使能與禁止運(yùn)算真值表ABY=A+B001Y=B 使能010100Y=0 禁止110控制輸入端 A信號(hào)輸入端 B4）或非門或非門被使能或非門被禁止邏輯門的使能和禁止特性4. 邏輯門的使能和禁止特性195）異或門和同或門的使能、禁止特性？邏輯門舉例 下圖是一個(gè)用于樓梯燈光控制的電路圖，采用這個(gè)電路，行人可以方便的在樓梯上部和樓梯下部開啟和關(guān)閉照明燈。并允許行人從不同方向進(jìn)入樓梯時(shí)開啟照明燈，走過樓梯后關(guān)閉照明燈。

12、試分析這種電路可用何種類型的邏輯門來描述。202.3 邏輯代數(shù)的公式與規(guī)則212.3.1 基本公式注：邏輯運(yùn)算的優(yōu)先級(jí) （） 非 與 或2.3 邏輯代數(shù)的公式與規(guī)則222.3.1 基本公式以上公式可通過真值表證明，如反演律證明由表2.6可見，無論邏輯變量A和B的取值如何，都有：推廣到三個(gè)邏輯變量則有： 2.3 邏輯代數(shù)的公式與規(guī)則232.3.2 常用公式242.3.3 邏輯代數(shù)的3個(gè)重要規(guī)則1. 代入規(guī)則：將邏輯等式中某個(gè)邏輯變量全部用同一邏輯函數(shù)代替，則邏輯等式仍成立代入規(guī)則例 已知等式A(B+C)=AB+AC，證明：用邏輯函數(shù)F=D+E代入等式中的B后，等式仍成立用F=D+E代入后，例 用

13、代入法證明反演律也適用3變量的情況進(jìn)一步可推廣到多變量的反演律，反演律又稱德摩根定理左端=右端=A(F+C)=A(D+E+C)=AD+AE+ACA(D+E)+AC=AD+AE+AC所以，等式成立252. 反演規(guī)則：將F中所有”換成”+”，”+”換成”，”1”換成”0”，”0”換成”1”，原變量換成反變量，反變量換成原變量，得到的函數(shù)是F的非(稱反函數(shù)或補(bǔ)函數(shù))。反演規(guī)則2.3.3 邏輯代數(shù)的3個(gè)重要規(guī)則解：由反演規(guī)則可逐步寫出：例2-1 求下列函數(shù)的反函數(shù) 不能破壞原表達(dá)式的運(yùn)算順序； 不屬于單變量的非運(yùn)算符應(yīng)保持不變反演規(guī)則是反演律的推廣，使用時(shí)的注意事項(xiàng)：263. 對(duì)偶規(guī)則：注意事項(xiàng)：若某

14、邏輯表達(dá)式是正確的，則其對(duì)偶式也是正確的 不能破壞原表達(dá)式的運(yùn)算順序； 表達(dá)式中的非運(yùn)算符不能改變將F中所有”換成”+”，”+”換成”，”1”換成”0”，”0”換成”1”，而變量都保持不變，得到函數(shù)是F的對(duì)偶式記作 F 或 FD對(duì)偶規(guī)則例 用對(duì)偶規(guī)則證明2.3.3 邏輯代數(shù)的3個(gè)重要規(guī)則 2.6 邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)方法27以多數(shù)表決電路邏輯函數(shù)常用的表示方法：邏輯真值表、邏輯函數(shù)式、邏輯圖、波形圖、卡諾圖和硬件描述語言等三人就某一項(xiàng)提案進(jìn)行表決，根據(jù)多數(shù)同意，表決通過的原則，列出表決結(jié)果的真值表。解：設(shè)輸入邏輯變量A、B、C分別表示三個(gè)人，F(xiàn)代表表決結(jié)果，兩人以上同意則表示通過，否則為不通過。A、

15、B、C同意為1，不同意為0。F通過為1，不通過為0。2.4 邏輯函數(shù)的表示方法多數(shù)表決電路真值表A B CF0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1000101112.4.1 邏輯真值表將邏輯函數(shù)輸入變量所有取值組合和輸出函數(shù)值之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系列成一張表格形式。通常按n位二進(jìn)制數(shù)從小到大的順序依次列出所有取值的組合。優(yōu)點(diǎn)：簡(jiǎn)單直觀，邏輯問題數(shù)學(xué)問題。缺點(diǎn)：當(dāng)n值較大時(shí)表格規(guī)模也相應(yīng)變大。為了減小表格規(guī)模，可以只列出使函數(shù)值為1的輸入邏輯變量取值組合。如果兩個(gè)邏輯函數(shù)的真值表相同，則這兩個(gè)邏輯函數(shù)相等。因此，邏輯函數(shù)的真值表具有惟一性。282.4 邏輯函數(shù)的

16、表示方法2.4.2 邏輯函數(shù)表達(dá)式 用與、或、非等基本邏輯運(yùn)算表示邏輯函數(shù)中輸入與輸出之間邏輯關(guān)系的表達(dá)式叫做邏輯函數(shù)表達(dá)式。邏輯函數(shù)表達(dá)式可以根據(jù)真值表直接寫出，步驟：(1) 找出所有使邏輯函數(shù)值為1的輸入變量取值組合；(2) 變量值為1的寫成原變量形式，變量值為0的寫成反變量形式，從而形成使邏輯函數(shù)值為1的邏輯與項(xiàng)；(3) 將所有邏輯函數(shù)值為1的邏輯與項(xiàng)做或運(yùn)算，形成一個(gè)與-或表達(dá)式。根據(jù)以上步驟可以寫出例2-2三人表決邏輯函數(shù)表達(dá)式如下：優(yōu)點(diǎn)：便于利用邏輯函數(shù)的基本公式和常用公式以及運(yùn)算規(guī)則進(jìn)行邏輯運(yùn)算和變換，也便于用基本邏輯門和復(fù)合邏輯門來繪制邏輯圖。缺點(diǎn)：難以直接從邏輯變量取值中看出

17、邏輯函數(shù)表達(dá)式的值，不如真值表直觀。292.4 邏輯函數(shù)的表示方法2.4.3 邏輯圖用基本邏輯門和復(fù)合邏輯門組成能完成某一邏輯功能的電路圖。繪制邏輯圖的依據(jù)：邏輯函數(shù)表達(dá)式。繪制方法：用與門來實(shí)現(xiàn)邏輯與項(xiàng)功能，用或門來實(shí)現(xiàn)邏輯或功能，用非門來實(shí)現(xiàn)對(duì)原變量的取反。優(yōu)點(diǎn)：可以根據(jù)邏輯圖做出實(shí)際電路，也便于在Proteus中進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)。例2-3 根據(jù)邏輯函數(shù)表達(dá)式F=AB+BC+AC繪制邏輯圖(a) 邏輯圖 (b) 輸入一個(gè)或0個(gè)為1時(shí)輸出為0 (c) 輸入兩個(gè)或三個(gè)為1時(shí)輸出為1圖2.12 F=AB+BC+AC的邏輯圖及其Proteus仿真302.4 邏輯函數(shù)的表示方法2.4.4 卡諾圖 卡諾圖

18、(Karnaugh Map)是20世紀(jì)50年代美國工程師卡諾(M. Karnaugh)提出的，它是邏輯函數(shù)的一種圖形表示方法，直觀形象，實(shí)際上可以看作是真值表的一種變形，與真值表有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。圖2.13 三人表決邏輯函數(shù)的卡諾圖312.4 邏輯函數(shù)的表示方法2.4.5 波形圖 將邏輯函數(shù)輸入變量的每一組可能出現(xiàn)的取值與對(duì)應(yīng)的輸出值按時(shí)間順序依次排列起來，就得到了表示該邏輯函數(shù)的波形圖，這種波形圖也稱為時(shí)序圖。圖2.14 三人表決邏輯函數(shù)的波形圖322.5 邏輯函數(shù)的表示方法標(biāo)準(zhǔn)形式2.5邏輯函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式2.5.1常用的邏輯函數(shù)式2.5.2邏輯函數(shù)的與或式和或與式2.5.3最小項(xiàng)和最大項(xiàng)2

19、.5.4邏輯函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)與-或式和標(biāo)準(zhǔn)或-與式332.5.1 常用的邏輯函數(shù)式 一個(gè)邏輯函數(shù)確定以后，其真值表是惟一的，但其函數(shù)表達(dá)式的表達(dá)形式卻有多種。因?yàn)椴还苣囊环N表達(dá)形式，對(duì)同一個(gè)邏輯函數(shù)來說所表達(dá)的函數(shù)功能是一致的，各種表達(dá)式是可以相互轉(zhuǎn)換的，例如兩變量的異或邏輯函數(shù)，可以有八種標(biāo)準(zhǔn)形式，分別為：342.5.1 常用的邏輯函數(shù)式352.5.2邏輯函數(shù)的與-或式和或-與式利用邏輯代數(shù)的基本公式，可以把任何一個(gè)邏輯函數(shù)表達(dá)式變換成與-或式，也可以變換成或-與式。與-或式是指一個(gè)函數(shù)表達(dá)式中包含有若干個(gè)“與”項(xiàng)，其中每個(gè)“與”項(xiàng)可由一個(gè)或多個(gè)原變量或反變量組成，由這些“與”項(xiàng)的“或”運(yùn)算構(gòu)成一

20、個(gè)函數(shù)。或-與式是指一個(gè)函數(shù)表達(dá)式中包含有若干個(gè)“或”項(xiàng)，其中每個(gè)“或”項(xiàng)可以由一個(gè)或多個(gè)原變量或反變量組成，由這些“或”項(xiàng)的“與”運(yùn)算構(gòu)成一個(gè)函數(shù)。2.5.2 邏輯函數(shù)的與-或式和或-與式361 最小項(xiàng)1. 最小項(xiàng)最小項(xiàng)定義在具有n個(gè)邏輯變量的邏輯函數(shù)中，如果一個(gè)“與”項(xiàng)包含了該邏輯函數(shù)的全部變量，而且每個(gè)變量或以原變量或以反變量的形式只出現(xiàn)一次，則該與項(xiàng)被稱為最小項(xiàng)。因?yàn)槊恳粋€(gè)邏輯變量都有兩種狀態(tài)，即原變量和反變量，所以，對(duì)于n個(gè)變量的邏輯函數(shù)，共有2n個(gè)最小項(xiàng)。以A、B、C3個(gè)變量為例，其8個(gè)最小項(xiàng)為：最小項(xiàng)用mi表示，i是最小項(xiàng)編號(hào)； 將變量按A、B、C、D順序排列，在最小項(xiàng)中，若變量

21、以原變量出現(xiàn)，用1表示；若以反變量出現(xiàn)，用0表示，這時(shí)最小項(xiàng)表示的二進(jìn)制數(shù)所對(duì)應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)就是該最小項(xiàng)的編號(hào)編號(hào)(i)的確定方法：2.5.3 最小項(xiàng)和最大項(xiàng)371 最小項(xiàng)變量取值最小項(xiàng)及 其 值A(chǔ)BCm0m1 m2 m3m4m5 m6 m7 0000010100111001011101111000000001000000001000000001000000001000000001000000001000000001最小項(xiàng)的主要性質(zhì)： 對(duì)于任意一個(gè)最小項(xiàng)，有且僅有一組變量取值使它的值為1。 對(duì)于變量的任一組取值，任意兩個(gè)最小項(xiàng)的邏輯與運(yùn)算結(jié)果為0， 即mimj=0(ij)。 全部最小項(xiàng)之和為1，

22、即381 最小項(xiàng)最小項(xiàng)表達(dá)式 任何邏輯函數(shù)都可以表示為最小項(xiàng)之和的與或標(biāo)準(zhǔn)形式，即由真值表可以直接寫出邏輯函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)與或表達(dá)式。對(duì)于表達(dá)式中的與項(xiàng)不是最小項(xiàng)的邏輯函數(shù)表達(dá)式，可以利用基本公式和定律將其變換成最小項(xiàng)表達(dá)式。 392 最大項(xiàng)2. 最大項(xiàng)最大項(xiàng)定義 在具有n個(gè)邏輯變量的邏輯函數(shù)中，如果一個(gè)“或”項(xiàng)包含了該邏輯函數(shù)的全部變量，而且每個(gè)變量或以原變量或以反變量的形式只出現(xiàn)一次，則該或項(xiàng)被稱為最大項(xiàng)。 對(duì)于n個(gè)變量的邏輯函數(shù)，共有2n個(gè)最大項(xiàng)。以A、B、C3個(gè)變量為例，其8個(gè)最大項(xiàng)為： 最大項(xiàng)用Mi表示，i是最大項(xiàng)編號(hào)；i的確定方法與最小項(xiàng)的編號(hào)類似，區(qū)別是：要將最大項(xiàng)表示的二進(jìn)制數(shù)取反后

23、所對(duì)應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)作為編號(hào)例：M0=A+B+C； M6=402 最大項(xiàng)最大項(xiàng)的性質(zhì) 對(duì)于任意一個(gè)最大項(xiàng)，有且僅有一組變量取值使它的值為0。 對(duì)于變量的任一組取值，任意兩個(gè)最大項(xiàng)的邏輯或運(yùn)算結(jié)果為1，即 Mi+Mj = 1(ij)。 全部最大項(xiàng)之積為0，即412 最大項(xiàng)2. 最大項(xiàng)最大項(xiàng)表達(dá)式 任何邏輯函數(shù)都可以表示為最大項(xiàng)之積的或與標(biāo)準(zhǔn)形式，即423 最大項(xiàng)與最小項(xiàng)的關(guān)系在同一邏輯問題中，下標(biāo)相同的最大項(xiàng)與最小項(xiàng)之間存在著互補(bǔ)的關(guān)系，即 例如三變量中的最小項(xiàng)m0 = = = 431. 標(biāo)準(zhǔn)與-或式4.邏輯函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)與-或式和標(biāo)準(zhǔn)或-與式1. 標(biāo)準(zhǔn)與-或式 如果構(gòu)成邏輯函數(shù)表達(dá)式是一個(gè)與-或式，而

24、且其中的每一個(gè)與項(xiàng)都是最小項(xiàng)，則這種與-或式被稱為標(biāo)準(zhǔn)與-或式。 例如三人表決邏輯表達(dá)式就是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)與-或式，其中每一個(gè)與項(xiàng)都是一個(gè)最小項(xiàng)。為了簡(jiǎn)明起見，該式還可以寫成：F(A,B,C) = m3+m5+m6+m7 = (m3,m5,m6,m7) = m(3,5,6,7) = (3,5,6,7)任何一種邏輯函數(shù)表達(dá)式都可變換成標(biāo)準(zhǔn)與-或式，而且結(jié)果是惟一的?！纠?-4】將邏輯函數(shù)表達(dá)式F = AB+BC+AC變換成標(biāo)準(zhǔn)與-或式442. 標(biāo)準(zhǔn)或-與2. 標(biāo)準(zhǔn)或-與式如果構(gòu)成邏輯函數(shù)表達(dá)式是一個(gè)或-與式，而且其中的每一個(gè)或項(xiàng)都是最大項(xiàng)，則這種或-與式被稱為標(biāo)準(zhǔn)或與式。例如F(A,B,C)= ( )

25、( )( )( ) =就是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)或-與式，其中每一個(gè)或項(xiàng)都是一個(gè)最大項(xiàng)。為了簡(jiǎn)明起見，該式還可以寫成：F(A,B,C) = M0M1M2M4 = (M0,M1,M2,M4) = M(0,1,2,4) = (0,1,2,4)任何一種邏輯函數(shù)表達(dá)式都可以變換成標(biāo)準(zhǔn)或-與式，而且結(jié)果也是惟一的。453. 標(biāo)準(zhǔn)與-或式和標(biāo)準(zhǔn)或-與式的關(guān)系3. 標(biāo)準(zhǔn)與-或式和標(biāo)準(zhǔn)或-與式的關(guān)系根據(jù)最小項(xiàng)的性質(zhì)：而因此故有F(A,B,C)=若已知函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)與-或式，則可直接寫出該函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)或-與式。在0，1，(2n-1)這2n個(gè)編號(hào)中，原標(biāo)準(zhǔn)與-或式各最小項(xiàng)編號(hào)之外的編號(hào)，就是標(biāo)準(zhǔn)或-與式中最大項(xiàng)的編號(hào)；反之，若已知邏

26、輯函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)或-與式，也可以直接寫出該函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)與-或式；在標(biāo)準(zhǔn)與-或式中各最小項(xiàng)的編號(hào)，也就是標(biāo)準(zhǔn)或-與式中最大項(xiàng)的編號(hào)之外的編號(hào)。以三變量邏輯函數(shù)為例，最多有23=8個(gè)最小項(xiàng)，即m0 - m7。若已知F(A,B,C)= m3+m5+m6+m7則 m0+m1+m2+m4462.6 邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)方法2.6 邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)方法2.6.1邏輯函數(shù)的公式法化簡(jiǎn)2.6.2卡諾圖法化簡(jiǎn)化簡(jiǎn)的目的：降低實(shí)現(xiàn)電路的復(fù)雜性及其制作成本，提高電路的可靠性。最簡(jiǎn)與-非式：與運(yùn)算的因子最少，非運(yùn)算的次數(shù)最少。最簡(jiǎn)與-或式：包含的與項(xiàng)最少，每個(gè)與項(xiàng)里的因子也最少。邏輯函數(shù)常用的化簡(jiǎn)方法有：公式法化簡(jiǎn)和卡諾圖法化簡(jiǎn)。

27、472.6.1 邏輯函數(shù)的公式法化簡(jiǎn)2.6.1 邏輯函數(shù)的公式法化簡(jiǎn)具體操作：對(duì)需要化簡(jiǎn)的邏輯函數(shù)反復(fù)運(yùn)用邏輯代數(shù)的基本定律和常用公式，消去多余的與項(xiàng)和每一個(gè)與項(xiàng)中的多余因子，從而使其符合最簡(jiǎn)式標(biāo)準(zhǔn)。482.6.1 邏輯函數(shù)的公式法化簡(jiǎn)公式化簡(jiǎn)法簡(jiǎn)單方便，對(duì)邏輯函數(shù)的變量個(gè)數(shù)沒有限制。但這種方法所化簡(jiǎn)的結(jié)果是否達(dá)到“最簡(jiǎn)”不容易判斷。只有熟練掌握和靈活運(yùn)用邏輯代數(shù)的基本定律和常用公式，才能能取得比較好的化簡(jiǎn)結(jié)果。492.6.2 邏輯函數(shù)的卡諾圖法化簡(jiǎn)2.6.2 邏輯函數(shù)的卡諾圖法化簡(jiǎn)501） 二變量卡諾圖n個(gè)變量的邏輯函數(shù)有2n個(gè)最小項(xiàng)n個(gè)變量的卡諾圖有2n個(gè)小方格1） 二變量卡諾圖2） 三變

28、量卡諾圖512） 三變量卡諾圖3） 四變量卡諾圖524） 五變量卡諾圖4） 五變量卡諾圖設(shè)五個(gè)變量為A、B、C、D、 ，全部最小項(xiàng)有個(gè)，分別記作、，將輸入變量分成兩組，AB為一組，CDE為另一組，分別表示卡諾圖的行和列?？ㄖZ圖由32個(gè)方格組成，按相鄰性畫出五變量卡諾圖，如圖2.18所示。注意：圖中的橫向變量AB按格雷碼（00、01、11、10）的順序,縱向變量CDE也按格雷碼（000、001、011、010、110、111、101、100）的順序排列，從而保證了卡諾圖中最小項(xiàng)的相鄰性的要求?？ㄖZ圖的畫法小結(jié) CDEAB00000101101011011110110000013267540189

29、1110141513121124252726303129281016171918222321205變量卡諾圖綜合二變量到五變量卡諾圖的構(gòu)成方法，可以看出：變量每增加一個(gè)，小方格就增加一倍，當(dāng)變量增多時(shí)，卡諾圖迅速變大、變復(fù)雜，相鄰項(xiàng)也變得不很直觀，所以卡諾圖一般僅用于五個(gè)變量以下的邏輯函數(shù)化簡(jiǎn)。處在任何一行或一列兩端的最小項(xiàng)也僅有一個(gè)變量不同，所以它們也具有邏輯相鄰性。因此，從幾何位置上應(yīng)當(dāng)將卡諾圖看成是上下、左右閉合的圖形。53 BA01001123相接：在卡諾圖上緊挨著的小方格稱相接相對(duì)：在卡諾圖上一行或一列的兩頭的小方格稱相對(duì)相重：以對(duì)稱軸折疊時(shí)，重合的小方格稱相重54利用最小項(xiàng)表達(dá)式畫

30、卡諾圖直接將卡諾圖中最小項(xiàng)對(duì)應(yīng)的小方格填1，其余填0或不填任何一個(gè)邏輯函數(shù)等于其卡諾圖上填1的最小項(xiàng)之和例 已知4變量的邏輯函數(shù)F(A,B,C,D)=m(0,4,6,11,13,15)，畫其卡諾圖利用最小項(xiàng)畫卡諾圖 CDAB00011110000111102. 用卡諾圖表示邏輯函數(shù)552. 用卡諾圖表示邏輯函數(shù)利用最大項(xiàng)表達(dá)式畫卡諾圖直接將卡諾圖中最大項(xiàng)對(duì)應(yīng)的小方格填0，其余填1任何一個(gè)邏輯函數(shù)等于其卡諾圖上填0的最大項(xiàng)之積例 已知3變量的邏輯函數(shù)F(A,B,C)=M(0,1,3,7)，畫其卡諾圖利用最大項(xiàng)畫卡諾圖 BCA0001111001562. 用卡諾圖表示邏輯函數(shù)其他情況下畫卡諾圖其他

31、情況下畫卡諾圖當(dāng)邏輯函數(shù)是以真值表或波形圖給出時(shí)，可以根據(jù)真值表或波形圖得到其最小項(xiàng)的表達(dá)式，然后畫卡諾圖。當(dāng)邏輯函數(shù)是以一般與或式給出時(shí)，可以將每個(gè)與項(xiàng)覆蓋的小方格填1，重復(fù)覆蓋時(shí)，只填一次。當(dāng)邏輯函數(shù)是以一般或與式給出時(shí)，可以將每個(gè)或項(xiàng)覆蓋的最大項(xiàng)對(duì)應(yīng)的小方格填0，重復(fù)覆蓋時(shí)，只填一次。對(duì)那些或項(xiàng)沒有覆蓋的最大項(xiàng)對(duì)應(yīng)的小方格填1。當(dāng)邏輯函數(shù)以其他表達(dá)式形式給出，如與或非、或與非形式，或者是多種形式的混合表達(dá)式，這時(shí)可將表達(dá)式變換成與或式再畫卡諾圖，也可以寫出表達(dá)式的真值表，利用真值表再畫出卡諾圖。注意：572. 用卡諾圖表示邏輯函數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)與-或式，然后繪制相應(yīng)的卡諾圖。 【例2-7】化簡(jiǎn)邏

32、輯函數(shù)該標(biāo)準(zhǔn)與-或式又可簡(jiǎn)記為= m(0，1，12，13，15)【例2-8】繪制F(A,B,C,D)=的卡諾圖。583. 在卡諾圖上合并最小項(xiàng)的規(guī)則 3. 在卡諾圖上合并最小項(xiàng)的規(guī)則 1) 卡諾圖上任何兩個(gè)標(biāo)1的方格相鄰，可合并為一項(xiàng)，并消去一個(gè)變量。2) 卡諾圖上任何四個(gè)標(biāo)1的方格相鄰，可以合并為一項(xiàng)，并消去兩個(gè)變量。593. 在卡諾圖上合并最小項(xiàng)的規(guī)則 3. 在卡諾圖上合并最小項(xiàng)的規(guī)則 3) 卡諾圖上任何8個(gè)標(biāo)1的方格相鄰，可以合并為一項(xiàng)，并消去三個(gè)變量。604. 用卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù) 4. 用卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù) 1） 基本原理：用卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)式，其原理是利用卡諾圖的相鄰性，對(duì)相鄰最

33、小項(xiàng)進(jìn)行合并，消去互反變量，以達(dá)到化簡(jiǎn)的目的。2個(gè)相鄰最小項(xiàng)合并，可以消去1個(gè)變量；4個(gè)相鄰最小項(xiàng)合并，可以消去2個(gè)變量；把2n個(gè)相鄰最小項(xiàng)合并，可以消去n個(gè)變量。 畫出邏輯函數(shù)的卡諾圖。 將2n個(gè)為的相鄰方格分別畫包圍圈，整理每個(gè)包圍圈的公因子，作為與項(xiàng)，即為其對(duì)應(yīng)的表達(dá)式。 將合并化簡(jiǎn)后的各與項(xiàng)進(jìn)行邏輯或，便為所求的邏輯函數(shù)最簡(jiǎn)與-或式。2） 用卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)的步驟 相接：在卡諾圖上緊挨著的小方格稱相接相對(duì)：在卡諾圖上一行或一列的兩頭的小方格稱相對(duì)相重：以對(duì)稱軸折疊時(shí)，重合的小方格稱相重614. 用卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù) 3） 繪制化簡(jiǎn)包圍圈的規(guī)則：原則1卡諾圈中填1的小方格的個(gè)數(shù)應(yīng)是2的

34、整數(shù)次冪，即2,4,8。 CDAB0001111000110111111110 CDAB00011110001101111111101 方格可以被重復(fù)圈在不同的包圍圈中，但在新畫的包圍圈中必須有未被圈過的1方格，否則該包圍圈是多余的。原則2 CDAB000111100011011111111110111624. 用卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù) 3） 繪制化簡(jiǎn)包圍圈的規(guī)則： CDAB00011110001101111111111101為避免多余的包圍圈，畫包圍圈時(shí)應(yīng)遵從由多到少的順序。即首先圈8個(gè)相鄰的1方格，再圈4個(gè)相鄰的1方格，然后圈僅為兩個(gè)相鄰的1方格，最后圈獨(dú)立的1方格。原則3 CDAB00011

35、110000111111011包圍圈的個(gè)數(shù)盡量少，這樣邏輯函數(shù)的與項(xiàng)就少。原則4包圍圈盡量大，這樣消去的變量就多，與門輸入端的數(shù)目就少。原則5634. 用卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù) 例2-9 用卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù) F(A,B,C,D)=m(0, 2, 4, 5, 6, 7, 9, 15)例2-10用卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù) F(A,B,C,D)=m(0，2，5，7，8，10，12，14，15) CDAB0001111000011110 CDAB0001111000011110644. 用卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù) 例2-12已知某邏輯函數(shù)卡諾圖如圖2.28所示。試寫出其最簡(jiǎn)與-或式。例2-11用卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)

36、F(A,B,C,D)= CDAB000111100001111065特殊情況 CDAB0001111000110111111111111011卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù) 特殊情況 CDEAB0000010110101101111011000001111111105變量卡諾圖問題：什么時(shí)候用最小項(xiàng)？什么時(shí)候用最大項(xiàng)？665. 具有無關(guān)項(xiàng)的邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn) 無關(guān)項(xiàng)：是指那些與所討論的問題沒有關(guān)系的變量取值組合所對(duì)應(yīng)的最小項(xiàng)。這些最小項(xiàng)有兩種：一種是某些變量取值組合不允許出現(xiàn)，如8421BCD編碼中，10101111這6種代碼是不允許出現(xiàn)的，是受到約束的，故又稱為約束項(xiàng)。另一種是某些變量取值組合在客觀上不會(huì)出現(xiàn)，如在連動(dòng)互鎖開關(guān)系統(tǒng)中，幾個(gè)開關(guān)的狀態(tài)是互相排斥的，每次只閉合一個(gè)開關(guān)。其中一個(gè)開關(guān)閉合時(shí)，其余開關(guān)必須斷開，因此在這種系統(tǒng)中，2個(gè)以上開關(guān)同時(shí)閉合的情況是客觀上不存在的，這樣的開關(guān)組合稱為隨意項(xiàng)。約束項(xiàng)和隨意項(xiàng)都是一種不會(huì)在邏輯函數(shù)中出現(xiàn)的最小項(xiàng)，所以對(duì)應(yīng)于這些最小項(xiàng)的變量取值組合，函數(shù)值視為1或視為0都可以（因?yàn)閷?shí)際上不存在這些變量取值），這樣的最小項(xiàng)統(tǒng)稱為無關(guān)項(xiàng)。利用無關(guān)項(xiàng)