山西省太原市高中數(shù)學(xué)競賽解題策略幾何分冊第22章角元形式的塞瓦定理

1、第22章角元形式的塞瓦定理第一角元形式的塞瓦定理設(shè)、分別是的三邊、所在直線上的點，則三直線、平行或共點的充要條件是證明由，三式相乘，再運用塞瓦定理及其逆定理，知結(jié)論成立推論設(shè)、分別是的外接圓三段弧、上的點，則、共點的充要條件是事實上，應(yīng)用三角形正弦定理，代入角元形式的塞瓦定理即證第二角元形式的塞氏定理設(shè)、分別是的三邊、所在直線上的點，是不在的三邊所在直線上的點，則、平行或共點的充要條件是事實上，注意到塞氏定理及其逆定理，有由此即證得結(jié)論下面給出應(yīng)用第一角元形式的塞瓦定理解決問題的例子例l（1998年加拿大數(shù)學(xué)奧林匹克題）如圖22-1，在中，和分別是和上的點，使得，是直線和的交點證明：直線和直線

2、垂直證明如圖22-1，設(shè)，則，對及點，應(yīng)用甬元形式的塞瓦定理，有從而，即有于是注意到，知，有，故延長交于，則故例2（1994年香港代表隊選拔賽題）如圖22-2，在一個中，為內(nèi)滿足及的一點求證：是的三等分線證明用表的度數(shù)，令，則，對及點應(yīng)用第一角元形式的塞瓦定理，有亦即亦即從而而，則由，有于是，即，從而故，即是的蘭等分線例3（2008年國家集訓(xùn)隊測試題）如圖22-3，設(shè)為內(nèi)的一點，、分別交對邊于點、設(shè)和的外接圓的公共弦所在的直線為，類似地定義，證明：直線、三線共點證明設(shè)的外接圓和的外接圓的另一交點，則即（完全四邊形的為密克爾點）易知在內(nèi)，、及、分別四點共圓類似定義，此時，從而，即有注意，對用正弦

3、定理，有同理，在內(nèi)，在內(nèi)，即為，即為，且有，從而而由、分別交對邊、于、，應(yīng)用塞瓦定理有于是這樣利用第一角元形式的塞瓦定理可知直線、三線共點，即、三條直線共點例4（2009年巴爾干地區(qū)數(shù)學(xué)奧林匹克題）在中，點、分別在邊、上，且，與交于點，與的外接圓的另一個交點為證明：證明如圖22-4，設(shè)，對于及點、及點分別應(yīng)用第一角元形武的塞瓦定理，有，注意到、及、分別四點共圓，則，從而，、及、分別四點共圓又因為，所以，由得因為，所以例5（2007年西部數(shù)學(xué)奧林匹克題）設(shè)是銳角三角形內(nèi)一點，、分別交邊、于點、，已知求證：是的重心證明如圖22-5，設(shè)，并分別用、表示、在中，由第一角元形式的塞瓦定理，有，即在中，由

4、角元形式的塞瓦定理，有，即設(shè)由，易知遞增于是由可得，所以同理，從而，有，所以，故為的重心例6（2009年保加利亞數(shù)學(xué)奧林匹克題）的內(nèi)切圓分別與三邊、切于點、，為過點的任意一條直線、分別為點、關(guān)于的對稱點證明：、三線共點證明如圖22-6，由題設(shè)，知以及、均與相切，則若記為點到直線的距離，為點到直線的距離，則同理，由第一角元形式的塞瓦定理，、線共點例7（2008年國家集訓(xùn)隊測試題）設(shè)，分別是銳角三角形的邊、上的點，使得是正三角形，并且它還是這樣的內(nèi)接正三角形中面積最小的求證：點到的垂線、點到的垂線和點到的垂線，這三條直線共點證明由于為銳角三角形，在形內(nèi)可作以為弦，對張角為的圓?。灰部勺鲆粭l以為弦，

5、的圓弧設(shè)兩弧的交點為（實際上為三角形的密克爾點），則，從而，、；、；、分別四點共圓過作三邊的垂線，在、上的垂足分別為，不妨設(shè)在線段上，記，則同理，于是，從而由及，知，得同理，由，可知，相似比為故也為的內(nèi)接正三角形，且由面積的最小性知必有，即故，設(shè)過、所作的三垂線分別為、，點、分別在、上，則同理，這樣，則有，由第一角元形式的塞瓦定理知、共點例8（2009年羅馬尼亞大師杯數(shù)學(xué)奧林匹克題）如圖，在平面上給定四個點、，其中任意三點不共線，使得記是；的外心，這里假設(shè)對每個下標，都有證明：四條直線共點或平行證明若四個點、構(gòu)成一個凹四邊形，不妨設(shè)在三角形中，如圖22-8（1）作，則，從而，且于是，即有，故又

6、，所以，從而即知為正三角形，所以同理，設(shè)，則，因為是的外心，所以，于是同理，又，則同理，由第一角元形式的塞瓦定理，知而，所以同理，所以由第一角元形式的塞瓦定理的逆定理，知，三線共點或者互相平行若四個點、構(gòu)成一個凸四邊形，類似的可得：，三線共點或者互相平行同理，三線共點或者互相平行綜上所述，四條直線共點或平行例9（2006年第23屆巴爾干地區(qū)數(shù)學(xué)奧林匹克題）已知直線與的邊、分別交于點、，與的延長線交于點過、且與平行的直線與的外接圓分別交于點、證明：、三線交于一點證明如圖22-9，設(shè)為的外接圓，即為直線，過作的垂線設(shè)、關(guān)于的對稱點分別是、故只需證、三線共點即可又由第一角元形式的塞瓦定理知，只需證即

7、可注意到同理，注意對應(yīng)用梅涅勞斯定理，有因此，、三線交于一點練習題二十二1（1983年前南斯拉夫數(shù)學(xué)奧林匹克題）在內(nèi)取一點，使得，設(shè)，求2（1996年美國數(shù)學(xué)奧林匹克題）具有下面性質(zhì)：存在一個內(nèi)部的點，使得，證明：是等腰三角形3（預(yù)選題）已知直線上的三個定點依次為、為過、且圓心不在上的圓，分別過、兩點且與圓相切的直線交于點，與圓交于點證明：的平分線與的交點不依賴于圓的選取4（2008年羅馬尼亞國家隊選拔賽題）已知銳角的垂心為，為所在平面上的任意一點，以為直徑的圓與直線、分別交于點、類似地定義、和、證明：、三線共點5（2009年中國國家集訓(xùn)隊選拔考試題）設(shè)是的邊上一點，滿足，經(jīng)過、兩點，并分別與、交于、兩點，、交于點連結(jié)、，取的中點求證：6（2000年波蘭數(shù)學(xué)奧林匹克題）在等腰中，為底邊的中點，在內(nèi)有一點，使得求證：7（2005年全國高中聯(lián)賽題）在中，過作的外接圓的切