對(duì)角互補(bǔ)模型壓軸題探究

1、數(shù)學(xué)試題專項(xiàng)訓(xùn)練卷第 頁(共12頁)數(shù)學(xué)試題專項(xiàng)訓(xùn)練卷第 頁(共12頁)數(shù)學(xué)試題專項(xiàng)訓(xùn)練卷第1頁（共12頁）中考?jí)狠S題探索一對(duì)角互補(bǔ)專題探究基本圖形：女口圖 1,在四邊形 FBED 中， EDF+ EBF=180,旋轉(zhuǎn) FBE 得至U HBl ,求證： FBHEBI;如圖2,在四邊形 FBED中， EDF+ EBF=1800,連接BD , DBE= CBF,若厶BCD為等邊三角形，探究：線段 DE、DF、BD之間的數(shù)量關(guān)系 ；女口圖 3,在四邊形 FBED 中, EDF+ EBF=1800,連接 BD , DBE= CBF,若 BD 丄 DC, DCB=30探究：線段DE、DF、BD之間的數(shù)量

2、關(guān)系；B例 1.已知直角梯形 ABCD, AD / BC, A=90, EBF= C.當(dāng) AD:AB=1: . 3 , C=600時(shí)，如圖 1 所示，求證：DE+DF =BC;當(dāng)AD:AB=1:1, C=450時(shí)，如圖2所示，則線段DE、DF、BC之間的數(shù)量關(guān)系 ;在的條件，如圖3所示，若AB=2時(shí)，3BM=MC,連接AF、FM,若AF與BE交于點(diǎn)N,當(dāng) AFM=45 時(shí),求線段NF的長(zhǎng)度.變式訓(xùn)練: 1.已知直角梯形 ABCD , AD / BC,AD= . 3 AB, A=90, C=60,DH 丄 BC 于 H,P 為 BC 上一點(diǎn)，作 EPF=600,此角的兩邊分別交 AD于E,交CD

3、于F.如圖1 ,當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B處時(shí)，求證：2 AE+CF=2CH;.如圖2 ,當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)H處時(shí)，線段 AE、CF、CH的數(shù)量關(guān)系為 ；.在(2)的條件下，連接 FB、EF,FB與FH交于點(diǎn)K,若AB= 2 3 ,EF=、21 ,求線段FK的長(zhǎng)度.圖2圖32.已知平行四邊形 ABCD, C=60 ,點(diǎn)E、F分別為AD、CD上兩點(diǎn) EBF= C.如圖 1 ,當(dāng) AB=BC 時(shí)，求證：CF+AE=BC ；.如圖2,當(dāng)AB= -BC時(shí)，線段：CF、AE、BC三者之間有何數(shù)量關(guān)系 ；7在的條件下如圖3,若AB=6,連接EC與BF交于M,當(dāng)厶BEM為等邊三角形時(shí)，求線段 FM的長(zhǎng). 例 2.已知： ABC

4、中， ACB=90, B=300 ,點(diǎn) P 為邊 AB 上的一點(diǎn)， EPF=90,PF 與邊 AC 交于點(diǎn) F,PE 與邊BC交于點(diǎn)E.設(shè)AP:PB= k圖1圖2圖3(1)如圖1 ,當(dāng)k = 1時(shí)，則：AF+3BE= 1AB;2.如圖2 ,當(dāng)k =1時(shí)，線段 AF、BE、AB的數(shù)量關(guān)系為 ；.在的條件下，如圖3,連接CP,EF交于點(diǎn)K,將FP沿著EF對(duì)稱，對(duì)稱后與CP交于點(diǎn)M ,連接ME, 若 AC=3,當(dāng) ME / FP 時(shí)，求 tan CEM 的值.圖1圖3數(shù)學(xué)試題專項(xiàng)訓(xùn)練卷第 頁（共12頁）數(shù)學(xué)試題專項(xiàng)訓(xùn)練卷第 頁(共12頁)變式訓(xùn)練：1等邊 ABC中，BH為AC邊上的高，點(diǎn) P為AB邊

5、中點(diǎn)， EPF=90,此角的兩邊與 AC邊交于點(diǎn)F, 與高BH交于點(diǎn)E.L1如圖1 ,求證：FH+ 3 BE= AB;2如圖2 ,則線段FH、BE、AB之間滿足的關(guān)系式為 ；如圖3 ,在(2)的條件下，連接 EF，直線EF與BC交于點(diǎn)N ,將FN沿著FP對(duì)稱，對(duì)稱后與 AB交 于點(diǎn) M,若 AC= 4 3,AM:BM=1:3,時(shí)，求 BN 長(zhǎng)度.圖1圖2中考?jí)狠S題探索一對(duì)角互補(bǔ)專題探究（二）1.直線Vm n ,點(diǎn)A、B分別在直線 m n上，且點(diǎn)A在點(diǎn)B的右側(cè)點(diǎn)P在直線m上，AP=AB,連接BP,以PB為一邊在PB右側(cè)作等邊 BPC連接AC.過點(diǎn)P作PD丄n于點(diǎn)D.M 當(dāng)點(diǎn)P在A的右側(cè)時(shí)（如圖1

6、 ），求證：BD=AC當(dāng)點(diǎn)P在A的左側(cè)時(shí)（如圖2），線段BD與Ae之間的數(shù)量關(guān)系為 .在的條件下，設(shè) PD交AB于點(diǎn)N, PC交AB于點(diǎn)M（如圖3）.若厶PBC的面積為，求線段 MN丄的長(zhǎng).2.如圖，直線y= -3 kx+4k ( k 0)與X軸交于B,與y軸交于D,點(diǎn)O與點(diǎn)C是關(guān)于直線BD對(duì)稱，連接3BC,右 AC= 4：丿3 .(1)求k的值；點(diǎn)P為OB的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā)，每秒1單位速度沿BH向點(diǎn)H運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)P做PE的垂線交 AC于點(diǎn)F,當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)O重合時(shí)點(diǎn)E停止運(yùn)動(dòng).設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒， PHF面積為S,寫出S與t點(diǎn)函 數(shù)關(guān)系式，并直接寫岀自變量 t的取值范圍.(3)連接PH,是否存

7、在t值，使得tan FPH=-3 ,若存在請(qǐng)求t值，若不存在，說明理由.7數(shù)學(xué)試題專項(xiàng)訓(xùn)練卷第 頁（共12頁）中考?jí)狠S題探索一對(duì)角互補(bǔ)專題探究（三）例1.已知：四邊形 ABCD中，AD / BC, AB=AD=DC , BAD= ADC ,點(diǎn)E在CD邊上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)E 與C、D兩點(diǎn)不重合）， AEP為直角三角形， AEP=90 , P=30,過點(diǎn)E作EM / BC交AF 于點(diǎn)M .若 BAD=120 （如圖 1）,求證：BF+DE=EM ;（2）若 BAD=90 （如圖2）,則線段BF、DE、EM的數(shù)量關(guān)系為 .（3）在的條件下，若 AD : BF=3 : 2, EM=7 ,求CE的長(zhǎng).分析:(1

8、 )延長(zhǎng)FB到N r使BN=ED ,連接AN、EF ,通過求證AADEwZkABN ,推出 AN=AE , ZDAE=ZBAN ,根據(jù)乙AD=120 , ZEAF=60o f 推岀ZNAF=ZEAF ,繼而推岀 ANFAEF ,求得NF=EF r ZAFN = ZAFE后,結(jié)合MEIlBC ,推出ZAFBEMFxAFE ,即可 推出ME=EF r可得BF+DE=EM(2 )延長(zhǎng)CB至N點(diǎn)，使BN=DE ,根據(jù)題意即可推出 ABNWZkADE ,求得厶EAD=ZNAB f NF=DE+BF r AN=AE r 求得厶BAN + ZBAF=30 , zP=30n , ZAEP=90o Z 彳導(dǎo) 壽

9、=羋 f zBAN + zBAF=30o ,再由MElIBC I 推出ZNFA=ZFME ,得AANFsZkPEM ,由 AN=AE ,即可推出詰二欝=y ,通過計(jì)算可得BF+DE=A/ .(3 )過D點(diǎn)做DGIlAB交BC于G點(diǎn)，作EK丄BC于K點(diǎn)f連接EF ,由四邊形ABGD為平行四邊開 ,厶BAD=I20 ,厶ABC=ZC=60 ,推出ZkDGC為等邊三角形,設(shè)AD=3x , BF=2x r根據(jù) BF+DE=EM , EM=7 I 得 r DE=7-2x , EC=5x-7 , EF=EM=7 ,繼而推出BC=6x , FC=4x r 求社 EK=) , FK=Z后，根據(jù)勾股走理r即可求

10、岀X的值，繼而求得EC的長(zhǎng)5解答:解：(1 )如圖3 ,延長(zhǎng)FB到N I使BN = ED f連接AN、EF r.zAEP=90 r ZP=30。,.zPAE=60o fAB=AD , ADIIBC ,.,zBAD=zABN=zD I.在AADF和AARN中，(AB=ADABN= ADE IBy=DE.ADEABN (SAS),.AN=AE f ZDAE=ZBAN f/zBAD=120o , PAE=60o f.zNAF=z EAF f在ZkANF和ZXAEF中 IIAF=AF乙NAF=乙 EW IAN=.4.ANFAEF ( SAS ) r.NF=EF f ZAFN=ZAFE ,/MEIIBC

11、 ,./AFB=EMF=ZAFE ,/.ME=EF r.BF+DE=EM r(2 )如圖4 ,延長(zhǎng)CB至N點(diǎn),使BN=DE ,VAB=AD=DC f ZBAD=ZADC=90o f.四邊形ABCD為正方形,在ZiABN和ZiADE中r(AB=AD變式訓(xùn)練：1.已知：矩形 ABCD中AD= K ,點(diǎn)E、F分別在CD CB上運(yùn)動(dòng)，且？ EAF a （角為銳角），過EAB作EM/ BC交AF于點(diǎn)M,探究BF、DE ME之間的數(shù)量關(guān)系為 .當(dāng) K= 3, a =45 時(shí)，當(dāng) K=J3, a =60 時(shí)，當(dāng) = 3, a =30 時(shí)，2.如圖：已知四過形ABCD中AD _ K、 DAB= BCD=90

12、,點(diǎn)E F分別在CD CB上運(yùn)動(dòng)，且？ EAF a AB（角為銳角），過E作EM/ BC交AF于點(diǎn)M探究BF DE ME之間的數(shù)量關(guān)系為 .中考?jí)狠S題探索一對(duì)角互補(bǔ)專題探究（四）例 2.已知：四邊形 ABCD , AB=AD , B= D_90 , EAF=30 ,過 F 作 FM / BC 交 AE 于 M .（1）當(dāng) BAD=60 時(shí)（如圖 1 所示），求證：BE+FD=FM ;（2） 當(dāng) BAD=90 時(shí)（如圖2所示），則線段BE , DF,FM的數(shù)量關(guān)系為 ;（3）在（1）的條件下（如圖3所示），連接DB交AE于點(diǎn)G,交AF于點(diǎn)K ,交MF于點(diǎn)N , 若 BG:DK=3:5 , FM=

13、14 時(shí)，KN 的長(zhǎng).圖1數(shù)學(xué)試題專項(xiàng)訓(xùn)練卷第10頁（共12頁）圖2圖3變式訓(xùn)練：1.已知四邊形 ABCD中，AD/ BC AB=DC BAD= ADC點(diǎn)F在CD邊上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)E與C、D兩點(diǎn)不重合）（1）若 BAD=90 （如圖 I），AD=2AB EAF=45,求證：DF+2BE=FG（2） 若 BAD=150 （如圖 2），AB=AD, EAF=30, _則 DF BE FG的數(shù)量關(guān)系為 .3）在（1）的條件下（如圖 3）DF=4AB=6直線AF交直線BG于點(diǎn)H,求GH的FC2.已知：四邊形 ABCD中，AD/ BC,AB=CD=kAD BAD= ADC點(diǎn)E在CD邊上運(yùn)動(dòng)(點(diǎn) E與C D兩點(diǎn)

14、不 重合)，將AE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30后與BC邊交于點(diǎn)F,過點(diǎn)E作EM/ BC交AF于點(diǎn)M.若 k=1, BAD=120 (如圖 1),求證:DE+BfJ ME.2若k=l, BAD=90 (如圖2),則線段DE BF ME的數(shù)量關(guān)系為2 在(1)的條件下，若 CE=2 AE=2 7,求ME的長(zhǎng).圖1中考?jí)狠S題探索一對(duì)角互補(bǔ)專題探究(五)例3.如圖1 ,正方形ABCD中，P為邊BC延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，E為DP的中點(diǎn)，DP的垂直平分線交邊 DC 于M ,交邊BC于Q ,交邊AB的延長(zhǎng)線于N.求證 DP=MN; 若PC : PB=1:3 ,那么線段QE與QN的數(shù)量關(guān)系為 ；如圖2 ,連接BD、MP ,

15、繞著點(diǎn)P旋轉(zhuǎn) CPM ,角的兩邊分別交邊 AB、AD于點(diǎn)H、K ,交邊CD 于點(diǎn)R,當(dāng)四邊形DBQM的面積為24, MR : RC=1 : 2時(shí)，求.12頁(共12頁)AHEMRBCQK D數(shù)學(xué)試題專項(xiàng)訓(xùn)練卷第 頁（共12頁）數(shù)學(xué)試題專項(xiàng)訓(xùn)練卷第 頁（共12頁）變式訓(xùn)練：1已知：在正方形 ABCD中，P為直線AD上一點(diǎn)，連接BP,以BP為底邊作等腰直角三角形 PBE, 連接AE.（1）如圖1 ,當(dāng)點(diǎn)P在線段AD上時(shí)，求證：AB+AP= 2 AE;（2） 如圖2,當(dāng)點(diǎn)P在線段DA的延長(zhǎng)線上時(shí)，線段 AB、AP、AE的數(shù)量關(guān)系是（3） 在（2）的條件下，過點(diǎn) A作AF / PE,AF交BC的延長(zhǎng)線于F,