第二講直方圖

1、什么(shn me)是灰度級(jí)的直方圖呢？ 簡(jiǎn)單地說(shuō)，灰度級(jí)的直方圖就是反映(fnyng)一幅圖像中的灰度級(jí)與出現(xiàn)這種灰度的概率之間的關(guān)系的圖形，是圖像重要的統(tǒng)計(jì)特征。 灰度直方圖是圖像的一種統(tǒng)計(jì)表達(dá)，它反映了該圖中不同灰度級(jí)出現(xiàn)的統(tǒng)計(jì)概率。共五十三頁(yè)在灰度級(jí)中， r = 0 代表(dibio)黑， r = 1 代表白。 設(shè)變量(binling) r 代表圖像中像素灰度級(jí)。在圖像中，像素的灰度級(jí)可作歸一化處理，這樣，r 的值將限定在下述范圍之內(nèi):(44)共五十三頁(yè) 對(duì)于一幅給定的圖像來(lái)說(shuō)，每一個(gè)像素取得0，1區(qū)間(q jin)內(nèi)的灰度級(jí)是隨機(jī)的，也就是說(shuō) 是一個(gè)隨機(jī)變量。假定對(duì)每一瞬間它們是連續(xù)

2、的隨機(jī)變量，那么，就可以用概率密度函數(shù) 來(lái)表示原始圖像的灰度分布。共五十三頁(yè) 為了有利于數(shù)字圖像處理，必須(bx)引入離散形式。在離散形式下，用 rk 代表離散灰度級(jí)，用 Pr(rk) 代表 pr(r) ，并且有下式成立： 式中，nk為圖像中出現(xiàn)rk 這種灰度的像素?cái)?shù)，n 是圖像中像素總數(shù)，而 就是概率論中所說(shuō)(su shu)的頻數(shù)。在直角坐標(biāo)系中作出 rk 與Pr(rk) 的關(guān)系圖形，這個(gè)圖形稱為直方圖。共五十三頁(yè) 灰度級(jí)的直方圖 共五十三頁(yè)我們注意到在暗色的圖像中，直方圖的組成成分集中在灰度級(jí)低（暗）的一側(cè)；反之，明亮的圖像的直方圖的組成成分則集中在灰度級(jí)高（亮）的一側(cè)；動(dòng)態(tài)范圍小，也就是

3、對(duì)比度小，這種圖像直方圖集中于灰度級(jí)的中部；動(dòng)態(tài)范圍正常的圖像直方圖的成分覆蓋了灰度級(jí)很寬的范圍。直觀上，若一圖像像素占有全部可能的灰度級(jí)并且(bngqi)分布均勻，則圖像有高的對(duì)比度和多變的灰度色調(diào)，即，可通過(guò)改變直方圖的形狀來(lái)達(dá)到增強(qiáng)圖像對(duì)比度。共五十三頁(yè)7直方圖修正(xizhng) 直方圖均衡化 直方圖規(guī)定(gudng)化 常用的方法：直方圖變換后可使圖像的灰度間距拉開(kāi)或使灰度分布均勻，從而增大對(duì)比度，使圖像細(xì)節(jié)清晰，達(dá)到增強(qiáng)的目的。對(duì)于離散的圖像，用頻率來(lái)代替概率 。共五十三頁(yè)直方圖均衡化 直方圖均衡化是一種典型的通過(guò)對(duì)圖像的直方圖進(jìn)行修正來(lái)獲得圖像增強(qiáng)效果的自動(dòng)方法(fngf)。圖像

4、的灰度直方圖是一個(gè)1-D的離散函數(shù)灰度累積直方圖也是一個(gè)1-D的離散函數(shù) 共五十三頁(yè)直方圖均衡化直方圖均衡化主要用于增強(qiáng)動(dòng)態(tài)范圍偏小的圖像的反差?；舅枷?sxing)是把原始圖的直方圖變換為在整個(gè)灰度范圍內(nèi)均勻分布的形式，增加了像素灰度值的動(dòng)態(tài)范圍，從而達(dá)到增強(qiáng)圖像整體對(duì)比度的效果。更一般的（歸一化的）概率表達(dá)形式：（圖像灰度統(tǒng)計(jì)直方圖） 共五十三頁(yè)共五十三頁(yè)11直方圖均衡化把原始(yunsh)圖的直方圖變換為均勻分布的形式需要一個(gè)變換函數(shù)即增強(qiáng)函數(shù)T。該變換函數(shù)T滿足2個(gè)條件：（1）T單值單增函數(shù)。（2）對(duì) 應(yīng) ， 有則有：共五十三頁(yè)直方圖均衡化上面的2個(gè)條件(tiojin)保證了： 第1

5、個(gè)條件保證逆變換存在，且原圖像各灰度級(jí)在變換后仍保持從黑到白的排列次序，防止變換后的圖像出現(xiàn)一些反轉(zhuǎn)的灰度級(jí)。第2個(gè)條件保證變換前后灰度值動(dòng)態(tài)范圍的一致性，也可以說(shuō)原圖像和變換后圖像有著同樣的灰度級(jí)范圍。共五十三頁(yè)一幅圖像的灰度級(jí)可視為區(qū)間0,L-1上的隨機(jī)變量，可以證明累積分布函數(shù)（CDF）滿足上述2個(gè)條件并能將r中的原始(yunsh)分布轉(zhuǎn)換為s中的均勻分布。事實(shí)上r的CDF就是原始圖像的累計(jì)直方圖。直方圖均衡化中T：共五十三頁(yè)直方圖均衡(jnhng)-流程1. 統(tǒng)計(jì)原始圖像的直方圖： 其中， 是歸一化的輸入圖像灰度級(jí)。2. 計(jì)算直方圖累積分布曲線3. 用累積分布函數(shù)作變換函數(shù)進(jìn)行圖像灰度

6、變換：根據(jù)計(jì)算得到的累積分布函數(shù)，建立輸入圖像與輸出圖像灰度級(jí)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，即重新定位累計(jì)分布函數(shù) （與歸一化灰度等級(jí) 比較(bjio)，尋找最接近的一個(gè)作為原灰度級(jí)k變換后的新灰度級(jí)）。 共五十三頁(yè)的pk共五十三頁(yè) 例如：假定有一幅像素?cái)?shù)為6464，灰度級(jí)為8級(jí)的圖像，其灰度級(jí)分布(fnb)、其灰度級(jí)直方圖如下表、下圖所示。對(duì)其進(jìn)行均衡化處理，畫(huà)出均衡化處理之后的直方圖。 直方圖均衡化例題(lt)共五十三頁(yè)r0 =07900.19r1=1/710230.25r2=2/78500.21r3=3/76560.16r4=4/73290.08r5=5/72450.06r6=6/71220.03r7

7、=1810.026464的圖像(t xin)各灰度級(jí)對(duì)應(yīng)的概率分布表 共五十三頁(yè)18直方圖均衡化原始圖像(t xin)各灰度級(jí)對(duì)應(yīng)的概率分布灰度級(jí)01234567像素790102385065632924512281概率0.190.250.210.160.080.060.030.02例共五十三頁(yè)共五十三頁(yè)20直方圖均衡化圖像直方圖均衡化過(guò)程如下：（1）得到(d do)變換后的值：依此類推(y c li tu)，即可得到 例解：共五十三頁(yè)21直方圖均衡化（2）用式 將 擴(kuò)展(kuzhn)到 范圍內(nèi)并取整，得：(3)將相同(xin tn)值的歸并起來(lái),得: 例共五十三頁(yè)22直方圖均衡化（4）變換(b

8、inhun)后5個(gè)灰度級(jí)的像素?cái)?shù) (5) 新灰度級(jí)分布(fnb) 例共五十三頁(yè)直方圖均衡(jnhng)-示例1共五十三頁(yè)圖像(t xin)的灰度級(jí)分布 k01234567rk01/72/73/74/75/76/71nk790102385065632924512281pr(rk)0.190.250.210.160.080.060.030.02Sk0.190.440.650.810.890.950.981Sk1/73/75/76/76/7111Sk1/73/75/76/71nsk7901023850985448pr(sk)0.190.250.210.240.11共五十三頁(yè)25直方圖均衡化 結(jié)果(j

9、i gu)原始(yunsh)直方圖變換函數(shù)直方圖均衡化結(jié)果共五十三頁(yè)26直方圖均衡化 效果(xiogu) 原圖(yun t)均衡化后效果圖共五十三頁(yè) 因?yàn)橹狈綀D是近似的概率密度函數(shù)，所以用離散灰度級(jí)作變換時(shí)很少能得到完全平坦的結(jié)果。另外，從上例中可以看出變換后的灰度級(jí)減少了，這種現(xiàn)象叫做“簡(jiǎn)并”現(xiàn)象。由于簡(jiǎn)并現(xiàn)象的存在(cnzi)，處理后的灰度級(jí)總是要減少的。這是像素灰度有限的必然結(jié)果。由于上述原因，數(shù)字圖像的直方圖均衡只是近似的。 共五十三頁(yè)產(chǎn)生簡(jiǎn)并現(xiàn)象的根源是利用變換公式 求新灰度時(shí)，所得到的 往往不是(b shi)允許的灰度值，這時(shí)就要采用舍入的方法求近似值，以便用與它最接近的允許灰度來(lái)

10、代替它。在舍入的過(guò)程中，一些相鄰的 值變成了相同的 值，這就發(fā)生了簡(jiǎn)并現(xiàn)象，于是也就造成了一些灰度層次的損失。那么簡(jiǎn)并現(xiàn)象(xinxing)如何產(chǎn)生？如何減少呢？共五十三頁(yè) 減少簡(jiǎn)并現(xiàn)象的簡(jiǎn)單方法是增加像素的比特?cái)?shù)。比如(br)，通常用8bit來(lái)代表一個(gè)像素，而現(xiàn)在用12bit來(lái)表示一個(gè)像素，這樣就可減少簡(jiǎn)并現(xiàn)象發(fā)生的機(jī)會(huì)，從而減少灰度層次的損失。另外，采用灰度間隔放大理論的直方圖修正法也可以減少簡(jiǎn)并現(xiàn)象。這種灰度間隔放大可以按照眼睛的對(duì)比度靈敏度特性和成像系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)范圍進(jìn)行放大。 減少(jinsho)簡(jiǎn)并現(xiàn)象的方法共五十三頁(yè) 直方圖均衡化處理方法是行之有效的增強(qiáng)方法之一，但是由于它的變換函數(shù)

11、采用的是累積分布函數(shù)，因此正如前面所證明的那樣，它只能產(chǎn)生近似(jn s)均勻的直方圖這樣一種結(jié)果。這樣就必須會(huì)限制它的效能。4.1.4 直方圖規(guī)定(gudng)化處理 有時(shí)需要具有特定的直方圖的圖像，以便能夠?qū)D像中的某些灰度級(jí)加以增強(qiáng)。直方圖規(guī)定化方法就是針對(duì)上述思想提出來(lái)的一種直方圖修正增強(qiáng)方法。直方圖規(guī)定化共五十三頁(yè) 假設(shè) pr(r ) 是原始圖像灰度分布的概率密度函數(shù)， pz(z ) 是希望(xwng)得到的圖像的概率密度函數(shù)。如何建立 pr(r ) 和 pz(z ) 之間的聯(lián)系是直方圖規(guī)定化處理的關(guān)鍵。 所以，直方圖規(guī)定化處理的關(guān)鍵思路(sl)是尋找一個(gè) pr(r ) 和 pz(z

12、 ) 間的中介，在 pr(r ) ， pz(z )間搭建一座橋梁，建立 r 與 z 的關(guān)系。 共五十三頁(yè) 首先對(duì)原始(yunsh)圖像進(jìn)行直方圖均衡化處理，即： (416) 假定已經(jīng)得到了所希望的圖像(t xin)，并且它的概率密度函數(shù)是 。 對(duì)這幅圖像也作均衡化處理，即：式 4-2式 4-1共五十三頁(yè)因?yàn)閷?duì)于(duy)兩幅圖同樣做了均衡化處理，所以 和 具有同樣的均勻密度。其中上式的逆過(guò)程為： (418) 這樣(zhyng)，如果用從原始圖像中得到的均勻灰度級(jí) 來(lái)代替逆過(guò)程中的 ，其結(jié)果灰度級(jí)將是所要求的概率密度函數(shù) 的灰度級(jí)。 共五十三頁(yè)根據(jù)以上思路，可以總結(jié)出直接直方圖規(guī)定化增強(qiáng)處理的步

13、驟如下：(1)、用直方圖均衡化方法將原始圖像(t xin)作均衡化處理(2)、規(guī)定希望的灰度概率密度函數(shù) ，并用式求得變換函數(shù) ； 共五十三頁(yè) (3)、將逆變換函數(shù) 用到步驟(1)中所得到的灰度級(jí)。（4）、 這樣，就實(shí)現(xiàn)了r與z的映射關(guān)系(gun x)。以上三步得到了原始圖像的另一種處理方法。在這種處理方法中得到的新圖像的灰度級(jí)具有事先規(guī)定的概率密度函數(shù)。共五十三頁(yè)原始(yunsh)直方圖數(shù)據(jù) 共五十三頁(yè)規(guī)定(gudng)的直方圖數(shù)據(jù) 共五十三頁(yè)均衡化處理(chl)后的直方圖數(shù)據(jù) 共五十三頁(yè)（1）對(duì)原始圖像進(jìn)行直方圖均衡化映射處理的數(shù) 值列于表欄目?jī)?nèi)。（2）利用下式計(jì)算(j sun)變換函數(shù)。

14、計(jì)算步驟如下： 直方圖規(guī)定(gudng)化例共五十三頁(yè)共五十三頁(yè)以此類推(y c li tu)求得： （3）用直方圖均衡化中的 sk 進(jìn)行(jnxng) G 的反變換求z 。 共五十三頁(yè)這一步實(shí)際上是近似過(guò)程(guchng)。也就是找出 與 的最接近的值。例如：與它最接近的是 所以可寫(xiě)成 用這樣方法可得到下列變換值，共五十三頁(yè)（4）用 找出 r 與 z 的映射(yngsh)關(guān)系 共五十三頁(yè)共五十三頁(yè)結(jié)果(ji gu)直方圖數(shù)據(jù) （5）根據(jù)這樣的映射重新分配像素，并用(bn yn) n=4096去除，可得到最后的直方圖。 共五十三頁(yè)圖47 直方圖規(guī)定(gudng)化處理方法 共五十三頁(yè)47直方圖

15、規(guī)定(gudng)化結(jié)果(ji gu)原始直方圖規(guī)定直方圖結(jié)果直方圖共五十三頁(yè)直方圖規(guī)定化-示例(shl)列表共五十三頁(yè)49直方圖規(guī)定(gudng)化效果(xiogu)原始圖像規(guī)定直方圖規(guī)定化后直方圖規(guī)定化后的圖像 共五十三頁(yè)由圖可見(jiàn)，結(jié)果直方圖并不很接近希望的形狀，與直方圖均衡化的情況一樣，這種誤差是多次近似造成的。只有在連續(xù)的情況下，求得準(zhǔn)確的反變換函數(shù)才能得到準(zhǔn)確的結(jié)果。在灰度級(jí)減少時(shí)，規(guī)定的和最后得到的直方圖之間的誤差趨向于增加。但是實(shí)際處理效果表明，盡管(jn gun)是一種近似的直方圖也可以得到較明顯的增強(qiáng)效果。共五十三頁(yè) 利用直方圖規(guī)定化方法進(jìn)行圖像增強(qiáng)的主要困難(kn nn)在

16、于如何構(gòu)成有意義的直方圖。一般有兩種方法，一種是給定一個(gè)規(guī)定的概率密度函數(shù)，如高斯，瑞利等函數(shù)。另一種方法是規(guī)定一個(gè)任意(rny)可控制的直方圖，其形狀可由一些直線所組成，得到希望的形狀后，將這個(gè)函數(shù)數(shù)字化。共五十三頁(yè)52直方圖規(guī)定(gudng)化灰度級(jí)01234567概率0.00.000.000.200.600.000.2灰度級(jí)01234567像素790102385065632924512281概率0.190.250.210.160.080.060.030.02例原始(yunsh)圖像各灰度級(jí)對(duì)應(yīng)的概率分布已知規(guī)定直方圖概率分布如下,求出結(jié)果直方圖 ？共五十三頁(yè)內(nèi)容摘要什么是灰度級(jí)的直方圖呢?；叶戎狈綀D是圖像的一種統(tǒng)計(jì)表達(dá)(biod)，它反映了該圖中不同灰度級(jí)出現(xiàn)的統(tǒng)計(jì)