2022高考總復(fù)習(xí) 數(shù)學(xué)(人教A理一輪)1.2　簡單不等式的解法

1、高考總復(fù)習(xí)優(yōu)化設(shè)計GAO KAO ZONG FU XI YOU HUA SHE JI1.2簡單不等式的解法第一章2022內(nèi)容索引0102必備知識 預(yù)案自診關(guān)鍵能力 學(xué)案突破03案例探究1 三類不等式的解法必備知識 預(yù)案自診【知識梳理】 1.兩個實數(shù)比較大小的方法 =bbb,bcac.(3)可加性:aba+cb+c;ab,cda+cb+d.(4)可乘性:ab,c0acbc;ab,c0acb0,cd0acbd.(5)可乘方:ab0anbn(nN,n1).3.三個“二次”之間的關(guān)系 判別式=b2-4ac0=00)的圖象一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根有兩個相異實根x1,x2(x10(a0

2、)的解集 Rax2+bx+c0)的解集 x|xx2或xx1 x|x1x0或(x-a)(x-b)f(x)恒成立af(x)max;af(x)恒成立af(x)min.4.能成立問題的轉(zhuǎn)化:af(x)能成立af(x)min;af(x)能成立af(x)max.常用結(jié)論5.恰成立問題的轉(zhuǎn)化:af(x)在M上恰成立af(x)的解集為另一轉(zhuǎn)化方法:若xD,f(x)A在D上恰成立,等價于f(x)在D上的最小值f(x)min=A;若xD,f(x)B在D上恰成立,則等價于f(x)在D上的最大值f(x)max=B.注:例如“恒、能、恰”成立:x+10在x-5上是能成立的,在x-1上是恰成立也是恒成立的.而在-1xba

3、c2bc2.()(3)若關(guān)于x的不等式ax2+bx+c0.()(5)若關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0(a0)沒有實數(shù)根,則關(guān)于x的不等式ax2+bx+c0的解集為R.()2.(2019四川雅安一中期中)設(shè)a,b,c,dR,且ab,cd,則下列結(jié)論正確的是()A. B.a-cb-dC.acbdD.a+cb+d答案 D解析 a,b,c,dR,且ab,cd,根據(jù)同向不等式的可加性,得a+cb+d,故選D.3. (2020福建廈門期末檢測)實數(shù)x,y滿足xy,則下列不等式成立的是()B.2-x0D.x2y2答案 B解析 由xy,得-x-y.由y=2t是增函數(shù),得2-x2-y.4.(2020安徽馬鞍山

4、二模,理1)已知集合A=x|x2-2x-30,xZ,B=x|x|2,xZ,則AB=()A.-1,0,1B.-2,-1,0,1C.-1,0,1,2D.-2,-1,0,1,2,3答案 C解析 由題意,得A=-1,0,1,2,3,B=-2,-1,0,1,2,則AB=-1,0,1,2,故選C.5.設(shè)a,b,c是任意實數(shù),能夠說明“若cba且ac0,則abac”是假命題的一組整數(shù)a,b,c的值依次為.答案 1,0,-1(答案不唯一)解析 由cba且ac0,可取a為正數(shù),c為負(fù)數(shù),由命題為假命題,得abac不成立,即ab0,所以a,b,c可取的一組分別為1,0,-1.關(guān)鍵能力 學(xué)案突破考點1比較兩個數(shù)(式

5、)的大小例(1)已知a1,a2(0,1),記M=a1a2,N=a1+a2-1,則M與N的大小關(guān)系是()A.MNC.M=ND.不確定A.abcB.cbaC.cabD.bac答案 (1)B(2)B解析 (1)M-N=a1a2-(a1+a2-1)=a1a2-a1-a2+1=(a1-1)(a2-1).a1(0,1),a2(0,1),a1-10,a2-10,即M-N0.MN.思考比較兩個數(shù)(式)大小常用的方法有哪些?解題心得比較大小常用的方法有作差法、作商法、構(gòu)造函數(shù)法.(1)作差法的一般步驟:作差;變形;定號;下結(jié)論.變形常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式變成積式或者完全平方式.(2)作商法一般

6、適用于分式、指數(shù)式、對數(shù)式,作商只是思路,關(guān)鍵是化簡變形,從而使結(jié)果能夠與1比較大小.(3)構(gòu)造函數(shù)法:構(gòu)造函數(shù),利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小.對點訓(xùn)練1(1)已知實數(shù)a,b,c滿足b+c=6-4a+3a2,c-b=4-4a+a2,則a,b,c的大小關(guān)系是()A.cbaB.acbC.cbaD.acb(2)已知a,b是實數(shù),且eaba解析 (1)c-b=4-4a+a2=(a-2)20,cb.又b+c=6-4a+3a2,2b=2+2a2,b=a2+1,考點2不等式的性質(zhì)及應(yīng)用【例2】 (1)(2020北京海淀一模,4)已知實數(shù)a,b,c在數(shù)軸上對應(yīng)的點如圖所示,則下列式子中正確的是()答案 (1)D(

7、2)C解析 (1)(方法1)根據(jù)數(shù)軸可得cba|b|a|,對于A:因為cb,a0,所以c+ab,則c+acbb-a,即c+ab-a,故A錯誤;對于B:因為cba|b|a|,所以c2b2a2,且b2ab,所以c2b2ab,即c2ab,故B錯誤;對于C:因為ba|a|,且c0,所以|b|cb0,則下列不等式一定成立的有()A.a2b2 B.-ab0,則下列不等式中正確的是()A.log2(ab)bc2答案 (1)B(2)C 解析 (1)因為ab0,于是a2b2,故A不正確;由ab0,得-ab,所以等號取不到,故C不正確;當(dāng)a=3,b=2時,3+2b0,得abb2,所以log2(ab)log2b2,

8、故A不正確;因為c20,當(dāng)c2=0時,ac2=bc2,故B不正確;考點3利用均值不等式證明不等式考向1常系數(shù)一元二次不等式的解法【例3】 解下列不等式:(1)2x2-3x-20;(2)-3x2+6x-20;(3)4x2-4x+10;(4)x2-2x+20.(4)因為x2-2x+2=0的判別式0或(x-a)(x-b)0型不等式,再依據(jù)“大于取兩邊,小于取中間”的口訣寫出解集;對難于因式分解的不等式可采用判別式法求解,先計算對應(yīng)方程的判別式,若判別式不小于零,求出相應(yīng)的一元二次方程的根,畫出對應(yīng)函數(shù)的簡圖,由圖象得出不等式的解集,若判別式小于零,直接根據(jù)對應(yīng)函數(shù)的圖象確定不等式的解集.對點訓(xùn)練3解

9、下列不等式:(1)x2-3x+20;(3)-2x2+3x+20.考向2含參數(shù)的一元二次不等式的解法【例4】 解關(guān)于x的不等式ax2+2x+10.思考如何解含參數(shù)的一元二次不等式?解題心得含有參數(shù)的不等式的求解,需要對參數(shù)進(jìn)行分類討論,討論有三層:第一,若二次項系數(shù)含參數(shù),先討論二次項系數(shù)是否為零,以確定不等式是一次不等式還是二次不等式;第二,當(dāng)二次項系數(shù)不為零時,若不易分解因式,則依據(jù)判別式符號進(jìn)行分類討論;第三,對方程的根進(jìn)行討論,比較大小,以便寫出解集.對點訓(xùn)練4解關(guān)于x的不等式x2-ax-2a20. 解 原不等式變形為(x-2a)(x+a)0,則-ax2a,此時不等式的解集為x|-ax2

10、a;若a0,則2ax-a,此時不等式的解集為x|2ax-a;若a=0,則原不等式即為x20,此時解集為.考點4分式不等式的解法A(UB)=()A.x|1x2B.x|1x2 C.x|1x2D.x|1x4答案 C 思考解分式不等式的基本思路是什么? 考點5均值不等式的實際應(yīng)用考向1主元x在R上恒成立求參數(shù)范圍【例6】若一元二次不等式2kx2+kx- 0對一切實數(shù)x都成立,則k的取值范圍為()A.(-3,0B.-3,0)C.-3,0D.(-3,0)答案 D 考向2主元x在給定區(qū)間上恒成立求參數(shù)范圍【例7】(2019黑龍江佳木斯一中調(diào)研二)設(shè)對任意實數(shù)x-1,1,不等式x2+ax-3a0恒成立,則實數(shù)

11、a的取值范圍是()思考解決在給定區(qū)間上恒成立問題有哪些方法? 答案 B (方法2)設(shè)f(x)=x2+ax-3a,對任意實數(shù)x-1,1,不等式x2+ax-3a0恒成立,考向3給定參數(shù)范圍的恒成立問題【例8】已知對任意的k-1,1,函數(shù)f(x)=x2+(k-4)x+4-2k的值恒大于零,則x的取值范圍是.答案 x|x3解析 x2+(k-4)x+4-2k0恒成立,即g(k)=(x-2)k+(x2-4x+4)0在k-1,1時恒成立.解題心得 1.ax2+bx+c0(a0)對任意實數(shù)x恒成立的條件是2.含參數(shù)的一元二次不等式在某區(qū)間內(nèi)恒成立問題,常有兩種解決方法:一是利用二次函數(shù)在區(qū)間上的最值來解決;二

12、是先分離出參數(shù),再通過求函數(shù)的最值來解決.3.已知參數(shù)范圍求函數(shù)自變量的范圍的一般思路是更換主元法.把參數(shù)當(dāng)作函數(shù)的自變量,得到一個新的函數(shù),然后利用新函數(shù)求解.對點訓(xùn)練6(1)已知a為常數(shù),xR,ax2+ax+10,則a的取值范圍是()A.(0,4)B.0,4)C.(0,+)D.(-,4)(2)已知函數(shù)f(x)=x2+mx-1,若對于任意xm,m+1,都有f(x)0成立,則實數(shù)m的取值范圍是.(3)已知不等式xyax2+2y2對x1,2,y2,3恒成立,則實數(shù)a的取值范圍是.要點歸納小結(jié)1.比較法是不等式性質(zhì)證明的理論依據(jù),是不等式證明的主要方法之一.作差法的主要步驟為作差變形判斷正負(fù).2.

13、判斷不等式是否成立,主要有利用不等式的性質(zhì)和特殊值驗證兩種方法,特別是對于有一定條件限制的選擇題,用特殊值驗證的方法更簡單.3.簡單的分式不等式可以等價轉(zhuǎn)化,利用一元二次不等式的解法進(jìn)行求解.4.“三個二次”的關(guān)系是解一元二次不等式的理論基礎(chǔ);一般可把a0的情形.要點歸納小結(jié)5.(1)對于一元二次不等式恒成立問題,恒大于0就是相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象在給定的區(qū)間上全部在x軸上方,恒小于0就是相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象在給定的區(qū)間上全部在x軸下方.另外常轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值或用分離參數(shù)法求最值.(2)解決恒成立問題一定要搞清誰是主元,誰是參數(shù).一般地,知道誰的范圍,誰就是主元,求誰的范圍,誰就是參數(shù).案

14、例探究1 三類不等式的解法 中學(xué)階段解不等式的基本思想是轉(zhuǎn)化與化歸思想,對于含有參數(shù)的不等式,還要用到分類討論思想、函數(shù)與方程思想以及數(shù)形結(jié)合的思想.根據(jù)以上基本思想,同學(xué)們有必要探究以下幾種不等式的解法,以提高自己的數(shù)學(xué)素養(yǎng).一 含有絕對值的不等式1.絕對值的屬性:非負(fù)性.2.式子中含有絕對值,通常的處理方法有兩種:一是通過對絕對值內(nèi)部符號進(jìn)行分類討論(常用);二是通過平方去掉絕對值.3.若不等式滿足以下特點,可直接利用公式進(jìn)行變形求解:(1)|f(x)|g(x)的解集與f(x)g(x)或f(x)-g(x)的解集相同;(2)|f(x)|g(x)的解集與-g(x)f(x)g(x)的解集相同.4

15、.對于其他含絕對值的問題,則要具體問題具體分析,通?？捎玫氖侄尉褪窍壤梅诸愑懻撊サ艚^對值,將其轉(zhuǎn)化為整式不等式,再做處理.【例1】解下列不等式:(1)|x2+x|3x;(2)|x-1|+|x+2|5;(3)|2x-1|-|x-2|1時,不等式變?yōu)閤-1+x+25,解得x2,1x2.當(dāng)-2x1時,不等式變?yōu)?-x+x+25,解得35,-2x1時不等式均成立.當(dāng)x-2時,不等式變?yōu)?-x-x-2-3,-3x-2.綜上所述,不等式的解集為(-3,2).(3)思路:本題依然可以仿照(2)的方式進(jìn)行零點分段,再解不等式,但從另一個角度觀察,所解不等式為|2x-1|b0a2b2)一次將兩個絕對值去掉,再

16、進(jìn)行求解.|2x-1|x-2|,(2x-1)2(x-2)2,4x2-4x+1x2-4x+4,3x23,解得-1x0.解法一(列表法):求得相應(yīng)方程的根為-2,1,3.列表如下:x-2-2x11x3x+2-+x-1-+x-3-+各因式積-+-+由上表可知,原不等式的解集為x|-2x3. 小結(jié):此法叫列表法,解題步驟是:將不等式化為(x-x1)(x-x2)(x-xn)0(0”,則找“線”在x軸上方的區(qū)間;若不等式是“0”,則找“線”在x軸下方的區(qū)間.由圖可知,原不等式的解集為x|-2x3.小結(jié):此法叫穿根法,解題步驟是:將不等式化為(x-x1)(x-x2)(x-xn)0(0”,則找“線”在x軸上方的區(qū)間;若不等式是“0”,則找“線”在x軸下方的區(qū)間.【例3】解不等式:(x-2)2(x-3)3(x+1)0.解檢查各因式中x的符號均正.求得相應(yīng)方程的根為-1,2,3(注意:2是二重根,3是三重根).在數(shù)軸上表示各根并穿線,每個根穿一次(自右上方開始),如下圖.原不等式的解集為x|-1x2或2x3.說明:3是三重根,在C處穿三次,2是二重根,在B處穿兩次,結(jié)果相當(dāng)于沒穿.由此看出,當(dāng)左側(cè)f(x)有相同因式(x-x1)n時,n為奇數(shù)時,曲線在x1點處穿過數(shù)軸;n為偶數(shù)時,曲線在x1點處不穿過數(shù)軸,不妨歸納為“奇穿偶不穿”.對點訓(xùn)練 解不等式