高中數(shù)學(xué)題型全面歸納（教師版）：6.1數(shù)列23

1、第六章 數(shù) 列本章知識(shí)結(jié)構(gòu)圖數(shù)列常見(jiàn)遞推類型及方法逐差累加法逐商累積法構(gòu)造等比數(shù)列aneq f(q,p1)構(gòu)造等差數(shù)列an1anf (n)eq f(an + 1,an)f (n)an1panqpan1ananan1化為eq f(an1,qn)=eq f(p,q)eq f(an,qn1)1轉(zhuǎn)為an + 1panqn公式法：應(yīng)用等差、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式分組求和法倒序相加法裂項(xiàng)求和法錯(cuò)位相加法常見(jiàn)求和方法概念表示等差數(shù)列與等比數(shù)列的類比解析法：anf (n)通項(xiàng)公式圖象法列表法遞推公式等差數(shù)列通項(xiàng)公式求和公式性質(zhì)判斷ana1(n1)dana1qn1anamaparanamapar前n項(xiàng)和Sneq

2、 f(n(a1an),2)前n項(xiàng)積(an0)Tneq r(a1an)n)等比數(shù)列an0，q0Sneq blc(aal(na1，q1,f(a1(1qn),1q)，q1)數(shù)列是特殊的函數(shù)第一節(jié) 等差數(shù)列與等比數(shù)列考綱解讀理解等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念.掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式.能在具體的問(wèn)題情境中，識(shí)別數(shù)列的等差關(guān)系或等比關(guān)系，并能用有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的問(wèn)題.了解等差數(shù)列與一次函數(shù)、等比數(shù)列的性質(zhì)以及函數(shù)的關(guān)系一直是高考中的熱點(diǎn).命題趨勢(shì)探究從內(nèi)容上看，等差、等比數(shù)列的性質(zhì)以及與函數(shù)的關(guān)系一直是高考中的熱點(diǎn).2. 在能力方面，要求學(xué)生具備一定的創(chuàng)新能力和抽象概括能力.3. 從命題

3、形式上看,以選擇、填空題為主,難度不大.知識(shí)點(diǎn)精講一、基本概念1.數(shù)列(1)定義.按照一定順序排列的一列數(shù)就叫做數(shù)列.(2)數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系.從函數(shù)的角度來(lái)看,數(shù)列是特殊的函數(shù).在中,當(dāng)自變量時(shí),所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值就構(gòu)成一數(shù)列,通常記為,所以數(shù)列有些問(wèn)題可用函數(shù)方法來(lái)解決.2.等差數(shù)列(1)定義.一般地,如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的差等于同一常數(shù),則該數(shù)列叫做等差數(shù)列,這個(gè)常數(shù)叫做公差,常用字母表示,即.(2)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式.若等差數(shù)列的首項(xiàng)是,公差是,則其通項(xiàng)公式為,是關(guān)于的一次型函數(shù).或,公差(直線的斜率)().(3)等差中項(xiàng).若成等差數(shù)列,那么叫做與的等差中項(xiàng),即或,.在一

4、個(gè)等差數(shù)列中,從第2項(xiàng)起(有窮等差數(shù)列的末項(xiàng)除外),每一項(xiàng)都是它的前一項(xiàng)與后一項(xiàng)的等差中項(xiàng);事實(shí)上,等差數(shù)列中每一項(xiàng)都是與其等距離的前后兩項(xiàng)的等差中項(xiàng).(4)等差數(shù)列的前項(xiàng)和(類似于),是關(guān)于的二次型函數(shù)(二次項(xiàng)系數(shù)為且常數(shù)項(xiàng)為0).的圖像在過(guò)原點(diǎn)的直線上或在過(guò)原點(diǎn)的拋物線上.3.等比數(shù)列(1)定義.一般地,如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)非零常數(shù),則該數(shù)列叫做等比數(shù)列,這個(gè)常數(shù)叫做公比,常用字母表示,即.(2)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式.等比數(shù)列的通項(xiàng),是不含常數(shù)項(xiàng)的指數(shù)型函數(shù).(3).(4)等比中項(xiàng)如果成等比數(shù)列,那么叫做與的等比中項(xiàng),即或(兩個(gè)同號(hào)實(shí)數(shù)的等比中項(xiàng)有兩個(gè)).(

5、5)等比數(shù)列的前項(xiàng)和注等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式有兩種形式,在求等比數(shù)列的前項(xiàng)和時(shí),首先要判斷公比是否為1,再由的情況選擇相應(yīng)的求和公式,當(dāng)不能判斷公比是否為1時(shí),要分與兩種情況討論求解.已知(項(xiàng)數(shù)),則利用求解;已知,則利用求解.,為關(guān)于的指數(shù)型函數(shù),且系數(shù)與常數(shù)互為相反數(shù).例如等比數(shù)列,前項(xiàng)和為,則.解:等比數(shù)列前項(xiàng)和,則.二、基本性質(zhì)1.等差數(shù)列的性質(zhì)(1)等差中項(xiàng)的推廣.當(dāng)時(shí),則有,特別地,當(dāng)時(shí),則有.(2)等差數(shù)列線性組合.設(shè)是等差數(shù)列,則也是等差數(shù)列.設(shè)是等差數(shù)列,則也是等差數(shù)列.(3)有限數(shù)列.對(duì)于項(xiàng)數(shù)為的等差數(shù)列,有:().().對(duì)于項(xiàng)數(shù)為的等差數(shù)列,有;().().(4)等差數(shù)列的

6、單調(diào)性及前項(xiàng)和的最值.公差為遞增等差數(shù)列,有最小值;公差為遞減等差數(shù)列,有最大值;公差為常數(shù)列.特別地若,則有最大值(所有正項(xiàng)或非負(fù)項(xiàng)之和);若,則有最小值(所有負(fù)項(xiàng)或非正項(xiàng)之和).(5)其他衍生等差數(shù)列.若已知等差數(shù)列,公差為,前項(xiàng)和為,則:等間距抽取為等差數(shù)列,公差為.等長(zhǎng)度截取為等差數(shù)列,公差為.算術(shù)平均值為等差數(shù)列,公差為.2.等差數(shù)列的幾個(gè)重要結(jié)論(1)等差數(shù)列中,若,則.(2)等差數(shù)列中,若,則.(3)等差數(shù)列中,若,則.(4)若與為等差數(shù)列,且前項(xiàng)和為與,則.3.等比數(shù)列的性質(zhì)(1)等比中項(xiàng)的推廣.若時(shí),則,特別地,當(dāng)時(shí),.(2)設(shè)為等比數(shù)列,則(為非零常數(shù)),仍為等比數(shù)列.設(shè)與

7、為等比數(shù)列,則也為等比數(shù)列.(3)等比數(shù)列的單調(diào)性(等比數(shù)列的單調(diào)性由首項(xiàng)與公比決定).當(dāng)或時(shí),為遞增數(shù)列;當(dāng)或時(shí),為遞減數(shù)列.(4)其他衍生等比數(shù)列.若已知等比數(shù)列,公比為,前項(xiàng)和為,則:等間距抽取為等比數(shù)列,公比為.等長(zhǎng)度截取為等比數(shù)列,公比為(當(dāng)時(shí),不為偶數(shù)).4.等差數(shù)列與等比數(shù)列的轉(zhuǎn)化(1)若為正項(xiàng)等比數(shù)列,則為等差數(shù)列.(2)若為等差數(shù)列,則為等比數(shù)列.(3)若既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列是非零常數(shù)列.題型歸納及思路提示題型 等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)及基本量的求解思路提示利用等差(比)數(shù)列的通項(xiàng)公式或前項(xiàng)和公式,列出關(guān)于基本量的方程或不等式從而求出所求的量.一、求等差數(shù)列的公差及公差的取值

8、范圍例6.1 記等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,若,則該數(shù)列的公差( ).A.7 B.6 C.3 D.2解析 由式可解得,故選C.評(píng)注 求解基本量用的是方程思想.變式1 （2017全國(guó)1理4）記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和若，則的公差為（ ）.A1 B2 C4 D8解析 ，聯(lián)立，得，即，所以.故選C.變式2 已知等差數(shù)列首項(xiàng)為31,從第16項(xiàng)起小于1,則此數(shù)列公差的取值范圍是( ).A. B. C. D.解析 由已知心有，故排除C；又由得解出故選B.二、求等比數(shù)列的公比例6.2（1）（2018北京卷文） “十二平均律” 是通用的音律體系，明代朱載堉最早用數(shù)學(xué)方法計(jì)算出半音比例，為這個(gè)理論的發(fā)展做出了重要貢獻(xiàn).十二平

9、均律將一個(gè)純八度音程分成十二份，依次得到十三個(gè)單音，從第二個(gè)單音起，每一個(gè)單音的頻率與它的前一個(gè)單音的頻率的比都等于.若第一個(gè)單音的頻率為f，則第八個(gè)單音的頻率為（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】因?yàn)槊恳粋€(gè)單音與前一個(gè)單音頻率比為，所以，又，則故選D.（2）在等比數(shù)列中,則公比的值為( ).A.2 B.3 C.4 D.8解析 因?yàn)?所以則,故選A.變式1 等比數(shù)列的前項(xiàng)和為,且成等差數(shù)列,若,則( ).A.7 B.8 C.15 D.16解析 設(shè)an的公比為q，由成等差數(shù)列知，即，且，故得.所以.故選C.變式2 等比數(shù)列的前項(xiàng)和為,若成等差數(shù)列,則的公比為.解析 解法一：等比數(shù)列a

10、n的公比（因?yàn)椴怀傻炔顢?shù)列），由成等差數(shù)列，得，即，解得.解法二：由成等差數(shù)列， 得，.評(píng)注 等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為，若成等差數(shù)列，則得三、求數(shù)列的通項(xiàng)例6.3 (1)2016全國(guó)甲文17）等差數(shù)列中，.求的通項(xiàng)公式； (2)（2017全國(guó)1文17）記為等比數(shù)列的前項(xiàng)和.已知，.求的通項(xiàng)公式；解析 (1)解析 ，解得，所以（）.(2)解析 由題意設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為，則，從而，即，整理得，因此，所以，數(shù)列的通項(xiàng)公式為變式1 為等差數(shù)列的前項(xiàng)和,則.解析 利用等差數(shù)列的性質(zhì)及通項(xiàng)公式求解.因?yàn)榈炔顢?shù)列an中，即，又，所以，則變式2 已知兩個(gè)等比數(shù)列,滿足,求數(shù)列的通項(xiàng)公式.解析 設(shè)的公比

11、為q，則，由成等比數(shù)列得，即解得所以的通項(xiàng)公式為.例6.4 在等差數(shù)列中,且為和的等比中項(xiàng),求數(shù)列的前項(xiàng)和為.解析 設(shè)該數(shù)列的公差為,前項(xiàng)和為.由已知,得,所以,解得或,即數(shù)列的首項(xiàng)為4,公差為0,或首項(xiàng)為1,公差為3.所以數(shù)列的前項(xiàng)和為或.變式1 已知數(shù)列的前項(xiàng)和,則其通項(xiàng);若它的第項(xiàng)滿足,則.解析 當(dāng)n=1時(shí)，由，求得此式對(duì)于也成立.要滿足只需從而有而因此變式2 已知數(shù)列的前項(xiàng)和為非零實(shí)數(shù)),那么( ).A.一定是等差數(shù)列 B.一定是等比數(shù)列C.或者是等差數(shù)列,或者是等比數(shù)列D.既不可能是等差數(shù)列,也不可能是等比數(shù)列解析 當(dāng)n=1時(shí)，得當(dāng)時(shí)，（時(shí)也成立）當(dāng)時(shí)， ，為等差數(shù)列；當(dāng)時(shí)，為等比數(shù)

12、列，首項(xiàng)為公比為a.故選C.評(píng)注 本題還可以使用結(jié)論法，當(dāng)時(shí)， 為等差數(shù)列，當(dāng)時(shí)，因?yàn)橄党；シ吹闹笖?shù)函數(shù)，故為等比數(shù)列.題型81 等差、等比數(shù)列的求和思路提示求解等差或等比數(shù)列的前項(xiàng)和,要準(zhǔn)確地記住求和公式,并合理選取公式,尤其是要注意其項(xiàng)數(shù)的值;對(duì)于奇偶項(xiàng)通項(xiàng)不統(tǒng)一和含絕對(duì)值的數(shù)列的求和問(wèn)題要注意分類討論.主要是從為奇數(shù)、偶數(shù),項(xiàng)的正、負(fù)進(jìn)行分類.一、公式法(準(zhǔn)確記憶公式,合理選取公式)例6.5 在等比數(shù)列中,若,則該數(shù)列的前10項(xiàng)和為( ).解析 由,所以,故選B.變式1 是由正數(shù)組成的等比數(shù)列,為前項(xiàng)和,已知,則.解析 由數(shù)列為等比數(shù)列，得=1， ，又為正項(xiàng)數(shù)列，所以，設(shè)等比數(shù)列的公比為

13、q，得，即，得（舍）或.=變式2 設(shè),則.解析 解法一：利用公式解法二：利用，（指數(shù)成等差數(shù)列，故一共有項(xiàng)）.解法三：當(dāng)時(shí)，只有D符合.故選D.評(píng)注 等比數(shù)列的求和公式利用時(shí)，要特別注意項(xiàng)數(shù)的問(wèn)題，本題中的項(xiàng)共有項(xiàng)（指數(shù)成等差數(shù)列，得）但使用即解法一不必考慮項(xiàng)數(shù)，只需知首項(xiàng)、末項(xiàng)及公比即可，這樣計(jì)算等比數(shù)列的前項(xiàng)和會(huì)更加簡(jiǎn)捷.二、關(guān)于等比數(shù)列求和公式中的討論例6.6 設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為,若成等差數(shù)列,求數(shù)列的公比.解析 若,則,因?yàn)?所以,與成等差數(shù)列矛盾,故. 由題意可得,即有,整理得,又,故,即.因?yàn)?所以,所以.變式1 設(shè)數(shù)列是等比數(shù)列,其前項(xiàng)和為,且,則其公比.解析 當(dāng)時(shí)，符合題目條

14、件；當(dāng)時(shí)，由，因?yàn)?，所以，解?綜上，公比為或.變式2 求和.解析 當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)且時(shí)，所以兩式相減得，所以.又當(dāng)時(shí)，符合上式，綜上，.三、關(guān)于奇偶項(xiàng)求和問(wèn)題的討論例6.7 已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為,求其前項(xiàng)和為.解析 (1)當(dāng)為偶數(shù)時(shí),.(2)當(dāng)為奇數(shù)時(shí),則為偶數(shù),所以.綜上,.評(píng)注：本題中，將為奇數(shù)的情形轉(zhuǎn)化為為偶數(shù)的情形，可以避免 不必要的計(jì)算，此技巧值得同學(xué)們借鑒和應(yīng)用。變式1 已知數(shù)列中，通項(xiàng)，求其前項(xiàng)和.解析（1）當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，所以.（2）當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，則為偶數(shù)，所以.綜上，四、對(duì)于含絕對(duì)值的數(shù)列求和例6.8 已知數(shù)列的前項(xiàng)和，數(shù)列的每一項(xiàng)都有 ，求數(shù)列的前項(xiàng)和解析：由，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，滿

15、足，故（）由，當(dāng)時(shí)，此時(shí)當(dāng)時(shí)，此時(shí)故數(shù)列的前項(xiàng)和評(píng)注：由正項(xiàng)開(kāi)始的遞減等差數(shù)列的絕對(duì)值求和的計(jì)算題解題步驟如下：(1)首先找出零值或者符號(hào)由正變負(fù)的項(xiàng)(2)在對(duì)進(jìn)行討論，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，變式1 在等差數(shù)列中，其前項(xiàng)和為(1)求使的最小正整數(shù)(2)求的表達(dá)式解析 （1）由為等差數(shù)列，得，則，得，故最小正整數(shù)為.（2），當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.故題型82 等差、等比數(shù)列的性質(zhì)應(yīng)用思路提示利用等差、等比數(shù)列的性質(zhì)，主要是利用: = 1 * GB3 * MERGEFORMAT 等差中項(xiàng)和等比中項(xiàng) = 2 * GB3 * MERGEFORMAT 等差數(shù)列中成等差數(shù)列；等比數(shù)列中(當(dāng)時(shí)不為偶數(shù))成等比數(shù)列. = 3

16、* GB3 * MERGEFORMAT 等差數(shù)列 = 4 * GB3 * MERGEFORMAT 等差數(shù)列的單調(diào)性利用以上性質(zhì)，對(duì)巧解數(shù)列的選擇題和填空題大有裨益。利用性質(zhì):當(dāng)時(shí)，在等差數(shù)列中，有；在等比數(shù)列中，有求解。例6.9 已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則等于（ ）A、18 B、36 C、54 D、72解析：由得，72故選D變式1 （2015重慶理2）在等差數(shù)列中，若，則（ ）.A. B. 0 C. 1 D. 6解析 由等差中項(xiàng)知：，所以.故選B.變式2 在等差數(shù)列中，則該數(shù)列的前13項(xiàng)和等于（ ）A、13 B、26 C、52 D、156解析 由，得，.故選B.變式3在等差數(shù)列中，則該數(shù)列

17、的前9項(xiàng)和等于（ ）A、66 B、99 C、144 D、297解析 解法一：設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，則.解法二：由于為等差數(shù)列，得二、利用等差數(shù)列中成等差數(shù)列；等比數(shù)列中（當(dāng)時(shí)不為偶數(shù)成等比數(shù)列求解。例6.10 等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若,則等于（ ）A、12 B、18 C、24 D、42解析：由成等差數(shù)列且，知，可得=14+=24 故選C評(píng)注：本題除了使用本法求解之外，還有幾種求解方法，如（1）基本量法；（2）使用為等差數(shù)列求解；（3）使用求解變式1 等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（ ）A、 B、 C、 D、解析 由等差數(shù)列的性質(zhì)知，成等差數(shù)列，令，則，則，所以.故選A.變式2 等比數(shù)列的前項(xiàng)和

18、為，若，則（ ）A、2 B、 C、 D、3解析 由等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，可知成等差數(shù)列，則可設(shè)，則得，故.故選B.用有限等差數(shù)列的性質(zhì)求解例6.11 已知某等差數(shù)列共有10項(xiàng)，其奇數(shù)項(xiàng)之和為15，偶數(shù)項(xiàng)之和為30，則其公差為（ ）A、5 B、4 C、3 D、2解析：依題意有， 可知，得，故選C變式1 已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為377，項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)，且奇數(shù)項(xiàng)的和與偶數(shù)項(xiàng)的和之比為7:6，求中項(xiàng)解析 設(shè)，則的中間項(xiàng)為，解得即中間項(xiàng)為.變式2 已知數(shù)列與都是等差數(shù)列，且前項(xiàng)和為與，且，則使得為整數(shù)的正整數(shù)的個(gè)數(shù)是（ ）A、2 B、3 C、4 D、5解析 ，因此，故，共個(gè)數(shù).故選D.利用等差、等比數(shù)列的單調(diào)性

19、求解例6.12 已知數(shù)列是遞增數(shù)列，且對(duì)，都有，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）A、 B、 C、 D、解析：由遞增數(shù)列的定義，（），得，即，恒成立，則，故選D評(píng)注：（1）【錯(cuò)解】因?yàn)?，由題意知是遞增數(shù)列，所以在上是單調(diào)遞增函數(shù)。因此可得，即所求的取值范圍是.以上解答由是遞增數(shù)列斷定在上是單調(diào)遞增函數(shù)，這是錯(cuò)誤的，因?yàn)閿?shù)列通項(xiàng)公式中的是正整數(shù)，而不是取上的任意實(shí)數(shù)。如圖6-1所示的數(shù)列顯然是遞增數(shù)列，但不滿足，事實(shí)上，.上述錯(cuò)解是由于忽略的取值范圍而導(dǎo)致錯(cuò)誤。在處理數(shù)列的單調(diào)性問(wèn)題時(shí)應(yīng)利用數(shù)列的單調(diào)性定義，即“若數(shù)列是遞增數(shù)列，恒成立”。數(shù)列的單調(diào)性與，的單調(diào)性不完全一致。一般情況下我們不應(yīng)把數(shù)列的單

20、調(diào)性轉(zhuǎn)化為相應(yīng)連續(xù)函數(shù)的單調(diào)性來(lái)處理。但若數(shù)列對(duì)應(yīng)的連續(xù)函數(shù)是單調(diào)函數(shù)，則可以借助其單調(diào)性來(lái)求解數(shù)列的單調(diào)性問(wèn)題。即“離散函數(shù)有單調(diào)性連續(xù)函數(shù)由單調(diào)性；連續(xù)函數(shù)有單調(diào)性離散函數(shù)有單調(diào)性”。變式1 已知函數(shù)，若數(shù)列滿足 (),且是遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）A、 B、 C、 D、解析 因?yàn)閿?shù)列為遞增數(shù)列，所以在上單調(diào)遞增，故在與上分別遞增，且，故，即，故的取值范圍是，故選C.例6.13 在等差數(shù)列中，已知，前項(xiàng)和為，且，求當(dāng)為何值時(shí)，取最大值，并求此最大值。分析：由及，可求出，進(jìn)而求出通項(xiàng)，由通項(xiàng)得到此數(shù)列前多少項(xiàng)為正，或利用是關(guān)于的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)求最值的方法求解。解析 解法一：因

21、為，所以，得，所以，故，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以當(dāng)時(shí)，取最大值，最大值為=130解法二：依題意，,如圖6-2所示。由得時(shí)取最大值，得到，=130解法三： 由知，故，得，故當(dāng)時(shí)取最大值，最大值為=130.評(píng)注：求等差數(shù)列前項(xiàng)和的最值的常用方法如下：（1）利用等差數(shù)列的單調(diào)性，求出其正負(fù)轉(zhuǎn)折項(xiàng)。（2）利用性質(zhì)求出其正負(fù)轉(zhuǎn)折項(xiàng)，便可以求得和的最值。（3）利用等差數(shù)列前項(xiàng)和為二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求最值。變式1 數(shù)列是等差數(shù)列，若，且其前項(xiàng)和有最小值，那么當(dāng)取最小值時(shí)，等于（ ）A、11 B、17 C、19 D、20解析 由，為等差數(shù)列且其前項(xiàng)和有最小值，故，因此，故，如圖6-5所示，因此當(dāng)取得最小

22、正值時(shí)，故選D.變式2 設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為，則“”是“對(duì)于任意都有”的（ ）A、充分不必要條件 B、必要不充分條件 C、充分必要條件 D、既不充分也不必要條件解析由或可得為遞增數(shù)列，即，反之不一定得到，故“且”是“對(duì)于任意都有”的充分不必要條件.變式3 已知（），則在數(shù)列的前50項(xiàng)中最小項(xiàng)和最大項(xiàng)分別是（ ）A、 B、 C、 D、解析 ，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，且；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，且，所以數(shù)列的前50項(xiàng)中最小項(xiàng)和最大項(xiàng)分別是.故選D.題型83 判斷和證明數(shù)列是等差、等比數(shù)列思路提示判斷和證明數(shù)列是等差、等比數(shù)列常見(jiàn)的3中方法如下：（1）定義法：對(duì)于的任意正整數(shù)，都有（或）為同一常數(shù)（用于證明）

23、。（2）通項(xiàng)公式法： = 1 * GB3 * MERGEFORMAT 若，則數(shù)列為等差數(shù)列（用于判斷）； = 2 * GB3 * MERGEFORMAT 若，則數(shù)列為等比數(shù)列（用于判斷）；（3）中項(xiàng)公式法： = 1 * GB3 * MERGEFORMAT 若（），則數(shù)列為等差數(shù)列（用于證明）； = 2 * GB3 * MERGEFORMAT 若（），則數(shù)列為等比數(shù)列（用于證明）；定義法例6.14 (1)設(shè)為等差數(shù)列，證明：數(shù)列（）是等比數(shù)列。(2)設(shè)為正項(xiàng)等比數(shù)列，證明：數(shù)列（）是等差數(shù)列。分析 本題蔣函數(shù)與數(shù)列巧妙地結(jié)合，完美地進(jìn)行等差數(shù)列與等比數(shù)列的轉(zhuǎn)化，可利用定義法證明。解析（1）為等差

24、數(shù)列，則（，為常數(shù)），令，則是常數(shù)，所以數(shù)列是等比數(shù)列。（2）為正項(xiàng)等比數(shù)列，則（）令，則是常數(shù)，所以數(shù)列是等差數(shù)列。評(píng)注 將等差數(shù)列轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列，利用指數(shù)運(yùn)算來(lái)轉(zhuǎn)化；將正項(xiàng)等比數(shù)列轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列，利用對(duì)數(shù)運(yùn)算來(lái)轉(zhuǎn)化。變式1 在數(shù)列中，且（1）設(shè)，求證：數(shù)列是等比數(shù)列（2）設(shè)，求證：數(shù)列是等差數(shù)列解析 （1）由-得，所以.當(dāng)時(shí)，所以所以，令，所以，故數(shù)列是等比數(shù)列.（2）因?yàn)閿?shù)列是等比數(shù)列，.所以，則，所以令，又，故，因此數(shù)列是等差數(shù)列.變式2 數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，（），證明：數(shù)列是等比數(shù)列。解析 由得，所以，所以又，因此數(shù)列是等比數(shù)列.變式3 已知定義在R上的函數(shù)和數(shù)列滿足下列條件：，（

25、），（），（），其中為常數(shù)，為非零常數(shù)。令（），證明：數(shù)列為等比數(shù)列解析 ，所以，已知，所以，又，則，且，所以數(shù)列是等比數(shù)列.中項(xiàng)公式法例6.15 已知數(shù)列滿足，（）. (1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列。 (2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式。 (3)若數(shù)列滿足（），證明：數(shù)列是等差數(shù)列。分析 第（1）問(wèn)利用定義證明；由第（1）問(wèn)可得的通項(xiàng)公式；第（3）問(wèn)的解答需要將的通項(xiàng)公式帶入并整理。三問(wèn)環(huán)環(huán)相扣，每一問(wèn)都是后一問(wèn)解題的基礎(chǔ)。解析 （1）因?yàn)?，所以，即，（），又，故?shù)列是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列。（2）由（1）得（）故，（）疊加得到，所以（）時(shí)也成立，所以（）（3）由（2）可知，即，故設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，則

26、 = 1 * GB3 * MERGEFORMAT ， = 2 * GB3 * MERGEFORMAT ，兩式相減得即 = 3 * GB3 * MERGEFORMAT 則有 = 4 * GB3 * MERGEFORMAT （） = 4 * GB3 * MERGEFORMAT = 3 * GB3 * MERGEFORMAT 得，即（）故數(shù)列是等差數(shù)列。評(píng)注 第（1）問(wèn)給出數(shù)列的一個(gè)遞推公式，要證明形如的數(shù)列為等差或等比數(shù)列，一般將遞推公式代入，利用定義法證明。利用等差中項(xiàng)法解決第（3）問(wèn)并不能明顯看出來(lái)，這需要在對(duì)第（3）問(wèn)的整理和變形中去發(fā)現(xiàn)解題方法。在解數(shù)學(xué)題時(shí)，既要有嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评?，也要勇于探?/p>

27、嘗試。變式1 設(shè)是公比不為1的等比數(shù)列，其前項(xiàng)和為，且，成等差數(shù)列(1)求數(shù)列的公比；(2)證明：對(duì)任意成等差數(shù)列解析 （1）依題意，設(shè)公比不為1的等比數(shù)列的公比為，由成等差數(shù)列，得，所以，得，解得（舍），（2）要證明對(duì)任意，成等差數(shù)列，只需證明因?yàn)樗詫?duì)任意，成等差數(shù)列.或利用求和公式展開(kāi).，因此對(duì)任意，成等差數(shù)列.變式2設(shè)數(shù)列中的每一項(xiàng)都不為0 . 證明：為等差數(shù)列的充分必要條件是：對(duì)任何，都有+解析 先證必要性.設(shè)數(shù)列的公差為，若，則所述等式顯然成立.若則再正充分性.依題意有-得在上式兩端同乘，得同理可得-得，即，所以為等差數(shù)列.評(píng)注 本題考查等差數(shù)列、充要條件等有關(guān)知識(shí)和推理論證、運(yùn)算

28、求解能力.求解時(shí)，必要性證明的關(guān)鍵是利用裂項(xiàng)相消的方法，充分性證明的關(guān)鍵是利用遞推關(guān)系推導(dǎo)出等差數(shù)列的定義.題型84 等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合應(yīng)用思路提示等差數(shù)列與等比數(shù)列的相互轉(zhuǎn)化：等差數(shù)列通過(guò)指數(shù)運(yùn)算轉(zhuǎn)化為正項(xiàng)等比數(shù)列，正項(xiàng)等比數(shù)列通過(guò)對(duì)數(shù)運(yùn)算轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列。等差數(shù)列和等比數(shù)列的交匯，若一個(gè)數(shù)列既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列，則該數(shù)列為非零常數(shù)數(shù)列。一、等差數(shù)列與等比數(shù)列的相互轉(zhuǎn)化例6.16 已知數(shù)列，是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，設(shè)()（1）數(shù)列是否為等比數(shù)列？證明你的結(jié)論（2）設(shè)數(shù)列，的前項(xiàng)和分別為，,若，求數(shù)列的前項(xiàng)和解析 （1）數(shù)列是等比數(shù)列。依題意，設(shè)的公比為（），的公比為 （），則，故數(shù)

29、列是等比數(shù)列。（2）由題意知數(shù)列，都是等差數(shù)列，且，得到，因?yàn)?，都是關(guān)于的一次型函數(shù)，可令，則當(dāng)時(shí)，即，,同理 ，故，進(jìn)一步可得數(shù)列的前項(xiàng)和為變式1 設(shè)數(shù)列是正項(xiàng)等比數(shù)列，且，那么的值是（ ）A、30 B、20 C、10 D、5解析 是正項(xiàng)等比數(shù)列，數(shù)列是等差數(shù)列，故故選B.變式2 已知等比數(shù)列滿足各項(xiàng)均為正數(shù)，且（），則當(dāng)時(shí)，等于（ ）A、 B、 C、 D、解析 因?yàn)槭钦?xiàng)等比數(shù)列，所以是等差數(shù)列.故故選C.變式3 設(shè)是公比大于1的等比數(shù)列，前項(xiàng)和為，已知，且，構(gòu)成等差數(shù)列。（1）求數(shù)列的通項(xiàng)；（2）令（），求數(shù)列的前項(xiàng)和.分析 為公比大于1的等比數(shù)列，取對(duì)數(shù)后為等差數(shù)列，因此Tn為等差數(shù)列

30、的求和計(jì)算.解析 （1）由已知得解得.設(shè)數(shù)列的公比為q，由可得，可知即解得由題意得所以由可得故數(shù)列的通項(xiàng)為（2）由于，由（1）得，所以故等差數(shù)列和等比數(shù)列的交匯問(wèn)題例6.17 已知首項(xiàng)為的等比數(shù)列不是遞減數(shù)列，其前項(xiàng)和為（），且，成等差數(shù)列，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。分析 利用等比數(shù)列的性質(zhì)結(jié)合已知條件求出公比，進(jìn)而可得通項(xiàng)公式。解析 設(shè)等比數(shù)列的公比為，因?yàn)?，成等差?shù)列，所以2（）=+，即，于是，又?jǐn)?shù)列不是遞減數(shù)列，所以，故數(shù)列的通項(xiàng)公式變式1 設(shè)數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為 記，（），成等比數(shù)列，證明： （）分析 利用將表示出來(lái)，然后根據(jù)成等比數(shù)列，得到與的關(guān)系，可驗(yàn)證解析 由，得又

31、因?yàn)槌傻缺葦?shù)列，所以，即，化簡(jiǎn)得因?yàn)椋砸虼耍瑢?duì)于所有的，有從而對(duì)于所有的，有例6.18 在等差數(shù)列中，公差，是與的等比中項(xiàng)，已知數(shù)列，成等比數(shù)列，求數(shù)列的通項(xiàng)解析 依題意可得，所以，由可得，則，由已知得是等比數(shù)列。因?yàn)樗猿傻缺葦?shù)列，首項(xiàng)為1，公比為3，由此，所以（），故數(shù)列的通項(xiàng)為變式1 設(shè)2009個(gè)不全相等的正數(shù)，依次圍成一個(gè)圓圈，且，是公差為的等差數(shù)列，而，是公比為的等比數(shù)列，+=12，求通項(xiàng)（）解析 因?yàn)槭枪葹榈牡缺葦?shù)列，從而，由，得，解得或又均為正數(shù)，故或（舍）從而時(shí)，而當(dāng)時(shí)，由是公比為的等比數(shù)列，觀察指數(shù)規(guī)律得因此，例6,19 設(shè)是各項(xiàng)均不為零的項(xiàng)等差數(shù)列，且公差.若將此數(shù)列

32、刪去某一項(xiàng)后得到的數(shù)列（按原來(lái)的順序排列）是等比數(shù)列。（1） = 1 * GB3 * MERGEFORMAT 當(dāng)時(shí)，求的數(shù)值； = 2 * GB3 * MERGEFORMAT 求的所有可能值.（2）求證：對(duì)于給定的正整數(shù)，存在一個(gè)各項(xiàng)及公差均不為0的等差數(shù)列，其中任意三項(xiàng)（按原來(lái)的順序）都不能組成等比數(shù)列。解析 （1） = 1 * GB3 * MERGEFORMAT 依題意，等差數(shù)列為，假設(shè)要?jiǎng)h去或，當(dāng)刪去時(shí)，既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列，故，與題意不合；當(dāng)刪除時(shí)，既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列，故，與題意不合；因此刪去的項(xiàng)只能是或若刪去，則由成等比數(shù)列，得因，故由上式得，即 4此時(shí)數(shù)列為，滿足題設(shè)若刪

33、去，則成等比數(shù)列，得 因，故由上 式得，即 1此時(shí)數(shù)列為 滿足題設(shè)綜上可知的值為或1 = 2 * GB3 * MERGEFORMAT 一個(gè)“基本事實(shí)”：一個(gè)數(shù)列既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列,則該數(shù)列是非零常數(shù)數(shù)列。當(dāng)n6時(shí)，則從滿足題設(shè)的數(shù)列中刪去任意一項(xiàng)后得到的數(shù)列，必有原數(shù)列中的連續(xù)三項(xiàng)，從而這三項(xiàng)既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列，故知，數(shù)列的公差必為0，這與題設(shè)矛盾所以滿足題設(shè)的數(shù)列的項(xiàng)數(shù) 又因題設(shè)，故或當(dāng)時(shí)，由（1）中的討論知存在滿足題設(shè)的數(shù)列當(dāng)時(shí)，若存在滿足題設(shè)的數(shù)列，則由“基本事實(shí)”知，刪去的項(xiàng)只能是，從而成等比數(shù)列，故且分別化簡(jiǎn)上述兩個(gè)等式，得和，故矛盾因此，不存在滿足題設(shè)的項(xiàng)數(shù)為5的等差數(shù)

34、列綜上可知，只能為4 假設(shè)對(duì)于某個(gè)正整數(shù)，存在一個(gè)公差為的項(xiàng)等差數(shù)列，其中三項(xiàng)，成等比數(shù)列，這里，則有，整理得，由得：且或者當(dāng)且時(shí)，若且，則，矛盾。若，等式右邊為有理數(shù)，當(dāng)為無(wú)理數(shù)時(shí)就產(chǎn)生矛盾。因此，只要為無(wú)理數(shù)，中任意三項(xiàng)不構(gòu)成等比數(shù)列。評(píng)注 本題考察了一個(gè)基本事實(shí)：一個(gè)數(shù)列既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列，則該數(shù)列是非零常數(shù)數(shù)列。變式1、設(shè)等差數(shù)列包含1和 ，求證：中的任意三項(xiàng)不構(gòu)成等比數(shù)列。解析 先設(shè)等差數(shù)列的公差為，存在，于是，即.如果數(shù)列中有不同的三項(xiàng)構(gòu)成等比數(shù)列，則不妨設(shè)則由成等比數(shù)列，故所以化簡(jiǎn)得 +得，代入中，則，可得，與假設(shè)矛盾，因此命題得證.評(píng)注 本題實(shí)質(zhì)上是例6.19的特例，由例6.19可直接推出本命題.最有效訓(xùn)練題23（限時(shí)45分鐘）等差數(shù)列的公差不為零，首項(xiàng)，是和的等比中項(xiàng)， 則數(shù)列的前10項(xiàng)之和是（ ） A、90 B、100 C、145 D、190設(shè)數(shù)列為等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為，已知， ，若對(duì)任意的，都有，則的值為（ ） A、22 B、21 C、20 D、193、如果等差數(shù)列中，那么（ ） A、14 B、21 C、28 D、35已知