等式與不等式專題

1、等式與不等式的性質專題.在不等式的兩邊同乘以一個正數(shù)，不等號方向不變；同乘以一個負數(shù)，不等號方向改變.有關分數(shù)的性質(1)若 ab0,m0 則；b(bm0).a a+ m a a m(2)若 ab0,且 ab? 1 b? ac2 bc2.()(2)a = b? ac= bc.( ).a -若 b1,則 ab.()(4)0axb或 axb0? r-.( b x a【教材衍化】a bB.- d ca bD.-b0, cvdv0,則一定有（a bA. _ d ca b C.C d3.（必修5P75A2（2）改編）比較兩數(shù)的大?。簬攀? 54.【真題體驗】1 14.（2018 衡陽聯(lián)考）若2, b,

2、 c為實數(shù)，且ab0,則下列命題正確的是 （2 / _2A. ac abb5.（2017 北京卷改編）能夠說明“設 a, b, c是任意實數(shù)，若 abc,則a+ bc”說法不正確的一組整數(shù)a, b, c的值依次為, 兀兀.，6.（2019 運城模擬）右萬 a 3 aB. ao bC.cbaD.acb TOC o 1-5 h z （2）已知 a, a2c （0, 1）,記 M= aa2, N= a1+a2-1,則 M與 N的大小關系是（）A.MNC.M= ND.不確定（3）（ 一題多解）若2 = *，b= 哈，c=ln5-,則（）345A. abcB. cbaC.cabD. bac【規(guī)律方法】.

3、作差法一般步驟：（1）作差；（2）變形；（3）定號；（4）結論.其中關鍵是變形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式 TOC o 1-5 h z 變成積式或者完全平方式.當兩個式子都為正數(shù)時，有時也可以先平方再作差.作商法一般步驟： 作商；（2）變形；（3）判斷商與1的大小；（4）結論.函數(shù)的單調性法：將要比較的兩個數(shù)作為一個函數(shù)的兩個函數(shù)值，根據(jù)函數(shù)單調性得出大小關系.特殊值法：對于選擇、填空題，可以選取符合條件的特殊值比較大小【訓練1 （1）若a, b為正數(shù)，且awb,則a3+ b3 a2b+ab2（用符號、-w填空）.22.（2）右0ab,且a+b=1,則將a, b, 2, 2ab,

4、 a+b從小到大排列為 .考點二不等式的性質【例2】（1）已知a, b, c滿足cba,且acacB. c（ b- a）022C.cb 0（2）（ 一題多解）若!v：0；a3b ：；ln a2ln b2.a ba+b aba b其中正確的不等式是（）A.B.C.D.【規(guī)律方法】 解決此類題目常用的三種方法：(1)直接利用不等式的性質逐個驗證；(2)利用特殊值法排除錯誤答案，利用不等式的性質判斷不等式是否成立時要特別注意前提條件；(3)利用函數(shù)的單調性，當直接利用不等式的性質不能比較大小時，可以利用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、哥函數(shù)等函數(shù)的單調性進行判斷.【訓練2】(1)(2019 東北三省四市模擬)設

5、2, b均為實數(shù)，則 a|b|”是“ a3b3”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件(2)設ab1, cc; aclog a( b- c). a b其中所有正確結論的序號是()A.B.C.D.考點三不等式及其性質的應用角度1不等式在實際問題中的應用【例31 (2017 北京卷)某學習小組由學生和教師組成，人員構成同時滿足以下三個條件:(1)男學生人數(shù)多于女學生人數(shù)；(2)女學生人數(shù)多于教師人數(shù)；(3)教師人數(shù)的兩倍多于男學生人數(shù).若教師人數(shù)為 4,則女學生人數(shù)的最大值為 .該小組人數(shù)的最小值為角度2利用不等式的性質求代數(shù)式的取值范圍【例3 2】（經(jīng)典母

6、題）已知1x4, 2y3,則x-y的取值范圍是 , 3x + 2y的取值范圍是【遷移探究1將本例條件改為1xy3，求xy的取值范圍【遷移探究2】 將本例條件改為“已知 1xy4, 2x+y3,求3x+2y的取值范圍【規(guī)律方法】.解決有關不等關系的實際問題，應抓住關鍵字詞，例如“要” “必須” “不少于” “大于”等，從而建立相應的方程或不等式模型 .利用不等式性質可以求某些代數(shù)式的取值范圍，但應注意兩點：一是必須嚴格運用不等式的性質；二是在多次運用不等式的性質時有可能擴大了變量的取值范圍.解決的途徑是先建立所求范圍的整體與已知范圍的整體的等量關系，最后通過“一次性”不等關系的運算求解范圍【訓練

7、3】（1）已知甲、乙兩種食物的維生素 A, B含量如下表：甲乙維生素A（單位/kg）600700維生素B（單位/kg）800400設用甲、乙兩種食物各x kg、y kg配成至多100 kg的混合食物，并使混合食物內至少含有56 000單位維生素A和62 000單位維生素B,則x, y應滿足的所有不等關系為 .（2）（2019 青島測試）已知實數(shù)aC（1 , 3）, be 1 1 ,則a的取值范圍是 .o 4 b【反思與感悟】.比較法是不等式性質證明的理論依據(jù)，是不等式證明的主要方法之一，比較法之一作差法的主要步驟為 TOC o 1-5 h z 作差一一變形一一判斷正負.判斷不等式是否成立，主要

8、有利用不等式的性質和特殊值驗證兩種方法，特別是對于有一定條件限制的選擇題，用特殊值驗證的方法更簡單.【易錯防范】.運用不等式的性質解決問題時，注意不等式性質成立的條件以及等價轉化的思想，比如減法可以轉化為 加法，除法可以轉化為乘法等.但應注意兩點：一是必須嚴格運用不等式的性質；二是在多次運用不等式的性質時有可能擴大了變量的取值范圍.形如例3-2探究2題型的解決途徑：先建立所求范圍的整體與已知范圍的整體的等量關系，再通過“一次性”不等關系的運算求解范圍.【分層訓練】【基礎鞏固題組】(建議用時：35分鐘)一、選擇題.限速40 km/h的路標，指示司機在前方路段行駛時，應使汽車的速度 v不超過40

9、km/h ,寫成不等式為 TOC o 1-5 h z ()A. v40 km/hC.v w 40 km/hD. vg(x)C.f (x) 0”是“ a2b20”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件.若a, be R,且a+ | b|0B. a3+ b3022C.a - b 0D.a+ b2y北京東城區(qū)綜合練習）已知x, ye R,那么“ xy”的充要條件是（1 1C.- x yD.x2y2B.lg xlg y6.(20181 A.n0,則（）B. , m- n mr nm2 一一一D.m一， 1 一一 11 a b TOC o 1-5 h z .已知0

10、aNB.MNC.M= ND.不能確定.已知函數(shù) f(x) =x3+ax2+bx+c.且 0f( 1) = f ( 2) =f( 3) W3,貝 ()A.c3B.3c6C.6 c9二、填空題11.(必修5P75A2改編)一下一廠(填 0, bc- ad0,貝U-0; a bc d 一一. .一右 ab0, a- b0,則 bc ad0；c d 一 一.一右 bcad0,；0,則 ab0.a b其中正確的命題是（填序號）.a+ b.已知a0, b0, ab,貝U aabb與（ab）下的大小關系是 .【能力提升題組】（建議用時：20分鐘） TOC o 1-5 h z .已知0a0B.22Y 1C.l

11、og 2a+ log 2b-2D.2b ab,a, ab.n2, p q4 且 p+qW4 B. n4 且 pq4 D. mW n4 且 pqaab,則實數(shù)b的取值范圍是 .已知函數(shù)f （x） = ax2+bx+c滿足f（1） =0,且abc,求c的取值范圍 a【新高考創(chuàng)新預測】.（多選題）下列四個條件，能推出 1V；成立的有（）a bA.b0aB.0abC.a0bD.ab0.判斷下列結論正誤(在括號內打或“x”) TOC o 1-5 h z (1)a b? ac2 bc2.()(2)a = b? ac= bc.( )a右 b1，則 ab.()1 1 1(4)0axb 或 axbbc2? ab

12、;反之，c=0時，ab? ac2bc2.(2)由等式的性質，a=b?ac=bc;反之，c=0時，ac=bc不能推出a=ba(3)a = 3, b= 1,則 b1,但 ab0, cvdv0,則一定有（a bA. - d ca bC.C d【答案】【解析】因為cd11,兩邊同乘一1,得一；10,又ab0,故由不等式的性質 TOC o 1-5 h z c dd c可知 _0.兩邊同乘一 1,得;一. d cd c.（必修5P75A2（2）改編）比較兩數(shù)的大小：+回 小+ 產(chǎn).【答案】【解析】（卡+訴）2=17 + 2J70, bJ3+Vl4） 2=17+2./42,. .（ 7+ 10）2（ 3+

13、14）： . 7+ 10 3+ 14.【真題體驗】.（2018 衡陽聯(lián)考）若2, b, c為實數(shù)，且ab0,則下列命題正確的是 （）2211A. ac bcB. D.a abba b【答案】 D【解析】c = 0 時，A項不成立； 二=b J。選項 b錯；- = -目 =（ + a，（ _義_0 選項 ca b aba b abab錯.由 ababb2.D 正確.5.（2017 北京卷改編）能夠說明“設 a, b, c是任意實數(shù)，若 abc,則a+ bc”說法不正確的一組整數(shù)a, b, c的值依次為.【答案】1, 2, 3（答案不唯一）【解析】因為abc,所以ac,bc,則a+b2c.所以a+

14、bc不一定正確.因為2c與c的大小關系不確定，當 c=0 時，2c=c；當 c0 時，2cc；當 c0 時，2cc.不妨令 a=1, b= 2, c=3,則 a+b =c. 兀兀 .一一一一6.（2019 運城模擬）右2 a 3 ,則a 的取值氾圍是 .【答案】（兀，0）一，一.，兀兀兀?！窘馕觥坑梢?a2,一 2 3 5,a,信一兀 a aB.ao bC.cbaD.acb TOC o 1-5 h z (2)已知ai,a2 c(0, 1),記M=aia2,N=ai+a21,則M與N 的大小關系是()A.MkNB.MNC.M= ND.不確定(3)( 一題多解)若2 = , b=-, c=,則()

15、345A. abcB. cbaD. bacC.ca0,z. cb.又b+c= 64a+3a2,，2b=2+ 2a2,- b=a2+1,2. 1 1 3 八a=aa+1= a- - + -0, . ba, . O ba. 24M N= a1a2(a1+a2 1) = aa2 a1一a2+1 = a1(a2 1) 一(a2 1) = (a1一 1)( a2 1),又因為a1 (0 , 1) ,a2c(0 , 1),所以a1-10,生一10 ,即 MN0,所以MN. 法一 易知a, b, c都是正數(shù)，=察)=log 8164b；、=5n：=a 4ln 3c 4ln 5log 6251 0241 ,所

16、以 bc.即 cb0 ,得 0 xe;由 f (x)e. . f (x)在(0 , e)為增函數(shù)，在(e , 十)為減函數(shù).f (3) f (4) f (5),即 abc.【規(guī)律方法】.作差法一般步驟：(1)作差；(2)變形；(3)定號；(4)結論.其中關鍵是變形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式變成積式或者完全平方式.當兩個式子都為正數(shù)時，有時也可以先平方再作差 .作商法一般步驟： 作商；(2)變形；(3)判斷商與1的大小；(4)結論.11.函數(shù)的單調性法：將要比較的兩個數(shù)作為一個函數(shù)的兩個函數(shù)值，根據(jù)函數(shù)單調性得出大小關系 TOC o 1-5 h z .特殊值法：對于選擇、填空題，

17、可以選取符合條件的特殊值比較大小【訓練1 (1)若a, b為正數(shù)，且ab,則a3+ b3 a2b+ab2(用符號、- w填空).一一一，1(2)右0a(2) a2ab2a + b 0, b0 且 awb, .(a b)0, a+b0,(a3+ b3) (a2b ab2)0 ,即 a3 + b3a2b+ ab2.1 .(2) . 0ab 且 a+b= 1, . - a2b1且2a1, TOC o 1-5 h z 2 一 一 12 111. . a2b . a=2a(1 a) = 2a + 2a= 2 a +22.即 a2ab1 ；= J,即 a2+ b22.,2,2,2.21.2.1,2b1,

18、. (a+b) b= (1 b) +b b=2b 3b+1=(2b1)( b- 1)0.考點二不等式的性質【例2】(1)已知a, b, c滿足cba,且acacB. c( b- a)0C.cb20(2)( 一題多解)若1:0；ab J；In a2 In b2.a ba+b aba b其中正確的不等式是()A.B.C.D.【答案】(1)A (2)C【解析】(1)由cba且ac0,知c0.由bc,得abac 一定成立.(2)法一因為 1V 10,所以錯誤.綜上所述，可排除 A B, D.12a+ b 0,所以-r-0.故有二;v2;, a+ baba+ b ab,1 1由一二0,可知 bvav0.

19、中，因為 a b正確；中，因為b a- a0.故一b| a| ,即| a| + b0,故錯誤；中，因為 ba一二0, a ba b一,1 . 1 一 所以a - - b-故正確； a b中，因為ba0,根據(jù)y = x2在(0)上為減函數(shù)，可得 b2a20,而y= ln x在定義域(0 , 十)上為增函數(shù)，所以ln b2ln a：故錯誤.由以上分析，知正確.【規(guī)律方法】 解決此類題目常用的三種方法:(1)直接利用不等式的性質逐個驗證；(2)利用特殊值法排除錯誤答案，利用不等式的性質判斷不等式是否成立時要特別注意前提條件；(3)利用函數(shù)的單調性，當直接利用不等式的性質不能比較大小時，可以利用指數(shù)函

20、數(shù)、對數(shù)函數(shù)、哥函數(shù)等函數(shù)的單調性進行判斷.【訓練2】(1)(2019 東北三省四市模擬 )設2, b均為實數(shù)，則 a|b|”是“ a3b3”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件(2)設ab1, cc； aclog a( b- c).a b TOC o 1-5 h z 其中所有正確結論的序號是()A.B.C.D.【答案】(1)A(2)D【解析】(1)a|b|能推出ab,進而得a3b3；當a3b3時，有ab,但若ba|b|不成立，所以“a| b| ”是“ a3b3”的充分不必要條件.(2)由不等式性質及 ab1,知1$,又c0,c c，-正確；構造函數(shù)

21、y= x , cb1,，acbc,正確；b1, cbc1,log b(a c)log a(ac)log a(bc),正確.13 考點三不等式及其性質的應用角度1不等式在實際問題中的應用【例31 (2017 北京卷)某學習小組由學生和教師組成，人員構成同時滿足以下三個條件：(1)男學生人數(shù)多于女學生人數(shù)；(2)女學生人數(shù)多于教師人數(shù)；(3)教師人數(shù)的兩倍多于男學生人數(shù).若教師人數(shù)為 4,則女學生人數(shù)的最大值為 .該小組人數(shù)的最小值為 .【答案】612【解析】令男學生、女學生、教師人數(shù)分別為x,y,z,且2zxyz,若教師人數(shù)為4,則4yx8,當x=7時，y取得最大值6.當z=1時，1 = zyx

22、2,不滿足條件；當 z=2時，2=zyx4,不滿足條 件；當z=3時，3=zyx6, y= 4, x=5,滿足條件.所以該小組人數(shù)的最小值為 3+4+5=12.角度2利用不等式的性質求代數(shù)式的取值范圍【例3 2】(經(jīng)典母題)已知1x4, 2y3,則x-y的取值范圍是 , 3x + 2y的取值范圍是【答案】(4, 2) (1 , 18)【解析】 因為1x4, 2y3,所以3-y-2,所以4x-y2.由1x4, 2y3,得33x12, 42y6,所以 13x+2y18.【遷移探究1】 將本例條件改為1xy3，求xy的取值范圍.【答案】見解析【解析】因為1x3, 1y3,所以3 y1, 4x y4.

23、又因為xy,所以x y0,，由得4x-y0,故x y的取值范圍是(4, 0).【遷移探究2】 將本例條件改為“已知 1xy4, 2x+y3,求3x+2y的取值范圍.【答案】見解析 TOC o 1-5 h z 【解析】設 3x + 2y =入(x y) +(x+ y),即 3x+ 2y=(入 +(i)x+( 入)y, .1一口 入 +W=3，2 一 一 1,. 5,.一一于是解得 3x+ 2y= -(x-y) +-(x+ y).1xy4, 2x+ y3,L 入=2,522w =2，1 15Z ,15 .91、，5, , 、19 - - 22(x-y)2 , 52(x + y)2-, 2爐y)+#

24、+丫)萬.149 19故3x+2y的取值范圍是 2，y .【規(guī)律方法】.解決有關不等關系的實際問題，應抓住關鍵字詞，例如“要” “必須” “不少于” “大于”等，從而建立相應的方程或不等式模型 .利用不等式性質可以求某些代數(shù)式的取值范圍，但應注意兩點：一是必須嚴格運用不等式的性質；二是在多次運用不等式的性質時有可能擴大了變量的取值范圍.解決的途徑是先建立所求范圍的整體與已知范圍的整體的等量關系，最后通過“一次性”不等關系的運算求解范圍【訓練3】(1)已知甲、乙兩種食物的維生素 A, B含量如下表：甲乙維生素A(單位/kg)600700維生素B(單位/kg)800400設用甲、乙兩種食物各 x

25、kg、y kg配成至多100 kg的混合食物，并使混合食物內至少含有56 000單位維生素A和62 000單位維生素B,則x, y應滿足的所有不等關系為 .(2)(2019 青島測試)已知實數(shù)aC(1 , 3), be 1 1 ,則a的取值范圍是 .8 4 bx+y560,【答案】(1)(2)(4 , 24)2x+y155,x0, y0【解析】(1)x, y所滿足的關系為x + y 100,x + y56 000 ,6x+ 7y 560,即800 x + 400y 62 000,2x+y155,x0, y0,x0, y0. TOC o 1-5 h z 1a(2)依題意可得4Vb8,又1a3,所

26、以4Vb24.【反思與感悟】.比較法是不等式性質證明的理論依據(jù)，是不等式證明的主要方法之一，比較法之一作差法的主要步驟為作差一一變形一一判斷正負.判斷不等式是否成立，主要有利用不等式的性質和特殊值驗證兩種方法，特別是對于有一定條件限制的選擇題，用特殊值驗證的方法更簡單.15【易錯防范】.運用不等式的性質解決問題時，注意不等式性質成立的條件以及等價轉化的思想，比如減法可以轉化為加法，除法可以轉化為乘法等.但應注意兩點：一是必須嚴格運用不等式的性質；二是在多次運用不等式的性質時有可能擴大了變量的取值范圍.形如例3-2探究2題型的解決途徑：先建立所求范圍的整體與已知范圍的整體的等量關系，再通過“一次

27、性”不等關系的運算求解范圍.【分層訓練】【基礎鞏固題組】(建議用時：35分鐘)一、選擇題.限速40 km/h的路標，指示司機在前方路段行駛時，應使汽車的速度v不超過40 km/h ,寫成不等式為()A. v40 km/hC.v w 40 km/hD. vg(x)C.f (x) 0? f(x) g(x).若a, b都是實數(shù)，則“ 小胡0”是“ a2b20”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【答案】 A【解析】g，b0?班布？ ab? a2b；但由a2 b20不能推出 黃紙0.故選A.若a, be R,且a+ | b|0B. a3+ b3022C.a -

28、 b 0D.a+ b016【解析】由a+|b|0知，a|b|,當b0時，a+b0成立，當b0時，a+b0成立，所以a+ by”的充要條件是（）A.2x2yB.lg xlg yC.-22D.x y【解析】因為2x2y? xy,所以“2x2y是xy”的充要條件，A正確；1g xlg y? xy0,則“1g xlgy”是“xy”的充分不必要條件，B錯誤；“ IT”和x2y2”都是“xy”的既不充分也不必要條件6.（2018 湖州質檢）若實數(shù)mi n滿足mn0,則（）.1A.-mB.m- n m-nC.2D.mmn【答案】B【解析】取m= 2,n=1,代入各選擇項驗證A,C,D不成立.也121只有B項

29、成立.111a b7.已知0aNB.MNC.M= ND.不能確定【答案】A1. -I1 a 1 b2 2ab一、“【斛析】因為 0a0, 1 + b0, 1 ab0,所以 M N=oh0.故選 A.b1 + a 1 + b 1 + a+b+ab8.已知函數(shù)f (x) =x3+ax2+ bx+c.且 0f ( 1) = f( 2)=f(3)W3,貝()A.cw3B.3cw6C.6 c9由 f( -1) =f (-2) =f( -3)一 1 + a b+c = 8+4a 2b+ c,得 一 , ,cr , c c,解得1 + a b+c = - 27 + 9a 3b + c,a 6, 則 f (x

30、) = x3 + 6x2+11x+c, b=11,由 0f( 1)W3,得 01+611 + cW3,即 6c9.、填空題179.（必修5P75A2改編）: 小一2-FF(填一“”或“=). V6-V5【解析】分母有理化有1 一1_ 一,1一=45 + 2, 一- = J6 +J5,顯然 J5+2J6 + J5,所以 752 鄧-木 Y Y r N NV5-216-，510.設 f (x) = ax2 + bx,若1f (-1)2, 2& f (1) 4,則 f( -2)的取值范圍是【答案】 5, 10【解析】設 f ( 2) = mf( 1) + nf (1)( m, n 為待定系數(shù))，則 4a 2b= m ab) + n( a+b),即 4a-2b= (m+ n)a+(n mb.一m n = 4,m= 3,.一.于是得解得 .f (-2) =3f (- 1) +f(1).又. 1W f( 1) W2, 2W f(1) W4.n-m= - 2,n= 1.-53 f( -1) + f (1) 10,故 5f ( -2)0, bc- ad0,貝U二0; a bc d 一一. .一右 ab0, -0,則 bc ad0； a b c d右 bc- ad0, -0,則 ab0. a b其中正確的命題是(填序號).【答案】【解析】c d bc ad