《現(xiàn)代數(shù)值計(jì)算》課件9[1].2 特征值問(wèn)題的性質(zhì)與估計(jì)

1、第9章 矩陣特征值問(wèn)題的數(shù)值解法教學(xué)目的 1. 掌握求矩陣特征值與特征向量的冪法及反冪法； 2. 掌握求矩陣特征值的QR方法。教學(xué)重點(diǎn)及難點(diǎn) 重點(diǎn)是求矩陣特征值與特征向量的冪法及反冪法求矩陣特征值的QR方法； 難點(diǎn)是求矩陣特征值的帶原點(diǎn)位移的QR方法。9.2 特征值問(wèn)題的性質(zhì)與估計(jì) 工程實(shí)踐中有多種振動(dòng)問(wèn)題，如橋梁或建筑物的振動(dòng)，機(jī)械機(jī)件、飛機(jī)機(jī)翼的振動(dòng)，工程實(shí)踐中有多種振動(dòng)問(wèn)題，如橋梁或建筑物的振動(dòng)，機(jī)械機(jī)件、飛機(jī)機(jī)翼的振動(dòng)，及一些穩(wěn)定性分析和相關(guān)分析可轉(zhuǎn)化為求矩陣特征值與特征向量的問(wèn)題。以下是一些準(zhǔn)備知識(shí) 但高次多項(xiàng)式求根精度低 , 一般不作為求解方法. 目前的方法是針對(duì)矩陣不同的特點(diǎn)給出

2、不同的有效方法.機(jī)器 求解 一個(gè)虧損矩陣是一個(gè)沒(méi)有足夠特征向量的矩陣，虧損矩陣在理論與計(jì)算上存在巨大的困難。稱(chēng)為以aii為圓心,以ri為半徑的復(fù)平面上一個(gè)定義3 設(shè)圓盤(pán)。定理8 (蓋爾圓盤(pán)定理）則A的每一個(gè)特征值必屬于某一個(gè)圓盤(pán)之中,即A的所有特征值都在復(fù)平面上n個(gè)圓盤(pán)(1.3)的并集中。第一圓盤(pán)定理對(duì)于矩陣特征值界如何估計(jì)？第二圓盤(pán)定理(2) 如果A的m個(gè)圓盤(pán)組成并集S(連通的)且與余下的n-m個(gè)圓盤(pán)是分離的(即不相交)，則S內(nèi)恰包含m個(gè)A的特征值。特別，當(dāng)S是一個(gè)圓盤(pán)且與其他的n-1個(gè)圓盤(pán)是分離的(即S為孤立圓盤(pán))，則S中精確包含一個(gè)特征值。分析 (1)只要證明 定理的證明，不僅指出了A的

3、每一個(gè)特征值必屬于A的一個(gè)圓盤(pán)中，而且指出，若一個(gè)特征向量的第i個(gè)分量最大，則對(duì)應(yīng)的特征值一定屬于第i個(gè)圓盤(pán)中 例1 設(shè)有試估計(jì)A及A-1的特征值的范圍。解：因?yàn)锳為對(duì)稱(chēng)陣，所以A的特征值均為實(shí)數(shù)。由蓋爾圓盤(pán)定理知A的特征值位于下述某個(gè)圓盤(pán)中，即且A-1的特征值由上述定理結(jié)論可知A的三個(gè)特征值位于三個(gè)圓盤(pán)的并集中， -4 0 1 4所以D1內(nèi)恰包含A的一個(gè)實(shí)特征值由于D1是孤立的所以，問(wèn)題：如何進(jìn)一步估計(jì)上面兩個(gè)特征值分別在什么范圍？解決途徑：若能夠改變圓盤(pán)的半徑，則有可能將圓盤(pán)進(jìn)行分離，從而可進(jìn)一步分析特征值的范圍.事實(shí)上，利用相似矩陣的性質(zhì)，可使A的某些圓盤(pán)半徑及連通性發(fā)生變化.具體實(shí)施?對(duì)上邊同一例題 從而1成立結(jié)論1說(shuō)明Rayleigh商必位于 和 之間 證明 只證1， 關(guān)于計(jì)算矩陣A的特征值問(wèn)題，當(dāng)n=2，3時(shí)，我們還可按行列式展開(kāi)的辦法求 的根。但當(dāng)n較大時(shí)，如果按展開(kāi)行列式的辦法，首先求出的 系數(shù)，再求 的根，工作量就非常大，用這種辦法求矩陣特征值是不切實(shí)際的，由此需要研究A的特征值及特征向量的數(shù)值