高中數(shù)學(xué)知識點：立體幾何學(xué)習(xí)中的圖形觀

1、高中數(shù)學(xué)知識點：立體幾何學(xué)習(xí)中的圖形觀立體幾何的學(xué)習(xí)離不開圖形，圖形是一種語言，圖形能幫我們直觀地感受空間線面的位置關(guān)系，培養(yǎng)空間想象才能.所以在立體幾何的學(xué)習(xí)中，我們要樹立圖形觀，通過作圖、讀圖、用圖、造圖、拼圖、變圖培養(yǎng)我們的思維才能.一、作圖作圖是立體幾何學(xué)習(xí)中的根本功，對培養(yǎng)空間概念也有積極的意義，而且在作圖時還要用到許多空間線面的關(guān)系.所以作圖是解決立體幾何問題的第一步，作好圖有利于問題的解決.例1正方體中，點P、E、F分別是棱AB、BC、的中點如圖1.作出過點P、E、F三點的正方體的截面.分析：作圖是學(xué)生學(xué)習(xí)中的一個弱點，作多面體的截面又是作圖中的難點.學(xué)生看到這樣的題目不知所云.

2、有的學(xué)生連結(jié)P、E、F得三角形以為就是所求的截面.其實，作截面就是找兩個平面的交線，找交線只要找到交線上的兩點即可.觀察所給的條件如圖2，發(fā)現(xiàn)PE就是一條交線.又因為平面ABCD/平面，由面面平行的性質(zhì)可得，截面和面的交線一定和PE平行.而F是的中點，故取的中點Q，那么FQ也是一條交線.再延長FQ和的延長線交于一點M，由公理3，點M在平面和平面的交線上，連PM交于點K，那么QK和KP又是兩條交線.同理可以找到FR和RE兩條交線如圖2.因此，六邊形PERFQK就是所求的截面.二、讀圖圖形中往往包含著深化的意義，對圖形理解的程度影響著我們的正確解題，所以讀懂圖形是解決問題的重要一環(huán).例2如圖3，在

3、棱長為a的正方體中，EF是棱AB上的一條線段，且EF=bA是變量且有最大值 B是變量且有最小值 C是變量無最大最小值 D是常量分析：此題的解決需要我們仔細分析圖形的特點.這個圖形有很多不確定因素，線段EF的位置不定，點P在滑動，但在這一系列的變化中是否可以發(fā)現(xiàn)其中的穩(wěn)定因素?求四面體的體積要具備哪些條件?仔細觀察圖形，應(yīng)該以哪個面為底面?觀察，我們發(fā)現(xiàn)它的形狀位置是要變化的，但是底邊EF是定值，且P到EF的間隔 也是定值，故它的面積是定值.再發(fā)現(xiàn)點Q到面PEF的間隔 也是定值.因此，四面體PQEF的體積是定值.我們沒有一點計算，對圖形的分析幫助我們解決了問題.三、用圖在立體幾何的學(xué)習(xí)中，我們會

4、遇到許多似是而非的結(jié)論.要證明它我們一時無法完成，這時我們可考慮通過構(gòu)造一個特殊的圖形來推翻結(jié)論，這樣的圖形就是反例圖形.假設(shè)我們的心中有這樣的反例圖形，那就可以幫助我們迅速作出判斷.例3判斷下面的命題是否正確：底面是正三角形且相鄰兩側(cè)面所成的二面角都相等的三棱椎是正三棱錐.分析：這是一個學(xué)生很容易判斷錯誤的問題.大家認為該命題正確，其實是錯誤的，但大家一時舉不出例子來加以說明.問題的關(guān)鍵是二面角相等很難處理.我們是否可以考慮用一個正三棱錐通過變形得到?如圖4，設(shè)正三棱錐的側(cè)面等腰三角形PAB的頂角是，底角是，作的平分線，交PA于E，連接EC.可以證明是等腰三角形，所以AB=BE.同理EC=A

5、B.那么，EBC是正三角形，從而就是滿足題設(shè)的三棱錐，但不是正三棱錐.四、造圖在立體幾何的學(xué)習(xí)中，我們可以根據(jù)題目的特征，精心構(gòu)造一個相應(yīng)的特殊幾何模型，將陌生復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為熟悉簡單的問題.例4設(shè)a、b、c是兩兩異面的三條直線，且d是a、b的公垂線，假如，那么c與d的位置關(guān)系是.A相交 B平行 C異面 D異面或平行分析：判斷空間直線的位置關(guān)系，最正確方法是構(gòu)造恰當?shù)膸缀螆D形，它具有直觀和易于判斷的優(yōu)點.根據(jù)此題的特點，可以考慮構(gòu)造正方體，如圖5，在正方體 中，令A(yù)B=a，BC=d，.當c為直線時，c與d平行;當c為直線時，c與d異面，應(yīng)選D.五、拼圖空間根本圖形由點、線、面構(gòu)成，而一些特殊的

6、圖形也可以通過根本圖形拼接得到.在拼圖的過程中，我們會發(fā)現(xiàn)一些變和不變的東西，從中感悟出這個圖形的特點，找出解決待求解問題的方法.例5給出任意的一塊三角形紙片，要求剪拼成一個直三棱柱模型，使它的全面積與給出的三角形的面積相等，請設(shè)計一種方案，并加以簡要的說明.分析：這是2019年高考立體幾何題中的一部分.這個設(shè)計新穎的題目，使許多平時做慣了證明、計算題的學(xué)生一籌莫展.這是一道動作題，但它不僅是簡單的剪剪拼拼的動作，更重要的是一種心靈的動作，思維的 動作.受題目表達的影響，大家往往在想如何折起來?參考答案也是給了一種折的方法.那么這種方法終究從何而來?其實逆向思維是這題的一個很好的切人點.我們考

7、慮：展開一個直三棱柱，如何復(fù)原成一個三角形?把一個直三棱柱展開后可得到甲、乙兩部分，甲內(nèi)部的三角形和乙是全等的，甲的三角形外是寬相等的三個矩形.如今的問題是能否把乙分為三部分，補在甲的三個角上正好成為一個三角形如圖丙?因為甲中三角形外是寬相等的矩形，所以三角形的頂點應(yīng)該在原三角形的三條角平分線上，又由于面積要相等，所以甲中的三角形的頂點應(yīng)該在原三角形的內(nèi)心和頂點的連線段的中點上如圖丁.按這樣的設(shè)計，剪開后可以折成一個直三棱柱.六、變圖幾何圖形千變?nèi)f化，在不斷的變化中展示幾何圖形的魅力，在不斷的變化中培養(yǎng)我們的才能，在有意無意的變化中開闊我們的思路.例6在三棱錐中，PA=a，AB=AC=2a，求

8、三棱錐的體積.分析：此題的解決方法很多，但切割是不錯的選擇.思路1 設(shè)D為AB的中點，依題意有：，所以有：此解法實際上是把三棱錐一分為二，三棱錐B-PAD的底面是直角三角形，高就是BD，從而大大簡化了計算.這種分割的方法也是立體幾何解題中的一種重要策略.它化復(fù)雜為簡單，化未知為.思路2 從點A出發(fā)的三條棱兩兩夾角為，故可補形為正四面體.其實,任何一門學(xué)科都離不開死記硬背,關(guān)鍵是記憶有技巧,“死記之后會“活用。不記住那些根底知識,怎么會向高層次進軍?尤其是語文學(xué)科涉獵的范圍很廣,要真正進步學(xué)生的寫作程度,單靠分析文章的寫作技巧是遠遠不夠的,必須從根底知識抓起,每天擠一點時間讓學(xué)生“死記名篇佳句、名言警句,以及豐富的詞語、新穎的材料等。這樣,就會在有限的時間、空間里給學(xué)生的腦海里注入無限的內(nèi)容。日積月累,積少成多,從而收到水