高一寒假講義23函數(shù)y=Asin(ωx+φ)

1、函數(shù)y = Asin(5 + )含答案知識(shí)梳理1、用五點(diǎn)法畫產(chǎn)Asin（3x+。）一個(gè)周期內(nèi)的簡(jiǎn)圖時(shí)，要找五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，如下表所示.X_3. 2Lco 2co兀一 co3n (p2co coIn (p cocox+(p0n2713兀 T27ry=Asin(sx+e)0A0-A02、函數(shù).v=Asin（3x+。）的有關(guān)概念y=Asin(3x+p)(A0, 30),x0, +8)表示一個(gè)振動(dòng)量時(shí)振幅周期頻率相位初相AT 2兀 T= 3/一 T2n5，+夕93、函數(shù)v=sinx的圖象經(jīng)變換得到v=Asin（3x+。）的圖象的兩種途徑UInn 間向左 （右 平移比l個(gè)單位長(zhǎng)度 得到產(chǎn)sin二的圖象卜他坐

2、斥變?yōu)樵瓉砟鉰:倍得到1 =sin（ 3.（十5）的圖象|一I 12 I橫坐驚變?yōu)樵瓉淼腎倍1 科到廣金3的圖象向左（G）手移1 1, 1個(gè)單位長(zhǎng)僮T 得到卜=sin（ox+ S的圖象縱坐標(biāo)攵為 摩來的八倍甫 雙標(biāo)變?yōu)?原東的A信I得到尸小山（晨+夕）的圖象|十界-苗得到）=加?。ǎ?x十q）的圖象4、注意（1）由尸5皿3到y(tǒng)=sin（3x+0）（3O,a0）的變換：向左平移A個(gè)單位長(zhǎng)度而非伊個(gè)單位長(zhǎng)度.（2）函數(shù)y=Asin（3x+9）的對(duì)稱釉由3工+8=履+伏2）確定：對(duì)稱中心由3x+0=A7r（kZ）確定其橫坐標(biāo).知識(shí)典例題型一三角函數(shù)平移【例1將函數(shù)/(M = sin2x的圖象向右平移

3、*個(gè)單位長(zhǎng)度得到g(x)圖象，則函數(shù)的解析式是()A.g5) =sin 2x + 3B. g(x) =sin 2x + 6)C.g(x) =sin 2x- -3 JD. g(x) =sin lx- -6 J【答案】C【分析】 由題意利用三角函數(shù)的圖象變換原則，即可得出結(jié)論.【詳解】由題意，將函數(shù)/(x) = sin2x的圖象向右平移二個(gè)單位長(zhǎng)度, 6可得 g (x) = sin 2(x _：) = sin(2x - g).故選C.要得到函數(shù)y = 2sin(2x ?j的圖象，只需將y = 2sin2x的圖象()A.向左平移?長(zhǎng)度B.向右平移?長(zhǎng)度JJC.向左平移:長(zhǎng)度D.向右平移長(zhǎng)度6o【答案

4、】D【分析】根據(jù)三角函數(shù)的平移原則，由題中條件，可直接得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)閥 = 2sin 2x-yj = 2sin 2(入一. , / 因此要得到函數(shù)F = 2sin- f 的圖象，只需將y = 2sin2x的圖象向右平移1單位.3 76故選：D.題型二三角函數(shù)解析式求解例2函數(shù)/(x) = AcosWx + oj閥的部分圖象如圖所示.則()TTD. f (x) = 2cos 2x + 【答案】A【分析】由圖象可知A = 2,周期丁 =乃，即可求出啰，再代入點(diǎn)即可求出0【詳解】由圖象可知A = 2,當(dāng)天=四時(shí)，函數(shù)取得最大值，所以2xK + = 2E, kwZ, 66因?yàn)镸l：，所以=-1

5、.故選：A.已知函數(shù)”“=$皿的+ ?）。0.闞9的部分圖象如圖所示，若/ g =/，則（）八兀3=2, (P = 6ty = _, (p =318g)= 2,3d=2, 236【答案】c【分析】 由圖象結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)可得了=，即可得0,再代入特殊點(diǎn)即可得0【詳解】由圖象可得函數(shù)的最小正周期丁滿足丁 乃一6;7 n6所以該函數(shù)圖象的軸右側(cè)的第一個(gè)對(duì)稱軸戶一/方9又=/2叫IT.所以該函數(shù)圖象在y軸右側(cè)的第二個(gè)對(duì)稱軸x =121237 7 *7所以函數(shù)的最小正周期7滿足 全=看所以3 = 1 = 2, /(x) = sin(2x+3),3九=即7 =，4所以/：二=sin 2乂工 +。 =

6、-1,所以g + e = * + 2k/r,keZ， 1212/6237r12又期/,所以故選：C.題型三三角函數(shù)圖象變換【例3】為了得到函數(shù)y = 2sin（ + 5，xwR的圖象，只需把函數(shù)y = 2sinx, xeR的圖象上所有的點(diǎn)（） 3 oA.B.C.D.向左平移;個(gè)單位長(zhǎng)度,向右平移N個(gè)單位長(zhǎng)度,6向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度,6向右平移上個(gè)單位長(zhǎng)度, 6再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的1倍（縱坐標(biāo)不變）再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的，倍（縱坐標(biāo)不變）3再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的3倍（縱坐標(biāo)不變）再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的3倍（縱坐標(biāo)不變）【答案】C【分析】 按照平移變換和周

7、期變換的結(jié)論，分別求出四個(gè)選項(xiàng)中得到的函數(shù)解析式可得答案.【詳解】 對(duì)于A，把函數(shù)V = 2sinx, xeR的圖象上所有的點(diǎn)向左平移4個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的163倍（縱坐標(biāo)不變）得到函數(shù)y = 2sin（3x + f）的圖象，故A不正確： o對(duì)于3,把函數(shù)y = 2sinx, xeR的圖象上所有的點(diǎn)向右平移j個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的?63倍（縱坐標(biāo)不變）得到函數(shù)y = 2sin（3x 2）的圖象，故4不正確：6對(duì)于。，把函數(shù)丁 = 2sinx, xeR的圖象上所有的點(diǎn)向左平移乙個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的3 6倍（縱坐標(biāo)不變）得到函數(shù)

8、y = 2sin（lx + C）的圖象，故。正確：36對(duì)于O,把函數(shù)、= 2sinx, xeR的圖象上所有的點(diǎn)向右平移B個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的3 o倍（縱坐標(biāo)不變）得到函數(shù)y = 2sin（2x -。）的圖象，故。不正確.36故選：C.（多選）已知曲線G：）=cosxC2 ： y = sin（2x +等）,則下而結(jié)論正確的是（）A.把曲線G向左平移!個(gè)單位長(zhǎng)度，再把得到的曲線上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的!倍（縱坐標(biāo)不變），得到曲線 62B.把曲線g向左平移!個(gè)單位長(zhǎng)度，再把得到的曲線上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），得到曲線G1TTc.把曲線a上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短

9、到原來的萬倍（縱坐標(biāo)不變），再把得到的曲線向左平移?個(gè)單位長(zhǎng)度，得到曲線 26GD.把曲線G上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的9倍（縱坐標(biāo)不變），再把得到的曲線向左平移巳個(gè)單位長(zhǎng)度，得到曲線【答案】AD【分析】先利用誘導(dǎo)公式把y = sin| 2x +千J化簡(jiǎn)得，y = sinj 2x + - | = cos 2x + j,然后利用三角函數(shù)圖像變換規(guī)律求解即可【詳解】-2兀、7r J 7r解：J = sinlx=sin 2x + + =cos 2x + 3 J 2 6) I 6)所以將曲線G： y=cosx向左平移二個(gè)單位長(zhǎng)度，得），=Ocosx + ?J,再把得到的曲線上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的!倍

10、（縱坐標(biāo)不變），得到曲線丁 =。$ 2x + f ： 26 7或?qū)⑶€G： ） = cosx上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的;倍（縱坐標(biāo)不變），得到y(tǒng) = cos2x,再把得到的曲線向左平移高個(gè)單位長(zhǎng)度，得到y(tǒng) = cos 2 x +抬12= cos| 2x +看,故選：AD 題型四三角函數(shù)（4、【例4（多選）函數(shù)/（x） = cos（s, + ）/0,網(wǎng)0,0, 01。1X）的部分圖象，下列結(jié)論正確的是（）B.函數(shù)/（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 1N /C.函數(shù)/（力在區(qū)間一9,7上單調(diào)遞增D.方程/（x） = l在區(qū)間一色，答 上的所有實(shí)根之和為中【答案】ABD【分析】根據(jù)函數(shù)圖象求出/（A）的解析式

11、，根據(jù)正弦型函數(shù)的性質(zhì)判斷選項(xiàng)正誤.【詳解】由已知，A = 2, = = 一 因此丁 =4，4312 427r與.co = = 2 ,所以/（月=2$皿2工+ 9）,過點(diǎn)|,一2）,e 4乃37tz因此+(p =+ 2%432所以8 =四，/,) = 2sin 2x + 66對(duì)A, y = / x-二=2sin2x圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故A正確;對(duì)5,當(dāng)戶十時(shí)卜國(guó)=0,故B 正確;對(duì)C,由 2k 冗K 2x H W 2k 冗 H, k/rW x W kfr T,攵仁2故。不正確:對(duì)。，當(dāng)2冗 237rxO）的部分圖象如圖，則8二（）D. 2【答案】B【詳解】;由題中圖象可知與+:一工0=3.，丁

12、=1.，生=.，/=4.故選B.422 co 155、函數(shù)g(x) = Asni(Gx + e)(A0,G0,0vev2;r)的部分圖象如圖所示，已知g(0) = g -n y = /(x)的圖象可由y = g。)圖象向右平移g個(gè)單位長(zhǎng)度而得到，則函數(shù)/a)的解析式為()/(x) = -2sin2x/(x) = 2sin 2x-yj【答案】A【分析】根據(jù)圖象可得周期，根據(jù)周期可得少=2,根據(jù)g(0) = g汨可得g(x)在x = _乃時(shí)取最小值，由此可求得122e = Q萬，根據(jù)圖象過點(diǎn)(0,/),可得A = 2,再根據(jù)平移變換可得結(jié)果.【詳解】由圖象可知最小正周期：r = 4x*乃+ 062

13、7t6f :.吟=2,又丁 g(x)在X =2乃時(shí)取最小值，12，2x 7r +(p = - + 2k(k eZ), ：(p = 122+ 2kKk e Z).22又0夕2乃，：.(p =二* ，g(x) = Asin 2x + -7r .313 ,2又 ; 圖象過點(diǎn)(0,、廳)，； A sin -7T = J?,，A = 2 .：.g(x) = 2sin2x+-7TB. f(x) = 2sin 2x + 0,閩的圖象如圖所示，為了得到了=$抽5的圖象，只需把y = /(x)的圖象上所有點(diǎn)()1TA.向右平移U個(gè)單位長(zhǎng)度oC.向左平移三個(gè)長(zhǎng)度單位o【答案】A【分析】B.向右平移擊個(gè)單位長(zhǎng)度D.

14、向左平移看個(gè)長(zhǎng)度單位先看圖得到y(tǒng) = / W的解析式，再利用平移得到結(jié)果即可.【詳解】看圖可知周期滿足= =一。=：,故7 = 4,.3 =二;=2, 4 12 3 4T又工=立時(shí)取得最小值-1,故2x + =紅，,w = g,即/(x) = sin| 2x + f121223 v 7 k 3 J向右平移三個(gè)單位，得到y(tǒng) = sin2x. o所以將/(x) = sin 2 x + J, V 6 J故選：A.7、將函數(shù)/(x) = sin(m + e)(刃0, (p。，-=sin(2s - 2嗎+夕)=sin x的圖象,，2勿=1,且一2fi + e = 2女)，keZ,6解得口 =,，(p =

15、 - f，函數(shù)/(x) = sin -x + 2612= si/=正,42故答案為：立 28、先將函數(shù)、=4111%+：的圖象上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍(縱坐標(biāo)不變)，再將所得圖象向右平移!個(gè)單 位，則可得變換后圖象的函數(shù)解析式為.【答案】y = sin 1工+上萬【分析】利用三角函數(shù)的平移變換和伸縮變換，即可得出答案.【詳解】將函數(shù)y = sii“ x + g的圖象上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍(縱坐標(biāo)不變)，得到y(tǒng) = sin+ 的圖象，再將JT所得圖象向右平移一個(gè)單位,4得出y = sin故答案為:y = sin15X + 7t129、(多選)將函數(shù)/(x) = 2sin| 2x +

16、 |J的圖象向右平移;個(gè)單位長(zhǎng)度后，所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為y = g(x),則下列結(jié)論正確的是()A.函數(shù)g(x)的圖象關(guān)于直線x = g對(duì)稱B.函數(shù)g(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)-g,。對(duì)稱 -5/C.函數(shù)g(x)在卜捷卷4 r*上單調(diào)遞減D.函數(shù)g(x)在0,2可上恰有4個(gè)極值點(diǎn)【答案】AD【分析】 先根據(jù)圖象變換得了 = g(x),再根據(jù)余弦函數(shù)性質(zhì)研究對(duì)稱性、單調(diào)性以及極值點(diǎn)，即可作出選擇.【詳解】71 71、-j = -cos(2x + -)將函數(shù)/(x) = 2sii12x + ?)的圖象向右平移;個(gè)單位長(zhǎng)度后得g(x) = 2sin12(x - ?) +因?yàn)間() = l，所以函數(shù)g(x)的

17、圖象關(guān)于直線X = 對(duì)稱，即R正確: 3因?yàn)間(f)= 一 !，所以函數(shù)g(“的圖象不關(guān)于點(diǎn)(一?，對(duì)稱，即B錯(cuò)誤:，2x + me j子，所以函數(shù)g(x)單調(diào)遞增，即C錯(cuò)誤:因?yàn)閤0,2司,2% + 2,4乃+ ,所以當(dāng)2工+ =況2肛3乃,4江時(shí)函數(shù)4工)取得極值，即函數(shù)83在0,2同上恰有4個(gè)極值點(diǎn)，D正確： 故選：AD10、(多選)將函數(shù)/(x)= Ain2x-cos2x的圖像向左平移高個(gè)單位后，得到函數(shù)晨幻的圖像，則下列結(jié)論正確的是()g(x) = 2sin2xg(x)最小正周期為乃c. g(x)的圖象關(guān)于x = -g對(duì)稱D. g(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增【答案】BCD【分析】由題意，利用函數(shù) =八5由(由入+ 9)的圖象變換規(guī)律，求得g(x)的解