多元函數(shù)極限和連續(xù)課件課件

1、關(guān)于多元函數(shù)的極限與連續(xù)課件第一張，PPT共五十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月第8章 多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用上冊(cè)已經(jīng)討論了一元函數(shù)微積分.但在自然科學(xué)、工程技術(shù)和經(jīng)濟(jì)生活的眾多領(lǐng)域中,往往涉及到多個(gè)因素之間關(guān)系的問(wèn)題.這在數(shù)學(xué)上就表現(xiàn)為一個(gè)變量依賴于多個(gè)變量的情形,因而導(dǎo)出了多元函數(shù)的概念及其研究與應(yīng)用.本章在一元函數(shù)微分學(xué)的基礎(chǔ)上,數(shù)的微分方法及其應(yīng)用.討論多元函以二元函數(shù)為主,但所得到的概念、性質(zhì)與結(jié)論都可以很自然地推廣到二元以上的多元函數(shù).同時(shí), 還須特別注意一些與一元函數(shù)微分學(xué)顯著不同的性質(zhì)和特點(diǎn).第二張，PPT共五十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月28.1 多元函數(shù)的極限與連續(xù)平面點(diǎn)集多元函數(shù)

2、的概念多元函數(shù)的極限多元函數(shù)的連續(xù)性小結(jié) 思考題 作業(yè) function of many variables第三張，PPT共五十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月3一、平面點(diǎn)集實(shí)數(shù)組(x, y)的全體,即建立了坐標(biāo)系的平面稱為坐標(biāo)面. xOy坐標(biāo)面坐標(biāo)平面上具有某種性質(zhì)P的點(diǎn)的集合,稱為平面點(diǎn)集,記作二元有序第四張，PPT共五十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月4鄰域 (Neighborhood) 設(shè)P0(x0, y0)是 xOy 平面上的一個(gè)點(diǎn),幾何表示Oxy. P0令有時(shí)簡(jiǎn)記為(“開”意味著 將鄰域去掉中心,稱之為去心鄰域.它是以P0為中心、為半徑的開圓也稱為不包括邊界),注幾何表示一元函數(shù)中鄰域的概念

3、: 也可將以P0為中心的某個(gè)矩形內(nèi)(不算周界)的全體點(diǎn)稱之為點(diǎn)P0鄰域.第五張，PPT共五十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月5 (1) 內(nèi)點(diǎn)顯然, E的內(nèi)點(diǎn)屬于E. (2) 外點(diǎn)如果存在點(diǎn)P的某個(gè)鄰域則稱P為E的外點(diǎn).(3) 邊界點(diǎn)如點(diǎn)P的任一鄰域內(nèi)既有屬于E的點(diǎn),也有不屬于E的點(diǎn),稱P為E的邊界點(diǎn).任意一點(diǎn)與任意一點(diǎn)集之間必有以下四種關(guān)系中的一種:設(shè)E為一平面點(diǎn)集,若存在稱P為E的內(nèi)點(diǎn).E的邊界點(diǎn)的全體稱為E的邊界,記作使U(P)E = ,下面利用鄰域來(lái)描述點(diǎn)和點(diǎn)集之間的關(guān)系.第六張，PPT共五十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月6(4) 聚點(diǎn)如果對(duì)于任意給定的P的去心鄰域內(nèi)總有E中的點(diǎn)則稱P是E的聚點(diǎn).

4、(P本身可屬于E, 也可不屬于E ),聚點(diǎn)從直觀上講: 這點(diǎn)附近有無(wú)窮多個(gè)E的點(diǎn).例如, 若則P為E的邊界點(diǎn),E的邊界則P為E的內(nèi)點(diǎn);也是E的聚點(diǎn);若或也是E的聚點(diǎn);或設(shè)點(diǎn)集第七張，PPT共五十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月7 開集若點(diǎn)集E的任意一點(diǎn)都是E的內(nèi)點(diǎn),例稱E為E1為開集.下面再定義一些重要 閉集若點(diǎn)集E的邊界稱E為閉集.例E2為閉集.例E3既非開集,也非閉集.根據(jù)點(diǎn)集所屬點(diǎn)的特征,的平面點(diǎn)集的概念. 開集.第八張，PPT共五十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月8區(qū)域(或開區(qū)域)連通的開集稱為連通集.如果點(diǎn)集E內(nèi)任何兩點(diǎn),都可用折線連且該折線上的點(diǎn)都屬于E,稱E是區(qū)域或開區(qū)域.連通集結(jié)起來(lái),閉區(qū)

5、域開區(qū)域連同其邊界一起所構(gòu)成的點(diǎn)集,稱為閉區(qū)域.都是閉區(qū)域.如第九張，PPT共五十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月9是區(qū)域嗎?不是區(qū)域.因?yàn)椴贿B通.連結(jié)兩點(diǎn)的任何折線都與相交點(diǎn)不屬于E.y軸相交,練習(xí)連通的開集稱為區(qū)域或開區(qū)域.是區(qū)域.第十張，PPT共五十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月10有界集否則稱為總可以被包圍在一個(gè)以原點(diǎn)為中心、大的圓內(nèi)的區(qū)域,稱此區(qū)域?yàn)榘霃竭m當(dāng) (可伸展到無(wú)限遠(yuǎn)處的區(qū)域 ).有界集.集例無(wú)界是有界閉區(qū)域;是無(wú)界開區(qū)域;是無(wú)界閉區(qū)域.第十一張，PPT共五十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月11OxyOxyOxy Oxy有界開區(qū)域有界半開半閉區(qū)域有界閉區(qū)域無(wú)界閉區(qū)域第十二張，PPT共五十一頁(yè)

6、，創(chuàng)作于2022年6月12二、多元函數(shù)的概念1. 二元函數(shù)的定義例有如下的關(guān)系為正的常數(shù)).在西方經(jīng)濟(jì)學(xué)中稱此函數(shù)關(guān)系為 Cobb-Douglas在生產(chǎn)中, 產(chǎn)量Y與投入資金K和勞動(dòng)力L 之間, 生產(chǎn)函數(shù).當(dāng)投入資金K和勞動(dòng)力L的值分別給定時(shí), 產(chǎn)量Y就有一個(gè)確定的值與它們對(duì)應(yīng).上述關(guān)系式,按照第十三張，PPT共五十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月13例它們之間具有如下的關(guān)系設(shè)R是電阻R1, R2并聯(lián)后的總電阻. 由電學(xué)當(dāng)電阻R1, R2取定后, 知識(shí)知道, R的值就唯一確定了.第十四張，PPT共五十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月14點(diǎn)集D稱為該函數(shù)的定義8.1稱映射為定義在D上的二元(點(diǎn))函數(shù),設(shè)D是

7、R2的一個(gè)非空子集,記為稱x, y為數(shù)集稱z為自變量,因變量.定義域,的值域,稱為該函數(shù)記為或第十五張，PPT共五十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月15二元及二元以上的函數(shù)統(tǒng)稱為多元函數(shù)定義域:定義域?yàn)榉蠈?shí)際意義的自變量取值的全體.記為f (x0, y0)函數(shù) z = f (x, y) 在點(diǎn)P0(x0, y0)處的函數(shù)值或f (P0).類似,可定義n元函數(shù).多元函數(shù).實(shí)際問(wèn)題中的函數(shù):的自變量取值的全體.純數(shù)學(xué)問(wèn)題的函數(shù):定義域?yàn)槭惯\(yùn)算有意義多元函數(shù)的自然定義域.第十六張，PPT共五十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月16例1 求下面函數(shù)的定義域解Oxy無(wú)界閉區(qū)域即定義域?yàn)榈谑邚?，PPT共五十一頁(yè)，創(chuàng)作

8、于2022年6月17解Oxy定義域是有界半開半閉區(qū)域練習(xí)第十八張，PPT共五十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月182. 二元函數(shù)的幾何意義 研究單值函數(shù)二元函數(shù)的圖形通常是一張曲面.第十九張，PPT共五十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月19如,由空間解析幾何知,函數(shù)的圖形是以原點(diǎn)為中心, R為半徑的上它在xOy平面上的投影是圓域:D就是函數(shù)的定義域.半球面.第二十張，PPT共五十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月20 的圖形是雙曲拋物面(馬鞍面).又如,它在xOy平面上的投影是全平面.第二十一張，PPT共五十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月21從一元函數(shù)到二元函數(shù),在內(nèi)容和方法上都會(huì)出現(xiàn)一些實(shí)質(zhì)性的差別,而多元函數(shù)之間

9、差異不大.因此研究多元函數(shù)時(shí),將以二元函數(shù)為主.第二十二張，PPT共五十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月22三、多元函數(shù)的極限 討論二元函數(shù)z = f (x, y), 怎樣描述呢? Oxy (1) P (x, y)趨向于P0(x0, y0)的回憶: 一元函數(shù)的極限 路徑又是多種多樣的.注方向有任意Oxy多個(gè),恒有第二十三張，PPT共五十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月23(2) 變點(diǎn)P (x, y) 這樣, 可以在一元函數(shù)的基礎(chǔ)上得出二元函數(shù)極限的一般定義.總可以用來(lái)表示極限過(guò)程:與定點(diǎn)P0(x0, y0)之間的距離不論P(yáng)(x, y)趨向于P0(x0, y0)的過(guò)程多復(fù)雜,記為第二十四張，PPT共五十一頁(yè)

10、，創(chuàng)作于2022年6月24記作定義8.2有成立.的極限. 設(shè)二元函數(shù) f (P ) = f (x, y)的P0(x0, y0)是D的聚點(diǎn).定義域?yàn)镈, 如果存在常數(shù) A,也記作如果對(duì)于任意給定的P的去心鄰域內(nèi)總有E中的點(diǎn)(P本身可屬于E, 也可不屬于E ), 則稱P是E的聚點(diǎn).恒有第二十五張，PPT共五十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月25 說(shuō)明(1) 定義中(2) 二元函數(shù)的極限也叫(double limit)的方式是任意的;二重極限. 關(guān)于二元函數(shù)的極限概念可相應(yīng)地推廣到n元函數(shù)上去.第二十六張，PPT共五十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月26 相同點(diǎn) 多元函數(shù)的極限與一元函數(shù)的極限的一元函數(shù)在某點(diǎn)的

11、極限存在的?定義相同.差異數(shù)必需是點(diǎn) P 在定義域內(nèi)以任何方式和途徑而多元函趨于P0時(shí),相同點(diǎn)和差異是什么充要條件是左右極限都存在且相等; f (P)都有極限,且相等.第二十七張，PPT共五十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月27多元函數(shù)的極限的基本問(wèn)題有三類:(1) 研究二元函數(shù)極限的存在性.常研究若其依賴于k ,則欲證明極限存在,*特別對(duì)于*不存在.常用定義或夾逼定理.欲證明極限不存在(通過(guò)觀察、猜測(cè)).常選擇兩條不同路徑,求出不同的極限值. 找一條特殊路徑, 使函數(shù)沿此路徑的極限不存在.第二十八張，PPT共五十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月28多元函數(shù)的極限的基本問(wèn)題有三類:(2) 求極限值.常按一

12、元函數(shù)極限的求法求之.(3) 研究二重極限與累次極限(二次極限)間的(洛必達(dá)法則除外)關(guān)系.如極限的保號(hào)性、無(wú)窮小與有界量的乘積仍極限的四則運(yùn)算、夾逼定理、等價(jià)無(wú)窮小替換乘除因子定理.兩個(gè)重要是無(wú)窮小、極限、第二十九張，PPT共五十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月29則當(dāng)例2證取有證畢.用定義.用P與O分別表示點(diǎn)(x, y)與(0,0),定義8.2有因?yàn)榈谌畯?，PPT共五十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月30則當(dāng)例3證取有證畢.用P與O分別表示點(diǎn)(x, y)與(0,0),因?yàn)橛枚x.定義8.2有第三十一張，PPT共五十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月31例4 求極限 解其中用夾逼定理.所以第三十二張，PPT共

13、五十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月32解故原式 =練習(xí)第三十三張，PPT共五十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月33設(shè)函數(shù)證明:當(dāng)P(x, y)沿x軸的方向當(dāng)P(x, y)沿y軸的方向也有證函數(shù)的極限不存在.無(wú)限接近點(diǎn)(0,0)時(shí),同樣,無(wú)限接近點(diǎn)(0,0)時(shí),例4第三十四張，PPT共五十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月34函數(shù)的極限存在且相等.當(dāng)P (x, y) 沿直線 y = kx 的方向其值隨 k 的不同而變化.所以, 極限不存在.說(shuō)明函數(shù)取上面兩個(gè)無(wú)限接近于點(diǎn)(0,0)時(shí),另一方面,無(wú)限接近點(diǎn)(0,0)時(shí),設(shè)函數(shù)證明:函數(shù)的極限不存在.特殊方向第三十五張，PPT共五十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月35極限

14、是否存在?練習(xí)取解當(dāng)P(x, y)沿x軸的方向無(wú)限接近點(diǎn)(0,0)時(shí), 當(dāng)P(x, y)沿y軸的方向無(wú)限接近點(diǎn)(0,0)時(shí),錯(cuò)!所以第三十六張，PPT共五十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月36 極限不存在.取極限 是否存在?此時(shí)可斷言 f (x, y)在點(diǎn)P0(x0, y0)找兩種不同趨近方式,但兩者不相等,處極限不存在.當(dāng)P(x, y)沿y軸的方向無(wú)限接近點(diǎn)(0,0)時(shí),思考:還有別的方法?第三十七張，PPT共五十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月37求極限 解將分母有理化, 得 練習(xí)第三十八張，PPT共五十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月38求答: 0答:不存在.答:不存在.二次極限都不存在時(shí), 注練習(xí)存在.

15、二次極限與二重極限有本質(zhì)的區(qū)別,但二重極限也可能二次極限與二重極限是兩個(gè)不同的概念.第三十九張，PPT共五十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月39四、多元函數(shù)的連續(xù)性 設(shè)二元函數(shù) f (P ) = f (x, y)的定義域?yàn)镈, 則稱函數(shù)f (x, y)在點(diǎn)P0(x0, y0)連續(xù).定義8.3如果如果函數(shù) f (x, y)在D的每一點(diǎn)處都連續(xù),連續(xù)函數(shù).P0 (x0, y0)是D的聚點(diǎn), 例如, 函數(shù) 在(x, y)平面上處處連續(xù).如果對(duì)于任意給定的P的去心鄰域內(nèi)總有E中的點(diǎn)(P本身可屬于E, 也可不屬于E ), 則稱P是E的聚點(diǎn).則稱函數(shù) f (x, y)在D上連續(xù),或者稱函數(shù) f (x, y)是D

16、上的第四十張，PPT共五十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月40例 5 證令 證明: f ( x, y)在點(diǎn)(0,0)連續(xù).顯然有于是 所以f ( x, y)在點(diǎn)(0,0)連續(xù).第四十一張，PPT共五十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月41設(shè)函數(shù) f (x, y)的定義域?yàn)镈, 則稱點(diǎn)P0(x0, y0)為函數(shù)f (x, y)的間斷點(diǎn).定義8.4是D的聚點(diǎn), P0 (x0, y0)如果函數(shù) f (x, y)在點(diǎn)P0 (x0, y0)不連續(xù), 的間斷線.(0,0)是函數(shù) 的(0,0)點(diǎn)是該函數(shù)的間斷點(diǎn). 函數(shù)函數(shù)的極限不存在,前面已證)例如,的間斷點(diǎn);是函數(shù)例如, 第四十二張，PPT共五十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年

17、6月42在空間直角坐標(biāo)系下,平面區(qū)域E上的二元連續(xù)函數(shù) z = f (x, y)的圖形是在E上的一張“無(wú)孔無(wú)縫”的連續(xù)曲面.(分母不為零)及復(fù)合仍是連續(xù)的.同一元函數(shù)一樣,多元函數(shù)的和、差、積、商每個(gè)自變量的基本式子表達(dá)的函數(shù)稱為初等函數(shù)經(jīng)有限次四則運(yùn)算和有限次復(fù)合,由一個(gè)指包含在定義域內(nèi)的區(qū)域或閉區(qū)域.一切多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是結(jié)論連續(xù)的.多元初等函數(shù).第四十三張，PPT共五十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月43例6 求極限 解是初等函數(shù),而(1,0)在其定義域內(nèi),故 f (x, y)在(1,0)點(diǎn)處連續(xù),所以由多元初等函數(shù)的連續(xù)性,代入法如果要求它在點(diǎn)P0 處的極限, 而該點(diǎn)又在此函數(shù)的定

18、義區(qū)域內(nèi), 則極限值就是函數(shù)在該點(diǎn)的函數(shù)值, 即第四十四張，PPT共五十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月44想一想 如何證明 f (x, y)在? 證xOy面上處處連續(xù) ?是初等函數(shù),f (x, y)處處連續(xù).下面證明也連續(xù).第四十五張，PPT共五十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月45又于是即證明了f (x, y)在 由于xOy面上處處連續(xù).證明 f ( x, y)在xOy面上處處連續(xù)?從而 f (x, y)也連續(xù),夾逼準(zhǔn)則第四十六張，PPT共五十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月46有界閉區(qū)域上連續(xù)的多元函數(shù)的性質(zhì):最大值和最小值. 性質(zhì)8.1(有界性與最大值最小值存在性)性質(zhì)8.2(介值存在性)在有界閉區(qū)域上連續(xù)的多元函數(shù)必有界,且有在有界閉區(qū)域上連續(xù)的多元函數(shù)必能取到介于最