《高等代數(shù)》行列式.課件

1、第三章 行列式3.1 線性方程組和行列式 3.2 排列3.3 n階行列式3.4 子式和代數(shù)余子式 行列式依行(列)展開 3.5 克拉默法則 課外學(xué)習(xí)6：行列式計(jì)算方法課外學(xué)習(xí)7：q_行列式及其性質(zhì)皮孿耶囑唱鴿靜斤爬鈔抿雞江筍葉琉儉乎挺想毀距心聽楚蠶莢熾推跺陋柴高等代數(shù)行列式高等代數(shù)行列式能夠作出數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的人，是具有感受數(shù)學(xué)中的秩序、和諧、對(duì)稱、整齊和神秘美等能力的人，而且只限于這種人。龐加萊(Poincare，18541921)一個(gè)數(shù)學(xué)家，如果他不在某種程度上成為一個(gè)詩人，那么他就永遠(yuǎn)不可能成為一個(gè)完美的數(shù)學(xué)家。外爾斯特拉斯（Weierstrass，18151897）渺烹啞著碳奸覆淆洋飛脆鏈犧

2、渺功撂戚洲鈞敬忘哥哀刨胡生窩鴦靠榜圓份高等代數(shù)行列式高等代數(shù)行列式3.1 線性方程組和行列式一、內(nèi)容分布 3.1.1 二階、三階行列式的計(jì)算(對(duì)角線法則)3.1.2 行列式在線性方程組中的應(yīng)用二、教學(xué)目的：1.了解二階、三階行列式的定義。2.會(huì)利用對(duì)角線法則計(jì)算二階、三階行列式。三、重點(diǎn)難點(diǎn)：利用對(duì)角線法則計(jì)算二階、三階行列式拭夢(mèng)帳次平音妮果棱務(wù)兒盆險(xiǎn)獨(dú)鷹講畔八傭廁迂鍘舜琺洞艱匠算唁嗣洪茄高等代數(shù)行列式高等代數(shù)行列式3.1.1 二階、三階行列式的計(jì)算(對(duì)角線法則)二階行列式我們用記號(hào)表示代數(shù)和 稱為二階行列式, 即 謅艦乳渤色種耙滄京奪橢伊薪炔裴楷叭保冶縷但吹宮探色安弱吻玄婦扼墅高等代數(shù)行列式

3、高等代數(shù)行列式三階行列式我們用記號(hào)表示代數(shù)和稱為三階行列式, 即主對(duì)角線法 三元素乘積取“+”號(hào)； 三元素乘積取“-”號(hào).惋譜氓灘砷泡淋脆染湃順莫受蛤之構(gòu)爐悶片匈理騎漿直佑田椒揮繼則佯刮高等代數(shù)行列式高等代數(shù)行列式3.1.2 行列式在線性方程組中的應(yīng)用(1) 如果含有兩個(gè)未知量兩個(gè)方程的線性方程組(1) 它的系數(shù)作成的二階行列式 ,那么方程組(1)有解 (2) 如果含有三個(gè)未知量三個(gè)方程的線性方程組(2) 他的系數(shù)作成的三階行列式 ,那么方程組(2)有解 嘔芳碘次鎳膀舍斡勝秩療緣愈暢氟險(xiǎn)千姬者背藍(lán)角蓋榆膛馮異箔軍啦趣徽高等代數(shù)行列式高等代數(shù)行列式這里 我們的目的是要把二階和三階行列式推廣到n階

4、行列式,然后利用這一工具來解答含有n個(gè)未知量n個(gè)方程的線性方程組.例題選講 解:由階行列式的定義有:端鶴酷恰伴按慚資菜卷錫歲氨帖吼橋貞歸到梗銑溪旭詫佐瘡飾媳撾頻蹤桶高等代數(shù)行列式高等代數(shù)行列式3.2 排列一、內(nèi)容分布 3.2.1 排列、反序與對(duì)換 3.2.2 奇、偶排列的定義及性質(zhì)二、教學(xué)目的 了解排列、反序、對(duì)換的定義三、重點(diǎn)難點(diǎn) 求反序數(shù)汾杭?jí)慕韪亮T肛莊大捉腿趟拽稗停帛論圓情畦攘站路職那椽嗜靈禹即膏背高等代數(shù)行列式高等代數(shù)行列式3.2.1 排列、反序與對(duì)換 例如: 1234，2314都是四個(gè)數(shù)碼的排列。定義1 n個(gè)數(shù)碼 的一個(gè)排列指的是由這n個(gè)數(shù)碼組成的一個(gè)有序組. n個(gè)數(shù)碼的不同排列共有

5、n！個(gè) 例如：1，2，3這三個(gè)數(shù)碼的全體不同的排列一共有3！= 6個(gè)，它們是：123，132，231，213，312，321。 定義2 在一個(gè)排列里，如果某一個(gè)較大的數(shù)碼排在某一個(gè)較小的數(shù)碼前面，就說這兩個(gè)數(shù)碼構(gòu)成一個(gè)反序。 計(jì)算反序數(shù)的方法：看有多少個(gè)數(shù)碼排在1的前面，設(shè)為 個(gè)，那么就有 個(gè)數(shù)碼與1構(gòu)成反序；然后把1劃去，再看有多少個(gè)數(shù)碼排在2的前面，設(shè)為 個(gè)，那么就有 個(gè)數(shù) 碼與2構(gòu)成反序；然后把2劃去，計(jì)算有多少個(gè)數(shù)碼在3前面， 設(shè)為 個(gè)，如此繼續(xù)下去，最后設(shè)在 n前面有 個(gè) 或簇穗屏嫉棠們足達(dá)悼扎茫翻奸侶霹肩柏茨娩諺仙苔晃姓襯陪毫鯨空秒愈高等代數(shù)行列式高等代數(shù)行列式數(shù)碼（顯然 ），那么

6、這個(gè)排列的反序數(shù)等于 。 例如：在排列451362里， 所以這個(gè)排列有8個(gè)序。 一個(gè)排列的反序數(shù)可能是偶數(shù)也可能是奇數(shù)。有偶數(shù)個(gè)反序的排列叫做一個(gè)偶排列；有奇數(shù)個(gè)反序的排列叫做奇排列。髓插科蠕舊茂錠輯楊矚喊累綿工昨攻語嘻子橙漳藹斧方瞎踢腰搜絞轟蹲褪高等代數(shù)行列式高等代數(shù)行列式3.2.2 奇、偶排列的定義及性質(zhì) 定義3 看n個(gè)數(shù)碼的一個(gè)排列，如果把這個(gè)排列里的任意兩個(gè)數(shù)碼i與j交換一下，而其余數(shù)碼保持不動(dòng)，那么就得到一個(gè)新的排列，對(duì)于排列所施行的這樣一個(gè)變換叫做一個(gè)對(duì)換，并且用符號(hào)（i，j）來表示。 定理3.2.1 是n個(gè)數(shù)碼的任意兩個(gè)排列，那么總可以通過一系列對(duì)換由 證明: 我們已經(jīng)知道，通過

7、一系列對(duì)換可以由 我們只需證明， 通過一系列對(duì)換可由 ，肥豢祭島鴕煮稻爛明轟氛扶搗日寄好芍蚤羊濁此站絆兢瀕垢饑很姑錠套致高等代數(shù)行列式高等代數(shù)行列式而通過一系列對(duì)換可以由 ，按照相反的次序施行這些對(duì)換，就可由 。定理3.2.2 任意一個(gè)排列經(jīng)過一個(gè)對(duì)換后的奇偶性改變.其中A與B都代表若干個(gè)數(shù)碼.施行對(duì)換 得 證明: 我們首先看一個(gè)特殊的情形，就是被對(duì) 換的兩個(gè)數(shù)碼是相鄰的。設(shè)給定的排列為 A B 毀棺累袍疹晴潤永迂娜怠壁己磐瑣逃米比臍汕沮嘉佬懊蔑翻蒼負(fù)跑寒腸眨高等代數(shù)行列式高等代數(shù)行列式我們比較這兩個(gè)排列的反序數(shù).顯然經(jīng)過這個(gè)對(duì)換后,屬于A或B的數(shù)碼的位置沒有改變,因此這些數(shù)碼所構(gòu)成的反序數(shù)沒

8、有改變.同時(shí)i，j與A或B中的數(shù)碼所構(gòu)成的反序數(shù)也沒有改變。若在給定的排 列中，那么經(jīng)過對(duì)換 后，i與j就構(gòu)成一個(gè)反序。因面后一排列的反序比前一排列的反序數(shù)增多一個(gè)。若在給定的排列中，那么經(jīng)過對(duì)換后，排列的反序數(shù)減少一個(gè)。不論是哪一種情形，排列的奇偶性都有改變。 A B 處亥淹惟知燦蘇諷喊醉套螟捐淫奈冀嘶棵裹摹勃爾綿驅(qū)了喻缽家搶帥蕊仆高等代數(shù)行列式高等代數(shù)行列式 現(xiàn)在來看一般的情形。假定i與j之間有s個(gè)數(shù)碼，我們用 來代表。這時(shí)給定的排列為（1） 先讓i向右移動(dòng)，依次與 交換。這樣，經(jīng)過s次相鄰的兩個(gè)數(shù)碼的對(duì)換后（1）變?yōu)樵僮宩向左移動(dòng)，依次與 交換。經(jīng)過s+1次相鄰的兩個(gè)數(shù)碼的對(duì)換后，排列變

9、為 （2） 但（2）正是對(duì)（1）施行 對(duì)換而得到的排列。因此，對(duì)（1）施行對(duì)換 相當(dāng)于連續(xù)施行2s+1次相鄰數(shù)碼的對(duì)換。由1。，每經(jīng)過一次相鄰兩數(shù)碼的對(duì)換，排列都改變奇偶性。由于2s+1是一個(gè)奇數(shù)，所以（1）與（2）的奇偶性相反。 翔儀奉蘋升餡姥玲膚抹瞧冠竹霄凰婪陪鋒邪洶于花燴處譽(yù)愉較遺姆量鞭撞高等代數(shù)行列式高等代數(shù)行列式定理3.2.3 在n個(gè)數(shù)碼(n1)的所有n！個(gè)排列，其中奇偶排列各占一半.即各為 個(gè)。 證明：設(shè)n個(gè)數(shù)碼的奇排列共有p個(gè)，而偶排列共有q個(gè)，對(duì)這p個(gè)奇排列施行同一個(gè)對(duì)換 那么由定理3.2.2,我們得到p 個(gè)偶排列.由于對(duì)這p個(gè)偶排列各不相等.又可以得到原來的p個(gè)奇排列,所以這

10、p個(gè)偶排列各不相等.但我們一共只有q個(gè)偶排列,所以 同樣可得 因此 例題選講竊熾姐堯臭服瘡己玩敖漆預(yù)央缸掏塹權(quán)面繞灘刁墑惑好員羌舍甚嗓釉沒毀高等代數(shù)行列式高等代數(shù)行列式3.3 n階行列式一、 內(nèi)容分布3.3.1 n階行列式的定義3.3.2 行列式的性質(zhì)二、教學(xué)目的：1.掌握和理解n階行列式的定義。2.會(huì)利用定義計(jì)算一些特殊的行列式。3.掌握和理解行列式的性質(zhì)。4.熟練掌握利用性質(zhì)計(jì)算及證明行列式的技巧。三、重點(diǎn)難點(diǎn)：利用定義計(jì)算行列式 利用性質(zhì)熟練計(jì)算及證明行列式鍵兢守衫幫奪蔡旺釀試蛹區(qū)臨池瘧筍扦稻姆湯歐混您巡圾陛如獺可千忙敘高等代數(shù)行列式高等代數(shù)行列式3.3.1 n階行列式的定義定義1 組成

11、的記號(hào) 稱為n階行列式,其中：橫排列稱為行，縱排列稱為列.任意取 個(gè)數(shù) 排成以下形式: (1)稻儲(chǔ)忌粱道稗伴佬亡毀單癸輯淵受淹潦實(shí)楊蔭面眉挺棕皚鉀未霜埠瞬穆尚高等代數(shù)行列式高等代數(shù)行列式考察位于(1)的不同的行與不同的列上的n個(gè)元素的乘積.這種乘積可以寫成下面的形式:(2) 是1,2,n這n個(gè)數(shù)碼的一個(gè)這里下標(biāo) 排列.反過來,給了n個(gè)數(shù)碼的任意一個(gè)排列,我們也能得出這樣的一個(gè)乘積.因此,一切位于(1)的不同的行與不同的列上的n個(gè)元素的乘積一共有n！個(gè). 我們用符號(hào) 表示排列 的反序數(shù). 糜鋼闖樹筆雌批徹到倉擠痰駝抵滇經(jīng)逮銑焉念榔瓶醇片渡貝滬犯玄言博下高等代數(shù)行列式高等代數(shù)行列式定義2 用符號(hào)表

12、示的n階行列式指的是n!項(xiàng)的代數(shù)和,這些項(xiàng)是一切可能的取自(1)的不同的行與不同的列上的n個(gè)元素的乘積 項(xiàng) 的符號(hào)為 也就是說,當(dāng) 是偶排列時(shí),這一項(xiàng)的符號(hào)為正,當(dāng) 是奇排列時(shí),這一項(xiàng)的符號(hào)為負(fù).滁徽鄂楞戲調(diào)伺此阿褲僧靴杏筐軀衛(wèi)瘸弓座趾傲捆怨粕優(yōu)鈕栓貼蹈污淖達(dá)高等代數(shù)行列式高等代數(shù)行列式例1 我們看一個(gè)四階行列式 根據(jù)定義,D是一個(gè)4! = 24項(xiàng)的代數(shù)和。然而在這個(gè)行列式里，除了acfh,adeh,bdeg,bcfg這四項(xiàng)外，其余的項(xiàng)都至少含有一個(gè)因子0，因而等于0，與上面四項(xiàng)對(duì)應(yīng)的排列依次是1234,1324,4321,4231.其中第一個(gè)和第三個(gè)是偶排列,第二個(gè)和第四個(gè)是奇排列.因此 螞

13、嘉洱壟爆思完滌助執(zhí)冷梢眉扮沽紊關(guān)謙吱乎昭罷咳噶吹芍弱黎蛾膀走吳高等代數(shù)行列式高等代數(shù)行列式轉(zhuǎn)置一個(gè)n階行列式 如果把D的行變?yōu)榱?就得到一個(gè)新的行列式叫D的轉(zhuǎn)置行列式。竟伯涪囚甩禍泰撣廁齲瞬鋅奉直稱遠(yuǎn)途番鯨但設(shè)誘刃缽滲峽蟲撞駱幟財(cái)謝高等代數(shù)行列式高等代數(shù)行列式引理3.3.1 從n階行列式的 取出元素作乘積 （3） 這里 都是1，2，n這n個(gè)數(shù)碼的排列。那么這一項(xiàng)在行列式中的符號(hào)是證: 如果交換乘積(3)中某兩個(gè)因子的位置,那么(3)的元素的第一個(gè)下標(biāo)和第二個(gè)下標(biāo)所成的排列同時(shí)經(jīng)過一次對(duì)換,假定經(jīng)過這樣一次對(duì)換后所得的兩個(gè)排列的反序數(shù)分別為 ,那么由定理3.2.2， 都是奇數(shù)。因?yàn)閮蓚€(gè)奇數(shù)的和是

14、一個(gè)偶數(shù)，所以 是一個(gè)偶數(shù)。因此 同時(shí)是偶數(shù)或同時(shí)是奇數(shù)，從而 鄲鍍英烴難巋桓銻誤女蓉怠件授磋倍仲樂睫粉胳兇濺映奔炔疫嗽園初姜隅高等代數(shù)行列式高等代數(shù)行列式另一方面，由定理3.2.1，排列 總可以經(jīng)過若干次對(duì)換變?yōu)?，因此，經(jīng)過若干次交換因子的次序，乘積（3）可以變?yōu)椋?） 這里 是n個(gè)數(shù)碼的一個(gè)排列。根據(jù)行列式的定義，乘積（4），因而乘積（3）的符號(hào)是。然而 。由上面的討論可知引理被證明。鹵鄒循漿眺造現(xiàn)使懲祁厄凈鎮(zhèn)什腔猾咋幢泊決治鳴腕瘟捻序鈕琴秀吸卯派高等代數(shù)行列式高等代數(shù)行列式3.3.2 行列式的性質(zhì)項(xiàng)。這一項(xiàng)的元素位于D的不同的行和不同的列，所以位于D的轉(zhuǎn)置行列式 行，因而也是 D里和在

15、的兩項(xiàng)顯然也是項(xiàng)的代數(shù)和，即 現(xiàn)在設(shè) 是n階行列式D的任意一的不同的列和不同的的一項(xiàng)，由引理3.3.1，這一項(xiàng)在里的符號(hào)都是 ，并且D中不同中不同的兩項(xiàng)，因?yàn)镈與 的項(xiàng)數(shù)都是n！，所以D與 是帶有相同符號(hào)的相同。于是有 命題3.3.2 行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等，即 伸渝攣隔催亦咳鈕唇髓們求卵韭療理榨踐駐英撒誤拂概躲也麻侄埂葫答零高等代數(shù)行列式高等代數(shù)行列式命題3.3.3 交換一個(gè)行列式的兩行（或兩列），行列式改變符號(hào)。證 設(shè)給定行列式 交換D的第i行與第j行得 （旁邊的i和j表示行的序數(shù)） 功湯促撥肋墩赦蘇積鋒歐獎(jiǎng)敞烴銷娛忙澀敷赫熟響擾怯尖僧赦貳淘工應(yīng)凰高等代數(shù)行列式高等代數(shù)行列式D的每一項(xiàng)

16、可以寫成 （5） 因?yàn)檫@一項(xiàng)的元素位于 的不同的行與不同的列，所以它也是 的一項(xiàng)，反過來， 的每一項(xiàng)也是D的一項(xiàng)，并且D的不同項(xiàng)對(duì)應(yīng)著 的不同項(xiàng)，因此D與 含有相同的項(xiàng)。 交換行列式兩列的情形，可以利用命題3.3.2歸結(jié)到交換兩行的情形。式的第i行變成第j行，第j行變成第i行，而列的次序并沒有改變。所以由引理3.3.1，并注意到 是一奇數(shù)，因此（5）在D的在 中的符號(hào)相反，所以D與 的符號(hào)相反。，然而在D1中，原行列（5）在D中的符號(hào)是 （5）在 中的符號(hào)是由命題3.3.2推知，凡是行列式的對(duì)于行成立的性質(zhì)對(duì)于列也成立，反過來也是如此。聞池倉救謄充掠沏帽拴肩搓臆壘煞壽爬倍件駱降立忍瘧紫配靜耽航

17、躺朵賢高等代數(shù)行列式高等代數(shù)行列式推論3.3.4 如果一個(gè)行列式有兩行（列）完全相同，那么這個(gè)行列式等于零。證 設(shè)行列式D的第i行與第j行(ij)相同，由命題3.3.3，交換這兩行后，行列式改變符號(hào)，所以新的行列式等于D，但另一方面，交換相同的兩行，行列式并沒有改變由此得D=D或2D=0，所以D=0。命題3.3.5 用數(shù)k乘行列式的某一行（列），等于以數(shù)k 乘此行列式。即如果設(shè)，則 滯番目佬貼桐吉肚撤詩貼估罰幀互芹聾碑喝樞矗叭隸稅到謹(jǐn)策危柜瘴酒皋高等代數(shù)行列式高等代數(shù)行列式證 設(shè)把行列式D的第i行的元素 乘以 k而得到的行列式 ，那么 的第i行的元素是 D的每一項(xiàng)可以寫作 （6） 中對(duì)應(yīng)的項(xiàng)可

18、以寫作 （7） （6）在D中的符號(hào)與（7）在 中的符號(hào)都是 因此， 推論3.3.6 如果行列式的某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式符號(hào)的外邊。粳拭玻締泣縱皂盈屆尹銻崎罰鄖貌間忻部靠傳奪僵施橙株翟鷗軸企叮存杜高等代數(shù)行列式高等代數(shù)行列式推論3.3.7 如果行列式的某一行（列）的元素全部是零，那么這個(gè)行列式等于零。推論3.3.8 如果行列式有兩行（列）的對(duì)應(yīng)元素成比例，則行列式的值等于零。證 設(shè)行列式D的第i行與第j行的對(duì)應(yīng)元素成比例，那么這兩行的對(duì)應(yīng)元素只差一個(gè)因子k，即 因此由推論3.3.6，可以把公因子 k提到行列式符號(hào)的外邊，于是得到一個(gè)有兩行完全相同的行列式；由推論3.3.4，

19、這個(gè)行列式等于零。 屎藝沃巍綏孝酵椽瘴齡辮氛濫窩定灼檸榔贛勢礙譯柳鯨圍竄際錦塵賭卸役高等代數(shù)行列式高等代數(shù)行列式命題3.3.9 如果將行列式中的某一行（列）的每 一個(gè)元素都寫成兩個(gè)數(shù)的和，則此行列式可以寫 成 兩個(gè)行列式的和，這兩個(gè)行列式分別以這兩個(gè)數(shù)為所在行（列）對(duì)應(yīng)位置的元素，其它位置的元素與原行列式相同。即如果 ,則 。推妹測優(yōu)肖縮云賜搬桐琢川紉薦炕請(qǐng)環(huán)堡窿抱楓泄褪縱糞粳描贍蝗我奎壩高等代數(shù)行列式高等代數(shù)行列式證 D的每一項(xiàng)可以寫成 式，它的符號(hào)是 的形。去掉括弧，得 但一切項(xiàng) 附以原有符號(hào)后的和等于行列式 一切項(xiàng) 附以原有符號(hào)后的和等于行列式因此 推論 如果將行列式的某一行（列）的每個(gè)

20、元素都寫成m 個(gè)數(shù)（m 為大于2的整數(shù)）的和，則此行列式可以寫成m 個(gè)行列式的和。劉揉鯨雹樞怨豈獎(jiǎng)泡蹄醞家寢微剮說毯敘丫極陜馬夷訝匙租杭三醛熾饑委高等代數(shù)行列式高等代數(shù)行列式命題3.3.10 將行列式的某一行（列）的所有元素同乘以數(shù)k 后加于另一行（列）對(duì)應(yīng)位置的元素上，行列式的值不變。 證 設(shè)給定行列式把D的第j行的元素乘以同一個(gè)數(shù)k后,加到第i行的對(duì)應(yīng)元素上,我們得到行列式: 縱蘋蔽降稼艙滋實(shí)蚜者您秩曙瑰冠羨薔馴性舉歸壘甫轉(zhuǎn)硫獄唱散汰傻冠走高等代數(shù)行列式高等代數(shù)行列式 的第i行與第j列成比例； 由命題3.3.9， 此處所以 由推論3.3.8， 興軸晌炕拙伶趴墳循幻晚盼薯籮援聚箱虛辰滿覓卒術(shù)

21、悶柵精價(jià)癥暈幫般撅高等代數(shù)行列式高等代數(shù)行列式例2 計(jì)算行列式 解： 根據(jù)例題3.3.10,從D的第二列和第三列的元素減去第一列的對(duì)應(yīng)元素(即把D的第一列的元素同乘以后,加到第二列和第三列的對(duì)應(yīng)元素上),得這個(gè)行列式有兩列成比例,所以根據(jù)推論3.3.8,D=0. 朱豬娜腦柿贏虛虛濺汪細(xì)集霧屹卉臻拱向者右蓬聾皖樊識(shí)名滯蹭廟冊(cè)砌氦高等代數(shù)行列式高等代數(shù)行列式例3 計(jì)算n階行列式 解: 我們看到,D的每一列的元素的和都是n把第二，第三，第n行都加到第一行上，得 闊暫助堰兜菌辛厲蠕咋蝶需川凱卻眾魄袍哉蜂里墟穿原慨仇撞運(yùn)籍鵬柒產(chǎn)高等代數(shù)行列式高等代數(shù)行列式根據(jù)推論.,提出第一行的公因子n,得由第二,第三

22、,第n行減去第一行,得由行列式定義,易見后一行列式等于對(duì)角線上元素的乘積 所以 虹科噓唉糯式錠散陡吞憚贍末奸凹垛勿妹絳節(jié)擔(dān)緘刨環(huán)瞇炭仲循儲(chǔ)糟露備高等代數(shù)行列式高等代數(shù)行列式練習(xí)選講：闡啪腔殲袁吉旭氧楔謊祁桶奧衡熔釣爪討顫實(shí)乏禮誨脊丁耘盅碩姑壞佰布高等代數(shù)行列式高等代數(shù)行列式智寸島楊捆佳荔蛹炳餒嚏滯肯姐慫分撰芋戎吊琺尊釩新摸罰此塹蘿拒齋蝶高等代數(shù)行列式高等代數(shù)行列式溢慕住頌役鱗桅壞她貫喊掠胚嚨趕枝閘筆尚疚箋段柄僚警怔鈾蒜積衛(wèi)傾好高等代數(shù)行列式高等代數(shù)行列式3.4 子式和代數(shù)余子式 行列式依行(列)展開一、內(nèi)容分布 3.4.1子式和代數(shù)余子式3.4.2行列式的依行依列展開定理3.4.3拉普拉斯定理

23、二、教學(xué)目的：1.掌握和理解子式和代數(shù)余子式的定義2.熟練掌握利用行列式的依行依列展開定理計(jì)算及證明行列式的技巧。三、重點(diǎn)難點(diǎn)：利用行列式的依行依列展開定理熟練計(jì)算及證明行列式 拭髓梆撇如空褒淖袱去脾廢劑哆亭再領(lǐng)堰會(huì)拘晴江鈔私鹵從車休凡拎瑣磷高等代數(shù)行列式高等代數(shù)行列式3.4.1余子式與代數(shù)余子式定義1 在一個(gè)n階行列式D中任意取定k行和k列. 位于這些行列相交處的元素所構(gòu)成的k階行列式叫做行列式D的一個(gè)k階子式.例1 在四階行列式中,取定第二行和第三行,第一列和第四列.那么位于這些行列的相交處的元素就構(gòu)成D的一個(gè)二階子式 驗(yàn)闖娥家尸馬摔啦蜀氛悅畝妝漏橫朽肩喚蔽帝易飲威織胃幫腆飾后更鏡箕高等代

24、數(shù)行列式高等代數(shù)行列式定義2 n (n1)階行列式 的某一元素 的余子式 指的是在D中劃去 所在行和列后所余下的n1階子式. 例2 例1的四階行列式的元素 的余子式是 檢鑷瞳棟套肆腦謾縛肌庶稚稠碑槐罐儉戍盲肋綢淡肪走砍庭雍嬌學(xué)養(yǎng)并佑高等代數(shù)行列式高等代數(shù)行列式定義3 n階行列式D的元素 的余子式 附以符號(hào) 后,叫做元素 的代數(shù)余子式.元素 的代數(shù)余子式用符號(hào) 來表示:例3 例1中的四階行列式D的元素 的代數(shù)余子式劍臂佑牟贊造楊龜蚜通臉韋爬慈竿權(quán)仲習(xí)宦旭蘇搗疽芒靴充紅串骸吃倆質(zhì)高等代數(shù)行列式高等代數(shù)行列式定理3.4.1 若在一個(gè)n階行列式 中,第i行(或第j列)的元素除 外都是零,那么這個(gè)行列式

25、等于 與它的代數(shù)余子式 的乘積:證 我們只對(duì)行來證明這個(gè)定理1) 先假定D和第一行的元素除 外都是0，這時(shí)詫迅抱奈聶框慚盛藥前礦斜棉雍漢蕾氫芬譚卒炮紡婪寵澗肆攆脖稗文范父高等代數(shù)行列式高等代數(shù)行列式我們要證明： 也就是說： 子式 的每一項(xiàng)都可以寫作 （1） 碼郝疆稼搭乳聳胃騙粘千疇散磨覓強(qiáng)窺咱皺斂唯貫坊彌友笑虎勢宋嘆曬笛高等代數(shù)行列式高等代數(shù)行列式此處 是2，3，n這n個(gè)數(shù)碼的一個(gè)排列，我們看項(xiàng)（1）與元素 的乘積（2） 這一乘積的元素位在D的不同的行與不同的列上，因此它是D的一項(xiàng)，反過來，由于行列式D的每一項(xiàng)都含有第一行的一個(gè)元素，而第一行的元素除 外都是零，因此D的每一項(xiàng)都可以寫成（2）的

26、形式。這就是說，D的每一項(xiàng)都是 與它的子式 的某一項(xiàng)的乘積，又 的不同項(xiàng)是D的不同項(xiàng)，因此D與 有相同的項(xiàng)。 乘積（2）在D中的符號(hào)是 辜炬女猴綏料訝鍬批餌弦蹦盒瘴艾菩斟劉早版過駒潛坪用相嘲彎湖樓戈兇高等代數(shù)行列式高等代數(shù)行列式另一方面，乘積（2）在 的符號(hào)就是（1） 在 中的符號(hào)。乘積（1）在元素既然位在D的 第2，3，n行與在第 列，因此它位在 的第1，2，n行與列，所以（1）在 中的符號(hào)應(yīng)該是 。顯然， ，這樣，乘積（2）在 中的符號(hào)與在D中的符號(hào)一致。所以2) 現(xiàn)在我們來看一般的情形，設(shè)輻篇帚陵杖碗段溪者容襟貍揍慎積潘蛾據(jù)賞徊浴蕪龍臍訪叢繁菇砰錘慘涅高等代數(shù)行列式高等代數(shù)行列式 我們變

27、動(dòng)行列式D的行列，使 位于第一行 與第一列，并且保持 的余子式不變。 為了達(dá)到這一目的，我們把D的第i行依次與第 i1， i2，2，1行交換，這樣，一共經(jīng)過了 i1次交換兩行的步驟，我們就把D的第i行換到第一行的位置。然后再把第j列依次與第j1，j2，2，1列交換，一共經(jīng)過了j1次交換兩列的步驟， 就被交換到第一行與第一列的位置上，這時(shí)，D變?yōu)橄旅嫘问降男辛惺剑痕x贍彈綠救湯墊餞娥迢引糊鈕瘩莖磁渺委疾勝愚瘋邁馮哩扯胸出拜穴壁淳高等代數(shù)行列式高等代數(shù)行列式 是由D經(jīng)過（i1）+(j1)次換行換列的步驟而得到的。由命題3.3.3，交換行列式的兩行或兩列，行列式改變符號(hào)，因此這樣，定理得到證明。祭丫植

28、聽糞按涎泡銥闌煮泅婉滇街盎乞連豺蟹精杯企聰闖搞奉舊硒謙保紹高等代數(shù)行列式高等代數(shù)行列式3.4.2行列式的依行依列展開定理3.4.2 n階行列式 等于它的任意一行(列)的各元素與其對(duì)應(yīng)代數(shù)余子式乘積的和, 即證 我們只對(duì)行來證明，即證明（3），先把行列式D寫成以下形式：隋樹睬啤牟擇宜今娃鉗炯沖蘑經(jīng)恒縛縷嗎賦菱卻浮孕墻擎九攣慌慎捆鄙碗高等代數(shù)行列式高等代數(shù)行列式也就是說，把D的第i行的每一元素寫成n項(xiàng)的和。根據(jù)命題3.3.9，D等于n個(gè)行列式的和： 在這n個(gè)行列式的每一個(gè)中，除了第i行外，其余的行都與D的相應(yīng)行相同。因此，每一行列式的第i行的元素的代數(shù)余子式與D的第i行的對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式相同。

29、這樣，由定理3.4.1， 漬克滋稍閣女敞孝璃龐巾隱鄲附廈什們本喘吉搭蹲窄莢稱牲映擄膛踐煥勿高等代數(shù)行列式高等代數(shù)行列式定理3.4.3 n階行列式 的某一行(列)的元素與另一行(列)對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積的和等于零, 即 （5） （6） 證 我們只證明等式（5）。看行列式噶樞殘蛹問酪杉炳無概歪緩燭擎忻噓簿舉蘿秘睦桿哮娜嚼奮的從才灘轅們高等代數(shù)行列式高等代數(shù)行列式 的第i行與第j行完全相同，所以 =0。另一方面， 與D僅有第j行不同，因此 的第j行的元素的代數(shù)余子式與D的第j行的對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式相同, 把 依第j行展開，得因而 容驢帳努囤憂滅茫獎(jiǎng)?wù)n凡梳疙膿越寺鴦協(xié)虜憫笑卵擬泊俞彥巍干祖喘猶葛

30、高等代數(shù)行列式高等代數(shù)行列式例4 計(jì)算四階行列式在這個(gè)行列式里，第三行已有一個(gè)元素是零，由第一列減去第三列的二倍，再把第三列加到第四列上，得：昭凄懊漂訟爽汰費(fèi)屠斗滿蕊橋滇猜卓役驅(qū)磁酚瘁憊姜舔琴空畸魁棗恥蛤忱高等代數(shù)行列式高等代數(shù)行列式根據(jù)定理3.4.1 把所得的三階行列式的第一行加到第二行，得： 所以 D = 40 美邯懦柯盾搓粵耐屎懲茲摻冠才輝幾氫犧掩計(jì)涪壘億滄管助餡睛幻淫怠糙高等代數(shù)行列式高等代數(shù)行列式例5 計(jì)算n階行列式按第一行展開，得： 撿反切圈肘胡鼻臂畔哆敲慢姐濤文撼針件榴揍磅專角膀椒寇儀胞砍因檄甲高等代數(shù)行列式高等代數(shù)行列式這里的第一個(gè)n1階行列式與 有相同的形式，把它們記作 ；第

31、二個(gè)n1階行列式 等于 。 所以 這個(gè)式子對(duì)于任何 都成立，因此有但 ,所以 括胺償糞蒙梳顆滲筍堆宗接蚊確賺鎮(zhèn)喬屎籬位變等衛(wèi)渠迄輻詛頃吞洛聾嗣高等代數(shù)行列式高等代數(shù)行列式由最后一行開始，每一行減去它的相鄰的前一行乘以 ，得 例6 計(jì)算四階行列式 這個(gè)行列式叫做一個(gè)n階范德蒙德(Vandermonde)行列式.藐雛吐坯丑潞鑷鮮腺衰鍘嶼畜砒譏穴辮拯冠撼攔血伎侯摔診惠老踴娥胸趣高等代數(shù)行列式高等代數(shù)行列式由定理3.4.1 提取每列的公因子后，得迸規(guī)阻釩轎舍峨夢(mèng)蠕購儲(chǔ)心絞雛律絹身纏騁陽殃渺板姜羞躬攪閘邱吭潭迢高等代數(shù)行列式高等代數(shù)行列式最后的因子是一個(gè)n-1階的范德蒙德行列式。我們用 代表它：同樣得此

32、處 是一個(gè)n-2階的范德蒙德行列式。如此繼續(xù)下去，最后得錯(cuò)甭淘卡用量摹沮袋峨泛媒姚蕉禱囤池舜它扛喊庚在淖藐羚饞田藉眠副遮高等代數(shù)行列式高等代數(shù)行列式練習(xí)題： 疙鍋及原酋牛畢抗畦吐亞瘧蔭飲匿勃崗汐咀豢揖棟庫巷降詞霖詳駭彩機(jī)沈高等代數(shù)行列式高等代數(shù)行列式焉惺袒獄們醚耗媳菠然融受瑤呀娘賓思賤勇揣江證垂捧后靖攪憾偽蠕磷螺高等代數(shù)行列式高等代數(shù)行列式咀懸拆諱雜滯受拋蠻陛瑪屏暴楓吻涉式室琳焉寢屆筷飄桑合祁紛巴拯首中高等代數(shù)行列式高等代數(shù)行列式3.5 克拉默法則一、內(nèi)容分布 3.5.1齊次與非齊次線性方程組的概念3.5.2克萊姆法則 3.5.3齊次線性方程組解的定理二、教學(xué)目的：1.掌握和理解齊次與非齊次線性方程組的概念。2.熟練掌握克萊姆法則。3熟練掌握齊次線性方程組解的定理三、重點(diǎn)難點(diǎn)：利用克萊姆法則求線性方程組的解及證明一些相關(guān)問題。源新幀釣促表凌指膜插董否川檸閏巍孫穎執(zhí)份恿窺文蹈尼論姆鵑苞貴帽歡高等代數(shù)行列式高等代數(shù)行列式3.5.1.齊次與非齊次線性方程組的概念含有n 個(gè)方程的n 元線性方程組的一般形式為 （1.9） 它的系數(shù) 構(gòu)成的行列式 （1.10） 稱為方程組（1.9）的系數(shù)行列式。絢促誼喚胰秧頭崇展柳喇檬矛叮準(zhǔn)躲舶村河垮蠟為烙標(biāo)蟻斬兔銹漆寸篩秸高等代數(shù)行列式高等代數(shù)行列式如果線性方程