《衍生金融工具》第十二章-布萊克-斯科爾斯期權定價模型課件

1、第十二章 布萊克-斯科爾斯期權定價模型11本章導讀金融工程乃至現(xiàn)代金融學中最著名的模型無疑是布萊克-斯科爾斯期權定價模型。布萊克和斯科爾斯在1973年推導出的期權價格的偏微分方程以及開創(chuàng)的無套利定價方法被廣泛應用于金融行業(yè)的各個領域，碩果累累，影響深遠。期權定價是衍生產品設計和交易的核心問題，是衍生產品市場的健康發(fā)展的前提，而布萊克-斯科爾斯期權定價模型較為完善地從理論上解決了期權定價的難題。本章從回顧正態(tài)分布的特征開始，介紹股票收益率及價格分布的假設模型。在此基礎上,利用風險中性定價方法推導出布萊克-斯科爾斯歐式期權定價公式,并討論布萊克-斯科爾斯價格的性質。然后,應用伊藤引理及無套利原理,

2、給出布萊克-斯科爾斯偏微分方程的一種完整推導過程,并介紹動態(tài)對沖與動態(tài)復制的概念，最后進行一定的拓展。本章的學習,應著重掌握風險中性定價方法、布萊克-斯科爾斯期權價格公式及期權定價方法的實際應用。2知識結構圖布萊克-斯科爾斯期權定價模型前導知識正態(tài)分布與對數(shù)正態(tài)分布股票價格的分布特征布萊克-斯科爾斯歐式期權價格公式布萊克-斯科爾斯公式的推導布萊克-斯科爾斯期權價格的性質平價期權的近似公式存在股息的布萊克-斯科爾斯價格公式布萊克-斯科爾斯偏微分方程其他應用美式期權的定價歷史波動率和隱含波動率期權定價的含義3第一節(jié) 正態(tài)分布與對數(shù)正態(tài)分布4第一節(jié) 正態(tài)分布與對數(shù)正態(tài)分布5圖121標準正態(tài)變量的密度

3、曲線及累積分布函數(shù)第一節(jié) 正態(tài)分布與對數(shù)正態(tài)分布6第二節(jié) 股票價格的分布特征7第二節(jié) 股票價格的分布特征8第三節(jié) 布萊克-斯科爾斯偏微分方程9第三節(jié) 布萊克-斯科爾斯偏微分方程10第三節(jié) 布萊克-斯科爾斯偏微分方程11第三節(jié) 布萊克-斯科爾斯偏微分方程12第四節(jié) 布萊克-斯科爾斯歐式期權價格公式13第四節(jié) 布萊克-斯科爾斯歐式期權價格公式14第四節(jié) 布萊克-斯科爾斯歐式期權價格公式15第四節(jié) 布萊克-斯科爾斯歐式期權價格公式16第四節(jié) 布萊克-斯科爾斯歐式期權價格公式17第四節(jié) 布萊克-斯科爾斯歐式期權價格公式18第四節(jié) 布萊克-斯科爾斯歐式期權價格公式19第四節(jié) 布萊克-斯科爾斯歐式期權價格

4、公式20第四節(jié) 布萊克-斯科爾斯歐式期權價格公式21第四節(jié) 布萊克-斯科爾斯歐式期權價格公式22第四節(jié) 布萊克-斯科爾斯歐式期權價格公式23第四節(jié) 布萊克-斯科爾斯歐式期權價格公式四、存在股息的布萊克-斯科爾斯價格公式前面討論了無股息情況下的布萊克-斯科爾斯價格公式,現(xiàn)在接著討論存在股息的布萊克-斯科爾斯公式。支付股息將導致股票價格下跌。在為期權定價時,通?？梢约僭O股票價格下跌的數(shù)量就等于股息的大小。下面我們分兩種情況來討論存在股息的歐式期權定價問題,分別為已知連續(xù)現(xiàn)金股息收益率及已知現(xiàn)金股息量。一般而言,期權的條款在標的支付股票股息(股息為附加股份數(shù))之后會進行相應的調整,故股票股息不影響期

5、權的價格。1.已知連續(xù)股息收益率2.已知股息量24第四節(jié) 布萊克-斯科爾斯歐式期權價格公式25第四節(jié) 布萊克-斯科爾斯歐式期權價格公式26第四節(jié) 布萊克-斯科爾斯歐式期權價格公式27圖123存在股息(圖中中上部的垂直粗虛線)的股票價格過程(實線)第四節(jié) 布萊克-斯科爾斯歐式期權價格公式28第四節(jié) 布萊克-斯科爾斯歐式期權價格公式29第四節(jié) 布萊克-斯科爾斯歐式期權價格公式30第四節(jié) 布萊克-斯科爾斯歐式期權價格公式31第五節(jié) 美式期權的定價32第五節(jié) 美式期權的定價33第五節(jié) 美式期權的定價34第六節(jié) 歷史波動率與隱含波動率35第六節(jié) 歷史波動率與隱含波動率36第六節(jié) 歷史波動率與隱含波動率二

6、、隱含波動率布萊克 斯科爾斯公式和方程中出現(xiàn)了股票現(xiàn)價、行權價、到期期限、無風險利率、波動率等參數(shù)。除了波動率之外,其它的參數(shù)都可以在市場上直接觀察到。根據(jù)波動率的定義,即在一段時間內標的資產連續(xù)收益率的標準差,似乎波動率參數(shù)也不難確定,實際上卻并非如此,因為在衍生產品定價中,我們真正需要的是尚未發(fā)生的未來時間段的波動率。期權作為市場上交易的品種,其市場價格是可以觀察到的。期權的市場價格可能與布萊克-斯科爾斯模型的價格一致,也可能相差較多，受各種市場因素決定的。無論如何,以歐式看漲期權的公式(12.15)為例,如果知道了看漲期權的市場價格及其他可觀察參數(shù),剩下的唯一未知參數(shù)就是波動率。37第六

7、節(jié) 歷史波動率與隱含波動率因為期權價格是波動率單增函數(shù) ，因此波動率可以表示為期權價格的反函數(shù)。于是利用市場上交易的期權價格作為布萊克-斯科爾斯期權價格的近似,即可以反解出波動率 。這樣得到的波動率,隱含著期權市場對未來波動率的預期,稱為隱含波動率(implied volatility)。學術研究發(fā)現(xiàn)，市場上越虛值的期權對應的隱含波動率越大，即期權的隱含波動率關于期權在值狀態(tài)（標的價格比上敲定價格）的函數(shù)圖像呈現(xiàn)兩端翹起的微笑形狀，故給該函數(shù)圖像取名為“波動率的微笑”，圖12-6展示了外匯期權的波動率微笑。38圖126外匯期權隱含的波動率微笑第七節(jié) 期權定價的含義一、期權可被定價的邏輯與前提對

8、股票而言,盡管學者們提出了股息貼現(xiàn)模型、資本資產定價模型等,但是一般來說，股票的市場價格與這樣定出來的價格相差很遠,并且大多數(shù)時候我們無法通過“套利”操作使價格回歸“理性”。換言之,股票未來的漲跌是隨機的,無法預測,故前面我們用幾何布朗運動式(12.2)來模擬股票價格過程,在某種程度上也是基于這個原因。作為標的股票價格函數(shù)的期權價格,從式(12.11)看也是隨機的,但我們卻可以用布萊克-斯科爾斯公式或方程來定價,當然前提是市場是完全的，且不存在套利機會。實質上,式(12.11)中的布朗運動與式(12.2)中的布朗運動相同,也就是說股票價格與期權價格的隨機性源于同一個因素。于是,一定可以通過構造

9、股票與期權的某種組合,使得隨機性在特定的時點被對沖掉，不再具有任何不確定性,也就是說這個組合此時沒有風險，其收益率必定是無風險利率 。用數(shù)學語言表示,即前面給出的方程(12.15)。本質上，期權的定價在數(shù)學上是一個倒向問題，即已知未來某個時點的期權回報，求其當前價值。幸運的是，這個問題對應的倒向隨機微分方程在一定的邊界條件下剛巧存在唯一解。對應的離散情形為第10章二叉樹模型的倒向求解。39第七節(jié) 期權定價的含義二、布萊克-斯科爾斯價格的準確性如前所述,期權可被定價。隨之而來的問題是,通過布萊克-斯科爾斯方法定出的價格準確嗎?在回答這個問題之前,我們有必要定義“準確”二字的含義。期權是市場上交易

10、的金融產品,如果交易按布萊克 斯科爾斯價格進行,那么定價就是準確的,否則,就是不準確的。實證研究表明,布萊克-斯科爾斯期權價格在布萊克-斯科爾斯的理論發(fā)表之前是不準確的,在布萊克-斯科爾斯的理論發(fā)表之后到1987年這一階段比較準確,1987年“黑色星期一”之后誤差變得較大了。布萊克-斯科爾斯價格是在很多假設的基礎上嚴格推算出來的，一開始給了市場參與人士公式般的指導。但是公式成立的前提假設只是在一般情況下與實際比較符合,在極端條件下可能與實際相去甚遠。比如，金融市場的收益率數(shù)據(jù)往往具有尖峰、肥尾、有偏、波動率聚集等特性，這就意味著假設標的股票收益率服從對數(shù)正態(tài)分布在尾部存在較大的偏差，特別是在極

11、端情形的波動率遠高于歷史波動率，定價偏差更大。因此在1987“黑色星期一”之后，市場交易員都接受虛值看跌期權價格遠比布萊克-斯科爾斯價格高得多的事實，在此之前，只有少數(shù)敏銳的交易員通過布萊克-斯科爾斯的這種尾部定價偏差交易來“套利”。40第七節(jié) 期權定價的含義當然,期權的定價相對來說比股票定價要精確。原因很多，期權有到期日，存在杠桿，是交易雙方的零和博弈，對信息反應更敏感，規(guī)律性更強。另外,波動率具有一定的范圍,故我們有較高的把握估算出期權的價格范圍。而且，期權的交易價格,不能違反第8章給出的無套利上、下界,而這不依賴于布萊克-斯科爾斯模型中的任何假設。41第七節(jié) 期權定價的含義三、期權定價在市場上的作用首先,布萊克-斯科爾斯期權定價對實際交易具有指導作用。如果沒有布萊克-斯科爾斯方法,交易員只能靠經驗進行交易。有了布萊克-斯科爾斯模型,交易員至少有了一種相對精確的決策參考依據(jù)。這在布萊克-斯科爾斯公式發(fā)表之后,表現(xiàn)比較明顯,相當長的一段時間,交易員都基本按照布萊克-斯科爾斯公式的指導價格從事交易。其次,布萊克-斯科爾斯期權模型是期權交易的風險管理工具。通過對衍生頭寸的各種敏感性，即通常所說的 希臘字母(Greeks)進行分析，來判斷風險的相對大小,是華爾街衍生交易的