平面圖形的幾何性質(zhì)PPT

1、附錄 II 平面圖形的幾何性質(zhì)1. 靜矩（一次矩）與形心任意平面圖形 A （例如桿的橫截面）建立 yz 坐標(biāo)系（x軸為桿的軸線）OC(yc,zc)yz平面圖形的形心C(yc,zc)定義圖形對 y 軸的靜矩 (II.1)圖形對 z 軸的靜矩 (II.2)靜矩的單位：m3,cm3,mm3AdA靜矩與形心OC(yc,zc)yzA，（II.3）靜矩的性質(zhì)（1）靜矩與軸有關(guān)，可正可負(fù)可為零。（2）若yC,zC坐標(biāo)軸過形心，則有yCzC（3）組合圖形靜矩可分塊計算求代數(shù)和A2c2A1c1（4）求形心2.慣性矩（二次矩）定義圖形對 y，z 軸的軸慣性矩 (II.4) (II.5)圖形對原點(diǎn)的極慣性矩(II.

2、6)慣性矩的單位：m4,cm4,mm4OC(yc,zc)yzAdAOyzA慣性矩的性質(zhì)：（1）慣性矩與軸有關(guān)，恒為正。（2）組合圖形慣性矩可分塊計算求代數(shù)和。A2c2A1c1zy(3)定義慣性半徑 iz，iy(II.7)OyzAiziy例 題 II-1II 平面圖形的幾何性質(zhì) 例題求矩形截面對z軸的慣性矩zhb解：dAdy常見圖形的慣性矩：矩形：hbyz圓形：yzdz空心圓形：ydD3.慣性積定義(II.8)慣性積的性質(zhì)：（1）慣性積與軸有關(guān)，可正可負(fù)可為零。（2）若 y , z 軸有一為圖形的對稱軸，則 Iyz = 0。OC(yc,zc)yzAdA4.平行移軸公式若兩組坐標(biāo)軸分別平行，且其中

3、一組為形心軸，則OC(a,b)yzAyCzCab(II.9)(II.11)(II.10)A 為圖形的面積，a,b 為形心 C 在 yz 坐標(biāo)系中的坐標(biāo)平行移軸公式可用于求組合圖形的慣性矩例 題 II-2II 平面圖形的幾何性質(zhì) 例題求T形截面對其形心軸的慣性矩。解：建立過形心的zCyC坐標(biāo)系，及平行于zC軸的z軸CzCyCz(1)求形心的位置hhHHA1A2yC(2)求慣性矩C1C25. 轉(zhuǎn)軸公式OyzAyz設(shè)y,z為任一對坐標(biāo)軸，將其繞O點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn) 角，得到新坐標(biāo)軸y, z，則有： 6主慣性軸、主慣性矩（1）主慣性軸：若圖形對某一對坐標(biāo)軸的慣性積 等于零，這一對坐標(biāo)軸就稱為主慣性軸。（2）

4、主慣性矩：圖形對主慣性軸的慣性矩。注意：圖形對過某點(diǎn)的所有軸的慣性矩中，兩個 主慣性矩中的一個是最大值，另一個是最小值。 （3）形心主慣性軸：通過形心C的主慣性軸。 注意：對稱軸一定是形心主慣性軸。（4）形心主慣性矩：圖形對形心主慣性軸的慣性矩。比較：應(yīng)力的主方向，主應(yīng)力求圖示截面對z軸的慣性矩。例 題 II-3II 平面圖形的幾何性質(zhì) 例題負(fù)面積法例 題 II-3II 平面圖形的幾何性質(zhì) 例題 正方形對 和 軸的慣性矩均為 。而 與 軸是形心主慣性軸， ， 都是形心主慣性矩。對所有的形心軸來說， 及 中的一個是最大值，另一個是最小值。實(shí)際上任意過形心的軸都是正方形的主慣性軸，對其任意形心軸的

5、慣性矩為一常數(shù)。所以正方形對任一形心軸的慣性矩也等于 ，即：而 ，此結(jié)論可推廣到任意正多邊形，即任意正多邊形對其任意一形心軸的慣性矩為常量。例如，求圖示圖形對z軸的慣性矩判斷正誤z軸為槽形的形心軸例 題 II-4II 平面圖形的幾何性質(zhì) 例題錯！錯！b例 題 II-5II 平面圖形的幾何性質(zhì) 例題畫出下列圖形形心主慣性軸的大致方位CCCCCCC7.工程上常用的各種型鋼截面幾何參數(shù)工程上常用的工字鋼、槽鋼、等邊角鋼、不等邊角鋼可查附錄III型鋼表例如：型號為25a的工字鋼bdXXYYh查表可知：13 梁的彎曲 13.1 彎曲的概念1.彎曲的特點(diǎn)外力垂直于桿軸線的橫向力或作用于軸線所在平面內(nèi)的力偶

6、變形桿軸線由直線變?yōu)榍€內(nèi)力桿件橫截面內(nèi)的剪力FS，彎矩Mmm2.常見的幾種彎曲類型平面彎曲外力系為軸線所在平面內(nèi)的平面力系， 變形后軸線變?yōu)槠矫媲€對稱彎曲橫截面有一縱向?qū)ΨQ軸（y軸），外力 作用于該對稱軸與桿軸組成的縱向?qū)?稱面內(nèi)，內(nèi)力分量為剪力FS，彎矩M純彎曲：橫截面上只有M，無FS剪切彎曲（一般彎曲）：FS，M均有例如：aaaFFFFFF（ FS）Fa（M）ABCDAB，CD段： 剪切彎曲BC段：純彎曲3.列剪力、彎矩方程，畫剪力、彎矩圖 復(fù)習(xí)上學(xué)期內(nèi)容13.2 純彎曲時橫截面上的應(yīng)力 彎曲正應(yīng)力公式純彎曲實(shí)驗觀察：MM平面假設(shè)：變形后橫截面保持平面且仍與軸線正交MM橫截面單向受力假

7、設(shè)：縱向纖維間無擠壓中性層中性軸將中性軸取為z軸，縱向?qū)ΨQ軸取為y軸，桿軸取為x軸zyx1. 變形幾何關(guān)系微段 ,截面mm相對nn轉(zhuǎn)動 ，中性層曲率半徑 設(shè)bb線段的線應(yīng)變（a）bb變形后長度bb變形前長度變形幾何關(guān)系(a)2.物理關(guān)系由單向受力假設(shè)：(b)中性軸處yzx橫截面zy3.靜力學(xué)關(guān)系橫截面上的正應(yīng)力分布力系向截面形心簡化得到截面上的內(nèi)力分量MyzC(c)(e)(d)x橫截面zy(c)變形幾何關(guān)系(a)(b)物理關(guān)系中性軸z軸必過截面形心(d)yz軸為截面形心主慣性軸（y為對稱軸，已滿足）(e)(13.1)EIz為梁的彎曲剛度純彎曲時橫截面正應(yīng)力公式(13.2)拉應(yīng)力區(qū)壓應(yīng)力區(qū)xM橫

8、截面上的最大正應(yīng)力(13.3)截面對z軸的彎曲截面系數(shù)(13.4)mmyzm-m注意若截面關(guān)于z軸上下對稱，則有：zyymax1ymax2若截面關(guān)于z軸上下不對稱，則有：Cyzymax1ymax2應(yīng)分別計算M如M為正，則常見各種形狀截面的彎曲截面系數(shù)：矩形：hbyz圓形：yzdz空心圓形：ydD拉（或壓）應(yīng)力最大值位置13.3 剪切彎曲時橫截面上的應(yīng)力 彎曲切應(yīng)力公式1.剪切彎曲（一般彎曲）時橫截面上的正應(yīng)力剪切彎曲（一般彎曲）時，橫截面上既有M，也有FS橫截面上既有 ，也有 存在FS使平面假設(shè)不再滿足，不再準(zhǔn)確，但梁為細(xì)長梁時（即 l/h 較大），故純彎曲正應(yīng)力公式誤差不大，滿足工程要求，剪

9、切彎曲時某橫截面上的正應(yīng)力彎曲正應(yīng)力的最大值2 .剪切彎曲時橫截面上的切應(yīng)力切應(yīng)力分布與截面形狀有關(guān):（1）矩形截面上的彎曲切應(yīng)力假設(shè)：橫截面上各點(diǎn)切應(yīng)力方向平行于剪力的方向橫截面上切應(yīng)力沿z方向均布xyzFSyxyzFSyxyzyFN1A1FN2dxMM+dMy從梁中切出分離體：x方向平衡：b其中矩形截面彎曲切應(yīng)力公式(13.5)yyzA1矩形截面：ymax中性軸上切應(yīng)力最大：橫截面上下緣處： = 0MyzbBHh（2）工字形截面上的彎曲切應(yīng)力主要考慮腹板上的彎曲切應(yīng)力腹板翼緣maxyminmin其中A*FS（3）圓形、圓環(huán)形截面上的彎曲切應(yīng)力yzFS最大切應(yīng)力在中性軸處：任意水平線上某點(diǎn)處

10、切應(yīng)力的 y 方向分量KyyzFS最大切應(yīng)力也在中性軸處：注意（1）橫截面上切應(yīng)力的存在使得梁在彎曲時橫截面出現(xiàn)翹曲，不再保持平面。（2）橫截面上的正應(yīng)力與切應(yīng)力最大值之比對細(xì)長梁( l/h 5 ) ,主要為彎曲正應(yīng)力。（3）某些形狀的截面（薄壁梁如T梁、L梁、工字梁） 或某些受力情況（如支座附近有較大集中力）下，橫截面上的切應(yīng)力是主要應(yīng)力。中性軸處：上下緣：F3.彎曲中心的概念觀察薄壁桿件彎曲切應(yīng)力的特點(diǎn) 沿壁厚方向均布 方向與周邊相切O在截面上形成切應(yīng)力流截面上分布切應(yīng)力系向該平面內(nèi)任意一點(diǎn)簡化，即為該截面上的內(nèi)力分量力FS力偶T剪力扭矩一定存在某點(diǎn) e ，向 e 點(diǎn)簡化的結(jié)果只有一個合力即剪力FS而沒有扭矩Te 點(diǎn)稱為該截面的彎曲中心TOFSTFSeO外力若作用在彎曲中心所在的縱向截面內(nèi) 該梁僅產(chǎn)生彎曲而不會產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)使梁產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)?。簽閺澟そM合變形）截面的彎曲中心位置的確定決定于截面的幾何 形狀、