大數(shù)定律和中心極限定理PPT

1、關(guān)于大數(shù)定律與中心極限定理PPT第一張，PPT共三十五頁，創(chuàng)作于2022年6月字母使用頻率 大量的隨機現(xiàn)象中平均結(jié)果的穩(wěn)定性 大數(shù)定律的客觀背景大量拋擲硬幣正面出現(xiàn)頻率生產(chǎn)過程中的廢品率闡明大量的隨機現(xiàn)象平均結(jié)果的穩(wěn)定性的一系列定理統(tǒng)稱為大數(shù)定律。第二張，PPT共三十五頁，創(chuàng)作于2022年6月依概率收斂 與微積分學中的收斂性的概念類似, 在概率論中, 我們要考慮隨機變量序列的收斂性.的概率幾乎等于1，即則稱隨機變量序列 Xn 依概率收斂于記作當n充分大時，事件定義1 如果對于任意第三張，PPT共三十五頁，創(chuàng)作于2022年6月切比雪夫不等式.則對于任給 0,有設隨機變量X 的數(shù)學期望E(X )和

2、方差 存在，由切比雪夫不等式可以看出,若越小, 則事件的概率越大, 即, 隨機變量集中在期望附近的可能性越大. 由此可見方差刻劃了隨機變量取值的離散程度.第四張，PPT共三十五頁，創(chuàng)作于2022年6月例1 已知正常男性成人血液中, 每一毫升白細胞數(shù)平均是7300, 均方差是700.利用切比雪夫不等式估計每毫升白細胞數(shù)在52009400之間的概率.解設每毫升白細胞數(shù)為 依題意, 所求概率為由切比雪夫不等式即每毫升白細胞數(shù)在5200 9400之間的概率不小于8/9.第五張，PPT共三十五頁，創(chuàng)作于2022年6月幾個常見的大數(shù)定律定理1（Chebyshev切比雪夫大數(shù)定律）切比雪夫 設 Xn是相互獨

3、立的隨機變量序列， 存在，其方差一致有界，即 D(Xi) L，i=1,2, ，則對任意的0，依概率收斂于其數(shù)學期望. 定理表明: 當很大時,隨機變量序列的算術(shù)平均值第六張，PPT共三十五頁，創(chuàng)作于2022年6月隨機的了，取值接近于其數(shù)學期望的概率接近于1.即當n充分大時，差不多不再是 切比雪夫大數(shù)定律表明，獨立隨機變 偏差很小的概率接近于1. 量序列Xn，如果方差一致有界，則與其數(shù)學期望切比雪夫大數(shù)定律給出了平均值穩(wěn)定性的科學描述第七張，PPT共三十五頁，創(chuàng)作于2022年6月推論 設隨機變量序列 Xn 獨立且都服從某則對于任意恒有 個分布，它們的數(shù)學期望及方差均存在，即第八張，PPT共三十五頁

4、，創(chuàng)作于2022年6月注 一般地，我們要求出隨機變量 X 的數(shù)學期來估計EX。當n充分大時，偏差不會太大。機變量X的分布時求EX的方法，即用知道EX，上述的推論告訴了我們,在不知隨我們往往在不知隨機變量X的分布時，希望望，必須知道隨機變量X的分布。但實際中， 這一點我們將會在數(shù)理統(tǒng)計中看到。第九張，PPT共三十五頁，創(chuàng)作于2022年6月 定理2 (伯努利大數(shù)定律) 設 是 重伯努利試 驗中事件A出現(xiàn)的次數(shù),又A在每次試驗中出即頻率依概率收斂于概率即則對于任意的現(xiàn)的概率為有注貝努里大數(shù)定律從理論上證明了頻率的穩(wěn)定性第十張，PPT共三十五頁，創(chuàng)作于2022年6月 下面給出的獨立同分布下的大數(shù)定律，

5、不要求隨機變量的方差存在. 設隨機變量序列X1,X2, 獨立同分布，且數(shù)學期望E (Xi )=, i=1,2,， 則對任給 0 ，定理3（辛欽大數(shù)定律）辛欽第十一張，PPT共三十五頁，創(chuàng)作于2022年6月注 （1）辛欽大數(shù)定律與定理1的推論的區(qū)別 在，辛欽大數(shù)定律與方差無關(guān)。 （3）貝努里大數(shù)定律是辛欽大數(shù)定律的特 例,而辛欽大數(shù)定律在應用中是非常重 要的。（2） 由于證明辛欽大數(shù)定律要用特征函數(shù) 的知識，故證明略。第十二張，PPT共三十五頁，創(chuàng)作于2022年6月二、中心極限定理 中心極限定理的客觀背景 在實際問題中，常常需要考慮許多隨機因素所產(chǎn)生總影響.例如：炮彈射擊的落點與目標的偏差，就受

6、著許多隨機因素的影響.第十三張，PPT共三十五頁，創(chuàng)作于2022年6月 空氣阻力所產(chǎn)生的誤差，對我們來說重要的是這些隨機因素的總影響.如瞄準時的誤差，炮彈或炮身結(jié)構(gòu)所引起的誤差等.第十四張，PPT共三十五頁，創(chuàng)作于2022年6月 觀察表明，如果一個量是由大量相互獨立的隨機因素的影響所造成，而每一個別因素在總影響中所起的作用不大. 則這種量一般都服從或近似服從正態(tài)分布. 自從高斯指出測量誤差服從正態(tài)分布之后，人們發(fā)現(xiàn)，正態(tài)分布在自然界中極為常見.第十五張，PPT共三十五頁，創(chuàng)作于2022年6月 現(xiàn)在我們就來研究獨立隨機變量之和所特有的規(guī)律性問題. 在概率論中，習慣于把和的分布收斂于正態(tài)分布這一類

7、定理都叫做中心極限定理. 中心極限定理回答了大量獨立隨機變量和的近似分布問題, 其結(jié)論表明: 當一個量受許多隨機因素(主導因素除外) 的共同影響而隨機取值, 則它的分布就近似服從正態(tài)分布.第十六張，PPT共三十五頁，創(chuàng)作于2022年6月定理1 李雅普諾夫定理 設隨機變量 相互獨立 , 它們具有數(shù)學期望和方差: ，記 若存在正數(shù) 使得當時, 則隨機變量之和的標準化變量:的分布函數(shù)對于任意, 滿足第十七張，PPT共三十五頁，創(chuàng)作于2022年6月注：定理1表明, 在定理的條件下, 隨機變量當 很大時,近似地服從正態(tài)分布由此, 當 很大時,近似地服從正態(tài)分布 這就是說,無論各個隨機變量 服從什么分布,

8、只要. 滿足定理的條件,那么它們的和 當 很大時,就近似地服從正態(tài)分布. 第十八張，PPT共三十五頁，創(chuàng)作于2022年6月定理2（獨立同分布下的中心極限定理）設 X1, X2, , Xn 是獨立同分布的隨機變量序列，且E(Xi)= ，D(Xi)= ，i=1,2,n，則注 1）證明所需要的知識已超出范圍，證明略。列維一林德伯格（LevyLindberg）定理.第十九張，PPT共三十五頁，創(chuàng)作于2022年6月獨立同分布，且它們的數(shù)學期2）中 心極限 定理表明，若 隨 機 變 量 序 列都近似服從正態(tài)分布. (注意:不一定是即望及方差存在，則當n充分大時，其和的分布,3）中心定理還表明：無論每一個隨

9、機變量在和的分布中起的作用很微服從什么分布，只要每一個隨機變量近似服從正態(tài)分布。小，則標準正態(tài)分布）第二十張，PPT共三十五頁，創(chuàng)作于2022年6月例1 根據(jù)以往經(jīng)驗，某種電器元件的壽命服 從均值為100小時的指數(shù)分布. 現(xiàn)隨機地取 16只,設它們的壽命是相互獨立的. 求這16 只元件的壽命的總和大于1920小時的概率.由題給條件知，諸Xi獨立，16只元件的壽命的總和為解: 設第i只元件的壽命為Xi , i=1,2, ,16E(Xi)=100, D(Xi)=10000依題意，所求為P(Y1920)第二十一張，PPT共三十五頁，創(chuàng)作于2022年6月由題給條件知,諸Xi獨立,16只元件的壽命的總和

10、為解: 設第i只元件的壽命為Xi , i=1,2, ,16E(Xi)=100,D(Xi)=10000依題意，所求為P(Y1920)由于E(Y)=1600,D(Y)=160000由中心極限定理,近似N(0,1)P(Y1920)=1-P(Y1920) =1-(0.8)1-=1-0.7881=0.2119第二十二張，PPT共三十五頁，創(chuàng)作于2022年6月 定理3 (棣莫弗-拉普拉斯中心極限定理) 設 是 重伯努利試驗中事件A出現(xiàn)的次數(shù), 又A在每次試驗中出現(xiàn)的概率為 則對于任意的實數(shù) 有:第二十三張，PPT共三十五頁，創(chuàng)作于2022年6月注 1）德莫佛拉普拉斯定理表明:二項分布以正態(tài)分布為極限;3）

11、設隨機變量X當n充分大時,2) 棣莫佛拉普拉斯定理是中心極限定理的特殊情況.第二十四張，PPT共三十五頁，創(chuàng)作于2022年6月設 為 重貝努里試驗中事件A發(fā)生的頻率, p為每次試驗用頻率估計概率的誤差 這個關(guān)系式可用來解決頻率估計概率的計算問題:中事件A發(fā)生的概率 , 由棣莫佛拉普拉斯定理,有第二十五張，PPT共三十五頁，創(chuàng)作于2022年6月部數(shù)解 設 表示某一時刻機器開動的臺數(shù),則設電廠至少要供應 個單位的電能,則由題意,有由棣莫弗-拉普拉斯定理,有 例2 某車間有同型號的機床200部,每部機器開動 概率保證不致因供電不足而影響生產(chǎn)?少要供應該車間多少單位電能,才能以95%的 開動時每部機器

12、要耗電能15個單位,問電廠最 的概率為0.7,假定各機床開關(guān)是相互獨立的, 第二十六張，PPT共三十五頁，創(chuàng)作于2022年6月查表得,應有 故至少須向該車間供應2261個單位的電能,才能以95%的概率保證不致因供電不足而影響生產(chǎn).第二十七張，PPT共三十五頁，創(chuàng)作于2022年6月解 設 是裝運的第 箱的重量,看作是相互獨立同分布的隨機變量,而總重量是獨立同分布的隨機變量之和. 例3 一生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品成箱包裝，每箱的重 多少箱，才能保障不超載的概率大于0.997. 試利用中心極限定理說明每輛車最多可以裝 差5千克。若用最大載重量為5噸的汽車承運， 量是隨機的，假設每箱的平均重50千克,標準 是

13、所求得箱數(shù),由條件可以把第二十八張，PPT共三十五頁，創(chuàng)作于2022年6月由林德伯格-列維定理由題意知并且要求 滿足即 必須滿足即最多可以裝98箱。第二十九張，PPT共三十五頁，創(chuàng)作于2022年6月例4 對敵人的防御工事用炮火進行 100 次轟擊, 設每次轟擊命中的炮彈數(shù)服從同一分布, 其 數(shù)學期望為 2, 均方差為 1.5 . 如果各次轟擊 命中的炮彈數(shù)是相互獨立的, 求100 次轟擊 (1) 至少命中180發(fā)炮彈的概率; (2) 命中的炮彈數(shù)不到200發(fā)的概率.解 設 X k 表示第 k 次轟擊命中的炮彈數(shù)相互獨立，第三十張，PPT共三十五頁，創(chuàng)作于2022年6月 設 X 表示100次轟擊命中的炮彈數(shù), 則(1) (2)第三十一張，PPT共三十五頁，創(chuàng)作于2022年6月例5 售報員在報攤上賣報, 已知每個過路人在報攤上買報的概率為1/3. 令X 是出售了100份報時過路人的數(shù)目，求 P (280 X 320).解 令Xi 為售出了第 i 1 份報紙后到售出第i 份報紙時的過路人