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1、第七章 無窮級數(shù)1齊諾悖論阿基里斯與烏龜 公元前五世紀,以詭辯著稱的古希臘哲學家齊諾(Zeno)用他的無窮、連續(xù)以及部分和的知識,引發(fā)出以下著名的悖論: 如果讓阿基里斯(Achilles,古希臘神話中善跑的英雄)和烏龜之間舉行一場賽跑,讓烏龜在阿基里斯前頭1000米開始,假定阿基里斯能夠跑得比烏龜快10倍,也永遠也追不上烏龜.齊諾的理論依據(jù)是:當比賽開始的時候,阿基里斯跑了1000米,此時烏龜仍然前于他100米;當阿基里斯跑了下一個100米時,烏龜仍然前于他10米, 如此分析下去,顯然阿基里斯離烏龜越來越近,但卻是永遠也追不上烏龜?shù)?這個結論顯然是荒謬的,但奇怪的是,這種推理在邏輯上卻沒有任何

2、毛病.那么,問題究竟出在哪兒呢? 2第一節(jié) 無窮級數(shù)的概念 無窮級數(shù)是高等數(shù)學的一個重要組成部分,它是表示函數(shù)、研究函數(shù)的性質以及進行數(shù)值計算的一種工具。計算圓的面積正六邊形的面積正十二邊形的面積正 形的面積31、級數(shù)的定義: (常數(shù)項)無窮級數(shù)通項級數(shù)的前 n 項部分和數(shù)列42、級數(shù)的收斂與發(fā)散:定義(設極限為S ) , 則稱該無窮級數(shù)收斂, 且稱 S 為該級數(shù)的和,并記為 5解例1討論無窮級數(shù) 的收斂性. 所以級數(shù)收斂,且和為 1。6解例2所以級數(shù)發(fā)散. 所以7解收斂發(fā)散例3討論等比級數(shù)(幾何級數(shù)) 的收斂性. 8發(fā)散發(fā)散綜上所述,9齊諾悖論阿基里斯與烏龜 阿基里斯是希臘傳說中跑得最快的人

3、。一天他正在散步,忽然發(fā)現(xiàn)在他前面一千米遠的地方有一只大烏龜正在緩慢地向前爬。烏龜說:“阿基里斯,誰說你跑得最快?你連我都追不上!”阿基里斯說:“胡說!我的速度比你快何止上百倍!就算剛好是你的十倍,我也馬上就可以超過你!”烏龜說:“就照你說的,咱們來試一試吧!當你跑到我現(xiàn)在這個地方,我已經(jīng)向前跑了一百米。當你向前跑過這一百米時,我又爬到前面去了。每次你追到我剛剛爬過的地方,我都又向前爬了一段距離。你只能離我越來越近,卻永遠也追不上我!”阿基里斯說:“哎呀,我明明知道能追上你,可是你說的好像也有道理耶。這到底是怎么回事呢? 10AB 假定阿基里斯現(xiàn)在A處,烏龜現(xiàn)在B處. 為了趕上烏龜,阿基里斯先

4、跑到烏龜?shù)某霭l(fā)點B,當他到達B點時,烏龜已前進到B1點;當他到達B1點時,烏龜又已前進到B2點,如此等等。當阿基里斯到達烏龜前次到達過的地方,烏龜已又向前爬動了一段距離.因此,阿基里斯是永遠追不上烏龜?shù)?!BB1B1B211 如果我們從級數(shù)的角度來分析這個問題,齊諾的這個悖論就會不攻自破。 設阿基里斯的速度為烏龜速度的10倍,則他跑完1000米時,烏龜又爬了100米;等阿基里斯跑完這段路,烏龜又向前爬了10米,依次類推,阿基里斯需要追趕的全部路程為 12思考題:還有沒有其他方法解此題?這里已經(jīng)假定可以追上。13研究課題1:無限循環(huán)小數(shù)轉化為分數(shù)?14解例4小課題:請編寫一套把循環(huán)小數(shù)轉化為分數(shù)的

5、方法。15循環(huán)小數(shù)轉化為分數(shù)的方法:第一型:16例如:17第二型:18例如:19第二節(jié) 無窮級數(shù)的基本性質也收斂,且有性質1證20說明:證矛盾.21性質2證2223性質3 去掉、添加或改變級數(shù)中的有限項,不會影響它的斂散性. 這是因為,去掉、添加或改變級數(shù)中的有限項后所得數(shù)列的部分和數(shù)列與原級數(shù)的部分和數(shù)列只相差一個常數(shù),所以具有相同的斂散性。注意:原級數(shù)若收斂,則改變級數(shù)中的有限項后,一般要改變它的和.24性質4 收斂級數(shù)任意加括號后仍收斂,且其和不變.證例如,25證性質4 收斂級數(shù)任意加括號后仍收斂,且其和不變.注收斂級數(shù)去括弧后所成的級數(shù)不一定收斂.推論 發(fā)散級數(shù)去括號仍發(fā)散。例如26性

6、質5 (級數(shù)收斂的必要條件)證27說明:1、如果級數(shù)的一般項不趨于零,則級數(shù)發(fā)散; 級數(shù)發(fā)散; 級數(shù)發(fā)散。282、必要條件不充分:再舉一個重要例子: 但級數(shù)發(fā)散。 調和級數(shù) 29調和級數(shù)增加的速度非常緩慢,例如 那么調和級數(shù)到底的收斂還是發(fā)散? 調和級數(shù) 證明:調和級數(shù)發(fā)散。于是矛盾,調和級數(shù) 假設調和級數(shù)收斂,其和為 S ,所以級數(shù)發(fā)散。證因為31 進一步的研究可以發(fā)現(xiàn),雖然調和級數(shù)發(fā)散到正無窮大,但其發(fā)散的速度卻是驚人的緩慢。 這說明調和級數(shù)發(fā)散到正無窮大實在不是直接的計算所能得到的,由于調和級數(shù)發(fā)散到正無窮大的緩慢性,我們也可形象地稱調和級數(shù)為一“堅韌不拔”的級數(shù),另一方面它又提醒我們:

7、人不可“貌相”,級數(shù)的斂散性不可憑“想象”,需要嚴格的證明。調和級數(shù) 例1 判斷下列級數(shù)的斂散性: 因為都收斂,故原級數(shù)收斂,解且和為33收斂;發(fā)散。例1 判斷下列級數(shù)的斂散性: 34第三節(jié) 正項級數(shù)1、定義:這種級數(shù)稱為正項級數(shù)。2、正項級數(shù)收斂的充要條件:定理(一) 正項級數(shù)的收斂問題35(二)比較判別法證明定理(1)36(一)比較判別法證明(2)是(1)的等價命題。注:定理的條件可放寬為: 定理37解例1所以原級數(shù)收斂. 38解例2故原級數(shù)發(fā)散; 于是有 39所以于是40重要參考級數(shù):幾何級數(shù),p - 級數(shù),調和級數(shù)。比較:41解例3例4解所以原級數(shù)發(fā)散。所以原級數(shù)收斂。42比較判別法的

8、極限形式:43證明44可知兩級數(shù)有相同的斂散性。45證明由比較判別法可知, (注意:單向) 由(2)即得結論。 46例5例6所以原級數(shù)發(fā)散。所以原級數(shù)收斂。解解47例7例8發(fā)散解所以原級數(shù)發(fā)散。解所以原級數(shù)收斂。48常用等價無窮小:49解例1所以原級數(shù)收斂. 50例9解51例10收斂,解所以原級數(shù)收斂。52例11所以原級數(shù)收斂。53例12解所以原級數(shù)收斂。所以原級數(shù)發(fā)散。54證例13由基本不等式55(三)比值判別法 (達朗貝爾比值判別法) 證略56例14 判別級數(shù)下列級數(shù)的斂散性 所以級數(shù)收斂。解解所以級數(shù)收斂。57解解所以級數(shù)發(fā)散.所以級數(shù)收斂.58解練習:所以級數(shù)收斂。59解所以用比值法無

9、法判斷.用比較法,所以原級數(shù)收斂。60例15解61(四)根值判別法 (柯西根值判別法) 證略62例16解所以級數(shù)收斂. 例17解所以級數(shù)收斂. 63解例18級數(shù)發(fā)散。64第四節(jié) 任意項級數(shù),絕對收斂定義:正、負項相間的級數(shù)稱為交錯級數(shù)。定理(萊布尼茨判別法) 稱萊布尼茨型級數(shù) 如果交錯級數(shù) 滿足條件(一)交錯級數(shù) 65證另一方面, 由條件(2)可知, 即原級數(shù)收斂, 由條件(1)可知, 注意:萊布尼茲判別法所給的條件只是交錯級數(shù)收斂的充分條件,而非必要條件。定理(萊布尼茨判別法)如果交錯級數(shù) 滿足條件67例19解這是交錯級數(shù), 由萊布尼茨定理知,級數(shù)收斂。一般地,稱為交錯 p - 級數(shù). 所以

10、級數(shù)收斂。證明級數(shù) 收斂。68解由萊布尼茨定理知級數(shù)收斂。練習69(二)任意項級數(shù)的絕對收斂與條件收斂正項和負項任意出現(xiàn)的級數(shù)稱為任意項級數(shù)。定理:絕對收斂必收斂。70證明定理:71說明:(1) 定理不可逆:級數(shù)收斂,未必絕對收斂;72這是因為它們的依據(jù)是 說明:73例20 判定下列級數(shù)是絕對收斂、條件收斂或發(fā)散. 解故原級數(shù)絕對收斂. 解故級數(shù)絕對收斂. 74解故級數(shù)發(fā)散. 解所以原級數(shù)絕對收斂。75例21解76例22解即原級數(shù)非絕對收斂;77由萊布尼茨定理, 此交錯級數(shù)收斂,故原級數(shù)條件收斂78例23解而原級數(shù)為萊布尼茲級數(shù),故收斂,即條件收斂。79例24解所以級數(shù)發(fā)散;故級數(shù)絕對收斂;8

11、0小結:判定數(shù)項級數(shù)斂散性的思路:正項?Y比較判別法比值判別法N絕對收斂?YENDN若用比值法,發(fā)散若用比較法,萊布尼茨定理N發(fā)散Y81第五節(jié) 冪級數(shù) (一)冪級數(shù)及其收斂半徑和收斂域1、冪級數(shù)的定義級數(shù)稱為關于 x 的冪級數(shù)。822、冪級數(shù)的收斂半徑和收斂域83證O定理 (阿貝爾Abel定理) 84由正項級數(shù)的比較判別法知, 證85由(1)結論,幾何說明:收斂區(qū)域發(fā)散區(qū)域發(fā)散區(qū)域這與所設矛盾. 86此時正數(shù) R 稱為冪級數(shù)的收斂半徑.規(guī)定問題:如何求冪級數(shù)的收斂半徑?(2)在整個數(shù)軸上收斂; 87定理直接地講,就是88證89證畢.90求下列冪級數(shù)的收斂半徑和收斂域。例1解發(fā)散;收斂。91求下

12、列冪級數(shù)的收斂半徑和收斂域。例1一般,92解收斂半徑端點處:收斂;發(fā)散;例293解收斂半徑端點處明顯發(fā)散,例394例4解例5解95發(fā)散;發(fā)散,故收斂域為 (-1, 3) .例6解96缺少偶次冪的項級數(shù)收斂;例7解直接應用比值判別法,級數(shù)發(fā)散;97級數(shù)收斂,所以原級數(shù)的收斂域為級數(shù)收斂;級數(shù)發(fā)散;98(二)冪級數(shù)的性質冪級數(shù)的加減法:加法:減法:99冪級數(shù)和函數(shù)的分析性質100且收斂半徑仍為R. (2) 逐項求導后,原來收斂的端點可能變發(fā)散。101注:逐項積分后,原來發(fā)散的端點可能變收斂。且收斂半徑仍為R. 102解例8收斂半徑端點處明顯發(fā)散,103解例8所以兩邊從 0 到 x 積分, 104(

13、1)解逐項求導, 所以例9 求下列冪級數(shù)的收斂域及和函數(shù):105(2)解收斂半徑106(3)解107簡便寫法:解(3)108(4)解109第六節(jié) 泰勒公式與泰勒級數(shù)(一)泰勒公式110不足:問題:1、精確度不高;2、誤差不能估計。111分析:2.若有相同的切線3.若彎曲方向相同近似程度越來越好1.若在 點相交112n 階接觸113拉格朗日型余項114證明:且115116則由上式得證畢117118此時泰勒公式稱為麥克勞林公式。麥克勞林(Maclaurin)公式119(二)泰勒級數(shù)定義的泰勒級數(shù)。 的麥克勞林級數(shù)。120第七節(jié) 某些初等函數(shù)的冪級數(shù)展開式問題:2. 如果能展開,怎么展開?3. 展開

14、式是否唯一?1. f (x) 在什么條件下才能展開成冪級數(shù)?與求和函數(shù)的相反問題:求冪級數(shù),在其收斂域內以 f (x) 為和函數(shù)函數(shù)的冪級數(shù)展開。121上式兩端逐項求導,得122且展開式是唯一的。123證由泰勒公式直接獲證。124(一)直接展開法(泰勒級數(shù)法)步驟:先討論展開成麥克勞林級數(shù)。2、寫出冪級數(shù) ,并求其收斂域 D. 如果是,則 f (x)在 D 上可展開成麥克勞林級數(shù) 125例1解對任意固定的 x, 由比值法, 126對任意固定的 x, 由比值法, 即證得 127128例2解129130例3收斂域為:( 不為正整數(shù))推導略131特別, 雙階乘132133(二)間接展開法間接展開法是根據(jù)展開式的唯一性,利用已知展開式,通過變量代換, 四則運算, 恒等變形, 逐項求導, 逐項積分等方法,求出函數(shù)的冪級數(shù)展開式。134利用逐項求導公式,得例4解根據(jù)已知展開式135例5解兩邊從 0 到 x 積分

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